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第二十一章 一元二次方程（提高卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
3．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）若a是关于一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）．
A． B． C．0 D．
4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．或 B．或1 C．1或3 D．或
5．（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．15或16 D．16或17
7．（2023·浙江·模拟预测）若a，b，c是三个非零实数，且，求的最小值为（ ）
A．13 B．10 C．9 D．8
8．（2023·重庆渝中·模拟预测）已知整式，则下列说法正确的有（ ）
①若a为常数且，则
②若，则
③不存在这样的示数x，使得
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④
C．①②③④ D．只有①②③
10．（23-24九年级上·云南昆明·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023·广东汕头·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ．
12．（2023·四川雅安·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为
13．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
14．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
15．（2023·浙江绍兴·模拟预测）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两农妇一共带了个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板．”第二个农妇回答：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖得个铜板．”请问第一个农妇有 个鸡蛋．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解．
17．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料：
老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值．
小玉的解法如下：
解：∵，，又∵，∴，解得，．
问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？
18．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
19．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？
(2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？
(3)这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由．
20．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：；
第2个方程：；
第3个方程：；
第4个方程：；
(1)第2015个方程是_______；
(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
22．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有．
(1)已知，y的最小值为______；
(2)已知，的最大值为______；
(3)x，y都是正数，，求的最小值．
23．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形是菱形；
(3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程 单元测试（提高卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，，
解得：，，
故选：．
2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答．
【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4，
∴
即，
∴或．
又∵二次项系数不为0，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
3．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）若a是关于一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，整体代入是解题的关键．
由题意知，，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．或 B．或1 C．1或3 D．或
【答案】D
【分析】本题考查方程的解．
把方程中的看成整体，根据关于x的方程的解可得或，求解即可．
【详解】∵关于x的方程的解是，，
∴方程变形为，
此方程的中或，
解得，，
∴方程的解为：，．
故选：D
5．（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
【答案】C
【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可；
【详解】解：是关于x的方程的两根，
，
是关于x的方程的两根，
，，即，
将代入整理得，
，解得，
故选：．
6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．15或16 D．16或17
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．
【详解】当3为底边长时，则，
∴，
∵4，4，3能围成三角形，
∴，
解得：；
当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定，
∴
∴
∴另一个边长为5，
∵5，3，3能围成三角形，
∴，
解得：；
∴m的值为17或16，
故选：D．
7．（2023·浙江·模拟预测）若a，b，c是三个非零实数，且，求的最小值为（ ）
A．13 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程．根据，得到，，将转化为用表示的式子，构造一个以为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：∵a，b，c均为非零实数，且，
∴，，
∴，
∵b，c是方程的两根，
∴方程有两个实数根，
则，即
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
即的最小值为9；
故选：C．
8．（2023·重庆渝中·模拟预测）已知整式，则下列说法正确的有（ ）
①若a为常数且，则
②若，则
③不存在这样的示数x，使得
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查多项式乘多项式、一元二次方程根的判别式，整体思想的应用，解答的关键是理解清楚题意．把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及一元二次方程根的判别式进行运算即可．
【详解】解：由，得，
，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴方程没有实数根即不存在这样的实数，使得，故③符合题意；
∴有个正确，
故选：C．
9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④
C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则：，
则：的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
若是方程的一个根，则，
当时，，故③错误；
若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故选B．
10．（23-24九年级上·云南昆明·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
先根据勾股定理求得的长， 再求的长，根据可得列方程即可求解．
【详解】∵，
根据题意可得：，
，
即
即
解得：或（舍），
故选：C．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023·广东汕头·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可；
【详解】关于x的一元二次方程有实数根，
且，
且；
故答案为：且．
12．（2023·四川雅安·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可．
【详解】解：关于的方程有两个实数根．
，
解得．
，，
，
即，
，，
∵，
，
故答案为：．
13．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．
先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到的长．
【详解】
解：四边形是菱形，
，
，的长是关于的方程的两个实数根，
△，，
解得，
，
即菱形的边长为．
故答案为：．
14．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案是：．
15．（2023·浙江绍兴·模拟预测）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两农妇一共带了个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板．”第二个农妇回答：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖得个铜板．”请问第一个农妇有 个鸡蛋．
【答案】
【分析】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可求解，找到关键描述语，合适的等量关系是解决问题的关键．
【详解】
解：设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，则第一个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，第二个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，依题意可得：
，
整理，得，
解得（舍去），
经检验，是方程的解，
∴第一个农妇有个鸡蛋．
故答案为：．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解．
【答案】，方程解为
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；由根与系数的关系得：，即可求得n的值；再用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根互为相反数，
∴两根的和为零，即，
∴，
解得：；
当时，方程为，即，
解得：．
17．（23-24九年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料：
老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程的两根为，且，求正数m的值．
小玉的解法如下：
解：∵，，又∵，∴，解得，．
问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？
【答案】小玉的解法不对，没有对m的值进行验证，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的意义；
对m进行验证，当时，求出，可得应舍去；根据m是正数可知也应舍去．
【详解】解：小玉的解法不对，没有对m的值进行验证；
解得，
当时，方程为，
，
∴应舍去；
当时，
∵m是正数，
∴也应舍去，
综上，m的值不存在．
18．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)m的值为6
(2)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，解得，，于是可得的值为6；
（2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
【详解】（1）解：根据题意得判别式，解得，
，，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
的值为6；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
19．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？
(2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？
(3)这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由．
【答案】(1)55元；
(2)42元；
(3)不能，详见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及根的判别式，
（1）设每个背包售价为x元，根据这种背包的月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）这种书包的销售利润不能达到3700元，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即这种书包的销售利润不能达到3700元；
解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”．
【详解】（1）设每个背包售价为x元，
依题意得：，
解得：，
∴x的最大值为55，
∴每个背包售价应不高于55元．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
∴当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）这种书包的销售利润不能达到3700元，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴这种书包的销售利润不能达到3700元．
20．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：；
第2个方程：；
第3个方程：；
第4个方程：；
(1)第2015个方程是_______；
(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
【答案】(1)
(2)；，
(3)这列一元二次方程都有一个解为
【分析】本题考查了数字规律的探究，解一元二次方程；
（1）利用方程中二次项系数、一次项系数和常数项的特征可确定第个方程，即可求解；
（2）利用（1）中二次项系数、一次项系数和常数项的特征可确定第n个方程，然后利用因式分解法解方程，即可求解；
（3）利用（2）方程的解即可求解．
找出规律，解出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：第1个方程：；
第2个方程：；
第3个方程：；
第4个方程：；
……
第个方程：；
整理得：；
故答案：；
（2）解：由（1）得
第n个方程：，
，
解得：，；
（3）解：由（2）得
这列一元二次方程都有一个解为．
21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，；
（2）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或，
当时，可有，解得，，
当时，可有，
∵，
∴该方程无解，
∴原方程的解为，．
22．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有．
(1)已知，y的最小值为______；
(2)已知，的最大值为______；
(3)x，y都是正数，，求的最小值．
【答案】(1)7
(2)3
(3)的最小值为11
【分析】（1）把原式变形为，再利用题干所给不等式变形即可；
（2）由得，代入，利用配方法求解即可；
（3）设，则，代入并整理得：，利用根的判别式得，然后转化为一元一次不等式组求解即可．
【详解】（1），
∵，则，
∴，
故答案为：7；
（2）∵，则，
则，
故答案为：3；
（3）设，则，
将y的表达式代入并整理得：，
则，
整理得，，
∴，
∴或，
解得：（舍去）或，
故的最小值为11．
【点睛】本题考查了不等式的性质，配方法的应用，一元二次方程根的判别式，以及求不等式组的解集，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．
23．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形是菱形；
(3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形的周长是4，面积是．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用；
（1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可；
（2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可；
（3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．
【详解】（1）解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴且，，
解得：，
即k的取值范围是；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
经检验符合题意；
（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，
即，
∵，，
∴，
解得：，（舍去），
把代入方程得：，
解方程得：，或，，
∴矩形的周长是，面积是．
即此时四边形的周长是4，面积是．
