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21.2.1 解一元二次方程（直接开平方法）分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（ ）
A．．解方程，得
B．，解方程，得
C．，解方程，得
D．，解方程，得
【答案】D
【分析】分别解出各选项一元二次方程，即可求解．
【详解】解：A、，无解，故本选项错误，不符合题意；
B、，解方程，得，故本选项错误，不符合题意；
C、，解方程，得，故本选项错误，不符合题意；
D、，解方程，得，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
∴，
∴，，
∴这个方程的另一个根是，
故选：．
3．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（ ）
A．4或 B．0 C．4 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义可得，即，再由常数项是0，可得，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是0，
∴，，
∴，
故选：C．
4．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
【答案】D
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
【详解】解：，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴为异号，
故选：．
5．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了程序流程图和解一元二次方程，根据题意得：，解出即可．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴．
故选：C．
6．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根
C．方程有两个负根 D．方程有两个正根
【答案】B
【分析】方程两边都除以，解一元二次方程，可得根与的值无关．
【详解】解：∵，
∴方程两边都除以，得，
两边开平方，得，
解得，，
∴该方程有一个正根，一个负根，方程的根与的值无关．
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据将方程两边的消去．
7．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．14或18
【答案】C
【分析】先解一元二次方程，得到第三边长为2、6，再根据三角形三边关系进行判断，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．
【详解】解：，
或，
解得：或，
当时，三角形的三边长分别为5、6、7，且，满足三角形三边关系，此时三角形的周长，
当时，三角形的三边长分别为2、5、7，且，不满足三角形三边关系，不符合题意，
综上所述，三角形的周长为18，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，解一元二次方程，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．
8．（23-24九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，
∵其中一个一元一次方程是，
∴，
则．
故答案为：4．
9．（23-24九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根．
【详解】解：∵一元二次方程，有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
即a的取值范围是，
故答案为：．
10．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若为方程的一根，为方程的一根，且都是正数，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，把根代入一元二次方程再直接开方分别求出的值，由此即可求解．
【详解】解：为方程的一根，为方程的一根，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程直接开方法的运用，掌握直接开方法解一元二次方程的方法是解题的关键．
11．（23-24九年级上·全国·课后作业）[整体思想]已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】把原方程化为，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用直接开平方方解一元二次方程，掌握整体未知数的思想是解本题的关键．
能力提升
12．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的方程的两个实数根为，，若a，b，c满足和，则方程的根是（ ）
A．0 B．1， C．2， D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据和得到，进而得到，则原方程为，据此解方程即可得到答案．
【详解】解：∵和，
∴，
∴，
∴，
∴原方程为，
∴，
解得，
故选：B
13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）对于不相等的两实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；．若，则（ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，正确理解题目所给新定义，根据新定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当时，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
②当时，
解得：，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上：或，
故选：D．
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为 ．
【答案】第一或第二象限
【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元二次方程．根据题意，求出的值，的取值范围，进而判断出的横纵坐标的符号，即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∵，
∴，
当时：，，
∴点在第二象限；
当时，，，
∴点在第一象限；
综上：点在第一或第二象限；
故答案为：第一或第二象限．
15．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知关于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，则 .
【答案】9
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，绝对值的意义，利用直接开平方法解方程，求得，，，，由，得出，，则根据，得到，解得．得到关于的方程是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程的根是，，
，，
同理，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：9．
16．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ．
【答案】 7
【分析】把看作一个整体，利用直接开平方法求解，注意舍去负值；把原式化为，再利用非负数的性质求出x、y即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或（舍去）；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—直接开平方法和配方法的应用，掌握解答的方法是关键．
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ．
【答案】/0.25
【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
∴，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∵一元二次方程的两个根分别是与，
∴，
解得，
∴一元二次方程的两个根分别是与，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接法解方程，方程根互为相反数，相反数的性质，根的定义，熟练掌握方程根互为相反数，相反数的性质是解题的关键．
拔高拓展
18．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ．
【答案】或
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，根据方程的根是和得到，，再利用直接开平方法解一元二次方程，得到它的根与前面的关系式转化即可得到答案．
【详解】由，得，
∴，
∴，
∵方程（为常数）的根是，，
∴，，
由，可得，
∴，
∴，
∴，，
∴方程的根是，，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程．
解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或
经检验，或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
请仿照他的方法，求出方程的解．
【答案】或
【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
【详解】解：
移项得，，
方程两边同时平方，得，
解得，或，
经检验或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
20．（23-24九年级上·江西南昌·期中）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务．
平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理，得，，我们称这种解法为平均数法．
任务：
(1)小论文中的根据1是______．
(2)用平均数法解方程的两个解分别是______，______．
(3)请用平均数法解方程：．
【答案】(1)平方差公式
(2)，
(3)，或
【分析】本题考查了解一元二次方程、平方差公式的应用，弄清楚题中的新定义是解此题的关键．
（1）根据阅读材料中的信息即可得出根据1就是平方差公式；
（2）利用平均数法解方程即可；
（3）利用平均数法解方程即可．
【详解】（1）解：，
（根据1），
根据是平方差公式，
故答案为：平方差公式；
（2）解：原方程变形为：，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（3）解：，
原方程变形为：，
，
，
，
，．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.1 解一元二次方程（直接开平方法）分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（ ）
A．．解方程，得
B．，解方程，得
C．，解方程，得
D．，解方程，得
2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．【易错题】（22-23九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值是（ ）
A．4或 B．0 C．4 D．
4．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
5．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入x的值为（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根
C．方程有两个负根 D．方程有两个正根
7．【易错题】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．14或18
8．（23-24九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ．
9．（23-24九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
10．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若为方程的一根，为方程的一根，且都是正数，则 ．
11．（23-24九年级上·全国·课后作业）[整体思想]已知，则的值为 ．
能力提升
12．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的方程的两个实数根为，，若a，b，c满足和，则方程的根是（ ）
A．0 B．1， C．2， D．无法确定
13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）对于不相等的两实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；．若，则（ ）
A．3 B． C． D．3或
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为 ．
15．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知关于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，则 ．
16．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ．
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ．
拔高拓展
18．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ．
19．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程．
解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或
经检验，或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
请仿照他的方法，求出方程的解．
20．（23-24九年级上·江西南昌·期中）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务．
平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理，得，，我们称这种解法为平均数法．
任务：
(1)小论文中的根据1是______．
(2)用平均数法解方程的两个解分别是______，______．
(3)请用平均数法解方程：．
