陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）数学（文）试卷(含解析）

陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．复数的模为( )
A.1 B. C.3 D.
3．命题“”的否定为( )
A., B., C., D.,
4．函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
5．已知双曲线的焦距为4,则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6．已知变量x,y满足约束条件则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．在上随机取一个数x,满足的概率为( )
A. B. C. D.
8．商后母戊鼎(也称司母戊鼎)是迄今世界上出土最大 最重的青铜礼器,享有“镇国之宝”的美誉.某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品,已知工艺品四足均为圆柱形,圆柱的高为20cm,半径为4cm.中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器,该长方体壁厚3cm,外面部分的长 宽 高的尺寸分别为50cm,35cm,30cm.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为( )
A. B.
C. D.
9．已知函数,过原点作曲线的切线l,则切点P的坐标为( )
A. B. C. D.
10．已知,均为锐角,且,,则( )
A. B. C. D.
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.已知,且,则的值为( )
A.16 B.18 C.20 D.24
12．已知点P是圆上的动点,以P为圆心的圆经过点,且与圆O相交于A,B两点.则点Q到直线AB的距离为( )
A. B. C. D.不是定值
二、填空题
13．已知,,若,则__________.
14．已知抛物线上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2,则__________.
15．偶函数的定义域为D,函数在上递减,且对于任意a,,,均有,写出符合要求的一个函数为__________.
16．如图,已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切,且球的体积为圆锥体积的一半.若球的半径为1,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题
17．已知为数列的前n项和,且(,d为常数),若,.求:
（1）数列的通项公式;
（2）的最值.
18．在四棱锥中,,,,,,平面平面ABCD.
（1）证明:平面平面PBD;
（2）求点C到平面PBD的距离.
19．为迎接2021年陕西省全运会,在主办城市西安市举行了一场全运会选拔赛,其中甲 乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示:
（1）计算甲 乙两名运动员得分的方差;
（2）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分,求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率.
20．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的右焦点为F,右准线与x轴交于点.点P是右准线l上的一个动点(异于点H),过点P作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B.已知.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线PA,PB的斜率分别为,,直线PF的斜率为,证明:.
21．已知函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性;
（2）当时,证明:.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的直角坐标方程为.以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
（1）求椭圆C的一个参数方程和直线l的直角坐标方程;
（2）若P是椭圆C上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：由,,有,故选A.
2．答案：B
解析：由,可得,故选B.
3．答案：B
解析：,.
4．答案：A
解析：由,可得,则.
5．答案：C
解析：由题意可知,,,则,所以.
6．答案：D
解析：线性区域的端点坐标为,,,可知当时,z的最小值为.
7．答案：B
解析：由,解得,所求概率为.
8．答案：A
解析：四足及两耳的体积为,容器部分的体积为,则总体积为.
9．答案：B
解析：,设切点为,则切线方程为,
因为过原点,所以,解得,则.
10．答案：C
解析：易知,所以,即.
11．答案：D
解析：因为,所以,由正弦定理可知,,由余弦定理,可得,则.
12．答案：A
解析：设,则圆,
整理得,又圆,
两圆方程相减,可得直线AB的方程为,
点Q到直线AB的距离.
13．答案：
解析：由题意可知,,解得.
14．答案：4
解析：,即.
15．答案：均可以
解析：因为在上单调递减,又,即满足,故均满足要求.
16．答案：
解析：连接AC,设,则,
又,所以圆锥的底面半径,
圆锥的高,
则该圆锥的体积为,解得,
所以,,即母线长,
所以侧面积.
17．答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）由,得,
由,得,
所以,或,
由得,,此时,;
由得,,此时,,
所以或;
（2）当时,,因为是关于正整数n的增函数,所以为的最小值,无最大值;
当时,,因为n为正整数,所以当或时,有最大值,无最小值.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AB中点为M,
则且,
又平面平面ABCD,故平面,
又,平面PBD,而平面PAB,故平面平面PBD.
（2）取AD的中点E,连PE,
由E为AD的中点,可得,
又由平面平面ABCD,可得平面ABCD,
在直角梯形ABCD中,,,,可得,
在中,可得,,
在中,由,,可得,
设点C到平面BDP的距离为d,
有,可得,
故点C到平面PBD的距离为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）易算出甲运动员得分平均分为84,乙运动员得分平均分为85,
故;
.
（2）由茎叶图可知,甲运动员七轮比赛的得分情况为:78,81,84,85,84,85,91.所以甲每轮比赛的平均得分为,显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个,分别为81,84,85,84,85,其中81分与平均得分的绝对值大于2,
所求概率.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知,,且,解得,,
所以,即椭圆C的标准方程为;
（2）证明:设,所作切线斜率为k,则切线方程为,
椭圆C的方程联立,消去y,
整理得,
则,整理得,
所以,又因为,所以.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）函数的定义域为,
,
令,可得,
①当时,可得,此时函数在区间上单调递增;
②当时,可得,此时函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
（2）当时,不等式可化为,
不等式两边同除以x后整理为,
令,有,
令可得函数的增区间为,减区间为,
可得,
故不等式成立.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆C的参数方程为(为参数)
直线l的极坐标方程可化为,
可化为,
将,代入可得直线l的直角坐标方程为;
（2）设点P的坐标为,
点P到直线l的距离为,
故d的最大值为.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）不等式可化为.
①当时,不等式可化为,解得,有;
②当时,不等式可化为,解得,有;
③当时,不等式可化为,解得,无解,
由上知不等式的解集为;
（2）由
当时,;
当时,;
当时,,
可得函数的最大值为2.
,当且仅当时取等号,
故有.