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第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程(第二课时)
1. 用配方法解方程2 x2－3 x ＋6＝0，把二次项系数化成1，得
（ B ）
A. x2－3 x ＋3＝0 B. x2－ x ＋3＝0
C. x2＋ x ＋3＝0 D. x2－ x －3＝0
B
2. 用配方法解方程2 x2＋4 x ＋1＝0，配方后的方程是（ D ）
A. （2 x ＋2）2＝－2 B. （2 x ＋2）2＝－3
C. ＝ D. （ x ＋1）2＝
D
3. 下列选项中，用配方法解方程时，配方有错误的一项是
（ C ）
A. x2－2 x －99＝0化为（ x －1）2＝100
B. 2 t2－7 t －4＝0化为 ＝
C. x2＋8 x ＋9＝0化为（ x ＋4）2＝25
D. 3 x2－4 x －2＝0化为 ＝
C
4. 用适当的数填空：
（1） x2－3 x ＋ ＝ ；
（2）2 x2－ x ＋ ＝2 .
5. 已知 ax2＋2 x ＋ ＝ ＋ m ，则 a ＝ ， m ＝ .
4
解：整理，得 .
移项，得 .
二次项系数化为1，得 .
配方，得 x2－2 x ＋1＝3，即 .
两边开平方，得 .
∴ x1＝ 1＋ ， x2＝ 1－ .
4 x2－8 x －8＝0
4 x2－8 x ＝8
x2－2 x ＝2
（ x －1）2＝3
x －1＝±
1＋
1－
6. 用配方法解方程：（2 x －1）2＝4 x ＋9.
7. 用配方法解下列方程：
（1）4 x2－4 x ＋1＝0；
解：配方，得（2 x －1）2＝0.
∴ x1＝ x2＝ .
（2）2 x2＋1＝－3 x ；
解：整理，得 x2＋ x ＝－ .
配方，得 ＝ .
∴ x ＋ ＝± .
∴ x1＝－1， x2＝－ .
（3）6 x2－2 x －1＝0；
解：整理，得 x2－ x ＝ .
配方，得 ＝ .
∴ x － ＝± .
∴ x1＝ ， x2＝ .
（4）（ x －3）（2 x ＋1）＝－5.
解：整理，得 x2－ x ＝－1.
配方，得 ＝ .
∴ x － ＝± .
∴ x1＝2， x2＝ .
8. 在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园并使
所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示（单
位：m），其中花园四周小路的宽度都相等.请帮小明计算一下
小路的宽.
解：根据题意，得（16－2 x ）（12－2 x ）＝ ×16×12.
整理，得 x2－14 x ＝－24.
配方，得（ x －7）2＝25.
解得 x1＝2， x2＝12（不符合题意，舍去）.
∴ x ＝2.
故小路的宽是2 m.
9. 给出一种运算：对于函数 y ＝ xn ，规定 y '＝ nxn－1.例如：若函
数 y ＝ x4，则有 y '＝4 x3.已知函数 y ＝ x3，则方程 y '＝6 x ＋12的
解是 .
10. 代数式－3 x2＋5 x ＋1的最大值为 .
x1＝1＋ ， x2＝1－
【解析】∵－3 x2＋5 x ＋1＝－3 ＋1＝－3· ＋1＝－3 ＋ ，∴当 x ＝ 时，
代数式－3 x2＋5 x ＋1取最大值为 .故答案为 .
11. 已知 y2与－ x9 m－3 y2是同类项，且 m 为整数，求（ m
＋1）－2的值.
解：由题意，得3 m2－ m ＝9 m －3.
整理，得 m2－ m ＝－1.
配方，得 ＝ .
∴ m1＝3， m2＝ .又∵ m 为整数，∴ m ＝3.
当 m ＝3时，（ m ＋1）－2＝（3＋1）－2＝ .
12. 某商场经营某种品牌玩具，购进时的单价是30元.根据市场
调查发现：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600
件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（ x ＞40），请你
分别用含 x 的代数式来表示销售量 y （件）和销售该品牌玩具获
得的利润 W （元）；
解：（1）由题意，得 y ＝600－（ x －40）×10＝1 000－10 x ，
W ＝（1 000－10 x ）（ x －30）＝－10 x2＋1 300 x －30 000.
（2）在（1）的条件下，商场将该种品牌玩具销售单价定为多
少元时，获得的利润为8 250元？
解：（2）由题意，得－10 x2＋1 300 x －30 000＝8 250.整理，得
x2－130 x ＝－3 825.
配方，得（ x －65）2＝400.
解得 x1＝85， x2＝45.
故商场将该种品牌玩具销售单价定为85元或45元时，获得的利
润为8 250元.
13. （选做）请阅读下面的材料：
我们可以通过以下方法求代数式 x2＋6 x ＋5的最小值.
解： x2＋6 x ＋5＝ x2＋2· x ·3＋32－32＋5＝（ x ＋3）2－4.
∵（ x ＋3）2≥0，
∴当 x ＝－3时， x2＋6 x ＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1） x2＋4 x －1＝ x2＋2· x ·2＋22－22－1＝（ x ＋ a ）2＋ b ，则
ab 的值是 .
（1）【解析】由题意可知， a ＝2， b ＝－5.∴ ab ＝2×（－5）
＝－10.故答案为－10.
（2）比较代数式 x2－1与2 x －3的大小.
（2）解：∵（ x2－1）－（2 x －3）＝ x2－2 x ＋2＝（ x －1）2＋
1＞0，
∴ x2－1＞2 x －3.
－10
（3）当 x ， y 取何值时，多项式 x2＋4 x ＋4 y2－4 y ＋1取得最小
值？并求出最小值.
（3）解：∵ x2＋4 x ＋4 y2－4 y ＋1＝（ x ＋2）2＋（2 y －
1）2－4，
∴当 x ＝－2， y ＝ 时，原多项式取得最小值，
最小值为－4.
（4）若代数式2 x2＋ kx ＋7的最小值为2，求 k 的值.
（4）解：2 x2＋ kx ＋7＝2 － ＋7.
由题意可知，－ ＋7＝2.解得 k ＝±2 .
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第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程(第一课时)
1. 利用求根公式求方程5 x2＋ ＝6 x 的根时， a ， b ， c 的值分别
是（ C ）
A. 5， ，6 B. 5，6，
C. 5，－6， D. 5，－6，－
C
2. 方程4 x2－2 x －1＝0的根的情况为（ B ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
3. 方程 x2＋4 x －2＝0的正根为（ D ）
A. 2－ B. 2＋
C. －2－ D. －2＋
B
D
4. 利用求根公式解方程2 x2－7 x ＋1＝0时，其中 b2－4 ac
＝ ，则 x1＝ ， x2＝ .
5. （2023·武威）关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x ＋4 c ＝0有两个
不相等的实数根，则 c ＝
（写出一个满足条件的值）.
6. 已知 x1， x2是方程 x2－2 x －1＝0的两根，则 x1， x2，－2 ，
2 的中位数是 .
41
－2（答案不唯一，合理即可）
1
（1） x2＋2 x －2＝0；
解：∵ a ＝1， b ＝2， c ＝－2，
∴ b2－4 ac ＝22－4×1×（－2）＝12.
∴ x ＝ ＝－1± ，
即 x1＝－1＋ ， x2＝－1－ .
7. 用公式法解下列方程：
（2）3 x2＋1＝2 x ；
解：将原方程化为一般形式，得3 x2－2 x ＋1＝0.
这里 a ＝3， b ＝－2 ， c ＝1.
∴ b2－4 ac ＝（－2 ）2－4×3×1＝0.
∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝ x2＝ .
（3）（ x －5）（ x ＋2）＝8.
解：将原方程化为一般形式，得 x2－3 x －18＝0.
这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝－18.
∴ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×（－18）＝81.
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝6， x2＝－3.
8. 用适当的方法解下列方程：
（1）4（ x －5）2＝16；
解：原方程可化为（ x －5）2＝4.
方程两边开平方，得 x －5＝±2.
∴ x1＝7， x2＝3.
（2） x2－4 x ＝8；
解：配方，得（ x －2）2＝12.
方程两边开平方，得 x －2＝±2 .
∴ x1＝2＋2 ， x2＝2－2 .
（3）3 x2＝4－2 x ；
解：将原方程化为一般形式，得3 x2＋2 x －4＝0.
这里 a ＝3， b ＝2， c ＝－4.
∴ b2－4 ac ＝22－4×3×（－4）＝52.
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
（4） x （ x －2）＝ x －5.
解：将原方程化为一般形式，得 x2－3 x ＋5＝0.
这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝5.
∴ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×5＝－11＜0.
∴原方程无实数根.
9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 ax ＋ a2＋ a －1＝0有两个实
数根，化简： ＋ ＝ .
10. 若 x ， y 满足方程 x2＋3 xy －2 y2＝0，且 xy ≠0，则
＝ .
3－2 a
解：由题意，得 m2＋1＝2且 m ＋1≠0.
解得 m ＝1或－1，且 m ≠－1.
∴ m ＝1.
故当 m ＝1时，原方程为一元二次方程.
原方程可化为2 x2－2 x －1＝0.
解得 x1＝ ， x2＝ .
11. 当 m 为何值时，关于 x 的方程（ m ＋1） ＋（ m －3）
x －1＝0（ x ≠0）是一元二次方程？并求出此方程的解.
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0.
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（1）证明：在 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0中， a ＝1，
b ＝－（2 m ＋1）， c ＝ m2＋ m .
∴ b2－4 ac ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m2＋ m ）＝1＞0.
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由公式法，得 x ＝ .
∴ x1＝ m ， x2＝ m ＋1.
∴ x1≠ x2.
若 x1为腰长， x2为底边长，则3 m ＋1＝10，解得 m ＝3；
若 x2为腰长， x1为底边长，则3 m ＋2＝10，解得 m ＝ .
综上所述， m 的值为3或 .
（2）若该方程的两根 x1， x2是某个等腰三角形的两边长，且该
三角形的周长为10，试求 m 的值.
13. （选做）请阅读下面的材料.
在学习解一元二次方程后，对于某些不是一元二次的方程，我
们可以通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：
解方程： x2－3｜ x ｜＋2＝0.
解：设｜ x ｜＝ y ，则原方程可化为 y2－3 y ＋2＝0.
由公式法，解得 y1＝1， y2＝2.
当 y ＝1时，｜ x ｜＝1，∴ x ＝±1；
当 y ＝2时，｜ x ｜＝2，∴ x ＝±2.
综上所述，原方程的解为 x1＝1， x2＝－1， x3＝2， x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”.
请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程： x4－10 x2＋9＝0；
解：（1）设 x2＝ y ，则原方程可化为 y2－10 y ＋9＝0，解得 y1＝
9， y2＝1.
当 y ＝9时， x2＝9，解得 x1＝3， x2＝－3.
当 y ＝1时， x2＝1，解得 x1＝1， x2＝－1.
∴原方程的解为 x1＝3， x2＝－3， x3＝1， x4＝－1.
（2）若实数 x 满足 x2＋ －3 x － ＝2，求 x ＋ 的值.
解：（2）设 x ＋ ＝ y ，则原方程可化为 y2－2－3 y ＝2，即 y2－
3 y －4＝0.
解得 y1＝－1， y2＝4，
即 x ＋ ＝－1，或 x ＋ ＝4.
若 x ＋ ＝－1，则整理，得 x2＋ x ＋1＝0.
∵Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，
∴此方程无解，不符合题意；
若 x ＋ ＝4，则整理，得 x2－4 x ＋1＝0.
∵Δ＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，
∴此方程有两个实数解，符合题意.
综上所述， x ＋ ＝4.
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第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
1. 下列一元二次方程中，两根相等的是（ A ）
A. x2＋1＝2 x B. x2＋1＝0
C. x2－2 x ＝3 D. x2－4 x ＝0
A
2. 某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽
多10 m.若设花圃的宽为 x m，则可列方程为（ B ）
A. x （ x －10）＝200
B. x （ x ＋10）＝200
C. 2 x ＋2（ x －10）＝200
D. 2 x ＋2（ x ＋10）＝200
3. 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为 a cm2的矩形，则 a 的
值不可能为（ D ）
A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
B
D
4. 若两个相邻自然数的积是132，则这两个数中，较大的数
是 .
5. 如图，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形画四周镶一条等宽的
金色边框，制成一幅矩形挂图.若要使整幅挂图的面积是5 400
cm2，设金色边框的宽为 x cm，则可列出方程为
.
12
（80＋2 x ）
（50＋2 x ）＝5 400
6. 一块矩形菜地的面积是120 m2，若它的长减少2 m，菜地就变
成正方形.这块矩形菜地的长是 m.
12
解：设原正方形的边长为 x m.根据题意，得（ x －7） x －7 x ＝
72.整理，得 x2－14 x －72＝0.解得 x1＝18， x2＝－4（不符合题
意，舍去）.
故原正方形场地的边长为18 m.
7. 如图，一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个
面积不相等的矩形，这两个矩形面积的差为72 m2，且面积较小
的矩形的宽为7 m，求原正方形场地的边长.
8. 学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得收入将全部捐献给
希望工程，活动选在一块长20 m、宽14 m的矩形空地上.如图，
空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之
间用宽度相等的小路隔开.已知每个区域的面积均为32 m2，则小
路的宽为多少米？
解：设小路的宽为 x m，则6个矩形区域可合成长（20－2 x ）
m、宽（14－ x ）m的矩形.
根据题意，得（20－2 x ）（14－ x ）＝32×6.
整理，得 x2－24 x ＋44＝0.
解得 x1＝2， x2＝22（不符合题意，舍去）.
故小路的宽为2 m.
9. 将五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形.若大矩形的
面积是135 cm2，则以小矩形的宽为边长的正方形面积
是 cm2.
（第9题图）
9
10. 如图，已知点 A （－3，0）， B （0，－4），点 P 为直线 y
＝－ x ＋5在第一象限上的一点.过点 P 作 PC ⊥ x 轴于点 C ， PD
⊥ y 轴于点 D . 当四边形 ABCD 的面积为18时，则点 P 的坐标
是 .
（3，2）
（第10题图）
【解析】设 P （ x ，－ x ＋5）（0＜ x ＜5），则 C （ x ，0）， D
（0，－ x ＋5）.∴ AC ＝ x ＋3， BD ＝－ x ＋5＋4＝9－ x .
∴ S四边形 ABCD ＝ AC · BD ＝ （ x ＋3）（9－ x ）＝18，
解得 x1＝ x2＝3.∴点 P 的坐标为（3，2）.故答案为（3，2）.
11. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50 m、
宽40 m，要求扩建后的矩形广场的长比宽多15 m，扩建区域的
扩建费用为每平方米30元.扩建后在原广场和扩建区域都铺设地
砖，铺设地砖的费用为每平方米100元.已知计划总费用为616
000元，求扩建后广场的长和宽.
解：设扩充后广场的宽为 x m，则长为（ x ＋15）m.
根据题意，得 x （ x ＋15）·
100＋30[ x （ x ＋15）－50×40]＝616 000.
整理，得 x2＋15 x －5 200＝0.
解得 x1＝65， x2＝－80（舍去）.
∴ x ＋15＝80.
故扩建后广场的长为80 m，宽为65 m.
12. 如图，现有长度为100 m的围栏，要利用一面墙（墙长为25
m）建羊圈， BC 的长度不大于墙长.
（1）可以围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈吗？
若能，求出羊圈的边长 AB ， BC ；若不能，请说明理由.
解：（1）能.理由如下：
设 AB ＝ x m，则 BC ＝（100－4 x ）m.
根据题意，得（100－4 x ）· x ＝400.
整理，得 x2－25 x ＋100＝0.
解得 x1＝20， x2＝5.
则100－4 x ＝20或100－4 x ＝80.
∵80＞25，∴ x ＝5不符合题意.
∴ x ＝20.
∴ AB ＝20 m， BC ＝20 m.
（2）可以围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈吗？
若能，求出羊圈的边长 AB ， BC ；若不能，请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：设 AB ＝ x m，则 BC ＝（100－4 x ）m.
若能围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈，
则有（100－4 x ） x ＝640.
整理，得 x2－25 x ＋160＝0.
∵Δ＝（－25）2－4×1×160＝－15＜0，
∴该方程无实数根.
故不能围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈.
13. （选做）已知三个关于 x 的方程 x2－ x ＋ m ＝0，（ m －1） x2
＋2 x ＋1＝0和（ m －2） x2＋2 x －1＝0，若其中至少两个方程
有实数根，求 m 的取值范围.
解：分情况讨论：
①当 m ＝1时，第二、第三个方程有实数根.
②当 m ＝2时，第二、第三个方程有实数根.
③当 m ≠1，且 m ≠2时，设三个方程的根的判别式分别为Δ1，
Δ2，Δ3，则
Δ1≥0，即1－4 m ≥0，解得 m ≤ ；
Δ2≥0，即2－ m ≥0，解得 m ≤2；
Δ3≥0，即 m －1≥0，解得 m ≥1.
故至少有两个方程有实数根时，有或或
或
解得 m ≤ 或1≤ m ≤2.
∵ m ≠1，且 m ≠2，
∴ m ≤ 或1＜ m ＜2.
综上所述， m 的取值范围为 m ≤ 或1≤ m ≤2.
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第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程(第一课时)
1. 已知一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十
位数字大3，则这个两位数是（ C ）
A. 25 B. 36
C. 25或36 D. －25或－36
C
2. 如图，把一块长40 cm、宽30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四
个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带
粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600
cm2，设剪去小正方形的边长为 x cm，则可列方程为（ D ）
A. （30－ x ）（40－ x ）＝600
B. （30－2 x ）（40－ x ）＝600
C. （30－ x ）（40－2 x ）＝600
D. （30－2 x ）（40－2 x ）＝600
（第2题图）
D
3. 如图，矩形 ABCD 的周长是20 cm，分别以 AB ， AD 为边向外
作正方形 ABEF 和正方形 ADGH . 若正方形 ABEF 和正方形
ADGH 的面积之和为68 cm2，则矩形 ABCD 的面积是（ B ）
A. 21 cm2 B. 16 cm2
C. 24 cm2 D. 9 cm2
（第3题图）
B
4. 如图，已知 AB ⊥ BC ， AB ＝10 cm， BC ＝8 cm.一只蝉从点 C
沿 CB 方向以1 cm/s的速度匀速爬行.蝉开始爬行的同时，一只螳
螂由点 A 沿 AB 方向以2 cm/s的速度匀速爬行.当螳螂爬行 x s后，
它们分别到达了点 M ， N 的位置，此时，△ MNB 的面积恰好为
18 cm2.由题意可列方程为 .
（10－2 x ）（8－ x ）＝36
（第4题图）
5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一
个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及
长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问
宽和长各为几步？你来解决这道古算题，可以求得矩形的长
为 步.
36
（第6题图）
6. 如图，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5
m）搭建一个矩形临时隔离点 ABCD . 它的另外三边所围的总长
度是10 m，矩形隔离点的面积为12 m2，则 AB 的长是 m.
3
7. 为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长
（ AD ）16 m，宽（ AB ）9 m的矩形草坪 ABCD 上修建三条同样
宽的小路（如图所示），其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平
行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的
宽为多少？
解：设小路的宽为 x m.
根据题意，得（16－2 x ）（9－ x ）＝112.
整理，得 x2－17 x ＋16＝0.
解得 x1＝1， x2＝16.
∵16＞9，
∴ x ＝16不符合题意，舍去.
∴ x ＝1.
故小路的宽为1 m.
8. 已知一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮如图所示，将其剪去
两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分（阴影部
分）可制成底面积为24 cm2的有盖长方体铁盒，求剪去的正方
形的边长.
解：设剪去的正方形的边长为 x cm.
由题意，得（10－2 x ）· ＝24.
整理，得 x2－11 x ＋18＝0.
解得 x1＝2， x2＝9.
当 x ＝9时，10－2 x ＝－8＜0，不符合题意，舍去.∴ x ＝2.
故剪去的正方形的边长为2 cm.
9. 每年的7月1日是建党周年纪念日，在某年7月的日历表上可以
用一个方框圈出四个数（如图所示）.若圈出的四个数中，最小
数与最大数的乘积为65，则这个最小数为 .
（第9题图）
5
【解析】设这个最小数是 x ，则最大数为（ x ＋8）.根据题意，
得 x （ x ＋8）＝65.整理，得 x2＋8 x －65＝0.解得 x1＝5， x2＝－
13（不符合题意，舍去）.则这个最小数是5.故答案为5.
10. 如图，点 A ， B ， C ， D 为矩形的四个顶点， AB ＝16 cm，
AD ＝6 cm，动点 P ， Q 分别从点 A ， C 同时出发，点 P 以3 cm/s
的速度向点 B 移动，点 Q 以2 cm/s的速度向点 D 移动，当点 P 运
动到点 B 停止时，点 Q 也随之停止运动.当 P ， Q 两点从出发经
过 s 时，则点 P ， Q 间的距离是10 cm.
1.6或4.8
（第10题图）
【解析】设 P ， Q 两点从出发经过 t s秒时，点 P ， Q 间的距离是
10 cm.如图，作 PH ⊥ CD ，垂足为 H ，则 PH ＝ AD ＝6 cm， PQ
＝10 cm.∵ DH ＝ PA ＝3 t cm， CQ ＝2 t cm，∴ HQ ＝ CD － DH
－ CQ ＝｜16－5 t ｜.由勾股定理，得（16－5 t ）2＋62＝102.解得
t1＝4.8， t2＝1.6.∴ P ， Q 两点从出发经过1.6 s或4.8 s时，点 P ，
Q 间的距离是10 cm.故答案为1.6或4.8.
11. 如图，在直角墙角 AOB （ OA ⊥ OB ，且 OA ， OB 长度不
限）中，要砌20 m长的墙，与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的
储仓，且矩形地面 AOBC 的面积为96 m2.
（1）求矩形地面的长.
解：（1）设矩形地面的长是 x m.
由题意，得 x （20－ x ）＝96，
即 x2－20 x ＋96＝0.
解得 x1＝12， x2＝8（舍去）.
故矩形地面的长是12 m.
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖，
单价分别为55元/块和80元/块.若只选其中一种地板砖都恰好能
铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费
用较少？
解：（2）选规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用：
96÷（0.80×0.80）×55＝8 250（元）.
选规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用：
96÷（1.00×1.00）×80＝7 680（元）.
∵8 250＞7 680，
∴采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.
12. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相
交于点 O 处.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿
着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到点 O 以北50
m处时，甲恰好到点 O 处.若两人继续向前行走，求两人相距
85 m时各自的位置.
解：设经过 x s时两人相距85 m.
根据题意，得（4 x ）2＋（50＋3 x ）2＝852.
整理，得 x2＋12 x －189＝0，
即（ x －9）（ x ＋21）＝0.
解得 x1＝9， x2＝－21（不符合题意，舍去）.
当 x ＝9时，4 x ＝36，50＋3 x ＝77.
故当两人相距85 m时，甲在点 O 以东36 m处，乙在点 O 以北77
m处.
13. （选做）如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB ＝ BC ＝
10，点 P ， Q 分别从 A ， C 两点同时出发，均以每秒1个单位长
度的速度做匀速直线运动.已知点 P 沿射线 AB 运动，点 Q 沿边
BC 的延长线运动， PQ 与直线 AC 相交于点 D . 设点 P 运动的时
间为 t （s），△ PCQ 的面积为 S .
备用图
（1）求 S 关于 t 的函数表达式.
解：（1）①当 t ＜10时，点 P 在线段 AB 上，此时 CQ ＝ t ， PB
＝10－ t .
∴ S ＝ t （10－ t ）＝－ t2＋5 t .
②当 t ＝10时， P ， C ， Q 三点共线，不能构成三角形.
③当 t ＞10时，点 P 在线段 AB 的延长线上，此时 CQ ＝ t ， PB ＝
t －10.
∴ S ＝ t （ t －10）＝ t2－5 t .
∴ S ＝
备用图
（2）当点 P 运动几秒时，△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积？
解：（2）∵ S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×10×10＝50，
∴有以下两种情况：
①当 t ＜10时， S△ PCQ ＝－ t2＋5 t ＝50.
整理，得 t2－10 t ＋100＝0.此时Δ＜0，无解.
②当 t ＞10时， S△ PCQ ＝ t2－5 t ＝50.
整理，得 t2－10 t －100＝0，
解得 t1＝5＋5 ， t2＝5－5 （舍去）.
备用图
综上所述，当点 P 运动（5＋5 ）s时，
△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积.
（3）作 PE ⊥ AC 于点 E ，当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度是
否改变？证明你的结论.
解：（3）当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.证
明如下：
如图1，当点 P 在点 B 左侧时，过点 Q 作 QF ⊥ AC 于点 F ，
则 QF ∥ PE .
∵ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°，
∴∠ A ＝∠ ACB ＝45°.
又∵∠ ACB ＝∠ QCF ，
∴∠ A ＝∠ QCF .
∵点 P ， Q 的运动速度相等，
∴ AP ＝ CQ .
图1
在△ APE 和△ CQF 中，
∴△ APE ≌△ CQF （AAS）.
∴ AE ＝ PE ＝ CF ＝ QF ＝ t .
又∵ QF ∥ PE ，
∴四边形 PFQE 是平行四边形.
∴ DE ＝ EF .
又∵ EF ＝ AC ＝10 ，
∴ DE ＝5 .
∴当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.
图1
图1
同理，如图2，当点 P 在点 B 右侧时， DE ＝5 .综上所述，当
点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.
图2
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第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程(第二课时)
1. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续
增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均
增长率为 x ，根据题意可列方程为（ D ）
A. 400（1＋ x2）＝900 B. 400（1＋2 x ）＝900
C. 900（1－ x ）2＝400 D. 400（1＋ x ）2＝900
D
2. 一个体育用品商场为了推销某种运动服，进行了市场调查，
得到的数据如下表：
售价 x /（元/件） 50 51 52 53 …
销售量 p /件 500 490 480 470 …
若这种运动服的进价为每件40元，则当销售利润为8 000元时的
售价为（销售利润＝销售收入－进货支出）（ C ）
C
A. 60元/件
B. 80元/件
C. 60元/件或80元/件
D. 100元/件
3. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则
参加酒会的有（ C ）
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40
元.为了扩大销售量，增加盈利，采取降价措施.经调查发现：如
果每件降价1元，那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每
天要通过这批衬衫盈利1 200元，且要使价格更优惠，则每件衬
衫应降价 元.
C
20
5. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客
人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，则这两个月中该景
区游客人数的月平均增长率是 .
6. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60
元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单
价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.如果该专卖
店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，那么每千克核桃应
降价 元.
25％
4或6
7. 水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然
后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发
现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千
克，为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售.
（1）若将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量
是 千克（用含 x 的代数式表示）；
（1）【解析】将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销
售量是100＋ ×20＝（100＋200） x 千克.故答案为（100＋
200 x ）.
（100＋200 x ）
（2）解：设张阿姨需将每千克的售价降低 y 元.
根据题意，得（4－2－ y ）（100＋200 y ）＝300.
解得 y1＝0.5， y2＝1.
∵每天至少售出260千克，
∴100＋200 y ≥260.
解得 y ≥0.8.
∴ y ＝1.
故张阿姨需将每千克的售价降低1元.
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的
售价降低多少元？
8. 某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自
行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25％.
根据市场调查，该商品的售价与销售量的关系满足：若每件售
价为 x 元，则可卖出（320－10 x ）件.若商店计划要获利400元，
则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
解：根据每件售价 x 元，物价部门限定每件商品加价不能超过进
货价的25％，有 x ≤18×（1＋25％）＝22.5.
由题意，得（ x －18）（320－10 x ）＝400.
整理，得 x2－50 x ＋616＝0.
解得 x1＝22， x2＝28（不符合题意，舍去）.
则320－10 x ＝320－10×22＝100.
故每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件.
9. 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的
成本是6 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成
本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，则甲种药品成
本的年平均下降率 乙种药品成本的年平均下降率（填
“大于”“小于”或“等于”）.
等于
10. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价为35元，原计划以每
桶55元的价格销售，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量 y
（桶）与每桶降价 x （元）（0＜ x ＜20）之间满足一次函数关
系，其图象如图所示.在这次降价销售中，该药店仅获利1 760
元，则这种消毒液每桶实际售价为 元.
43
【解析】设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将点
（1，110），（3，130）的坐标代入，得解得
故 y 与 x 之间的函数的表达式为 y ＝10 x ＋100（0＜ x
＜20）.由题意，得（10 x ＋100）（55－ x －35）＝1 760.整理，
得 x2－10 x －24＝0.解得 x1＝12， x2＝－2（不符合题意，舍
去）.∴55－ x ＝43.故这种消毒液每桶实际售价为43元.故答案为
43.
11. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改
造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生
产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量.
解：（1）设3月份再生纸的产量为 x 吨，则4月份的再生纸的产
量为 吨.
由题意，得 x ＋ ＝800.解得 x ＝300.
∴2 x －100＝2×300－100＝500.
故4月再生纸的产量为500吨.
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量
比上月增加 m ％.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ％，则5
月份再生纸项目月利润达到66万元.求 m 的值.
解：（2）由题意，得500（1＋ m ％）×1 000 ＝
660 000.
整理，得 m2＋300 m －6 400＝0.
解得 m1＝20， m2＝－320（不合题意，舍去）.
∴ m 的值是20.
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月份每吨再生
纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数
相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25％.求6月份每吨
再生纸的利润.
解：（3）设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为 y ，5月
份再生纸的产量为 a 吨.
由题意，得1 200（1＋ y ）2· a （1＋ y ）＝（1＋25％）×1 200
（1＋ y ）· a ，∴1 200 ＝1 500.
故6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
12. （选做）某商店如果将进货为8元/件的商品以每件10元的售
价售出，每天可销售200件.通过一段时间的数据调查，该店主
发现这种商品每件每涨价0.5元，其销售量就减少10件；每件每
降价0.5元，其销售量就增加10件.
（1）你能帮助店主设计一种方案，使每天的利润达到700元
吗？
解：（1）设每件销售价提高了 x 元.
由题意，得
（10＋ x －8） ＝700.
整理，得 x2－8 x ＋15＝0.
解得 x1＝3， x2＝5.
此时的售价为10＋3＝13（元）或10＋5＝15（元）.
故每件售价为13元或15元时，每天的利润可达到700元.
（2）将每件售价定为多少元时，能使一天所获利润最大？最大
利润是多少元？
解：（2）设每件售价提高 x 元，一天所获利润为 y 元.
由题意，得 y ＝（10＋ x －8） ＝－20 x2＋160 x ＋
400＝－20（ x －4）2＋720≤720.
∴当 x ＝4时， y 取得最大值，此时每件售价为10＋4＝14（元）.
故每件售价为14元时，一天所获利润最大，为720元.
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第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程(第一课时)
1. 下列方程属于一元二次方程的是（ C ）
A. x2－ ＋1＝0 B. ax2＋ bx ＋ c ＝0
C. （ x －1）（ x ＋2）＝1 D. x －3 y2＝6
2. 方程2 x2－6 x －5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别
为（ C ）
A. 2，6，5 B. 2，6，－5
C. 2，－6，－5 D. －2，6，5
C
C
3. 某商品的单价经过两次降价从144元降至81元.设平均每次降
价的百分率为 x ，则可列方程为（ B ）
A. 144（1＋ x ）2＝81 B. 144（1－ x ）2＝81
C. 81（1＋ x ）2＝144 D. 81（1－ x ）2＝144
B
4. 下列关于 x 的方程：①（ m2＋2） x2＋ x －2＝0；② ＋ x ＝
0；③ ax2－ x －1＝0；④ ＝ x2；⑤ x2＋ mx ＋ n ＝0；⑥2
（ x －1）2－1＝2 x2.其中是整式方程的有 ，是一元
二次方程的有 .（填序号）
5. 将方程（ x ＋2）（1－3 x ）＝2 x 化成一般形式为
，其二次项系数是 ，一次项是 ，常数项
是 .
①③⑤⑥
①⑤
3 x2＋7 x －
2＝0
3
7 x
－2
6. 某学校计划在一块长9 m、宽6 m的矩形草坪中央划出面积为
15 m2的矩形地块栽花，要使这块矩形草坪四周草地的宽度都一
样，则四周草地的宽度应为多少？若设四周草地的宽为 x m，则
可列方程为 .
（9－2 x ）（6－2 x ）＝15
（1）3 x2＝5 x －2；
解：（1）原方程可化为3 x2－5 x ＋2＝0，
其二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是2.
（2） x （2 x －1）＝ x ；
解：（2）原方程可化为2 x2－2 x ＝0，
其二次项系数是2，一次项系数是－2，常数项是0.
7. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项
系数、一次项系数和常数项.
（3）（2 x －1）（3 x ＋2）＝3.
解：（3）原方程可化为6 x2＋ x －5＝0，
其二次项系数是6，一次项系数是1，常数项是－5.
8. 已知关于 x 的方程（ a －1） x2－ bx ＋ c ＝0.
（1）当 a ， b ， c 为何值时，此方程为一元二次方程？
解：（1）∵此方程为一元二次方程，
∴ a －1≠0，即 a ≠1.
∴当 a ≠1， b ， c 为任意实数时，此方程为一元二次方程.
（2）当 a ， b ， c 为何值时，此方程为一元一次方程？
解：（2）∵此方程为一元一次方程，
∴解得 a ＝1且 b ≠0.
∴当 a ＝1且 b ≠0， c 为任意实数时，此方程为一元一次方程.
9. 若方程（ m2－ m －2） ＋4 x －8＝0是关于 x 的一元二次
方程，则 m ＝ .
【解析】∵此方程为一元二次方程，∴ m2－2＝2.解得 m ＝±2.
当 m ＝2时， m2－ m －2＝22－2－2＝0，∴ m ＝2不符合题意，
应舍去；当 m ＝－2时， m2－ m －2＝（－2）2－（－2）－2＝
4.∴ m ＝－2符合题意.故答案为－2.
－2
10. 已知关于 x 的一元二次方程2 ax2＋3（ a ＋2） x ＋5 a －2＝0
的常数项是二次项系数的2倍，则一次项系数为 .
【解析】∵该一元二次方程的常数项是5 a －2，二次项系数是2
a ，∴5 a －2＝2×2 a .解得 a ＝2.∴一次项系数为3（ a ＋2）＝
3×（2＋2）＝12.故答案为12.
12
11. 根据下列问题，分别列出关于 x 的方程，并化为一元二次方
程的一般形式，写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）某超市儿童服装专柜销售一种品牌童装，平均每天可售出
30件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售
量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，每件童装每降价2
元，平均每天就可多售出6件.要使平均每天的销售盈利1 000
元，则每件童装应降价多少元？
解：设每件童装应降价 x 元.
根据题意，得[30＋（6÷2） x ]（40－ x ）＝1 000，
其一般形式是3 x2－90 x －200＝0.
∴该一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是－90，常数
项是－200.
（2）如图，要建一个底面积为130 m2的仓库，仓库的一边靠墙
（墙长16 m），并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门.现有能
围成32 m长的木板，求仓库垂直于墙的一边长.
解：设仓库垂直于墙的一边长为 x m.
根据题意，得（32－2 x ＋1） x ＝130，
其一般形式是2 x2－33 x ＋130＝0.
∴该一元二次方程的二次项系数是2，一次项系数是－33，常数
项是130.
12. （1）已知一元二次方程 a （ x2＋1）＋ b （ x ＋2）＋ c ＝0化
为一般形式后为6 x2＋10 x －1＝0，求以 a ， b 为两条对角线长的
菱形的面积；
解：原方程可化为 ax2＋ a ＋ bx ＋2 b ＋ c ＝0，
即 ax2＋ bx ＋（ a ＋2 b ＋ c ）＝0.
∵该方程化为一般形式后为6 x2＋10 x －1＝0，
∴ a ＝6， b ＝10.
∴ S菱形＝ ab ＝ ×6×10＝30.
（2）若 a ， b ， c 分别为△ ABC 的三边长，试说明方程 ax2＋ bx
（ x －1）＝ cx2一定是关于 x 的一元二次方程.
解：将原方程整理，得（ a ＋ b － c ） x2－ bx ＝0.
∵ a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，
∴ a ＋ b ＞ c ，即 a ＋ b － c ＞0.
∴ ax2＋ bx （ x －1）＝ cx2一定是关于 x 的一元二次方程.
13. （选做）已知方程 x2 a＋ b －2 xa－ b ＋3＝0是关于 x 的一元二次
方程，求 a ， b 的值.
解：由题意，当或或
或或时，原方程是关于 x 的一元二
次方程，分别解得或或或
或
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第二章 一元二次方程
回顾与思考
1. 下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ C ）
A. ax2＋ bx ＋ c ＝0 B. x （ x －1）＝（ x ＋1）2
C. x2－ mx －1＝0 D. － ＋4＝0
2. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －2＝0有两个不相等的
实数根，则 m 的取值范围是（ D ）
A. m ＜ B. m ＞3 C. m ≤3 D. m ＜3
C
D
3. 方程 x （ x －1）＝2（ x －1）2的解为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或－2
4. 已知一元二次方程 x2＋7 x －1＝0的两个实数根为α，β，则（α
－1）（β－1）的值为 .
5. 如图，学校计划建一个矩形自行车车棚，一边靠墙（墙长18
m），另外三边用总长50 m的栏杆围成，留2 m宽的门.若想建成
面积为240 m2的自行车车棚，则车棚垂直于墙的一边的长
为 m.
C
7
20
6. （2023·达州）已知 x1， x2是方程2 x2＋ kx －2＝0的两个实数
根，且 ＝10，则 k 的值为 .
7. 用适当的方法解下列方程：
（1）（ x －3）2＝49；
解：两边开平方，得 x －3＝±7.
∴ x1＝10， x2＝－4.
（2） x2－4 x －9＝0；
解：配方，得（ x －2）2＝13.∴ x －2＝± .
∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ .
7
（3）3 x （ x －2）＝5（ x －2）；
解：整理，得（ x －2）（3 x －5）＝0.
∴ x －2＝0或3 x －5＝0.∴ x1＝2， x2＝ .
（4） x2－7 x －44＝0.
解：整理，得（ x －11）（ x ＋4）＝0.
∴ x1＝11， x2＝－4.
8. 全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育
学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的
活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数为10万人，5
月份接待参观人数增加到12.1万人.
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 x .
根据题意，得10（1＋ x ）2＝12.1.
解得 x1＝0.1＝10％， x2＝－2.1（不符合题意，舍去）.
故这两个月参观人数的月平均增长率为10％.
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
解：（2）12.1×（1＋10％）＝13.31（万人）.
故预计6月份的参观人数为13.31万人.
9. 已知实数 x 满足 x2＋ ＋ x ＋ ＝0，则 x ＋ 的值为 .
10. 设关于 x 的方程 x2－6 x ＋ k ＝0的两根是 m 和 n ，且3 m ＋2 n
＝20，则 k 的值为 .
－2
－16
解方程： x2－｜ x ｜－2＝0.
解：当 x ≥0时，原方程化为 x2－ x －2＝0.
解得 x1＝2， x2＝－1.
∵ x ≥0，∴ x ＝－1舍去.
∴ x ＝2是原方程的解.
当 x ＜0时，原方程化为 x2＋ x －2＝0.
11. 阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法.
解得 x1＝－2， x2＝1.
∵ x ＜0，∴ x ＝1舍去.
∴ x ＝－2是原方程的解.
综上所述，原方程的解为 x ＝2或 x ＝－2.
借鉴例题解题方法，解方程： x2＋2｜ x ＋2｜－4＝0.
解：①当 x ＋2≥0，即 x ≥－2时，方程整理，得 x2＋2 x ＝0，即
x （ x ＋2）＝0.解得 x1＝0， x2＝－2，均符合.②当 x ＋2＜0，即
x ＜－2时，方程整理，得 x2－2 x －8＝0，即（ x －4）（ x ＋2）
＝0.解得 x1＝4（不符合题意，舍去）， x2＝－2（不符合题意，
舍去）.综上所述，原方程的解为 x ＝0或 x ＝－2.
12. 某公司投资新建了一个商场，共有商铺30间.据预测，当每
间的年租金定为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5
000元，少租出商铺1间.假设年租金的增加额均为5 000元的整数
倍，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共计1万元，未
租出的商铺每间每年交各种费用共计5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
解：（1）（13－10）÷0.5＝6，30－6＝24（间）.
故能租出24间.
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该商场的年收益为
275万元？（收益＝租金－各种费用）
解：（2）设每间商铺的年租金增加 x 万元，则每间的年租金是
（10＋ x ）万元，有 间商铺没有出租，出租的商铺有
间，出租的商铺需要交［（30－ ）×1］万元费用，没有
出租的需要交 万元的费用.
由题意，得 ×（10＋ x ）－ ×1－ ×0.5
＝275.整理，得2 x2－11 x ＋5＝0.解得 x1＝5， x2＝0.5.当 x ＝5时，
10＋ x ＝10＋5＝15；当 x ＝0.5时，10＋ x ＝10＋0.5＝10.5.故每
间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该商场的年收益为
275万元.
13. （选做）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ C ＝
90°， BC ＝16， DC ＝12， AD ＝21.动点 P 从点 D 出发，沿射线
DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点 Q 从点 C 出
发，在线段 CB 上以每秒1个单位长度的速度向点 B 运动.点 P ，
Q 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点 Q 随之停止运动.设运动
的时间为 t s .
（1）设△ BPQ 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式；
解：（1）如答图，过点 P 作 PM ⊥ BC ，垂足为 M ，则四边形 PMCD 为矩形.∴ PM ＝ DC ＝12.
∵ QB ＝16－ t ，∴ S ＝ ×（16－ t ）×12＝
－6 t ＋96（0≤ t ≤10.5）.
答图
答图
（2）当 t 为何值时，以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形是等腰三
角形？
解：（2）由图知， CM ＝ PD ＝2 t ， CQ ＝ t ，
∴ MQ ＝ CQ ＝ t .
以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形是等腰三角
形，可分为三种情况：
①当 PQ ＝ BQ 时，在Rt△ PMQ 中， PQ2＝ t2＋
122.由 PQ2＝ BQ2，得 t2＋122＝（16－ t ）2.解得
t ＝ .
②当 BP ＝ BQ 时，在Rt△ PMB 中， BP2＝（16－2 t ）2＋122.由
BP2＝ BQ2，得（16－2 t ）2＋122＝（16－ t ）2，即3 t2－32 t ＋
144＝0.∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－32）2－4×3×144＝－704＜0，
∴3 t2－32 t ＋144＝0无实数根.∴ PB ≠ BQ .
③当 PQ ＝ PB 时，由 PQ2＝ PB2，得 t2＋122＝（16－2 t ）2＋122.
整理，得3 t2－64 t ＋256＝0.解得 t1＝ ， t2＝16（不符合题意，
舍去）.
综上所述，当 t ＝ 或 时，以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形
是等腰三角形.
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第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程(第二课时)
1. 下列关于 x 的一元二次方程中，有一个根为1的方程是
（ B ）
A. x2－2 x ＋3＝0 B. x2－3 x ＋2＝0
C. x2－2 x －3＝0 D. x2＋3 x －2＝0
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ b ＝0的一个根为1，则 b
的值为（ A ）
A. －2 B. －3 C. 4 D. －6
B
A
3. 下表是某同学求代数式 x2－ x 的值的情况.根据表格可知，方
程 x2－ x ＝2的解是（ C ）
x －2 －1 0 1 2 3 …
x2－ x 6 2 0 0 2 6 …
A. x ＝－1 B. x ＝0
C. x ＝－1或 x ＝2 D. x ＝0或 x ＝1
C
4. 已知方程2 x －4＝0的解也是关于 x 的方程 x2＋ mx ＋2＝0的一
个解，则 m ＝ .
【解析】解方程2 x －4＝0，得 x ＝2.把 x ＝2代入方程 x2＋ mx ＋2
＝0中，得4＋2 m ＋2＝0.解得 m ＝－3.故答案为－3.
5. 已知 m 是方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，则－6 m2＋9 m －13的
值为 .
－3
－16
x －4 －2 0 2 4
x2＋ x －12 0 －10 －12 －6 8
从表中可看出方程的一个解为 ，另一个解应介于
和 之间.
【解析】把 x ＝－4，2，4依次代入 x2＋ x －12中，分别计算得
到0，－6，8，于是在表格中从左至右填0，－6，8.根据表格中
的数据可得方程的一个解为－4，另一个解应介于2和4之间.故
答案为0，－6，8，－4，2，4.
0
－6
8
－4
2
4
6. 先填表，再探索一元二次方程 x2＋ x －12＝0的解的取值范围.
7. 已知2－ 是方程 x2－4 x ＋ c ＝0的一个根.
（1）求 c 的值.
解：（1）∵2－ 是方程 x2－4 x ＋ c ＝0的一个根，
∴（2－ ）2－4（2－ ）＋ c ＝0.解得 c ＝1.
（2）2＋ 是否是该方程的另一个根？说一说你的理由.
解：（2）2＋ 是该方程的另一个根.理由如下：
把 x ＝2＋ 代入方程的左边，得
（2＋ ）2－4×（2＋ ）＋1＝0.
∴2＋ 是该方程的另一个根.
8. 如图，在一块长8 m、宽6 m的矩形绿地内，开辟出一个矩形
的花圃，使四周的绿地等宽.已知绿地的面积与花圃的面积相
等，求花圃四周绿地的宽（用列表的方法解答）.
解：设花圃四周绿地的宽为 x m.
根据题意，得（8－2 x ）（6－2 x ）＝ ×8×6.
整理，得 x2－7 x ＋6＝0.
列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7
x2－7 x ＋6 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由表格可知， x ＝1或 x ＝6（不符合题意，舍去）.
故花圃四周绿地的宽为1 m.
9. 代数式 x2－5 x ＋3的值与 x 的值的对应情况如下表所示：
x 4.1 4.2 4.3 4.4
x2－5 x ＋3 －0.69 －0.36 －0.01 0.36
判断方程 x2－5 x ＋3＝0的一个解 x 的近似值为 （精确到
0.1）.
4.3
10. 已知 x ＝ a 是关于 x 的一元二次方程（ m ＋1） x｜2 m｜＋ mx －
5＝0的一个根，则2 a3＋ a2－5 a ＋1＝ .
【解析】由题意，得 m ＋1≠0且｜2 m ｜＝2.解得 m ≠－1且 m ＝
±1.∴ m ＝1.∴原方程变形为2 x2＋ x －5＝0.又∵ x ＝ a 是该一元
二次方程的一个根，∴2 a2＋ a －5＝0.∴原式＝ a （2 a2＋ a －
5）＋1＝1.故答案为1.
1
11. （1）已知一个关于 x 的一元二次方程的二次项系数为1，且
两根分别是－ 和3 ，求这个一元二次方程；
解：设这个一元二次方程为 x2＋ mx ＋ n ＝0.
∵－ 和3 是该一元二次方程的两根，
∴解得
∴这个一元二次方程为 x2－2 x －6＝0.
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝
＝ .
∵ m 是方程 x2＋3 x －1＝0的一个根，
∴ m2＋3 m －1＝0，即 m2＋3 m ＝1.
当 m2＋3 m ＝1时，原式＝ ＝ .
（2）先化简，再求值： ÷（ m ＋2－ ），其中 m 是
方程 x2＋3 x －1＝0的一个根.
12. 已知一个直角三角形的斜边长为7，一条直角边比另一条直
角边长1，求两条直角边的长.设较短的一条直角边的长为 x .
（1）根据题意列出一元二次方程；
解：（1）根据题意，得 x2＋（ x ＋1）2＝72.
化简，得 x2＋ x －24＝0.
（2）请你估计出 x 的值（结果保留一位小数）.
解：（2）列表如下：
x 1 2 3 4 5
x2＋ x －24 －22 －18 －12 －4 6
由表格可知，4＜ x ＜5.
继续列表如下：
x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
x2＋ x －24 －3.09 －2.16 －1.21 －0.24 0.75
由表格可知，4.4＜ x ＜4.5.
∵－0.24比0.75更靠近0，
∴ x 的值约为4.4.
13. （选做）已知方程 x2－3 x ＋1＝0.
（1）求 x ＋ 的值；
解：（1）∵ x2－3 x ＋1＝0，∴ x ≠0.
∴方程两边同时除以 x ，得 x －3＋ ＝0.
∴ x ＋ ＝3.
（2）求 x － 的值；
解：（2）∵ ＝ －4＝32－4＝5，
∴ x － ＝± .
（3）求 x2＋ 的值；
解：（3）∵ ＝ x2＋2＋ ＝32＝9，
∴ x2＋ ＝9－2＝7.
（4）若 a 为方程 x2－3 x ＋1＝0的一个根，求2 a2－6 a ＋2
024的值.
解：（4）∵ a 为方程 x2－3 x ＋1＝0的一个根，
∴ a2－3 a ＋1＝0，即 a2－3 a ＝－1.
∴原式＝2（ a2－3 a ）＋2 024＝－2＋2 024＝2 022.
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第二章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
1. （2023·天津）若 x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0的两个根，则
（ A ）
A. x1＋ x2＝6 B. x1＋ x2＝－6
C. x1· x2＝ D. x1· x2＝7
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5 x － m ＝0的一个根是2，则
另一个根是（ A ）
A. －7 B. －3 C. 3 D. 7
A
A
3. （2023·山东）已知一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两根为 x1，
x2，则 ＋ 的值为（ C ）
A. B. －3 C. 3 D. －
C
4. 已知方程 x2＋ bx ＋3＝0的一个根为 － ，则方程的另一
个根为 .
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x －2 m ＋1＝0有两个实数根，
且一个为正数，一个为负数，则实数 m 的取值范围是
.
6. （2023·内江）已知 a ， b 是方程 x2＋3 x －4＝0的两根，则 a2
＋4 a ＋ b －3＝ .
＋
m ＞
－2
（1）－ x2＋6 x －7＝0；
解：∵ a ＝－1， b ＝6， c ＝－7，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝62－4×（－1）×（－7）＝8＞0.
∴该方程有两个实数根.
设该方程的两个实数根是 x1， x2，则
x1＋ x2＝－ ＝－ ＝6，
x1 x2＝ ＝ ＝7.
7. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（2） x （3 x －1）－1＝0；
解：原方程整理，得3 x2－ x －1＝0.
这里 a ＝3， b ＝－1， c ＝－1.
∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－1）2－4×3×（－1）＝13＞0.
∴该方程有两个实数根.
设该方程的两个实数根是 x1， x2，则
x1＋ x2＝－ ＝－ ＝ ，
x1 x2＝ ＝ ＝－ .
（3）（2 x ＋5）（ x ＋1）＝ x ＋8.
解：原方程整理，得2 x2＋6 x －3＝0.
这里 a ＝2， b ＝6， c ＝－3.
∴Δ＝ b2－4 ac ＝62－4×2×（－3）＝60＞0.
∴该方程有两个实数根.
设该方程的两个实数根是 x1， x2，则
x1＋ x2＝－ ＝－ ＝－3，
x1 x2＝ ＝ ＝－ .
8. 已知 x1， x2是方程 x2＋6 x －1＝0的两个根，不解方程，求下
列代数式的值：
（1）（ x1－2）（ x2－2）；
（1）（ x1－2）（ x2－2）＝ x1 x2－2 x1－2 x2＋4＝ x1 x2－2（ x1＋
x2）＋4＝－1－2×（－6）＋4＝15.
（2） ＋ ；
（2） ＋ ＝ ＋ ＋2 x1 x2－2 x1 x2＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝
（－6）2－2×（－1）＝38.
解：由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－6， x1 x2＝－1.
（3）（ x1－ x2）2.
（3）（ x1－ x2）2＝ －2 x1 x2＋ ＝ ＋2 x1 x2＋ －4 x1 x2＝
（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（－6）2－4×（－1）＝40.
9. 已知方程 x2－2 024 x ＋1＝0的两根分别为 x1， x2，则 －
的值为 .
【解析】由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝2 024， x1 x2＝1.∴ x1＝
， －2 024 x1＝－1.∴ － ＝ －2 024 x1＝－1.故答
案为－1.
－1
10. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 mx ＋3 m2＝0（ m ＞0）的一
个根比另一个根大2，则 m 的值为 .
【解析】由题意，设方程的两根分别为 t ， t ＋2.根据根与系数
的关系，得 t ＋ t ＋2＝4 m ， t （ t ＋2）＝3 m2.则 t ＝2 m －1.把 t ＝
2 m －1代入 t （ t ＋2）＝3 m2，得（2 m －1）（2 m ＋1）＝3 m2.
整理，得 m2－1＝0.解得 m ＝1或 m ＝－1（不符合题意，舍
去）.∴ m 的值为1.故答案为1.
1
11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 m ＋1） x ＋ m2－1＝0有
两个不相等的实数根.
（1）求 m 的取值范围；
解：（1）由题意，得Δ＝（2 m ＋1）2－4（ m2－1）＞0.解得 m
＞－ .
解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－（2 m ＋1）， x1 x2
＝ m2－1.
∴ ＋ ＋ x1 x2－17＝（ x1＋ x2）2－ x1 x2－17
＝（2 m ＋1）2－（ m2－1）－17＝0，
即3 m2＋4 m －15＝0.解得 m1＝ ， m2＝－3.
又∵ m ＞－ ，∴ m ＝ .
（2）设 x1， x2是该方程的两根且满足： ＋ ＋ x1 x2－17＝
0，求 m 的值.
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k2＋1＝0有两
个不相等的实数根 x1， x2.
（1）求实数 k 的取值范围；
解：（1）由题意，得Δ＝（2 k ＋1）2－4（ k2＋1）＝4 k －3＞0.
解得 k ＞ .
（2）若方程的两实数根 x1， x2满足 ＋ ＝ x1 x2，求 k 的值.
解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2 k －1， x1 x2＝
k2＋1.
∵ k ＞ ，∴ x1＋ x2＝－2 k －1＜0， x1 x2＝ k2＋1＞0.
∴ x1＜0， x2＜0.又∵ ＋ ＝ x1 x2，
∴－ x1－ x2＝ x1 x2.∴2 k ＋1＝ k2＋1.
∴ k1＝0， k2＝2.又∵ k ＞ ，
∴ k ＝2.
13. （选做）已知 m2－2 m －1＝0， n2＋2 n －1＝0且 mn ≠1，求
的值.
解：由 n2＋2 n －1＝0，可知 n ≠0.∴1＋ － ＝0.
∴ － －1＝0，即 －2· －1＝0.
又∵ m2－2 m －1＝0，且 mn ≠1，即 m ≠ ，
∴ m ， 是方程 x2－2 x －1＝0的两根.∴ m ＋ ＝2.
∴ ＝ m ＋1＋ ＝2＋1＝3.
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第二章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
1. 方程 x2－3 x ＝0的根是（ C ）
A. x1＝ x2＝0 B. x1＝ x2＝3
C. x1＝0， x2＝3 D. x1＝0， x2＝－3
C
2. 下列解方程的过程正确的是（ D ）
A. 解方程2 x2＝ x 时，将方程两边同时除以 x ，得 x ＝2
B. 解方程2 x2＋6 x ＝0时，将方程两边同时除以2 x ，得 x ＝－3
C. 解方程 x2＋1＝2 x 时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得 x1＝
x2＝－1
D. 解方程 x2＋2 x ＋1＝0时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得
x1＝ x2＝－1
D
3. 一元二次方程 x2－4 x ＝12的根是（ B ）
A. x1＝2， x2＝－6 B. x1＝－2， x2＝6
C. x1＝－2， x2＝－6 D. x1＝2， x2＝6
4. 一元二次方程（ x －3）（ x －2）＝0的根是
.
5. 以－1和6为根，且二次项系数是1的一元二次方程是
.
6. （1）方程 x （ x －2）＝ x －2的解是 ；
（2）方程 x （ x －6）＋9＝0的解是 .
B
x1＝3， x2＝
2
（ x ＋
1）（ x －6）＝0或 x2－5 x －6＝0
x1＝2， x2＝1
x1＝ x2＝3
7. 用因式分解法解下列方程：
（1）5 x2＋4 x ＝0；
解：提取公因式，得 x （5 x ＋4）＝0.
解得 x1＝0， x2＝－ .
（2）（2 x ＋3）2－25＝0；
解：因式分解，得（2 x ＋3＋5）（2 x ＋3－5）＝0，
即4（ x ＋4）（ x －1）＝0.
解得 x1＝－4， x2＝1.
（3）2 x2＋ x －6＝0；
解：因式分解，得（ x ＋2）（2 x －3）＝0.
解得 x1＝－2， x2＝ .
（4）（ x －5）（ x ＋2）＝8.
解：原方程整理，得 x2－3 x －18＝0.
因式分解，得（ x ＋3）（ x －6）＝0.
解得 x1＝－3， x2＝6.
8. 用适当的方法解下列方程：
（1）2（ x －2）2＝50；
解：原方程可化为（ x －2）2＝52.
方程两边开平方，得 x －2＝±5.
解得 x1＝7， x2＝－3.
（2）5 x2＝ x ＋4；
解：原方程整理，得5 x2－ x －4＝0.
因式分解，得（5 x ＋4）（ x －1）＝0.
解得 x1＝－ ， x2＝1.
（3）2 x2－7 x ＝2；
解：原方程整理，得2 x2－7 x －2＝0.
这里 a ＝2， b ＝－7， c ＝－2，
∴ b2－4 ac ＝（－7）2－4×2×（－2）＝65.
∴ x ＝ ＝ .
∴ x1＝ ， x2＝ .
（4）3 －5 －2＝0.
解：因式分解，得 ＝0，
即 ＝0.
解得 x1＝ ， x2＝ .
9. 在实数范围内定义运算“ ”，其法则为 a b ＝ a2－ b2，则
方程（4 3） x ＝2 x ＋1的解为 .
【解析】由题意，得4 3＝42－32＝7，∴（4 3） x ＝7 x
＝72－ x2＝2 x ＋1，即 x2＋2 x －48＝0.∴（ x ＋8）（ x －6）＝
0.∴ x1＝－8， x2＝6.故答案为 x1＝－8， x2＝6.
x1＝－8， x2＝6
10. 如图，在 ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AE ＝ EB ＝ EC ＝
a ，且 a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，则 ABCD 的周长
是 .
4＋2
【解析】∵ a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，∴ a ＝－3
（舍去）或 a ＝1.∵ AE ＝ EB ＝ EC ＝ a ，∴ BC ＝2， AB ＝
.∴ ABCD 的周长为2×（2＋ ）＝4＋2 .故答案为4＋2
.
11. 已知关于 x 的方程（2 x － m ）（ mx ＋1）＝（3 x ＋1）（ mx
－1）的一个根为0，求 m 的值和方程的另一个根.
解：将 x ＝0代入原方程，得－ m ＝－1，解得 m ＝1.
∴原方程为（2 x －1）（ x ＋1）＝（3 x ＋1）（ x －1）.
化简，得 x2－3 x ＝0.
解得 x1＝0， x2＝3.
∴ m ＝1，方程的另一个根为3.
12. 解方程： x ｜ x ｜－4｜ x ｜＋3＝0.
解：①当 x ≥0时，原方程变形为 x2－4 x ＋3＝0.
解得 x1＝1， x2＝3，均符合题意.
②当 x ＜0时，原方程变形为 x2－4 x －3＝0.
解得 x1＝2＋ ， x2＝2－ .
又∵ x ＜0，∴ x ＝2－ .
综上，原方程的解为 x1＝1， x2＝3， x3＝2－ .
13. （选做）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（3 k ＋1） x ＋2 k2
＋2 k ＝0.
（1）求证： k 取任何实数值，该方程总有实数根；
（1）证明：Δ＝[－（3 k ＋1）]2－4×1×（2 k2＋2 k ）＝ k2－2 k
＋1＝（ k －1）2.
∵ k 取任何实数值，恒有（ k －1）2≥0，∴Δ≥0.
∴ k 取任何实数值，该方程总有实数根.
（2）解：原方程化为 x2－[2 k ＋（ k ＋1）] x ＋2 k （ k ＋1）＝0.
因式分解，得（ x －2 k ）[ x －（ k ＋1）]＝0.
解得 x1＝2 k ， x2＝ k ＋1.
不妨设 b ＝2 k ， c ＝ k ＋1.
∵△ ABC 为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①若 a ＝ b ，则6＝2 k .解得 k ＝3.则 a ， b ， c 分别为6，6，4，能
组成三角形.此时，△ ABC 的周长为6＋6＋4＝16.
（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝6，另外两边长 b ， c 恰好
是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长（用因式分解法）.
②若 a ＝ c ，则6＝ k ＋1.解得 k ＝5.则 a ， b ， c 分别为6，10，
6，能组成三角形.此时，△ ABC 的周长为6＋10＋6＝22.
③若 b ＝ c ，则2 k ＝ k ＋1.解得 k ＝1.则 a ， b ， c 分别为6，2，
2，不能组成三角形，舍去.
综上所述，△ ABC 的周长为16或22.
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第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程(第一课时)
1. 方程（ x ＋2）2＝3的根是（ D ）
A. x1＝2＋ ， x2＝2－
B. x1＝2＋ ， x2＝2＋
C. x1＝－2－ ， x2＝2－
D. x1＝－2＋ ， x2＝－2－
2. 一元二次方程 x2－6 x －5＝0配方后可变形为（ A ）
A. （ x －3）2＝14 B. （ x －3）2＝4
C. （ x ＋3）2＝14 D. （ x ＋3）2＝4
D
A
3. 已知 x2－12 x ＋ m ＝（ x ＋ n ）2，则 m － n ＝（ C ）
A. 30 B. 36 C. 42 D. 48
4. 若关于 x 的方程（ x ＋ a ）2＝ b 有解，则 b 的取值范围是
.
5. （1）一元二次方程 （ x －4）2＝18的解是 ；
（2）一元二次方程 x2－10 x －1＝0的解是
.
C
b
≥0
x1＝10， x2＝－
2
x1＝5＋ ， x2＝
5－
6. 用直接开平方法解下列方程：
（1）（ x －3）2＝4；
解：方程两边开平方，得 x －3＝±2，
即 x －3＝2，或 x －3＝－2.
∴ x1＝5， x2＝1.
（2） x2－ ＝0；
解：原方程可化为 x2＝ ，即 x2＝ .
∴ x1＝ ， x2＝－ .
（3）（ x －2）2＝6；
解：方程两边开平方，得 x －2＝± ，
即 x ＝2± .
∴ x1＝ ＋ ， x2＝ － .
（4）4（ x －1）2－9＝0.
解：原方程可化为（ x －1）2＝ .
方程两边开平方，得 x －1＝± ，
即 x －1＝ ，或 x －1＝－ .
∴ x1＝ ， x2＝－ .
7. 用配方法解下列方程：
（1） x2－2 x ＝2；
解：原方程可化为（ x －1）2＝3.
方程两边开平方，得 x －1＝± ，
即 x －1＝ ，或 x －1＝－ .
∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ .
（2） x2－4 x －7＝0；
解：原方程可化为（ x －2）2＝11.
方程两边开平方，得 x －2＝± ，
即 x －2＝ ，或 x －2＝－ .
∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ .
（3） x2＋ x ＝6－4 x ；
解：原方程可化为 ＝ .
方程两边开平方，得 x ＋ ＝± ，
即 x ＋ ＝ ，或 x ＋ ＝－ .
∴ x1＝1， x2＝－6.
（4）9 x － ＝ x2.
解：原方程可化为 ＝ .
方程两边开平方，得 x － ＝± ，
即 x － ＝ ，或 x － ＝－ .
∴ x1＝ ， x2＝ .
8. 有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着
比门框宽4尺（尺是我国传统的一种长度单位，3尺＝1米），竖
着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角线斜着拿竿，
这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？
解：设竹竿长为 x 尺，则门框的宽为（ x －4）尺，门框的高为
（ x －2）尺.
根据题意，得 x2＝（ x －2）2＋（ x －4）2.
整理，得 x2－12 x ＋20＝0.
配方，得（ x －6）2＝16.
解得 x1＝10， x2＝2（不合题意，舍去）.
故竹竿的长度为10尺.
9. 已知一元二次方程 x2－2 x ＝3 599的两根为 x1＝ a ， x2＝ b ，且
a ＞ b ，则2 a － b 的值为 .
10. 已知（2 x ＋1）2＋2（2 x ＋1）－4＝0，则 x ＝
.
181
或
－
【解析】令2 x ＋1＝ y ，则原方程可化为 y2＋2 y －4＝0.解得 y ＝
－1，或 y ＝－ －1.若 y ＝ －1，则2 x ＋1＝ －1，解
得 x ＝ ；若 y ＝－ －1，则2 x ＋1＝－ －1，解得 x ＝
－ .综上所述， x ＝ 或－ .故答案为 或－
.
11. 如图，有一块矩形硬纸板长50 cm、宽30 cm.在其四个角各剪
去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个
无盖的长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体
盒子的侧面积为600 cm2？
解：设剪去正方形的边长为 x cm.根据题意，得2 x （50－2 x ）＋
2 x （30－2 x ）＝600.整理，得 x2－20 x ＋75＝0.移项，得 x2－20
x ＝－75.配方，得 x2－20 x ＋100＝－75＋100，即（ x －10）2＝
25，解得 x1＝5， x2＝15.当 x ＝15时，30－2 x ＝0，不符合题
意，舍去.∴ x ＝5.故当剪去正方形的边长为5 cm 时，所得长方
体盒子的侧面积为600 cm2.
12. 对于实数 p ， q ，我们用符号min{ p ， q }表示 p ， q 两数中较
小的数，如min{1，2}＝1，min{－ ，－ }＝－ .若
min{（ x －1）2， x2}＝1，求满足条件的 x 的值.
解：①若min{（ x －1）2， x2}＝（ x －1）2＝1，则 x ＝2或0.
当 x ＝2时， x2＝4＞1，符合；
当 x ＝0时， x2＝0＜1，不符合.
②若min{（ x －1）2， x2}＝ x2＝1，则 x ＝1或－1.
当 x ＝1时，（ x －1）2＝0＜1，不符合；
当 x ＝－1时，（ x －1）2＝4＞1，符合.
综上所述， x 的值为2或－1.
13. （选做）有 n 个方程： x2＋2 x －8＝0； x2＋2×2 x －8×22＝
0；…； x2＋2 nx －8 n2＝0.小明解第1个方程 x2＋2 x －8＝0的步
骤如下：① x2＋2 x ＝8；② x2＋2 x ＋1＝8＋1；③（ x ＋1）2＝
9；④ x ＋1＝±3；⑤ x ＝1±3；⑥ x1＝4， x2＝－2.
（1）小明的解法是从第几步开始出现错误的？请写出正确
的步骤.
解：（1）小明的解法是从第⑤步开始出现错误.正确的步骤如
下：① x2＋2 x ＝8；② x2＋2 x ＋1＝8＋1；③（ x ＋1）2＝9；④
x ＋1＝±3；⑤ x ＝－1±3；⑥ x1＝2， x2＝－4.
（2）用配方法解第 n 个方程 x2＋2 nx －8 n2＝0（用含有 n 的式子
表示方程的根）.
解：（2）把常数项移到方程的右边，得 x2＋2 nx ＝8 n2.两边都
加上 n2，得 x2＋2 nx ＋ n2＝8 n2＋ n2，即（ x ＋ n ）2＝9 n2.两边开
平方，得 x ＋ n ＝±3 n .∴ x1＝2 n ， x2＝－4 n .
（3）根据方程 x2＋2 nx －8 n2＝0的解，直接写出方程 x2＋40 x －
3 200＝0的解.
解：（3）原方程可化为 x2＋2×20 x －8×202＝0.由（2）可知，
x2＋40 x －3 200＝0的解为 x ＝2×20，或 x ＝－4×20，即 x1＝
40， x2＝－80.
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