数学人教A版（2019）必修第二册8.5.1直线与直线平行 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
8.5.1 直线与直线平行
1、理解并掌握基本事实4和等角定理；
2、能用基本事实4解决简单几何问题；
3、通过对基本事实4和等角定理的学习，培养直观想象和逻辑推理的数学素养.
重点：基本事实4和等角定理
难点：利用基本事实4解决简单几何证明问题
素养目标
1.两直线位置关系
导入新课
知识回顾
①内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。
②平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行
③三角形的中位线、相似线段成比例
2.在平面几何中，判断两直线平行的方法有哪些？
知识回顾
初中我们已经研究过同一平面内平行线的相关性质与判定，大家还能回想起这些知识吗？
平行公理：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
平行定理：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.
即，若，且，则（平行具有传递性）
a
b
c
思考：在空间中，这些结论是否仍然成立呢？
思前想后
新知探究
问题1 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，DC//AB, A′B′ //AB. DC与A'B'平行吗
A
C
B
A′
C′
B′
D
D′
连接A′D, B′ C
其是长方体，则
A′D=B′ C, A′B′ =CD
所以四边形A′B′CD为平行四边形
所以 A′B′ //DC
观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
A'
A
B
B'
C
C'
教室中黑板边所在直线AA′ 和窗户框所在直线CC′ 都平行于墙的交线BB′ ,那么CC′ //AA′ 。
探究一：空间中两条直线的位置关系
新知探究
问题2 如图，将一张长方形的纸对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系 并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立
概念生成
经过前面的讨论我们得到一个基本事实
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a
b
c
符号语言：
作用：它是判断空间两条直线平行的依据
将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题
基本事实4表达的性质通常叫做平行线的传递性.
例1:如图，空间四边形中，分别是边的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明：连接∵是的中位线，
∴，且.
同理，且.
∴平行且相等.
∴四边形是平行四边形.
典例剖析
梯形
菱形
变式：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形.
①如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
②如果G、H改成CD、DA的三等分点，那么四边形EFGH是什么图形
方法归纳
证明空间两直线平行的方法：
(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)
(2)基本事实4：空间问题转化为平面问题
(3)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
…
1.如图，在长方体ABCD-A'B 'C 'D'中，与棱AA'平行的棱有几条？
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
3条.
BB', DD', CC'.
2.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形；
连结AC
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是 ACD的中位线，即
证明:
∴四边形MNA1C1是梯形.
练习
问题3：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．在空间中，这一结论还成立吗？
新知探究（二）
①当角两条边的方向都相同时
②当角的一条边方向相同，另一条边方向相反时
思考(1)：如何证明
思考(2)：如何构造以两个角为对应角的全等三角形？
思考(3)：如何证明
证明：第1种情况：
分别在∠BAC 和∠B'A'C' 的两边上截取AD，AE 和 A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'.
连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'.
∴四边形ADD'A'是平行四边形
∴四边形DD'E'E是平行四边形,
∴△ADE ≌ △A'D'E'，
即DE=D'E'.
∴∠BAC=∠B'A'C'．
等角定理
(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
或互补.
(2)符号语言：对于和 ， ， 或 .
新知生成
例题2 如图所示，在正方体中，，，分别为棱 ，， ，的中点.求证：.
【解析】如图所示，在正方体 中，取 的中点
，连接 ， ，则 .
又 ， 四边形 为平行四边形， .
而 ， 分别为 ， 的中点，则 .
而 ， ， 四边形 为平行四边形.
.又 ， .
同理，取 的中点 ，连接 ， ，则有 .
与 的两边分别对应平行，且方向都相反，
.
典例剖析
反思感悟
方法总结
(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：
①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；
②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.
(2)证明角相等，一般采用三种途径:①利用等角定理及推论；②利用三角形相
似；③利用三角形全等.
在正方体 中，，，分别为棱，，的中点，试证明： .
【解析】 因为 为 的中点，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
又 ，所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 ，同理 .
所以 与 的两条对应边分别平行且方向相同，
所以 .
练习
随堂检测
1.已知空间中的两个角，的两边分别对应平行，且 ，则为( ).
A. B. C. D. 或
2. 如图所示，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是棱 ， ，
， 的中点，则 与 的位置关系是( ) .
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
3.如果两个三角形不在同一平面内，但它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
( ) .
A.全等 B.不相似 C.仅有一个角相等 D.相似
A
D
D
证明：
3. 如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′ BB′，BB′ CC′.
求证：△ABC≌△ A′B′C′.
∵AA′BB′，BB′ CC′.
AA′ CC′，
∴四边形ABB′A′，BCC′B′都是平行四边形.
∴AB=A′B′，BC=B′C′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形.
又由AA′ BB′，BB′ CC′可得
∴AC=A′C′，
∴△ABC≌△ A′B′C′.
解：
4. 如图，在四面体A-BCD′中，E，F，G分别为AB，AC，AD上的点.若EF//BC，FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系？为什么？
∵EF//BC，FG//CD.
又∠EFG和∠BCD的两边分别平行并且方向相同.
∴∠EFG =∠BCD.
因此△EFG∽△BCD.
△EFG∽△BCD，理由如下：
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出平面D1CE与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
【解析】 如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以E，F，C，D1四点共面．
因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，
所以平面D1CE与平面ABB1A1的交线为EF.
课堂小结
平面几何中的平行知识
基本事实4
应用
等角定理
类比
推广
直观想象
逻辑推理
类比
转化
研究问题： 1、基本事实4 ；2、等角定理
研究过程：
直观感知
操作确认
推理论证
思想方法： 1、类比 2、转化 3、升维思想等