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21.2.1 解一元二次方程（配方法）分层作业
基础训练
1．（2023·北京石景山·一模）用配方法解方程时，正确的是（ ）
A． B．原方程无解
C． D．原方程无解
【答案】B
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴原方程无解．
故选：B．
2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程，可化为
B．方程，可化为
C．方程，可化为
D．方程，可化为
【答案】D
【分析】本题考查了配方法解方程．用配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法进行解答即可．根据配方法的步骤，对每个方程都做这样的变形，由此便可以解答本题．
【详解】A、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
B、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
C、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
D、方程，可化为，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型．
根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案．
【详解】
解：方程整理得：，
配方得：，即，
，，
则．
故选：D．
4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
【详解】解：
，
即或
，
所以，这位同学是乙，
故选：B．
5．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据题意，可得，解方程即可求解，掌握完全平方和（差）公式的形式及变形是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
当时，，
∴，整理得，，符合题意；
当时，，
∴，整理得，，符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
6．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ．
【答案】，
【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
，
开平方得，，
∴，
∴，
故答案为：，．
7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【分析】
先作差计算，再利用配方法判断结果的范围，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
；
∵，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的值的大小比较，配方法的应用，熟练的利用配方法判断代数式的值的范围是解本题的关键．
8．（23-24九年级上·全国·课后作业）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是第 象限．
【答案】二
【分析】先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可．
【详解】解：，
，
，
所以，，
即直线为，
所以图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，能求出、的值是解此题的关键．
9．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
(1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
【答案】(1)二
(2)
【分析】
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
【详解】（1）
解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2，
故答案为：二；
（2）．
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
10．（23-24九年级上·青海果洛·期末）已知某三角形两条边的长分别为3和4，第三边是方程的根，判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】该三角形是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．
先用配方法解一元二次方程，然后根据勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】解：该三角形是直角三角形，
理由如下：，
，
解得：，
该三角形是直角三角形．
11．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌握住了一部分，形式如图：
(1)当时，则所捂部分的值＝______；
(2)若所捂的值为，求的值．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（）把代入，即可求解；
（）根据题意可得，再利用配方法解答，即可求解；
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，所捂部分的值为
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
即，
∴，
解得，．
能力提升
12．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
【答案】A
【分析】
本题主要考查解一元二次方程-配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【详解】解：∵关于x的方程有唯一解，
∴能配成完全平方式，
∵，
，
∴，
∴关于x的方程的唯一解为，
，
∴该解在7和8之间．
故选：A．
13．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】 3 小 3
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
故答案为：3，小，3．
14．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将一元二次方程变形，用含的式子表示的值，再将带入方程，表示出的值，最后运用配方法即可求解．
【详解】解：一元二次方程，
∴，
∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，配方法求最值的方法，掌握以上知识是解题的关键．
15．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）已知三角形是等边三角形，点，点，点在第一象限，求点坐标 ．
【答案】
【分析】设，根据等边三角形的性质以及两点间的距离公式，列方程求解即可，
【详解】解：设，
∵为等边三角形，
则，
则，；
两式相减得，代入第一个式子得，
解得或
当时，，则
当时，，
由于在第一象限，、都大于0；
可得．
故答案为：
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，属于课内中等偏上难度题目；注意计算化简的技巧以及第一象限答案的取舍．
16．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ．
(1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的；
(2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根）
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（）移项要变号即可；
（）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；
此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）方程移项，得，故小静的解法是从步骤开始出现错误的，
故答案为：；
（2），
移项，得：，
两边同时加上，得，
配方，得，
两边同时开平方，得，
移项，得，
∴，．
拔高拓展
17．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法．这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，
例如5是“完美数”，理由．
解决问题：
(1)数53（ ）“完美数”（填是或不是）
问题探究：
(2)已知，则（ ）
(3)已知（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值．
【答案】(1)是
(2)1
(3)．
【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：．
故答案为：是；
（2）解：已知等式变形得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
则：．
故答案为：1；
（3）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴是完全平方式，
∴．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴，∴，
∴，且，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求=___________；
(2)已知，，则___________．
(3)已知的三边长分别是a、b、c，满足，求的最大边c的范围；
【答案】(1)2
(2)3
(3)
【分析】（1）根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值再代入求值即可；
（2）把代入，可得，可得：，，从而可得答案；
（3）首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的范围即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.1 解一元二次方程（配方法）分层作业
基础训练
1．（2023·北京石景山·一模）用配方法解方程时，正确的是（ ）
A． B．原方程无解
C． D．原方程无解
2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程，可化为
B．方程，可化为
C．方程，可化为
D．方程，可化为
3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．【易错题】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ．
6．【新定义问题】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ．
7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．（填“>”、“<”或“=”）．
8．（23-24九年级上·全国·课后作业）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是第 象限．
9．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
(1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
10．（23-24九年级上·青海果洛·期末）已知某三角形两条边的长分别为3和4，第三边是方程的根，判断该三角形的形状，并说明理由．
11．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌握住了一部分，形式如图：
(1)当时，则所捂部分的值＝______；
(2)若所捂的值为，求的值．
能力提升
12．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
13．【热考题】（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
14．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ．
15．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）已知三角形是等边三角形，点，点，点在第一象限，求点坐标 ．
16．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ．
(1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的；
(2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根）
拔高拓展
17．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法．这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，
例如5是“完美数”，理由．
解决问题：
(1)数53（ ）“完美数”（填是或不是）
问题探究：
(2)已知，则（ ）
(3)已知（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值．
18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴，∴，
∴，且，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求=___________；
(2)已知，，则___________．
(3)已知的三边长分别是a、b、c，满足，求的最大边c的范围；
