2024年上海市建平实验学校九年级下学期月考数学试卷（含解析）

上海市建平实验中学2023学年第二学期阶段练习（2）
初三数学
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．每题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列实数中，无理数的是（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若反比例函数，y随x增大而增大，则的图像大致是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分．
7. 的相反数是_________________；
8. 在函数中，自变量x的取值范围为_______．
9. 方程 ＝0解是_______．
10. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是______．
11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 _________．
13. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为__________．
14. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/t 10 13 14 17 18
户数 3 1 3 2 1
则这10户家庭月用水量的中位数是______．
15. 如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
16. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______．
17. 如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是 __．
18. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算；（-）-1+tan30°+|1-|-
20. 解不等式组：
21. 如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且．
（1）判断直线与位置关系，并说明理由；
（2）若，求的半径．
22. 阅读理解：七年级一班数学学习兴趣小组在解决下列问题中，发现该类问题可以“建立直角坐标系、应用一次函数”解决问题．请先阅读下列解决问题的方法，然后再应用此方法解决后续问题．
问题：如图①，直立在点处标杆长，站立在点处的观察者从点处看到标杆顶、旗杆顶在一条直线上．已知，，，求旗杆高．
解：建立如图②所示直角坐标系，则线段可看作一个一次函数的图象
由题意可得各点坐标为：点，，，且所求高度就为点的纵坐标．
设直线的函数关系式为．
把，代入得，解得
∴
当时，，即．
解决问题：
请应用上述方法解决下列问题：
如图③，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长．如果小明的身高为，求路灯杆
的高度．（参考：建立直角坐标系如图④）
23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．
24. 如图，直线y＝﹣x＋n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD＋∠CBO＝45°．请直接写出m的值．
25. 如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
（1）求线段的长；
（2）在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
（3）以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
上海市建平实验中学2023学年第二学期阶段练习（2）
初三数学
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．每题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列实数中，无理数的是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
根据无限不循环小数是无理数判定即可．
【详解】解：A、5是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、整数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A，，计算错误；
B，，计算错误；
C，，计算正确；
D，，计算错误；
故选C．
3. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意；
故选：C．
4. 若反比例函数，y随x增大而增大，则的图像大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据反比例函数，y随x增大而增大，得出，则中，y随x的增大而减小，结合得出与y轴交于负半轴，即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数，y随x增大而增大，
∴，
∴中，y随x的增大而减小，
∵，
∴与y轴交于负半轴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性．
5. 下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形的性质定理以及菱形、正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：由题意知，平行四边形的两组对角分别相等是真命题，故①符合要求；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是真命题；故②符合要求；
矩形是轴对称图形是真命题；故③符合要求；
对角线相等的菱形是正方形是真命题；故④符合要求；
∴真命题有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的性质定理以及菱形、正方形的判定定理，真命题等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6. 如图，是的直径，若，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角的性质，圆的内接四边形互补，等边三角形的判定，解题的关键是求出．
【详解】解：如下图，连结，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分．
7. 的相反数是_________________；
【答案】2
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可．
【详解】2的相反数是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了实数的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
8. 在函数中，自变量x的取值范围为_______．
【答案】
【分析】本题考查了函数的取值范围，解题的关键是知晓分式有意义的条件．
根据函数中分式的分母不为0即可得到答案．
【详解】当分式的分母为零时，分式才没有意义，故．
即自变量x的取值范围为．
故答案为：．
9. 方程 ＝0的解是_______．
【答案】1
【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解.
【详解】根据题意，得
解得
将方程两边平方，得
解得
综上，
【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
10. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】12
【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题．
【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于，
有，解得，
故答案为：12．
11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 _________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：
13. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为__________．
【答案】
【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键．
所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解．
【详解】解：小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
14. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/t 10 13 14 17 18
户数 3 1 3 2 1
则这10户家庭月用水量的中位数是______．
【答案】14吨
【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．
【详解】将表中数据为从小到大排列，处在第5位、第6位的是14吨，
所以这10户家庭月用水量的中位数是14吨．
故答案为：14吨．.
15. 如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______．
【答案】##
【分析】由是的重心，推出，，求出，可得结论．
【详解】解：∵G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题．
16. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______．
【答案】
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
解得，
∴点A、B的坐标是，，
∴，
根据垂线段最短性质，时，最短，如点所示
此时，，
即，
解得，即．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键．
17. 如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是 __．
【答案】
【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB＞8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8＜AB≤10．
【详解】解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴．
当AB过圆心时最长即为大圆的直径10，
∴8＜AB≤10．
故答案为：8＜AB≤10．
【点睛】本题综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长．
18. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，则，当与重合时，证得即，进而利用勾股定理得，当与重合时，，即可得解．
【详解】解：设，则，
当与重合时，如下图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴即，
解得，
∵，
∴即，
解得或（舍去），
当与重合时，如下图，
此时，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算；（-）-1+tan30°+|1-|-
【答案】-2-
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式=-2+×+-1-2
=-2-．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求半径．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）
【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键．
（1）连接，由得，结合，即可求解；
（2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解；
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵为半径，
∴直线与相切
【小问2详解】
解：设的半径为，
∵
∴,
∴
∵
∴，
解得：
22. 阅读理解：七年级一班数学学习兴趣小组在解决下列问题中，发现该类问题可以“建立直角坐标系、应用一次函数”解决问题．请先阅读下列解决问题的方法，然后再应用此方法解决后续问题．
问题：如图①，直立在点处的标杆长，站立在点处的观察者从点处看到标杆顶、旗杆顶在一条直线上．已知，，，求旗杆高．
解：建立如图②所示直角坐标系，则线段可看作一个一次函数的图象
由题意可得各点坐标为：点，，，且所求的高度就为点的纵坐标．
设直线的函数关系式为．
把，代入得，解得
∴
当时，，即．
解决问题：
请应用上述方法解决下列问题：
如图③，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长．如果小明的身高为，求路灯杆
的高度．（参考：建立直角坐标系如图④）
【答案】
【分析】根据题中的例题过程连求两次一次函数解析式作答即可．
【详解】由题意可得各点坐标为：，，且所求的高度就为点的纵坐标．
设直线的函数关系式为．
把，代入得，解得．
∴直线的函数关系式为①．
∵直线过点，，
同理可得直线的解析式为②，
联立①②解得，，
答：路灯杆的高度．
【点睛】本题考查了求两直线的交点和对例题的理解应用能力，题目不难，但注意做题时需要运用题目所给方式做题而不能用其他的解答方法．
23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC=PA，∠DCP=∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得，即可证明结论；
（2）根据菱形的性质可说明∠COP=∠CEA，从而证明结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠CDP=∠ADP，，
在△CDP和△ADP中，
∴△CDP≌△ADP（SAS），
∴PC=PA，∠DCP=∠DAP，
∵，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
∵∠APE=∠FPA，
∴△PAE∽△PFA，
∴，
∴PA2=PE PF，
∴PE PF=PC2；
【小问2详解】
∵CE⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∵，
∴∠CEA=∠BCE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COP=90°，
∴∠COP=∠CEA，
∵∠OCP=∠ECA，
∴△POC∽△AEC．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明PA=PC是解决问题（1）的关键．
24. 如图，直线y＝﹣x＋n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD＋∠CBO＝45°．请直接写出m的值．
【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（2）① E（2，0）或（3，0）；②m＝7或．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）①分两种情况讨论，勾股定理可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x＋n与x轴交于点A（4，0），
∴0＝﹣4＋n，
∴n＝4，
∴直线解析式为：y＝﹣x＋4，
当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4①；
（2）①∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2＋3m＋4），则点D（m，﹣m＋4），
∴PD2＝（﹣m2＋4m）2，BP2＝m2＋（﹣m2＋3m）2，BD2＝m2＋（﹣m＋4﹣4）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2＋BD2＝PD2，
∴m2＋（﹣m2＋3m）2＋2m2＝（﹣m2＋4m）2，
∴m＝2，m＝0（舍去）
∴点E的坐标为（2，0），
当∠BPD＝90°时，BP2＋PD2＝BD2，
同理可得：m＝0（舍去）或3或4（舍去），
∴点E的坐标为（3，0），
综上所述：点E的坐标为（2，0）或（3，0）；
②当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵点A（4，0），点B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2＋3x＋4与x轴交于点A，点C，
∴0＝﹣x2＋3x＋4，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD＋∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD＋∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴，
∴ON＝16，
∴点N（16，0），
∴直线BN解析式为：yx＋4②，
联立①②并解得：x＝0（舍去）或，
∴m；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，
∵∠PBD＋∠CBO＝45°，∠OBH＋∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣4x＋4③，
联立①③并解得：x＝0（舍去）或7，
∴点P的横坐标为7，
∴m＝7，
综上所述：m＝7或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25. 如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
（1）求线段的长；
（2）在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
（3）以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
【答案】（1）12 （2）能，或
（3）或
【分析】（1）首先根据四边形是菱形，可得，，，利用勾股定理即可求出．
（2）情形1：如图1中，当时，，利用得列出方程求解；情形2：如图2，当时，，作垂足为，利用得到列出方程即可解决．
（3）情形1：如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接，此时与线段只有一个交点，利用得到列出方程解决．
情形2：如图4，当时，作垂足为，由得到列出方程求解．
【小问1详解】
解： 四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，，
．
【小问2详解】
解：能．理由如下：
如图1，当时，，
，，
，
，
，
，
，
或不合题意舍弃）
．
如图2，当时，，作垂足为，
，
，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
解得或不合题意舍弃）
综上所述或时是直角三角形．
【小问3详解】
解：①如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接，
此时与线段只有一个交点，
在中，，，
，
，，
，
，
，解得或不合题意舍弃）．
②如图4，当时，作垂足为，
，，
，
，
，解得．
时与线段只有一个交点．
综上所述或时与线段只有一个交点．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键，解题中培养动手画图能力，利用转化的数学思想去思考问题．