中小学教育资源及组卷应用平台
21.1 一元二次方程 分层作业
基础训练
1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
8．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
9．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ．
10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、，则这个一元二次方程可以是 ．
11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值．
能力提升
12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ．
14．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
15．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值．
16．【易错/热考】（2022·上海·专题练习）当m为何值时，关于x的方程．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
拔高拓展
17．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程：
方程 方程的解
1 ，
2 ，
3 ，
4 ，
… … …
(1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________．
(2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性．中小学教育资源及组卷应用平台
21.1 一元二次方程 分层作业
基础训练
1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
根据一元二次方程的定义进行判断即可
【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确；
故选：D．
2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
综上：是一元二次方程的有3个；
故选C．
3．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
故选：B．
4．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可．
【详解】解：当时，
对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；
对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解；
对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；
对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；
故选：B．
5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据常数项的定义得到，然后利用平方根的定义得到的值．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
6．（2023·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于0解答即可．
【详解】解：关于x的方程是一元二次方程，
k的取值范围是．
故答案为：．
8．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【详解】解:方程整理得:,
二次项系数为1,一次项系数为,常数项为
则.
故答案为:.
9．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ．
【答案】/1
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，根据已知条件可得当时，方程成立，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴当时，方程成立，
∴是方程的一个解，
故答案为：．
10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、，则这个一元二次方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识．以3、为根的方程为，即．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是3、，
∴方程为，即．
故答案为：（答案不唯一）．
11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】
由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解，
本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化．
【详解】
解：∵是方程的一个根，
∴，即：，
∴
，
故答案为：．
能力提升
12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查一元二次方程的解，依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解．
【详解】
解：方程的一个实数根为，
．
．
．
故选：B．
13．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为：，得出，求解即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程为：，
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
14．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
的解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，
故答案为：．
15．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
由
，
，
，
∵，
∴原式，
．
16．（2022八年级下·上海·专题练习）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
【答案】(1)m＝3
(2)m＝±1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或或m-1=0，
解得m＝±1或m＝0，m＝2，
当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
拔高拓展
17．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解不等式组，根据题意可得，则由乘法的性质可得或，由，得到或，即方程的两个根一个大于m，一个小于n，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
∵，（）是关于的一元二次方程的两实根，
∴，
∴，
故选：D．
18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程：
方程 方程的解
1 ，
2 ，
3 ，
4 ，
… … …
(1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________．
(2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性．
【答案】(1)；，
(2)，，
【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解；
（1）根据规律直接写出方程及其解即可；
（2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可．
【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，；
故答案为：；，；
（2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，；
当时，方程左边右边，
当时，方程左边右边，
∴，是方程的两个根．
