6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学情评估达标训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学情评估达标训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 968.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-31 08:51:28 | ||
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文档简介
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学情评估达标训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设A，B，C是集合的子集，且满足，，这样的有序组的总数（ ）
A． B． C． D．
2．五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．64种 D．81种
3．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
A．108 B．96 C．72 D．48
4．某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．15种 C．25种 D．125种
5．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一个三层书架，分别放置语文类读物 6 本，数学类读物 7 本，英语类读物 8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．21种 C．336种 D．12种
7．某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
8．把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（ ）
A．30 B．27 C．54 D．45
二、多选题
9．某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（ ）
站数
票价/元 2 3 4
A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种
B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种
C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种
D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后）
10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次股子后所走的单位数可以是12
B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种
D．回到点处的所有不同走法共有24种
11．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（ ）
A．甲从M到达N处的方法有15种
B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
12．有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各本，有90种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；
三、填空题
13．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种.
14．三位同学每人从六个景点中选择一处游览，不同的选法种数是 .
15．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种．
16．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法．（用数字作答）
四、解答题
17．对于，定义，，其中为中最大的数，例如：，，. 给定正整数，根据以上内容，对于，请回答下列问题:
(1)（用和表示）;
(2)满足的有序数对有多少个
(3)满足的有序数对有多少个
(4)满足的有序数对有多少个
18．如图，已知四棱锥.
(1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
(2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.
19．晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
(1)其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
(2)2个舞蹈节目不相邻；
(3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
20．某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
21．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.
【详解】如图：
考虑，，把集合划分为5个集合:，，，，，接下来将集合中的元素逐一安排到集合，，，，中即可，
因为集合中的每个元素都可能安排到5个位置中的一个，所以中2024个元素的安排方法共有种．
故选：D
2．D
【分析】由分步计数原理求解.
【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择，
则不同的选择共有种.
故选：D.
3．D
【分析】利用分步计数原理可得答案.
【详解】完成这件事情需要四步：第一步，地块有4种选择；
第二步，地块有3种选择；第三步，地块有2种选择；第四步，地块有2种选择；
共有种.
故选：D
4．B
【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果.
【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种．
故选：.
5．D
【分析】完全平方数、新定义问题
【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个．
故选：D.
6．B
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】一个三层书架，分别放置语文类读物 6 本，数学类读物 7 本，英语类读物 8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有种.
故选：B
7．D
【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.
故选：D
8．D
【分析】从写有数字3的卡片，开始考虑，分3所在的行要么由2个1，要么没有1，有5种排法，由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.
【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数，
所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数，
首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片，
3所在的行要么有2个1，要么没有1，
当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法，
当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1，一行1个1，
于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法，
由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.
故选：D
9．BCD
【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案.
【详解】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种，
同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确.
两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种，
共有27种，C正确.
小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】利用列举法可得点数和为8和16的所有情况，即可结合选项逐一求解.
【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确：
在点数中三个数字能够使得和为8，16的有125，134，116，224，233，466，556，
在组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；
在116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果，
其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确；
根据分类计数原理知共有种结果，故D错误；
故选：BC
11．ACD
【分析】
根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D.
【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，
需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确；
对于B，第一步，甲从M到，有种走法，
第二步，从到N，有种走法，所以共有种走法，故B错误；
对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，
而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C正确；
对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等，故两人只能在处相遇，由C可知D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛:本题C中主要利用分步乘法计数原理和组合数原理进行求解，再结合古典概率从而可求解.
12．ABD
【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲 乙 丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.
所以不同的分配方法有种，故A正确；
对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲 乙 丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；
对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C错误；
对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确.
故选：.
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
13．
【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数.
【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，
在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，
然后在剩余个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为种.
故答案为：.
14．216
【分析】每个同学均有六种选法，由分步乘法计数原理直接得出结论.
【详解】每个同学均有六种选法，
根据分步乘法计数原理，
不同的选法有种.
故答案为：216.
15．396
【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解.
【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情：
第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
按照分类加法计数原理得，共有种.
故答案为：396.
16．48
【分析】按照分步计数原理，即可求解.
【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有种涂色方法.
故答案为：48
17．(1)
(2)个
(3)个
(4)个
【分析】（1）直接构造数列并使用等差数列性质求解；
（2）先计算满足的的个数，再作差求解满足的的个数，最后令即可；
（3）由上一小问的结论可直接得到结果；
（4）将条件等价转化为：，且有或，再用乘法原理求出结果.
【详解】（1）我们定义数列满足，，
则.
由于，
故是递增数列，从而.
所以，这得到是公差为的等差数列，
再由就有.
所以.
（2）我们有
，
对集合，记其元素个数为.
设正整数，定义集合，
则，当且仅当，即.
从而，特别地，.
故对于正整数，使得的的个数即为.
特别地，取，知使得的的个数为.
（3）由上一问的推导，知使得的的个数为.
（4）由前面的推导可知，
但又有
，
故.
这表明等价于.
对正整数，有如下结论.
等价于：及，且这两组条件中的每组都至少有一个取到等号.
综合两组条件可得，这表明和这两个不等式两边不能取等.
因此，原结论又等价于：，且有或.
当，时，相应的有种；
当，时，相应的有种.
上述两次计算中，的情况被重复计算了一次，
其它满足条件的都恰被计算一次.
所以满足条件的全部的的个数为.
18．(1)60
(2)240
【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可.
（2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可.
【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，
所以共有种不同的涂色方法.
（2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，
所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）；
再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，
最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法.
根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法.
解法二：分两类.
第一类，A与C颜色相同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法；
第二类，A与C颜色不同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法.
根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法.
19．(1)1200
(2)3600
(3)3456
【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可；
（2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可；
（3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目 相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可.
【详解】（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：
先排第1个节目，有种安排方法，
再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，
最后余下的节目随便排，有种排法，
由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，
将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，
故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：
一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，
另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，
最后一种为歌唱节目，舞蹈节目 相声节目各1个，有种排法，
故共有种排法.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分类加法计数原理计算即可；
（2）利用分步乘法计数原理计算即可；
（3）利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可.
【详解】（1）分三类：
选出的是高二（1）班的学生，有7种选法；
选出的是高二（2）班的学生，有9种选法；
选出的是高二（3）班的学生，有10种选法．
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为．
（2）每班选一名副组长为一步，所以共有三步．
由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为．
（3）分三类：高二（1）班和高二（2）班，
高二（1）班和高二（3）班，
高二（2）班和高二（3）班．
每类又分两步，故不同的选法种数为．
21．(1)47
(2)5292种
(3)
【分析】（1）用分类计数原理得出答案；
（2）用分步计数原理得出答案；
（3）用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
所以用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，
这种“各选1人去献血”的事情才完成，
所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．
（3）这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设A，B，C是集合的子集，且满足，，这样的有序组的总数（ ）
A． B． C． D．
2．五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．64种 D．81种
3．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
A．108 B．96 C．72 D．48
4．某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．15种 C．25种 D．125种
5．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一个三层书架，分别放置语文类读物 6 本，数学类读物 7 本，英语类读物 8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A．3种 B．21种 C．336种 D．12种
7．某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
8．把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（ ）
A．30 B．27 C．54 D．45
二、多选题
9．某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（ ）
站数
票价/元 2 3 4
A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种
B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种
C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种
D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后）
10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次股子后所走的单位数可以是12
B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种
D．回到点处的所有不同走法共有24种
11．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（ ）
A．甲从M到达N处的方法有15种
B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
12．有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三人，每人各本，有90种分法；
B．分给甲 乙 丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；
三、填空题
13．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种.
14．三位同学每人从六个景点中选择一处游览，不同的选法种数是 .
15．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种．
16．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法．（用数字作答）
四、解答题
17．对于，定义，，其中为中最大的数，例如：，，. 给定正整数，根据以上内容，对于，请回答下列问题:
(1)（用和表示）;
(2)满足的有序数对有多少个
(3)满足的有序数对有多少个
(4)满足的有序数对有多少个
18．如图，已知四棱锥.
(1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
(2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.
19．晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
(1)其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
(2)2个舞蹈节目不相邻；
(3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
20．某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
21．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？
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参考答案：
1．D
【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.
【详解】如图：
考虑，，把集合划分为5个集合:，，，，，接下来将集合中的元素逐一安排到集合，，，，中即可，
因为集合中的每个元素都可能安排到5个位置中的一个，所以中2024个元素的安排方法共有种．
故选：D
2．D
【分析】由分步计数原理求解.
【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择，
则不同的选择共有种.
故选：D.
3．D
【分析】利用分步计数原理可得答案.
【详解】完成这件事情需要四步：第一步，地块有4种选择；
第二步，地块有3种选择；第三步，地块有2种选择；第四步，地块有2种选择；
共有种.
故选：D
4．B
【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果.
【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种．
故选：.
5．D
【分析】完全平方数、新定义问题
【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个．
故选：D.
6．B
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】一个三层书架，分别放置语文类读物 6 本，数学类读物 7 本，英语类读物 8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有种.
故选：B
7．D
【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.
故选：D
8．D
【分析】从写有数字3的卡片，开始考虑，分3所在的行要么由2个1，要么没有1，有5种排法，由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.
【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数，
所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数，
首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片，
3所在的行要么有2个1，要么没有1，
当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法，
当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1，一行1个1，
于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法，
由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.
故选：D
9．BCD
【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案.
【详解】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种，
同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确.
两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种，
共有27种，C正确.
小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】利用列举法可得点数和为8和16的所有情况，即可结合选项逐一求解.
【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确：
在点数中三个数字能够使得和为8，16的有125，134，116，224，233，466，556，
在组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；
在116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果，
其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确；
根据分类计数原理知共有种结果，故D错误；
故选：BC
11．ACD
【分析】
根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D.
【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，
需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确；
对于B，第一步，甲从M到，有种走法，
第二步，从到N，有种走法，所以共有种走法，故B错误；
对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，
而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C正确；
对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等，故两人只能在处相遇，由C可知D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛:本题C中主要利用分步乘法计数原理和组合数原理进行求解，再结合古典概率从而可求解.
12．ABD
【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲 乙 丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.
【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.
所以不同的分配方法有种，故A正确；
对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲 乙 丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；
对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C错误；
对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确.
故选：.
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
13．
【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数.
【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，
在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，
然后在剩余个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为种.
故答案为：.
14．216
【分析】每个同学均有六种选法，由分步乘法计数原理直接得出结论.
【详解】每个同学均有六种选法，
根据分步乘法计数原理，
不同的选法有种.
故答案为：216.
15．396
【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解.
【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情：
第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
按照分类加法计数原理得，共有种.
故答案为：396.
16．48
【分析】按照分步计数原理，即可求解.
【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有种涂色方法.
故答案为：48
17．(1)
(2)个
(3)个
(4)个
【分析】（1）直接构造数列并使用等差数列性质求解；
（2）先计算满足的的个数，再作差求解满足的的个数，最后令即可；
（3）由上一小问的结论可直接得到结果；
（4）将条件等价转化为：，且有或，再用乘法原理求出结果.
【详解】（1）我们定义数列满足，，
则.
由于，
故是递增数列，从而.
所以，这得到是公差为的等差数列，
再由就有.
所以.
（2）我们有
，
对集合，记其元素个数为.
设正整数，定义集合，
则，当且仅当，即.
从而，特别地，.
故对于正整数，使得的的个数即为.
特别地，取，知使得的的个数为.
（3）由上一问的推导，知使得的的个数为.
（4）由前面的推导可知，
但又有
，
故.
这表明等价于.
对正整数，有如下结论.
等价于：及，且这两组条件中的每组都至少有一个取到等号.
综合两组条件可得，这表明和这两个不等式两边不能取等.
因此，原结论又等价于：，且有或.
当，时，相应的有种；
当，时，相应的有种.
上述两次计算中，的情况被重复计算了一次，
其它满足条件的都恰被计算一次.
所以满足条件的全部的的个数为.
18．(1)60
(2)240
【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可.
（2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可.
【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，
所以共有种不同的涂色方法.
（2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，
所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）；
再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，
最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法.
根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法.
解法二：分两类.
第一类，A与C颜色相同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法；
第二类，A与C颜色不同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法.
根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法.
19．(1)1200
(2)3600
(3)3456
【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可；
（2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可；
（3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目 相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可.
【详解】（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：
先排第1个节目，有种安排方法，
再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，
最后余下的节目随便排，有种排法，
由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，
将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，
故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：
一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，
另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，
最后一种为歌唱节目，舞蹈节目 相声节目各1个，有种排法，
故共有种排法.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分类加法计数原理计算即可；
（2）利用分步乘法计数原理计算即可；
（3）利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可.
【详解】（1）分三类：
选出的是高二（1）班的学生，有7种选法；
选出的是高二（2）班的学生，有9种选法；
选出的是高二（3）班的学生，有10种选法．
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为．
（2）每班选一名副组长为一步，所以共有三步．
由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为．
（3）分三类：高二（1）班和高二（2）班，
高二（1）班和高二（3）班，
高二（2）班和高二（3）班．
每类又分两步，故不同的选法种数为．
21．(1)47
(2)5292种
(3)
【分析】（1）用分类计数原理得出答案；
（2）用分步计数原理得出答案；
（3）用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
所以用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，
这种“各选1人去献血”的事情才完成，
所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．
（3）这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是：．
答案第1页，共2页
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