北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称单元测试卷（含解析）

北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称单元测试卷
一、单选题
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将一张长方形纸片折叠，如果，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
6．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
7．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF度数是（　　）
A．80° B．70° C．60° D．不确定
8．如图，将沿MN折叠，使，点A的对应点为点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
10．等腰中，，周长为，则的长为（　　）
A．15 B．12
C．15或12 D．以上都不正确
二、填空题
11．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠，若，则　 　.
12．已知，在同一平面内，∠ABC＝50°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB的度数为　 　．
13．如图， ABC的周长为30cm，把 ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则 ABD的周长是　 　．
14．如图1是AD//BC的一张纸条，按图1—>图2—>图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=15°，则图2中∠AEF的度数为　 　.
三、解答题
15．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．求证：BF=AC．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.
17．已知，如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．若∠1=∠2，求证：OG=OE。
18．两个城镇、与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向的公路.现电信部门需在处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
19．某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子。BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短
四、综合题
20．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长；
（2）能围成一条边是5cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由．
21．△ABC和△ECD都是等边三角形
（1）如图1，若B、C、D三点在一条直线上，求证：BE=AD；
（2）保持△ABC不动，将△ECD绕点C顺时针旋转，使∠ACE=90°（如图2），BC与DE有怎样的位置关系？说明理由．
22．如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
23．如图，已知：OP平分∠MON，点A，B 分别在边OM，ON 上，且∠OAP＋∠OBP=180°， PC⊥OM于点C．
（1）求证：PA=PB；
（2）求证：OA－OB=2AC．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵D为BC的中点，且BC=6，
∴BD= BC=3，
由折叠性质知NA=ND，
则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，
故答案为：A．
【分析】由折叠性质知NA=ND，根据中点定义BD= BC=3，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可得出答案。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、此标志不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此标志不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1=50°，∴∠CEH=∠1=50°，
∴∠HED=180°-∠CEH=180°-50°=130°，
由折叠得：∠HEF=∠FED=∠HED=65°，
∴∠α=∠FED=65°.
故选：C.
【分析】由平行线的性质可得∠CEH=∠1，由邻补角的定义可求得∠HED的度数，根据折叠的性质得∠HEF=∠FED=∠HED，然后根据平行线的性质可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得当时将有最小值，
∵平分，于点A，，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意得到当时将有最小值，进而根据角平分线的性质即可求解。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=50°，∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-50°-50°=80°，
故答案为：A.
【分析】根据点D是AB的中点结合翻折的性质可得到BD=DF，所以得到∠B=∠BFD，再利用三角形的内角和求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∵，
，
由折叠的性质可知 ，
，
，
故答案为：D．
【分析】由平行线的性质可得∠MNC=180°-∠C=144°，由折叠可得 ， ，结合三角形的内角和求出 ，从而求出 ，根据 即可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=∠C’=180°-∠A-∠B=40°，
由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DEC’，
∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DEC’-∠1=180°，
∴∠DEC=100°，
∴∠CDE=∠EDC’=180°-∠C-∠DEC=40°，
∴∠2=180°-∠CDE-∠EDC’=100°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理及折叠的性质求出∠C=∠C’=180°-∠A-∠B=40°，∠DEC=∠DEC’，由图可知∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DEC’-∠1=180°，从中求出∠DEC=100°，进而可得∠CDE=∠EDC=40°，再根据平角的定义即可求出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：当时，，则；
当时，，但，故构不成三角形.
故答案为：B.
【分析】当AC=AB时，根据△ABC的周长为60可得BC的值；当BC=AB时，同理求出BC，然后结合三角形的三边关系进行判断.
11．【答案】74°
【解析】【解答】解：如图：
依题意得：AC∥DE，
∴∠2=∠CAD，
∵∠1=∠BAD=53°，
∴∠CAD=180°-（∠1+∠BAD）=74°，
∴∠2=74°．
故答案为：74°.
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠CAD，再由翻折的性质可得∠1=∠BAD=53°，然后根据平角的定义可求出∠CAD=74°，据此可得出∠2的度数.
12．【答案】65°或25°
【解析】【解答】解：分情况讨论：(1)∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠EAB，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∴∠BAD=∠AEB，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AEB= （180°-50°）=65°．(2)∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠EAB= ，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE= ，∠DAB=∠ABC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AEB= ×50°=25°．
故答案为：65°或25°.
【分析】首先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠EAB，再分情况讨论计算即可．
13．【答案】22cm
【解析】【解答】解：根据折叠方法可得AE=CE，AD=CD，
∵AE=4cm，
∴CE=4cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+CB=30-8=22（cm），
△ABD的周长是：AB+BD+AD=AB+BC=22cm
【分析】由折叠的性质可得AE=CE=4cm，AD=CD，利用△ABC的周长求出AB+BC的长，从而求出△ABD的周长.
14．【答案】115°
【解析】【解答】解：如图，设∠B'FE=x，
当纸条沿EF折叠时，
∴∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，
∴∠BFC=∠BFE-∠CFE=x-15°，
当纸条沿BF折叠时，
∴∠C'FB=∠CFB=x-15°，
∵∠B'FE+∠BFE+∠CFB=180°，
∴x+x+x-15°=180°，
解得x=65°，
∵A'D'∥B'C'，
∴∠A'EF=180°-∠B'FE=180°-65°=115°，
∴∠AEF=115°.
故答案为：115°.
【分析】设∠B'FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF， 则∠BFC=x-15°， 再由两次折叠后得到∠CFB=∠BFC=x-15°，然后根据平角定义列方程求解，再根据平行线的性质得∠A'EF=180°-∠B'FE=115°，最后根据折叠的性质得出∠AEF=115°.
15．【答案】证明：CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠EFC=90°，∠DBF+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠DFB，
∴∠DBF=∠ACD，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=180°-90°-45°=45°，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDA中
∴△BDF≌△CDA（ASA）
∴BF=AC
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得∠DBF=∠ACD，再证明∠DBC=∠DCB，利用等角对等边，可证得BD=CD；再利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形的性质可证得结论.
16．【答案】证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE＝AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵
∴△ABE≌△ADF(HL).
【解析】【分析】由CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD，可得AE=AF，再由HL判定Rt△AEB≌Rt△AFD，即可得出结论．
17．【答案】解：∵∠1=∠2，OD⊥AD，OH⊥AE，∴OD=OH，在△DOG和△HOE中， ，∴△DOG≌△HOE，∴OG=OE
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到OD=OH，再根据ASA，得到△DOG≌△HOE，得到OG=OE.
18．【答案】如图所示：
∴点C就是所求的点.
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
19．【答案】解：如图，作C关于OA的对称点C′，作D关于OB的对称点D′，连接C′D′交OA、OB于E、F；
∴AO垂直平分CC′，BO垂直平分DD′
∴CE=C′E，DF=D′F
∴小明走过的路线是：CE+EF+DF=C′E+EF+D′F=C′D′
根据两点之间线段最短可知：
小明所走的最短路线为C→E→F→D。
【解析】【分析】先作C关于OA的对称点C′，作D关于OB的对称点D′，连接C′D′交OA、OB于E、F，再根据垂直平分线的性质证出小明走过的路线是线段C′D′的长，根据两点之间线段最短可知此路线最短。
20．【答案】（1）解：设等腰三角形的地边长为x厘米，则腰长为2x厘米，由题意得：
x+2x+2x=20，解得：x=4，
∴该等腰三角形的各边的长为8cm、8cm、4cm；
（2）解：由题意可分：
①当5cm为该等腰三角形的腰长时，则底边长为20-2×5=10cm，
∵5+5=10，
∴不符合三角形三边关系；
②当5cm为该等腰三角形的底边长时，则腰长为（20-5）÷2=7.5cm，
∵5+7.5=12.5＞7.5，
∴符合三角形的三边关系，
综上所述：能围成一条边是5cm的等腰三角形，其他两边长分别为7.5cm，7.5cm．
【解析】【分析】（1）设等腰三角形的地边长为x厘米，则腰长为2x厘米，根据题意列出方程x+2x+2x=20， 求解即可；
（2）分两种情况，再利用等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
21．【答案】（1）解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°. ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE. ∴△ACD≌△BCE. ∴AD=BE.
（2）解：BC垂直平分DE，理由如下： 如图，延长BC交DE于M， ∵∠ACB=60°，∠ACE=90°，∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°. ∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°，∴∠ECM=∠DCM. ∵△ECD是等边三角形，∴CM垂直平分DE，即BC垂直平分DE．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质易证∠BCE=∠ACD，然后用边角边可证 △ACD≌△BCE ，根据全等三角形的性质即可求得AD=BE；
（2） 延长BC交DE于M， 由等边三角形的性质和平角的性质可求得 ∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°， 再根据等边三角形的三线合一即可求得CM是DE的垂直平分线。
22．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF， ，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，从而得出∠ABE＝∠CBF，利用SAS即可证出△ABE≌△CBF；
（2）根据等边三角形的性质得出∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，再根据全等三角形的性质得出∠BCF＝∠BAE＝30°，利用∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可得出∠ACF的度数．
23．【答案】（1）证明： 如图，作PD⊥ON，
∵∠OAP＋∠OBP=180° ，
∴∠PBD+∠OBP=180°，
∴∠OAP=∠PBD，
∵OP为∠MON的平分线，PD⊥ON，PC⊥OM，
∴PC=PD，
∴△PCA≌△PDB（AAS），
∴PA=PB；
（2）证明： ∵△PCA≌△PDB，
∴BD=AC，
∵PC=PD，OP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），
∴OC=OD，
∴OA-OB=OC+AC-OB=OD-OB+AC=BD+AC=AC+AC=2AC.
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等得∠OAP=∠PBD，结合角平分线的性质，利用角角边定理证出△PCA≌△PDB，则对应边PA=PB；
（2）由△PCA≌△PDB，得出BD=AC，再利用斜边直角边定理证得Rt△ODP≌Rt△OCP，得出OC=OD，从而根据线段之间的关系推出OA－OB=2AC．