江苏省无锡市运河实验中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（含解析）

无锡市运河实验中学2023-2024第二学期
高二年级数学学科5月练试卷
一、单选题
1.已知离散型随机变量X的分布列(k=1，2，3，4.，5)，则( )
A.1 B. C. D.
2.已知，下列命题正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知()在处的极大值为5，则( )
A.-2 B.6 C.-2或6 D.-6或2
5.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有( )
A.60种 B.150种 C.180种 D.300种
6.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N，N，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是
A.甲类水果的平均质量=0.4kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数=1.99
7.已知a，b为止实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )
A.6 B. C.8 D.
8.已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.某公司过去五个月支出的广告费x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x 2 4 5 6 8
y ▲ 40 60 50 70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的有( )
A.销售额y与支出的广告费x呈正相关
B.丢失的数据(表中▲处)为30
C.该公司支出的广告费每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D.若该公司下月支出的广告费为8万元，则销售额约为75万元
10.已知命题p：，为假命题，则a可能的取值有( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
11.已知，则( )
A. B.是所有系数中的最大值
C. D.
三、填空题
12.展开式的常数项为__________.
13.有30件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，最可能抽到的次品数是___________.
14.函数有两个零点，则k的取值范围具____________.
四、解答题
15.已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A.
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
16.张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.
(1)求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；
(2)记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.
17.某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工x万件玩具，需要流动成本C(x)万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，，通过市场公析，加工后的玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购.
(1)求年利润关于年加工量x的解析式；(年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本)
(2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大 最大年利润是多少 (参考数据：ln2≈0.69).
18.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列，现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
编号x 1 2 3 4 5
企业总数量y(单位：千个) 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
(1)根据表中数据判断，与(其中e=2.71828...为自然对数的底数)，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量 (给出结果即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的结果，求y关于x的回归方程；(结果精确到小数点后第三位)
附：线性回归方程中，，.
参考数据：，，，，.
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、5丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大
19.已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数c的取值范围。
参考答案：
1.C 【分析】根据概率和为1，可求得，代入计算即可.
【详解】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P
由分布列的性质得，，解得，∵，∴或，
∴.故选C.
2.D 【分析】举反例即可推出A，B，C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【详解】当，时，，所以A错.当，时，，所以B错；当，b=1时，，所以C错.若，则，则成立，所以D正确.
3.A 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件B为M需要更换，则P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38，P(AB)=0.3×(1-0.2)=0.24，由条件概率公式可得
.故选：A.
4.B 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出a，b并验证即得.
【详解】函数，求导得.
依题意，，即，解得或
当时，
当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意；
当时，，
当时，，当或时，，因此在处取得极大值，不符题意；
所以，所以.故选：B.
5.B 【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各白情况种教。采用加法原理求解即可.
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种，②三组人数为2、2、1，此时有=90种.
所以不同的报名方法共有60+90=150种，故选：B.
6.D 【详解】由图象可知，甲类水果的平均质量=0.4kg，乙类水果的平均质量=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足，故D不正确，故选D.
7.C 【分析】设切点为(m，n)，求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n=0.进而得到，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值.
【详解】设切点为(m，n)，的导数为，由题意可得.
又，，解得n=0，，即有，因为a、b为正实数，
所以，当且仅当-时取等号，故的最小值为8.
8.A 【分析】由已知构造函数，可得，再利用确定解析式，从而求得不等式的解集.
【详解】因为，所以，所以令，
，所以(m为常数).又因为，
所以，所以，所以.原不等式等价于，即，解得或，所以解集为.故选A.
9.AB 【分析】根据经验回归方程的定义，逐个选项进行判断即可.
【详解】由经验回归方程，可知，所以销售额y与支出的广告费x呈正相关，所以A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得呈，，把代入经验回归方程，可得，解得m=30，所以B正确；该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；当时，(万元)，所以D不正确，故选：AB.
10.ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题p：，为假命题，则，
当时满足题意：当时，有，解得.综上有.
故选：ABC.
11.AD 【分析】对于A：令计算；对于B：确定的系数的政府即可判断；对于C：令，令得到两个式子相加题可。对于D：令整理化简即可.
【详解】对于A：令得；对于B：的系数，，明显其系数小于零，不可能是所有系数中的最大值，B错误；对于C：令得，令得，两式相加得，则，C错误；对于D：令得，等式两边同时乘以得，D正确.故选：AD.
12.48 【分析】根据题意结合二项式定理分析求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，
所以展开式的常数项为.故答案为：48.
13.3 【分析】由超几何分布计算何时根率最大可得对应的次品数.
【详解】由题意，有30件产品。其中有10件次品，从中不放回地抽取10件产品，
则抽出的次品数X服从超几何分布，设最可能抽到的次品数k，
则，整理得到：，故，故最可能抽到的次品数是3.
故答案为：3.
【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数(x>0)，利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解.
【详解】∵函数有两个零点，∴方程有两个根，即方程有两个根，
设(x>0)，则函数与的图像有两个交点，，
当时，，单调递增：当时，，单调递减，
∴函数在时，取得最大值，又∵当x→0时，。当时，且，
∴函数的大致图像，如图所示，
由图像可知，，∴k的取值范围是.故答案为.
15.(1)；(2).
【分析】(1)由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果.
(2)将是的必要不充分条件化为A是B的真子集后，列式可求出结果.
【详解】(1)由命题p为真命题，得，得，∴.
(2)∵是的必要不充分条件，∴A是B的真子集，
∵(等号不能同时成立)，解得.
16.(1)；(2)答案见解析.
【分析】(1)利用间接法。先求出三次投篮都没有命中的概率。即可求解：
(2)先求出随机变量的取值，再求出对应的概率，即可求解.
【详解】解：(1)张强同学三次投篮都没有命中的概率为：，
故该同学三次投篮至少命中一次的概率为.
(2)由题意知随机变量的可能取值为0，1，2，3：则
故随机变量的概率分布为：
0 1 2 3
P
17.(1)
(2)当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大。且最大年利润为156万元.
【详解】(1)当时，.
当时，，
所以年利润关于年加工量工的解析式为：；
(2)当时，恒成立，所以在区间(0，15)上单调递增，
所以，
当时，，当且仅当，即时取等号.
因为156>143.12，所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
18.(1)适宜；(2)；(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大.
【分析】(1)根据增加速度逐渐变快即可得解；
(2)对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程即可；
(3)对于首场比赛的选择分A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.
【详解】(1)根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，
所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；
(2)对两边取自然对数，得，令，，，得，
由于，，，.
则，
∴z关于x的回归直线方程为，则y关于x的回归方程为；
(3)对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C丙与乙先赛，由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，
则甲公司获胜的概率分别是
由于
∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大.
19.(1)单调递减区间是，单调递增区间是；(2).
【分析】(1)由题意根据求解，再带回检验即可；
(2)求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.
【详解】(1)∵，，又在处取得极值，
∴，
∴，
检验：当时，，，，令，得，
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x
- 0 -
单调递减 单调递增
在处取得极小值成立；所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)由(1)知在单调递减，单调递增，又，，
则，.若在上恒成立。则.
即，解得或，所以实数c的取值范围是.