广东省江门市新会第一中学等2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（含答案）

2023-2024学年度第二学期5月联考
高二数学试卷
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A.4 B.2 C.0 D.
2.若随机变量，且，则（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.2 D.0.3
3.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
4.二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. C.21 D.35
5.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A.事件与为互斥事件 B.事件与相互独立
C. D.
8.已知，，，其中为自然数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”。烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ）
A.若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法
B.若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法
C.若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法
D.若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种
11.已知函数，，为实数，为自然数，下列说法正确的是（ ）
A.当时，则与有相同的极值点和极值
B.存在，使与的零点同时为2个
C.当时，对恒成立
D.若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.
13.函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是______.
14.“三门问题”（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal.问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率？如果你是这个参赛者，根据所学知识，为提高赢得跑车的概率，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
16.（本小题满分15分）
广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，
②参考数据：，，，.
17.（本小题满分15分）
甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从7道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
18.（本小题满分17分）
篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.
（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
19.（本小题满分17分）
已知函数，，其中为自然数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.
2023-2024学年度第二学期5月联考
高二数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C A B D C D C BD ABD AC
1.A
【详解】由已知得，故选：D.
2.C
【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：，
因为，可得，
再根据正态分布曲线的对称性可知：，
所以，故选：C.
3.A
【详解】依题意，每个人选择方案有3种，所以5个人不同的选择方案有种.故选：A
4.B
【详解】二项式展开式的通项为.
令，解得，所以二项式展开式的常数项为.故选：B.
5.D
【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以，
所以，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C正确.
在D中，，故D错误；故选：D.
6.C
【详解】对于A，
当时，恒成立，故A为凸函数；
对于B，对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C，对于，，，
当时，恒成立，故C不是凸函数.
对于D，由，得，所以，
因为，所以恒成立，故D为凸函数；
故选：C.
7.D
【详解】对于A，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件与可以同时发生，故事件与不是互斥事件，故A错误；
对于B，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，
则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件与不相互独立，故B错误；
对于C，，故C错误.
对于D，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故D正确；
故选：D
8.C
【详解】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，，得到，
对于，，
令，，则，
令，恒成立
在上单调递减，，所以在上恒成立
在上单调递减
所以，即，得到，故选：C.
9.BD
【详解】解：由，得，则其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，
则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，
故选：BD
10.ABD
【详解】若四个学校都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
若甲乙去同一个学校，则共有种不同的安排方法，故B正确；
若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
若又计划向这三所学校追加12个交换教师名额，且每校至少3个，先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；故选：ABD.
11.AC
【详解】对于A，当时，
，，，，
当时，有，，此时，均单调递减，
当时，有，，此时，均单调递增，
所以当时，，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
，
令，
，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
所以方程有两个根当且仅当，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
设，，，
，，
，
当，时，显然，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即在的情况下，对恒成立，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，
所以，
所以在的情况下，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
对于D，若函数在上单调递减，
这意味着对恒成立，
也就是说对恒成立，即对恒成立，注意到在上单调递减，
所以，也就是说的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
二、填空题
12.
【详解】，，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：
13.
【详解】因为，，所以，故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以，
因为对任意的，，使成立，等价于，即，
故实数的范围是.
故答案为：
14.会；
【详解】设，，分别表示1，2，3号门里有豪车，用，，分别表示主持人打开1，2，3号门.
假设你选定的是1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件，，发生的概率仍然为
在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故，
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故，
由全概率公式
假设主持人选择打开3号门（3号门是一只羊）
由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为，
故答案为：会；.
三、解答题
15.【详解】（1）解：由函数，可得，
令，解得或；
令，解得，
所以函数递增区间为，，递减区间为
（2）解：由函数在，上单调递增，在上单调递减，
知在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
又，，所以最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为
16.【详解】令，则
（说明：此步骤写在第（2）小问亦可）
（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：
（说明：若化简成，再比较与的大小亦可）
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好
（2）由条件得：，
又由，
得，
所以，即回归方程为
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）
17.【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
由题意随机变量的可能值为0，1，2，3，可得，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
（2）由（1）可得，
，
，
因为，
所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
18.【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，，
表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球
所以
（2）①
设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
故在上单调递增，又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而，故理论上至少要进行15轮比赛.
19.【详解】（1）当时，，所以，
则，定义域为.
令，解得：
所以的单调增区间为，单调减区间为；
则当时，有极大值，无极小值；
（2）依题意对恒成立，
等价于对恒成立
令，则
令，则在上是增函数，
，
所以，使即
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减.
所以
所以.
又，所以整数的最小值2
（3）当时，，
令，故在上单调递增，在上单调递减且，
时，；时，；
依题意存在使得，
已知可得，
要证成立，
因为，是的零点，所以，
两式相减得：，
即
要证，只需证，
又因为只需证，
即证，
令，则，所以，
所以在增函数，
所以即.
即成立.
所以原不等式得证
19（3）另解：，，因为
所以对于任意的，有恒成立
因为，所以
即，因为
因为在上单调递减，，
，即，得证.