新疆生产建设兵团第六师奇台农场中学（人教版）高中数学必修4教学设计：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）
一、教学目标
1.知识与技能目标
理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．
2.过程与能力目标
通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．
3.情感与态度目标
通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.
二、教学重、难点
1.教学重点
平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.
2.教学难点
平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.
三、教学准备
多媒体、彩色粉笔
四、教学过程新课
（一）创设情景，引入新课
问题：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，
产生位移S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？
（1）力F所做的功W：W=
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，θ是 .
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
（二）探究新知
探究一:明晰向量数量积的定义
数量积的定义：
已知两个非零向量和，把数量叫做与数量积（或内积），记作
规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即
注意： “”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替.
2、提出问题
（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？
（2）影响数量积大小的因素有哪些？
（3）学生讨论完成下表
θ的范围
0°≤θ<90°
θ=90°
90°<θ≤180°
·的与0的关系
探究二:向量数量积的几何意义
给出“投影”定义
师引导学生思考：（1）初中学过投影吗？（2）在方向上的投影应该怎么做？红色线段又表什么？（3）计算投影？
作图：

如图，我们把││cosθ（││cosθ）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=││cosθ
提出问题：向量数量积的几何意义是什么？
数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos 的乘积
探究三：探究数量积的运算性质
1、（1）我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:
;
（2）我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?
根据定义由此我们就可以得出的值.
当时,．
总结（1）（2）知.
（3）特别地，.
（4）请判断．
分析： ，
．
这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。
2、小结数量积的性质
性质：若和均为非零向量
（1）⊥·＝0 （垂直）
（2）与同向时，· =︱︱·︱︱，
与反向 时，· =-︱︱·︱︱
特别地：·=︱︱2 ,= （长度）
（3）cosθ=（夹角）
（4）︱·︱ ≤︱︱·︱︱（注意等号成立的条件）
（三）巩固新知
例1已知，的夹角=120°，求．
解：根据数量积的定义:
=
=5
=-10.
例2已知求与的夹角.
注意：例2中强调θ的取值范围
例3已知△ABC中，=, =，当· <0或·＝0时，试判断
△ABC的形状.
∴ΔABC是钝角三角形
∴ΔABC是直角三角形
(四)巩固练习
1、在△ABC中BC=8,CA=7,求
2、︱︱＝4，与的夹角为30°，求在方向上的投影
（五）归纳小结
（1）平面向量的数量积；
（2）平面向量的数量积的几何意义；
（3）平面向量数量积的重要性质
（六）布置作业
课本：习题2.4 第1、2、3题