中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法） 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知不等式，且满足关于的方程，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或3 D．2或4
6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．6 C．1或4 D．9或6
7．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知关于x的方程，且m满足关于m的方程，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贵州黔东南·一模）解方程：，小滨的解答如下：
解：原方程可化简为： 第一步
方程两边同时除以，得： 第二步
你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。
9．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
11．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
能力提升
12．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（ ）
A．1或2 B．2或 C．或 D．0或3
13．（2023九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程有两个解，则实数m的取值范围是： ．
14．（23-24九年级上·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为 ．
15．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
拔高拓展
16．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
17．（22-23九年级上·江苏·期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，方程即为：，
设，原方程转化为：解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法） 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，逐项分析判断，即可求解．
【详解】A. ，化为一般形式，，
∴
∴
∴
∴或
不能得出或，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，所以或，故该选项正确，符合题意；
C. ，化为一般形式，，
∴
∴或，
不能得出或，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，所以或，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根．
【详解】解：∵，代入方程中，
，
，
∴，．
故选：C．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知不等式，且满足关于的方程，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式，先求出，，再解一元一次不等式得出，根据，得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解不等式，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，，，
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，
∴直角三角形的两条直角边的长分别为和，
∴此直角三角形的面积为，
故选：．
5．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或3 D．2或4
【答案】C
【分析】
本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可．
【详解】解：将点代入正比例函数，得：，
代入一次函数，得，解得：，
，，
，
解得：或3，
故选：C．
6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．6 C．1或4 D．9或6
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元二次方程，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将等腰三角形的两边计算出来，再根据等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：依题意，解方程得，
当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，不符合三角形的三边关系，故不符合题意；
当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，符合三角形的三边关系，则该等腰三角形的周长为．
故选A．
7．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知关于x的方程，且m满足关于m的方程，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了解一元二次方程，解分式方程，根据，求出m的值，将m的值代入，即可求出x的值．
【详解】
解：由，
解得，（舍去），
把代入原式得，
，
解得．
经检验，是该分式方程的解，
故选：A．
8．（2023·贵州黔东南·一模）解方程：，小滨的解答如下：
解：原方程可化简为： 第一步
方程两边同时除以，得： 第二步
你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。
【答案】二
【分析】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可．
【详解】解：不正确．
正确的解答过程如下：，
第一步，
第二步
则或，
解得，，
∴第二步出错，
故答案为：二．
9．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】或1/1或
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，最简二次根式、同类二次根式，同类二次根式是指最简二次根式的被开方数相同，据此即可列式计算作答．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴
整理得
解得
经检验：代入二次根式都有意义，
故答案为：或1
10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，，，
把代入方程得，，
故答案为：1．
11．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解；
（3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解；
（4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，；
（3）解：
有，，，
，
，
，；
（4）解：（），
或，
，．
能力提升
12．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（ ）
A．1或2 B．2或 C．或 D．0或3
【答案】D
【分析】本题考查了了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入得出，将代入得出，得出关于a的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∵是一元二次方程的一个根，
∴，
得：，
解得：，
故选：D．
13．（2023九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程有两个解，则实数m的取值范围是： ．
【答案】或/或
【分析】本题考查绝对值方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法，绝对值方程的解法，判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．分三种情况讨论：当时；当时；当，由此可求m的取值范围．
【详解】解：①当时，，
解得或；
②当时，方程无解；
③当时，或，
当时，，，
当时，，，
∵方程有两个解，
∴当时，∴，
∴当时，∴（舍去），
综上所述：当或时，方程有两个解，
故答案为：或．
14．（23-24九年级上·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了解二元一次方程，令，可得，解方程得或，再根据即可求解，熟练掌握整体代入思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：令，
，
解得：或，
，
，
故答案为：4．
15．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【分析】
本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想，
（1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可
（2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【详解】（1）
解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
拔高拓展
16．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；
（2）设，代入得到． 解得，，根据，得到；
（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．
【详解】（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．
17．（22-23九年级上·江苏·期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
