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第六章 反比例函数
3 反比例函数的应用
1. （2023·荆州）已知蓄电池的电压 U 为定值，使用蓄电池时，
电流 I （单位：A）与电阻 R （单位：Ω）是反比例函数关系
.下列反映电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象大致是
（ D ）
A
B
C
D
D
2. （2023·随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，
电流 I （单位：A）与电阻 R （单位：Ω）是反比例函数关系，
它的图象如图所示，则当电阻为6 Ω时，电流为（ B ）
A. 3 A B. 4 A C. 6 A D. 8 A
（第2题图）
B
3. 已知反比例函数 y ＝ 的图象经过点 ，则 m 的值为
（ D ）
A. 2 B. －1 C. 3 D. －3
D
4. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x
（米）成反比例， y 关于 x 的函数图象如图所示.经过一段时间的
矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼
镜的度数减少了 度.
（第4题图）
200
5. （2023·江苏）若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为 x ，
y ，则 y 关与 x 的函数表达式为 .
6. （2023·日照）已知反比例函数 y ＝ （ k ＞1且 k ≠2）的图
象与一次函数 y ＝－7 x ＋ b 的图象共有两个交点，且两交点横坐
标的乘积 x1 x2＞0，请写出一个满足条件的 k 值
.
y ＝
1.5（满足1＜ k
＜2都可以）
（1）该运输公司的平均运输速度 v （m3/天）与完成运输所需时
间 t （天）之间具有怎样的函数关系？
解：（1）根据题意，得 vt ＝6×105，
∴ v ＝ （ t ＞0）.
7. 某县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总
量为6×105 m3.某运输公司承接了运送土石方的任务.
（2）该运输公司共有80辆卡车，每天一共可以运输土石方104
m3.该公司完成全部运输任务需要多长时间？
解：（2）当 v ＝104时， t ＝ ＝60.
故该公司完成全部运输任务需要60天.
8. 去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待.经调查发
现，学生的舒适度指数 y 与等待时间 x （min）之间的关系为 y ＝
.
（1）当等待时间 x ＝5时，求舒适度指数 y 的值.
解：（1）当 x ＝5时，舒适度指数 y ＝ ＝
＝20.
（2）函数 y ＝ （ x ＞0）的图象如图所示.舒适度指数不低于
10时，学生才会感到舒适.请根据图象说明，为保证舒适度不低
于10，每名在窗口买菜的学生最多等待多长时间？
解：（2）舒适度指数不低于10时，即 y ≥10.
由图象可知，当 y ≥10时，0＜ x ≤10.
∴每名在窗口买菜的学生最多等待10 min.
9. （2023·扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变
的条件下，气球内气体的压强 p 是气球体积 V 的反比
例函数，且当 V ＝3 m3时， p ＝8 000 Pa.当气球内的气体压强大
于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积
应不小于 m3.
0.6
【解析】设 p ＝ .∵当 V ＝3 m3时， p ＝8 000 Pa，∴ k ＝ pV ＝
24 000.∴ p ＝ .∵24 000＞0，∴当 V ＞0 m3时， p 的值随着
V 值的增大而减小.当 p ＝40 000 Pa时， V ＝0.6 m3.∴当 V ≥0.6
m3时， p ≤40 000 Pa.故为确保气球不爆炸，气球的体积应不小
于0.6 m3.故答案为0.6.
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－ x ＋ b 与反比例函数
y ＝ 的图象有唯一公共点.要使直线 y ＝－ x ＋ b 与反比例函数 y
＝ 的图象有两个公共点，则 b 的取值范围是 .
b ＞2或 b ＜－
2
【解析】联立方程组得 x2－ bx ＋1＝0.∵直线 y ＝
－ x ＋ b 与反比例函数 y ＝ 的图象有两个公共点，∴方程 x2－
bx ＋1＝0有两个不相等的实数根.∴Δ＝ b2－4＞0.∴ b ＞2或 b ＜
－2.故答案为 b ＞2或 b ＜－2.
11. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的
大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的
新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y
（℃）随时间 x （h）变化的函数图象如图所示，其中 BC 段
是双曲线 y ＝ （ k 为常数， k ≠0）的一部分.请根据图中信
息，解答下列问题：
解：（1）12－2＝10（h），即恒温系统在
这天保持大棚内温度为18 ℃的时间为10 h.
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多久？
（2）求 k 的值；
解：（2）把点 B 的坐标（12，18）代入 y ＝ ，得18＝ .
解得 k ＝216.
（3）当 x ＝16时，大棚内的温度为多少摄氏度？
解：（3）由（2），得当 x ≥12时， y ＝ .
把 x ＝16代入 y ＝ ，得 y ＝ ＝13.5，
即当 x ＝16时，大棚内的温度为13.5 ℃.
12. 如图，一次函数 y ＝－ x ＋ 的图象与反比例函数 y ＝ （ k
＞0）的图象交于 A ， B 两点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 M .
已知△ AOM 的面积为1，
（1）求反比例函数的表达式；
解：（1）∵反比例函数 y ＝ （ k ＞0）的图
象过点 A ，△ AOM 的面积为1.
∴ ｜ k ｜＝1.
又∵ k ＞0，∴ k ＝2.
故反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）求出 A ， B 两点的坐标，并直接写出不等式 ＜－ x ＋
的解集；
解：（2）联立
解得或
∴ A （1，2）， B .
∴不等式 ＜－ x ＋ 的解集为 x ＜0或1＜ x ＜4.
（3）在 x 轴上找一点 P ，并求｜ PA － PB ｜取最大值时点 P
的坐标.
解：（3）一次函数 y ＝－ x ＋ 的图象与 x
轴的交点即为点 P ，此时｜ PA － PB ｜的值
最大，最大值为 AB 的长.
在一次函数 y ＝－ x ＋ 中，令 y ＝0，
则－ x ＋ ＝0.解得 x ＝5.
∴点 P 的坐标为（5，0）.
13. （选做）如图，图中有8个台阶，每个台阶的高和宽分别是1
和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm （ m 为1～8的整数）.函
数 y ＝ （ x ＜0）的图象为曲线 L .
（1）若 L 过点 T1，求 k 的值；
（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴ T1（－16，1）， T2（－14，2）， T3（－12，3）， T4（－10，4），
T5（－8，5）， T6（－6，6）， T7（－4，7）， T8（－2，8）.
∵ L 过点 T1，∴ k ＝－16×1＝－16.
（2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm ，试求 m 的值；
（2）解：∵ L 过点 T4，∴ k ＝－10×4＝
－40.∴反比例函数的表达式为 y ＝－ .
当 x ＝－8时， y ＝5.∴点 T5在反比例函数
的图象上.∴ m ＝5.
（3）【解析】若曲线 L 过点 T1（－16，
1）， T8（－2，8），则 k ＝－16；若曲
线 L 过点 T2（－14，2）， T7（－4，
7），则 k ＝－14×2＝－28；若曲线 L 过
点 T3（－12，3）， T6（－6，6），则 k
＝－12×3＝－36；
（3）若曲线 L 使得 T1～ T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个
点，则 k 的整数值有 个.
7
若曲线 L 过点 T4（－10，4）， T5（－8，5），则 k ＝－40.这些
k 的值从小到大依次为－40，－36，－28，－16.∵曲线 L 使得
T1～ T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴－36＜ k ＜
－28.∴整数 k ＝－35，－34，－33，－32，－31，－30或－29，
共7个.故答案为7.
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第六章 反比例函数
1 反比例函数
1. 下列 y 关于 x 的函数中， y 是 x 的反比例函数的是（ A ）
A. y ＝－ B. xy ＝ k
C. y ＝ D. y ＝
2. 若函数 y ＝ 是反比例函数，则 m 的值是
（ D ）
A. 1 B. －2 C. ±2 D. 2
A
D
①三角形底的边为定值，它的面积 S 和这条边上的高线 h ；
②三角形的面积为定值，它的底边 a 与这条边上的高线 h ；
③面积为定值的矩形的长与宽；
④圆的周长与它的半径.
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
3. 下列两个变量成反比例函数关系的是（ C ）
C
4. 在① y ＝ ；② y ＝－ ；③ y ＝ ＋1；④ y ＝ （ a ≠－1）四个函数中，为反比例函数的是 （填序号）.
5. 数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形
学具进行展示.设矩形的宽为 x cm，长为 y cm，则这些同学所制
作的矩形长 y （cm）与宽 x （cm）之间的函数关系式是
.
①②④
y ＝
（ x ＞0）
x … －2 －1 1 2 …
y … －6 －12 12 6 …
则 y 与 x 之间的函数关系式是 .
y ＝
6. 已知两个变量 x 与 y 之间的对应值如下表：
解：①由题意可知， k －2≠0，解得 k ≠2.
②将 x ＝2， y ＝6代入，得6＝ .
∴ k －2＝12.
∴此函数的表达式为 y ＝ .
7. （1）已知函数 y ＝ 是反比例函数.
①求 k 的取值范围；
②当 x ＝2时， y 的值为6，求此函数的表达式.
解：当 y 为 x 的正比例函数时，有
解得 a ＝－1.
∴当 a ＝－1时， y 为 x 的正比例函数.
当 y 为 x 的反比例函数时，有
解得 a ＝0或 a ＝1.
∴当 a ＝0或 a ＝1时， y 为 x 的反比例函数.
（2）已知 y ＝ ，当 a 为何值时， y 为 x 的正比例
函数？当 a 为何值时， y 为 x 的反比例函数？
8. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，并且当 x
＝1与 x ＝2时， y 的值都等于6.求 x ＝－1时， y 的值.
解：设 y1＝ k1 x （ k1≠0）， y2＝ （ k2≠0）.
∵ y ＝ y1＋ y2，∴ y ＝ k1 x ＋ .
∵当 x ＝1与 x ＝2时， y 的值都等于6，
∴解得∴ y ＝2 x ＋ .
当 x ＝－1时， y ＝2×（－1）＋ ＝－6.
9. 在反比例函数 y ＝－ 中，当 x ＝ a 时， y ＝－ a －1，则 a
＝ .
10. 当 x ＝2时，正比例函数 y ＝ k1 x 与反比例函数 y ＝ 的值相等
（ k1· k2≠0），则 k1∶ k2＝ .
－3或2
1∶4
11. 某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造
以提高经济效益.通过测算，开关的年产量 y 万只与投入改造经
费 x 万元之间满足： 与 成反比例，且当投入改造
经费1万元时，年产量是2万只.求年产量 y 与投入改造经费 x 之间
的函数关系式.
解：∵（3－ y ）与（ x ＋1）成反比例，
∴设3－ y ＝ （ k ≠0）.
把 x ＝1， y ＝2代入上式，得3－2＝ .
解得 k ＝2.
∴3－ y ＝ .
即 y ＝3－ ＝ .
12. 已知函数 y ＝（ m2－2 m ） .
（1）若 y 是 x 的正比例函数，求 m 的值；
解：（1）由题意，得
解得 m ＝－1.
（2）若 y 是 x 的反比例函数，求 m 的值，并写出此时 y 与 x 之间
的函数关系式.
解：（2）由题意，得
解得 m ＝1.
∴ m 的值为1.
∴ y ＝（12－2×1） ＝－ x－1＝－ .
故 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－ .
13. （选做）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个休闲活动中心，
这样必须把1 200 m3的生活垃圾运走.
（1）假如每天能运 x m3，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函
数关系式；
解：（1）由题意，可得 y ＝ （ x ＞0）.
（2）若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多
少天才能运完？
解：（2） x ＝12×5＝60，代入函数关系式，得
y ＝ ＝20.
故5辆这样的拖拉机要用20天才能运完.
解：（3）运了8天后剩余垃圾1 200－8×60＝720（m3）.
若剩下的任务要在6天内（含6天）完成，则每天至少运
720÷6＝120（m3）.
则需要拖拉机120÷12＝10（辆）.
故至少需要增加10－5＝5（辆）这样的拖拉机才能按时完成
任务.
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在6天内
（含6天）完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按
时完成任务？
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第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质(第一课时)
1. 反比例函数 y ＝－ 的图象在（ D ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
D
2. （2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数 y ＝
的图象如图所示，则一次函数 y ＝ kx ＋2的图象经过的象限是
（ B ）
A. 一、二、三
B. 一、二、四
C. 一、三、四
D. 二、三、四
B
3. （2023·武汉）关于反比例函数 y ＝ ，下列结论正确的是
（ C ）
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内， y 的值随 x 值的增大而减小
D. 图象经过点 ，则 a ＝1
C
4. 已知反比例函数 y ＝ 的图象经过点（1，2），则 k 的值
为 .
5. 已知反比例函数 y ＝ （ k 是常数， k ≠0）的图象经过点（－
1，2），则这个函数的图象位于第 象限.
6. 已知点（ m ＋3，2）和点 是同一个反比例函数图象上
的点，则 m 的值为 .
1
二、四
－6
（1）当 x ＝4时，求 y 的值；
（1）由图可知，当 x ＝4时， y ＝3.
7. 画出反比例函数 y ＝ 的图象，并根据函数图象解答下列
问题：
解：列表如下：
x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6 …
y … －2 －3 －4 －6 6 4 3 2 …
描点，连线，如图所示：
（2）当 y ＝－2时，求 x 的值.
（2）由图可知，当 y ＝－2时， x ＝－6.
8. 如图，已知一次函数 y1＝ kx ＋ b 的图象与反比例函数
y2＝ 的图象交于 A ， B 两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
解：（1）∵点 B 在反比例函数 y2＝ 的图象上，
∴－2＝ .解得 m ＝－6.
∴反比例函数的表达式为 y2＝－ .
将 A 代入 y2＝－ ，得 n ＝－ ＝6.∴点 A .
将点 B （3，－2）， A （－1，6）代入一次函数
表达式中，得解得
∴一次函数的表达式为 y1＝－2 x ＋4.
（2）点 P 在 x 轴上，且满足△ ABP 的面积等于4，求点 P 的坐标.
解：（2）设点 P 的坐标为 .
在 y1＝－2 x ＋4中，令 y ＝0，则 x ＝2，
∴直线 AB 与 x 轴交于点 .
∵△ ABP 的面积为4，
∴ · ＝4，
即 ×8× ＝4.
解得 a ＝1或 a ＝3.
∴点 P 的坐标为 或 .
9. 已知函数 y ＝（ n ＋1） 是反比例函数，且图象位于第
一、三象限，则 n ＝ .
10. 已知反比例函数 y ＝ 与一次函数 y ＝ x ＋ 的图象的一个
交点为 B ，则 k ＝ .
2
（1）求 m 的值；
解：（1）∵双曲线 y ＝ 经过点 P （2，1），
∴ m ＝2×1＝2.
11. 如图，已知双曲线 y ＝ 经过点 P （2，1），且与直线 y ＝ kx
－4（ k ＜0）有两个不同的交点.
（2）求 k 的取值范围.
解：（2）令 ＝ kx －4.
整理，得 kx2－4 x －2＝0.
∵双曲线 y ＝ 与直线 y ＝ kx －4（ k ＜0）有两个
不同的交点，
∴Δ＝（－4）2－4 k ·（－2）＞0.
解得 k ＞－2.
∴ k 的取值范围是－2＜ k ＜0.
12. 如图，已知 A （－4， n ）， B （2，－4）是一次函数 y ＝ kx
＋ b 的图象和反比例函数 y ＝ 的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
解：（1）∵点 B （2，－4）在 y ＝ 的图象上，
∴ m ＝2×（－4）＝－8.
∴该反比例函数的表达式为 y ＝－ .
∵点 A （－4， n ）在 y ＝－ 的图象上，
∴ n ＝－ ＝2.∴点 A （－4，2）.
∵ y ＝ kx ＋ b 经过点 A （－4，2）， B
（2，－4），
∴解得
∴该一次函数的表达式为 y ＝－ x －2.
（2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB 的面积.
解：（2）在 y ＝－ x －2中，当 y ＝0时， x ＝－2，
∴点 C （－2，0）.∴ OC ＝2.
∴ S△ AOB ＝ S△ AOC ＋ S△ BOC ＝ ×2×2＋
×2×4＝6.
13. （选做）如图，已知正比例函数 y1＝ x 的图象与反比例函数
y2＝ 的图象相交于点 A （3， n ）和点 B .
（1）求 n 和 k 的值；
解：（1）∵点 A 在正比例函数 y1＝ x 的图象上，∴ n ＝
×3＝4.∴点 A .
∵点 A 在反比例函数 y2＝ 的图象上，
∴ k ＝3×4＝12.
（2）如图，以 AO 为边作菱形 AOCD ，使点 C 在 x 轴正半轴上，
点 D 在第一象限，双曲线交 CD 于点 E ，连接 AE ， OE ，求△
AOE 的面积.
解：（2）如答图，过点 A 作 AG ⊥ x 轴于点 G .
由（1）知 A ，∴ OG ＝3， AG ＝4.
∵ AG ⊥ x 轴，∴ AO ＝ ＝5.
∵四边形 AOCD 是菱形，
∴ OC ＝ OA ＝5， S△ AOE ＝ S菱形 AOCD .
∴ S△ AOE ＝ OC · AG ＝ ×5×4＝10.
答图
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第六章 反比例函数
回顾与思考
1. 当三角形的面积 S 一定时，则三角形的底 a 是底边上高 h 的
（ B ）
A. 正比例函数 B. 反比例函数
C. 一次函数 D. 不确定
B
2. （2022·广东）已知点 ， ， ，
在反比例函数 y ＝ 的图象上，则 y1， y2， y3， y4中最小的是
（ D ）
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
3. （2023·永州）已知点 M 在反比例函数 y ＝ 的图象
上，其中 a ， k 为常数，且 k ＞0，则点 M 一定在（ A ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
A
4. 已知直角三角形两直角边的长分别为 x ， y ，它的面积为3，
则 y 与 x 之间的函数关系式为 .
y ＝
（第5题图）
5. （2022·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点.
在Rt△ OAB 中，∠ OAB ＝90°，边 OA 在 y 轴上，点 D 是边 OB 上
一点，且 OD ∶ DB ＝1∶2，反比例函数 y ＝ 的图象经
过点 D ，交 AB 于点 C ，连接 OC . 若 S△ OBC ＝4，则 k 的值
为 .
1
6. 如图，若将一个直角三角形放置在平面直角坐标系中，直角
顶点与原点 O 重合，顶点 A ， B 恰好分别落在函数 y ＝－ （ x ＜
0）， y ＝ （ x ＞0）的图象上，则 的值为 .
（第6题图）
7. 已知反比例函数 y ＝ （ k 为常数，且 k ≠1）.
（1）若在这个函数图象的每一分支上， y 的值随 x 值的增大而
减小，求 k 的取值范围；
解：（1）∵在这个函数图象的每一分支上， y 的值随 x 值的增
大而减小，
∴ k －1＞0.解得 k ＞1.
（2）若 k ＝13，试判断点 C （2，5）是否在这个函数的图象
上，并说明理由.
解：（2）点 C 不在这个函数的图象上.
理由：∵当 k ＝13时， k －1＝12，
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
当 x ＝2时， y ＝6≠5，
∴点 C 不在这个函数的图象上.
8. 水产公司需销售一种海产品共2 000 kg，已知这种海产品每天
的销售量 y （kg）与每千克销售价格 x （元）之间成反比例函数
的关系，若每千克销售价格为120元，则每天销售量是100 kg.
（1）写出这个反比例函数的表达式；
解：（1）设这个反比例函数的表达式为 y ＝ .
∵当 x ＝120时， y ＝100，
∴ k ＝100×120＝12 000.
故这个反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）在按每千克120元试销8天后，公司决定将这种海产品的销
售价格定为每千克150元，并且以后每天都按这个价格销售，那
么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
解：（2）若每千克销售价格为150元，则每天的销售量是
＝80（kg）.
∵在按每千克120元试销8天的销售量为 ×8＝800（kg），
∴剩余的海产品需销售的天数为 ＝15（天）.
9. （2023·盐城）如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 都在反
比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，延长 AB 交 y 轴于点 C ，过点
A 作 AD ⊥ y 轴于点 D ，连接 BD 并延长，交 x 轴于点 E ，连接
CE . 若 AB ＝2 BC ，△ BCE 的面积是4.5，则 k 的值为 .
6
（第9题图）
【解析】如图，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F ，连接 AE . 设点 A 的坐
标为 ，点 B 的坐标为 ，则 AD ＝ a ， AF ＝ a －
b ， BF ＝ － .∵ AB ＝2 BC ，∴ ＝ .∵ AD ⊥ y 轴于点 D ，
∴ CD ∥ BF . ∴△ ABF ∽△ ACD . ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .∴ a
＝3 b .∵ AB ＝2 BC ，△ BCE 的面积是4.5，∴ S△ ABE ＝2△ BCE ＝
9.∴ AD · BF ＋ AD · OD ＝9.∴ a · ＋ a · ＝9，则 ×3
b ＋ ×3 b × ＝9，即 k － k ＋ k ＝9，解得 k ＝6.故
答案为6.
10. 如图，在平面直角坐标系中，过点 A （4，5）分别作 x 轴、 y
轴的平行线，交直线 y ＝－ x ＋6于 B ， C 两点.若函数 y ＝ （ x
＞0）的图象与△ ABC 的边有公共点，则 k 的取值范围是
.
5≤ k
≤20
（第10题图）
【解析】∵过点 A （4，5）分别作 x 轴、 y 轴的平行线，交直线
y ＝－ x ＋6于 B ， C 两点，∴点 B 的纵坐标为5，点 C 的横坐标
为4.将 y ＝5代入 y ＝－ x ＋6，得 x ＝1；将 x ＝4代入 y ＝－ x ＋
6，得 y ＝2.∴点 B 的坐标为（1，5），点 C 的坐标为（4，
2）.∵函数 y ＝ （ x ＞0）的图象与△ ABC 的边有公共点，则点
A （4，5），点 B （1，5）刚好是与 y ＝ （ x ＞0）有一个交点
的情况，∴1×5≤ k ≤4×5，即5≤ k ≤20.故答案为5≤ k ≤20.
11. 如图，已知一次函数 y ＝ k1 x ＋ b 的图象与反比例函数 y ＝
的图象相交于 A ， B 两点，其中点 A 的坐标为（－1，4），点 B
的坐标为（4， n ）.
（1）根据函数图象，直接写出满足 k1 x ＋ b ＞ 的 x 的取值
范围；
解：（1） x ＜－1或0＜ x ＜4.
（2）求这两个函数的表达式；
解：（2）∵反比例函数 y ＝ 的图象过点 A （－1，4），
∴4＝ .解得 k2＝－4.∴反比例函数的表达式为 y ＝－ .
∵反比例函数 y ＝－ 的图象过点 B （4， n ），
∴ n ＝－ ＝－1.∴点 B （4，－1）.
∵一次函数 y ＝ k1 x ＋ b 的图象过点 A （－1，4）和
点 B （4，－1），
∴解得
∴一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋3.
（3）点 P 在线段 AB 上，且 S△ AOP ∶ S△ BOP ＝1∶2，求点 P
的坐标.
解：（3）由点 P 在线段 AB 上，设点 P 的坐标
为（ a ，－ a ＋3）.
∴△ AOP 的边 AP 上的高和△ BOP 的边 BP 上的
高相同.
∵ S△ AOP ∶ S△ BOP ＝1∶2，
∴ AP ∶ BP ＝1∶2.如图，过点 B 作 BC ∥ x 轴，过点 A ， P 分别
作 AM ⊥ BC ， PN ⊥ BC ，垂足分别为 M ， N .
∵ AM ⊥ BC ， PN ⊥ BC ，∴ ＝ .
∵ MN ＝ a ＋1， BN ＝4－ a ，
∴ ＝ .解得 a ＝ .
∴点 P 的坐标为 .
12. （选做）如图，已知直线 y ＝ x 与双曲线 y ＝ （ k ≠0）交
于 A ， B 两点，点 A 的坐标为（ m ，－3），点 C 是双曲线第一
象限分支上的一点，连接 BC 并延长交 x 轴于点 D ，且 BC ＝2
CD .
备用图
（1）求 k 的值，并直接写出点 B 的坐标.
解：（1）将点 A （ m ，－3）代入 y ＝ x 中，得－3＝ m .
解得 m ＝－2.∴点 A （－2，－3）.∴ k ＝－2×（－3）＝6.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
联立解得或
∴点 B 的坐标为（2，3）.
（2）点 G 是 y 轴上的一个动点，连接 GB ， GC ，求 GB ＋ GC 的
最小值.
解：（2）如图1，作 BE ⊥ x 轴于点 E ， CF ⊥ x 轴于点 F .
∴ BE ∥ CF . ∴△ DCF ∽△ DBE .
∴ ＝ .
∵ BC ＝2 CD ， BE ＝3，∴ ＝ .
∴ ＝ .∴ CF ＝1.∴点 C （6，1）.
图1
作点 B 关于 y 轴的对称点 B '，连接 B ' C 交 y 轴于点 G ，则 B ' C 的
长即为 GB ＋ GC 的最小值.
∵点 B '（－2，3）， C （6，1），
∴ B ' C ＝ ＝2 .
∴ GB ＋ GC 的最小值为2 .
图1
图1
（3）点 P 是坐标轴上的一点，点 Q 是平面内一点，是否存在点
P ， Q ，使得四边形 ABPQ 是矩形？若存在，请求出所有符合条
件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）存在.理由如下：
①当点 P 在 x 轴上时，如图2所示.设点 P1的坐标为（ a ，0），过
点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E .
∵∠ OEB ＝∠ OBP1＝90°，∠ BOE ＝∠ P1 OB ，
∴△ OBE ∽△ OP1 B . ∴ ＝ .
∵点 B （2，3），∴ OE ＝2， OB ＝ ＝ .
∴ ＝ .解得 a ＝ .
∴点 P1的坐标为 .
图2
②当点 P 在 y 轴上时，过点 B 作 BN ⊥ y 轴于点 N . 如图2，设点 P2
的坐标为（0， b ）.
∵∠ ONB ＝∠ OBP2＝90°，∠ BON ＝∠ P2 OB ，
∴△ BON ∽△ P2 OB .
∴ ＝ ，即 ＝ .解得 b ＝ .
∴点 P2的坐标为 .
综上所述，点 P 的坐标为 或 .
图2
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第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质(第二课时)
1. 下列说法正确的是（ D ）
A. 函数 y ＝2 x 的图象是过原点的射线
B. 直线 y ＝－ x ＋2经过第一、二、三象限
C. 在函数 y ＝2 x －3中， y 的值随 x 值的增大而减小
D. 在函数 y ＝－ 中， y 的值随 x 值的增大而增大
D
2. 已知点 A ， B ， C 都在反比例函数
y ＝ 的图象上，则 y1， y2， y3的大小关系为（ C ）
A. y3＜ y2＜ y1 B. y1＜ y3＜ y2
C. y3＜ y1＜ y2 D. y2＜ y3＜ y1
C
3. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，点 A 是反比
例函数 y ＝ 图象上的一点，过点 A 分别作 AM ⊥ x 轴于
点 M ， AN ⊥ y 轴于点 N . 若四边形 AMON 的面积为2，则 k 的值
是（ A ）
A. 2
B. －2
C. 1
D. －1
A
4. 已知点 A 和点 B 都在反比例函数 y ＝ 的图
象上，则 y1 y2.（填“＜”“＞”或“＝”）
5. （2023·齐齐哈尔）如图，点 A 在反比例函数 y ＝ 图
象的一支上，点 B 在反比例函数 y ＝－ 图象的一支上，点 C ，
D 在 x 轴上.若四边形 ABCD 是面积为9的正方形，则实数 k 的值
为 .
＞
－6
（第5题图）
6. 如图，已知过点 O 的直线与反比例函数 y ＝ 的图象交于 A ，
B 两点，过点 A 作 AC ⊥ x 轴于点 C ，连接 BC ，则△ ABC 的面积
为 .
（第6题图）
7. 如图所示是反比例函数 y ＝ 的图象的一支.根据给出的图
象回答下列问题：
（1）该函数的图象位于哪几个象限？请确定 m 的取值范围.
解：（1）∵反比例函数图象关于原点对称，图
中反比例函数图象位于第四象限，
∴该函数图象位于第二、四象限.
∴ m －5＜0.解得 m ＜5.
即 m 的取值范围是 m ＜5.
（2）在这个函数图象的某一支上取点 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2）.如果 y1＜ y2，那么 x1与 x2有怎样的大小关系？
解：（2）由（1）知，函数图象位于第二、四
象限，
∴在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 值的增
大而增大.
∴分两种情况：
①当 y1＜ y2＜0时， x1＜ x2；
②当0＜ y1＜ y2， x1＜ x2.
综上所述， x1＜ x2.
8. 如图，已知点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象的一支上，
AB ⊥ y 轴于点 B ，且△ ABO 的面积为3.
（1）试求 k 的值；
解：（1）根据题意，得 S△ ABO ＝ ＝3，
解得 k ＝±6.
∵反比例函数的图象位于第一象限，∴ k ＞0.
∴ k ＝6.
（2）若 AB ＝2，求点 A 的坐标.
解：（2）∵ k ＝6，
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
∵ AB ＝2，∴设 A .
将 A 代入 y ＝ ，得 y ＝ ＝3.
∴点 A 的坐标为 .
9. 已知反比例函数 y ＝ .若－3≤ y ≤6，且 y ≠0，则 x 的取值范
围是 .
【解析】在 y ＝ 中，当 y ＝－3时， x ＝－2；当 y ＝6时， x ＝1.
如图， A （－2，－3）， B （1，6）.由图象及该反比例函数的
增减性可知，当－3≤ y ＜0时， x ≤－2；
当0＜ y ≤6时， x ≥1.故答案为 x ≤－2或 x ≥1.
x ≤－2或 x ≥1
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 是直角三角形，且
∠ ABC ＝90°， C （0，－3）， CD ＝3 AD ，点 A 在反比例函数 y
＝ （ x ＞0）的图象上， y 轴平分∠ ACB ，则 k ＝ .
【解析】如图，作 AE ⊥ x 轴于点 E . 由题意可证△ COD ∽△
AED . ∵ CD ＝3 AD ， C （0，－3）.∴ AE ＝1， OD ＝3 ED . 令
ED ＝ x ，则 OD ＝3 x .∵ y 轴平分∠ ACB ， CO ⊥ BD ，∴ BO ＝
OD ＝3 x .由∠ ABC ＝90°， AE ⊥ x 轴，可证△ CBO ∽△ BAE . 则
＝ ，即 ＝ .解得 x ＝ .∴ A . ∴ k ＝ .故答
案为 .
答图
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数 y ＝ （ x ＜0）的图
象经过 ABOC 的顶点 A ，函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过顶点
C ，点 B 在 x 轴上，且点 C 的横坐标为2，△ AOC 的面积为6.
（1）求 k 的值；
解：（1）∵点 C 在 y ＝ 的图象上，且横坐标是2，
∴2 y ＝8.解得 y ＝4.
∴ C .
∵四边形 ABOC 是平行四边形，∴ AC ∥ x 轴.
∵ S△ AOC ＝6，∴ ×4 AC ＝6.
∴ AC ＝3.
设 AC 交 y 轴于点 D ，则 AD ＝ AC － CD ＝3－2＝1.
∴点 A 的坐标为 A ，
∴ k ＝－1×4＝－4.
（2）求直线 AB 的函数表达式.
解：（2）∵四边形 ABOC 是平行四边形，
∴ BO ＝ AC ＝3.∴ B .
设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
将 A （－1，4）， B （－3，0）代入，
得解得
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝2 x ＋6.
12. 如图，过点 C 的直线 y ＝－ x －2与 x 轴、 y 轴分别交于点
A ， B 两点，且 BC ＝ AB . 过点 C 作 CH ⊥ x 轴，垂足为点 H ，交
反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象于点 D ，连接 OD . 已知△ ODH 的面积为6.
（1）求 k 的值和点 D 的坐标；
解：（1）设点 D 的坐标为（ m ， n ）.
由题意，得 OH · DH ＝ mn ＝6.
∴ mn ＝12.
∵点 D 在 y ＝ 的图象上，∴ k ＝ mn ＝12.
∵直线 y ＝－ x －2的图象与 x 轴交于点 A ，
∴点 A 的坐标为（－4，0）.
∵ CH ⊥ x 轴，∴ CH ∥ y 轴.
∴ ＝ ＝1.
∴ OH ＝ AO ＝4.
∵点 D 在反比例函数 y ＝ 的图象上.
∴点 D 的坐标为（4，3）.
（2）如图，连接 BD ， OC ，点 E 在直线 y ＝－ x －2上，且位
于第二象限内.若△ BDE 的面积是△ OCD 面积的2倍，求点 E 的
坐标.
解：（2）由（1）知， CD ∥ y 轴，
∴ S△ BCD ＝ S△ OCD .
∵ S△ BDE ＝2 S△ OCD ，
∴ S△ ECD ＝3 S△ BCD .
如图，过点 E 作 EF ⊥ CD 于点 F ，交 y 轴于点 M .
∵ S△ ECD ＝ CD · EF ， S△ BCD ＝ CD · OH ，
∴ CD · EF ＝3× CD · OH .
∴ EF ＝3 OH ＝12.∴ EM ＝8.
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点 E 在直线 y ＝－ x －2上，
∴点 E 的纵坐标为2.
∴点 E 的坐标为（－8，2）.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y
＝ x ＋ 的图象与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象相交于点 A
（ a ，3），与 x 轴相交于点 B .
（1）求反比例函数的表达式；
解：（1）∵一次函数 y ＝ x ＋ 的图象经过点 A （ a ，3），
∴ a ＋ ＝3.解得 a ＝2.
∴点 A （2，3）.
将 A （2，3）代入 y ＝ （ x ＞0），得3＝ .
解得 k ＝6.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C ，交 x 轴正
半轴于点 D . 当△ ABD 是以 BD 为底的等腰三角形时，求直线 AD
的函数表达式及点 C 的坐标.
解：（2）如图，过点 A 作 AE ⊥ x 轴于点 E .
在 y ＝ x ＋ 中，令 y ＝0，得 x ＋ ＝0.
解得 x ＝－2.∴点 B （－2，0）.
∵点 E （2，0），∴ BE ＝2－（－2）＝4.
∵△ ABD 是以 BD 为底边的等腰三角形，
∴ AB ＝ AD . ∵ AE ⊥ BD ，∴ DE ＝ BE ＝4.
∴点 D （6，0）.
设直线 AD 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
∵点 A （2，3）， D （6，0），
∴解得
∴直线 AD 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
联立函数表达式得方程组
解得（舍去）
∴点 C 的坐标为 .
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