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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率(第一课时)
1. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球和1
个白球，从袋中随机摸出2个球.下列事件是必然事件的是
（ A ）
A. 摸出的2个球中至少有1个红球
B. 摸出的2个球都是白球
C. 摸出的2个球中1个红球、1个白球
D. 摸出的2个球都是红球
A
2. 一个不透明口袋中装有3个完全相同的小球，把它们分别标号
为1，2，3.从口袋中随机摸出一个小球记下标号后放回，搅匀
后再随机摸出一个小球，记下标号.两次摸出小球的标号之和等
于4的概率是（ A ）
A. B. C. D.
A
3. 现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，
4.把卡片背面朝上，洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张
卡片上的数字之积为负数的概率是（ B ）
A. B. C. D.
B
4. 一个盒子中有一个红球和一个白球，这两个球除颜色外其他
都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机
摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ，两次摸到不同
颜色的球的概率是 .
5. 如图，盒子里放有三张分别写有整式 a ＋1， a ＋2，2的卡
片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分
子和分母，则能组成分式的概率是 .
6. 桌面上放有两组牌，每组两张牌且大小一样，两张牌的牌面
数字分别是2和3，从每组牌中各摸出一张牌，作为一次试验.
（1）一次试验中两张牌的牌面数字之和可能有哪些值？
解：（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能是4，5，6.
（2）两张牌的牌面数字之和为几的概率最大？
解：（2）（方法一）根据题意，列表如下：
第二张牌 第一张牌 2 3
2 （2，2） （2，3）
3 （3，2） （3，3）
由表可知，共有4种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字和为
4的结果有1种：（2，2），两张牌的牌面数字之和为5的结果有
2种：（2，3），（3，2），两张牌的牌面数字之和为6的结果
有1种：（3，3）.∴两张牌的牌面数字之和为5的概率最大.
（方法二）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有4种等可能结果，其中两张牌的牌面数字之
和为4的结果有1种：（2，2），两张牌的牌面数字之和为5的结
果有2种：（2，3），（3，2），两张牌的牌面数字之和为6的
结果有1种：（3，3）.∴两张牌的牌面数字和为5的概率最大.
（3）两张牌的牌面数字之和为6的概率是多少？
解：（3）由（2）可知，共有4种等可能的结果，其中两张牌的
牌面数字之和为6的结果有1种，∴ P （两张牌的牌面数字之和
为6）＝ .
7. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为
2，3，3，6.
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则
抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ；
（1）【解析】将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取
一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ＝ .故答案为
.
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不
放回，再从剩下的三张牌中随机抽取一张，请利用画树状图或
列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率.
（2）解：根据题意，列表如下：
第二次 第一次 2 3 3 6
2 （2，3） （2，3） （2，6）
3 （3，2） （3，3） （3，6）
3 （3，2） （3，3） （3，6）
6 （6，2） （6，3） （6，3）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中这两张牌的牌面数字
恰好相同的结果有2种.
∴ P （这两张牌的牌面数字恰好相同）＝ ＝ .
8. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.
连续掷两次骰子，在骰子朝上的一面，第二次出现的点数是第
一次出现的点数的2倍的概率为 .
9. 将四张分别写有数字1，2，3，4的卡片（卡片的形状、大
小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡
片，记录后放回搅匀，再从中任意取出一张卡片.取出的两张卡
片中，至少有一张卡片上的数字为3的概率为 .
10. 有四张正面分别标有数字2，1，－3，－4的不透明卡片，它
们除数字外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀.从四张卡片
中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为 m ，再随机摸
出一张，将卡片上的数字记为 n .
（1）请用树状图列出（ m ， n ）所有可能的结果，并写出其
结果；
解：（1）画树状图（略图）如下：
由树状图可知，（ m ， n ）共有12种等可能的结果，分别如下：
（2，1），（2，－3），（2，－4），（1，2），（1，－3），（1，－4），（－3，2），（－3，1），（－3，－4），
（－4，2），（－4，1），（－4，－3）.
（2）求所选出的 m ， n 能使一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第
二、三、四象限的概率.
解：（2）∵所选出的 m ， n 能使一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经
过第二、三、四象限，∴ m ＜0， n ＜0.
∴只有（－3，－4），（－4，－3）这2种结果，
∴所求的概率为 ＝ .
11. 某校开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类
活动）：A. 音乐社团；B. 体育社团；C. 美术社团；D. 文学社
团；E. 电脑编程社团.该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱
情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，
绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计
图（要求在条形图上方注明人数）；
（1）解：共抽取了50÷25％＝200（名）学生，故答案为200.
C类型社团的人数为200－30－50－70－20＝30，补全条形统计
图如图.
200
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）【解析】α＝360°× ＝54°.故答案为54.
54
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学
中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求
出恰好选中甲、乙两名同学的概率.
（3）解：根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙
两名同学的结果有2种，
∴ P （恰好选中甲、乙两名同学）＝ ＝ .
12. （选做）如图1，在一个不透明的袋中装有四个球，分别标
有字母A，B，C，D，这些球除所标字母外都相同.另外，有一
面白色、另一面灰色，大小相同的四张正方形卡片，每张卡片
两面的字母相同，分别标有A，B，C，D. 最初摆成图2的样
子，A，D是灰色，B，C是白色.
操作：①从袋中任意取一个球；②将与取出球所标字母相同的
卡片翻过来；③将取出的球放回袋中.
图1
图2
两次操作后，观察卡片的颜色.如：第一次取出球A，第二次取
出球B，此时卡片的颜色变成 .
（1）求四张卡片变成相同颜色的概率；
解：（1）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，两次操作共有16种等可能的结果，其中能使全
部卡片变成相同颜色的结果有4种，这4种结果分别是（A，
D），（D，A），（B，C），（C，B），∴ P （两次操作后全
部卡片变成相同颜色）＝ ＝ .
（2）求四张卡片变成两灰两白，并恰好形成灰色矩形和白色矩
形的概率.
解：（2）由（1）中的树状图可知，两次操作后，恰好形成灰
色矩形和白色矩形的结果有8种，这8种结果分别是（A，B），
（B，A），（B，D），（D，B），（C，D），（D，C），
（A，C），（C，A），∴ P （恰好形成灰色矩形和白色矩形）
＝ ＝ .
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第三章 概率的进一步认识
2 用频率估计概率
1. 在下列关于频率与概率的关系的说法中，正确的是（ C ）
A. 频率就是概率
B. 频率是客观存在的，与试验次数无关
C. 随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近
D. 概率是随机的，在试验前不能确定
C
2. 在一个不透明的袋子中装有 n 个小球，其中红球有2个，这些
球除颜色外均相同.若从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球
的概率为 ，则 n 的值是（ A ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
A
3. 嘉淇在一次试验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌
面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，
并制成折线统计图，则符合这个结果的试验可能是（ B ）
A. 牌面数字是2的倍数
B. 牌面数字是3的倍数
C. 牌面数字是4的倍数
D. 牌面数字是5的倍数
B
4. （2023·南充）在一个不透明袋中有红、白两种颜色的小球，
这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概
率为0.6.若袋中有4个白球，则袋中红球有 个.
6
5. 在一个不透明的布袋中放有红球、黑球、白球若干个，除颜
色外，形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一
球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜
色……如此大量摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳
定于20％，摸出黑球的频率稳定于50％.对此试验，他总结出下
列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率稳定于30
％；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；
③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球.其中正确的
是 （填序号）.
①②
6. 一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的
小球，红球的个数比黑球个数的2倍多40，且从袋中任取一个球
是白球的概率为 .
（1）求袋中红球的个数；
解：（1）白球：290× ＝10（个）；
黑球： ＝80（个）；
红球：290－10－80＝200（个）.
故袋中红球的个数为200.
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率.
解：（2） P （从袋中任取一个球是黑球）＝ ＝ .
7. 某校为了解学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从
运动、娱乐、阅读、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱
好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根
据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有1
500名学生，估计全校爱好运动的学生共有 名.
（1）【解析】∵爱好运动的人数为40，所占百分比为40％，
∴一共调查了40÷40％＝100（人）.∵爱好运动的学生人数所
占的百分比为40％，∴全校爱好运动的学生共有1 500×40％＝
600（人）.故答案为100，600.
100
600
（2）补全条形统计图，并计算“阅读”部分的圆心角度数
是 .
（2）解：∵爱好上网的人数为10，
∴爱好上网的人数所占百分比为10÷100＝10％.
∵爱好阅读的人数为100－40－20－10＝30，
∴“阅读”部分的圆心角度数是360°× ＝108°.
补全条形统计图如下：
108°
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估
计概率求选出的恰好是爱好阅读的学生的概率.
（3）解：∵爱好阅读的学生人数所占的百分比30÷100＝30％，
∴选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为 .
8. 在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们
除颜色外其他都相同.
（1）将袋中的球搅拌均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球
的概率；
解：（1）从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为 ＝ .
（2）现在将若干个红球放入袋中，与原来的10个球搅匀混合在
一起，要使从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ，求后来放
入袋中的红球的个数.
解：（2）设后来放入袋中 x 个红球.
根据题意，得 ＝ .
解得 x ＝5.
经检验， x ＝5是原分式方程的解，且符合题意.
故后来放入袋中的红球的个数为5.
9. 地面上铺满了正方形地砖（30 cm×30 cm）.现在向这一地面
上抛掷半径为5 cm的圆碟，则圆碟与地砖间的间隙相交的概率
是 .
10. 盒中有 x 个黑球和 y 个白球，这些球除颜色外无其他差别.通
过大量重复的摸球试验的方法得到：从盒中随机摸出一个球是
黑球的概率为 ；若往盒中再放进1个黑球，这时随机摸出一个
球是黑球的概率为 .
（1）填空： x ＝ ， y ＝ .
（1）【解析】根据题意，得解得经检
验，是原分式方程组的解，且符合题意.故答案为2，3.
2
3
（2）小王和小林利用这些黑球和白球进行摸球游戏.规定：从
盒中随机摸出一个球，接着从剩下的球中再随机摸出一个球，
若两球颜色相同，则小王胜；若颜色不同，则小林胜.求两人获
胜的概率，并判断这个游戏对双方是否公平.
（2）解：根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两球颜色相同的
结果有8种，颜色不同的结果有12种，
∴ P （小王获胜）＝ ＝ ，
P （小林获胜）＝ ＝ .
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平.
11. （选做）某中学有1 000名学生参加了“环保知识竞赛”，为
了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分
取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如下频数
分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示
被污损的数据）.请解答下列问题：
成绩 x /分 频数 频率
50≤ x ＜60 8 0.16
60≤ x ＜70 12 a
70≤ x ＜80 ■ 0.5
80≤ x ＜90 3 0.06
90≤ x ≤100 b c
合计 ■ 1
（1）求出 a ， b ， c 的值；
解：（1）由题意，得样本容量为
8÷0.16＝50，
∴ a ＝12÷50＝0.24，成绩分组是
70≤ x ＜80的人数为50×0.5＝25.
∴ b ＝50－8－12－25－3＝2.
∴ c ＝2÷50＝0.04.
（2）请估计这1 000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70
分；
解：（2）在选取的样本中，竞赛
分数不低于70分的频率是0.5＋0.06
＋0.04＝0.6.
1 000×0.6＝600（人）.
∴估计这1 000名学生中有600人的
竞赛成绩不低于70分.
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同
学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的两
名同学来自同一组的概率.
解：（3）成绩是80分以上（含
80分）的同学共有5人，其中成
绩分组在80≤ x ＜90的有3人，记
为甲、乙、丙，成绩分组在90≤
x ≤100的有2人，记为A，B.
根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学
在同一组的有甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，
BA，共8种情况，
∴ P （抽取的2名同学来自同一组）＝ ＝ .
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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率(第三课时)
1. 现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期.从中随机抽取2
盒，至少有1盒过期的概率是（ D ）
A. B. C. D.
2. 从－1，2，3，－6这四个数中任取两个数，分别记为 m ， n ，
则点（ m ， n ）在函数 y ＝6 x 图象上的概率为（ D ）
A. B. C. D.
D
D
3. 如图，小明、小刚利用两个转盘进行游戏，规则：小明将两
个转盘各转一次，若配成紫色（红与蓝），则小明得5分；否
则，小刚得3分.此规则（ A ）
A. 对两人公平
B. 对小明有利
C. 对小刚有利
D. 无法确定对谁有利
A
4. 若将分别标有数字0，1，2，3的四张卡片背面朝上洗匀后，
从中随机抽取一张作为十位上的数字，再随机抽取一张作为个
位上的数字，每次抽取都不放回，则所得的两位数中，恰好是
奇数的概率为 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1， A2在 x 轴上，点 B1， B2
在 y 轴上，其坐标分别为 A1（1，0）， A2（2，0）， B1（0，
1）， B2（0，2），分别以点 A1， A2， B1， B2其中的任意两点
与点 O 为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的概率
为 .
6. 从1，2，3，4这四个数中随机选取两个不同的数，分别记为
a ， c ，则关于 x 的一元二次方程 ax2＋4 x ＋ c ＝0有实数解的概
率为 .
7. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自
由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇
形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘，如果其
中一个转盘指针指向了红色，另一个转盘指针指向蓝色，那么
可以配成紫色，赢得游戏.若小赵同学同时转动A盘和B盘，求他
赢得游戏的概率.
解：B盘中红色部分圆心角为360°－120°＝240°，相当于2个蓝
色部分.根据题意画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中一个转盘指针指向
红色、另一个转盘指针指向蓝色的结果有3种，∴ P （小赵赢得
游戏）＝ ＝ .
8. 如图，用①②③④表示四张背面完全相同的纸牌，正面分别
写有四个不同的条件.小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，先随
机抽出一张（不放回），再随机抽出一张.
（1）写出两次抽牌所有可能出现的结果（用①②③④表示）；
解：（1）根据题意，列表如下：
第二次 第一次 ① ② ③ ④
① （①，②） （①，③） （①，④）
② （②，①） （②，③） （②，④）
③ （③，①） （③，②） （③，④）
④ （④，①） （④，②） （④，③）
（2）以两次抽出的牌面上的结果为条件，求能判定四边形
ABCD 为平行四边形的概率.
解：（2）由（1）中表格可知，共有12种等可能的结果，其中
能判定四边形 ABCD 为平行四边形的有6种：①③，①④，②
③，③①，③②，④①，∴ P （能判定四边形 ABCD 为平行四边
形）＝ ＝ .
9. 如图，有两个可以自由转动的转盘，A盘被均分成三个扇
形，并分别标上1，2，3这三个数字；B盘被分成其中一个圆心
角是120°的两个扇形，并分别标上6，7这两个数字.若同时转动
两个转盘各一次（若指针落在分界线上，则重转），转盘停止
后，指针指向的数字和为偶数的概率为 .
【解析】如图，将B盘中“6”所在的扇形平均分成两部分，即
将B盘平均分成三份，分别标上数字6，6，7.根据题意，画树状
图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向的数字和
为偶数的结果有4种，∴所求的概率为 .故答案为 .
10. 在一个不透明的口袋里，装有若干个大小相同的A，B，C三
种球，其中A球 x 个，B球 x 个，C球（ x ＋1）个.若从中任意摸
出一个球是A球的概率为 .
（1）这个口袋中A，B，C三种球各有多少个？
解：（1）由题意，得 ＝ .
解得 x ＝1.
经检验， x ＝1为分式方程的解，且符合题意.
∴ x ＋1＝2.
即这个口袋中A，B，C三种球分别有1个、1个、2个.
（2）若小明从口袋中随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1
个.请你用画树状图的方法求小明摸到1个A球和1个C球的概率.
解：（2）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸到1个A球和1
个C球的结果有4种，
∴所求的概率 P ＝ ＝ .
11. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年
版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日
常生活劳动设定四个任务群：A. 清洁与卫生；B. 整理与收纳；
C. 家用器具使用与维护；D. 烹饪与营养.学校为了较好地开设课
程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成
以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名学生，其中选择“C. 家
用器具使用与维护”的女生有 名，选择“D. 烹饪与营
养”的男生有 名；
20
2
1
（1）【解析】 ÷15％＝20（人），故一共调查了20
人.∴选择“C组”的人数为20×25％＝5.∴选择“C组女生“的
人数为5－3＝2.由扇形统计图可知，选择“D组”的人数的百分
比为1－15％－25％－50％＝10％，∴选择“D组”的人数为
20×10％＝2.∴选择“D组”的男生人数为2－1＝1.故答案为
20，2，1.
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）解：补全图形如下：
（3）学校想从选择“C. 家用器具使用与维护”的学生中随机选
取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列
表的方法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
（3）解：用男1，男2，男3表示3名男生，用女1，女2表示两名女
生，列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1
男2
男1 男2 男3 女1 女2
男3
女1
女2
由表可知，共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一
名男生和一名女生的结果有12种，
∴所求概率 P ＝ ＝ .
12. （选做）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字－3，－
1，0，2的四个小球，除数字外其他完全相同.每次试验前搅拌
均匀，先从口袋里随机抽取一个小球，小球上的数字记为 m ，
再从剩余的小球中随机抽取一个小球，小球上的数字记为 n .利
用画树状图或列表的方法解答下列问题：
（1）求抽取的两个数字 m 与 n 的和能被2整除的概率；
（1）∵共有12种等可能的结果，其中抽取的两个数字 m 与 n 的
和能被2整除的有4种情况，分别是（－3，－1），（－1，－
3），（0，2），（2，0），∴所求的概率 P ＝ ＝ .
（2）求抽取的两个数字 m ， n 能使一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象
经过第二、三、四象限的概率；
（2）∵要使一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第二、三、四象
限，∴ m ＜0， n ＜0.又∵一共有12种等可能的结果，其中 m ＜
0， n ＜0的有2种情况，分别是（－3，－1），（－1，－3），
故所求的概率 P ＝ ＝ .
（3）求抽取的 m ， n 使得关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx ＋ n ＝0
无解的概率.
解：根据题意，列表如下：
n m －3 －1 0 2
－3 （－3，－1） （－3，0） （－3，2）
－1 （－1，－3） （－1，0） （－1，2）
0 （0，－3） （0，－1） （0，2）
2 （2，－3） （2，－1） （2，0）
由表格可知，共有12种等可能的结果.
（3）∵要使关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx ＋ n ＝0无解，∴Δ＝
m2－4×1· n ＝ m2－4 n ＜0.又∵一共有12种等可能的结果，通过
计算，使得Δ＝ m2－4 n ＜0的有2种情况，分别是（－1，2），
（0，2），∴所求的概率 P ＝ ＝ .
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第三章 概率的进一步认识
回顾与思考
1. 一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，这些球除颜色外
无其他差别.从袋中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸
出一个.下列说法中，错误的是（ A ）
A. 若第一次摸出的球是红球，则第二次摸出的一定是绿球
B. 若第一次摸出的球是红球，则第二次摸出的不一定是红球
C. 第一次摸出的球是红球的概率为
D. 两次摸出的球都是红球的概率为
A
2. 一个不透明的袋中有两个小球，上面分别写着数字1，2，除
数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个球，记录其数
字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，记录其数字，则两
次记录的数字之和是3的概率为（ C ）
A. B. C. D.
C
3. 盒子里有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别
标着数字1，2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张
后不放回，再随机抽出一张，则两次抽出的卡片上的数字之和
是奇数的概率为（ B ）
A. B. C. D.
B
4. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的
面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形
内.现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每
一点都是等可能的）.经过大量重复投掷试验，发现小石子落在
不规则区域的频率稳定在常数0.25附近.由此可估计不规则区域
的面积约是 m2.
1
（第4题图）
5. 如图，转盘被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、
蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，
记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动），则
两次颜色相同的概率为 .
（第5题图）
6. 小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1，2，3的三个小
球，B袋中装有编号为4，5，6的三个小球，两个袋子中的所有
小球除编号外其他都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小
球，若从B袋中摸出的小球的编号与从A袋中摸出的小球的编号
之差为偶数，则小华胜；否则，小军胜.这个游戏对双方公平
吗？请说明理由.
B 袋 A 袋 4 5 6
1 （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，4） （3，5） （3，6）
解：不公平.理由如下：
根据题意，列表如下：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中从B袋中摸出的小球的
编号与从A袋中摸出的小球的编号之差为偶数，有4种等可能的
结果，分别是（2，4），（1，5），（3，5），（2，6）.
∴ P （小华胜）＝ .∴ P （小军胜）＝1－ ＝ .
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平.
7. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和 n
个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为
.
（1）求 n 的值；
解：（1）由题意，得 ＝ .解得 n ＝1.
经检验， n ＝1为分式方程的解，且符合题意.
∴ n ＝1.
（2）将摸出的球放入盒中，搅匀后从盒子中随机摸出一个球，
放回搅匀，再随机摸出一球，求两次摸到一个白球和一个黑球
的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
解：（2）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中摸到一个白球和一
个黑球的结果共有4种.
故所求概率为 .
8. 如图，若随机闭合开关K1，K2，K3三个中的两个，则能让灯
泡（ ）发光的概率为 .
【解析】根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果.必须闭合开关K3灯泡才
会亮，故使灯泡发光有4种结果，∴ P （灯泡发光）＝ ＝ .故
答案为 .
9. （2023·随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开
展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程
度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，
绘制了下面两幅尚不完整的统计图.
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中 m 的值
为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心
角的度数为 ；
（1）【解析】接受问卷调查的学生共有40÷50％＝80（人），
则 m ＝80－20－40－4＝16.
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为
360°× ＝90°.
故答案为80，16，90°.
80
16
90°
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出
该校学生中对心理健康知识“不了解”的共有 人；
（2）【解析】800× ＝40（人）.故答案为40.
40
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名
男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列
表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.
（3）解：根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生
的结果有2种，
∴ P （恰好抽到2名女生）＝ ＝ .
10. （选做）某校举行了“防溺水”知识竞赛.八年级两个班各
选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）
绘制了统计表和折线统计图（如图所示）.
班级 八（1）班 八（2）班
最高分 100 99
众数 a 98
中位数 96 b
平均数 c 94.8
（1）统计表中， a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ；
96
96
94.5
（1）【解析】八（1）班的成绩为88，89，92，92，96，96，
96，98，98，100；八（2）班的成绩为89，90，91，93，95，
97，98，98，98，99.∴ a ＝96， c ＝ ×（88＋89＋92＋92＋
96＋96＋96＋98＋98＋100）＝94.5， b ＝ ＝96.故答案为
96，96，94.5.
（2）解：设八（1）班成绩为98分的学生为A1，A2，八（2）班
成绩为98分的学生为B1，B2，B3.根据题意，画树状图（略图）
如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，其中两人来自不同班级
共有12种，
∴ P （这两个人来自不同班级）＝ ＝ .
（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个
班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生
中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率.
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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率(第二课时)
1. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一
次，则两人平局的概率为（ B ）
A. B. C. D.
B
2. 甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者所掷骰
子点数之积为偶数，那么甲得1分；如果两者所掷骰子点数之积
为奇数，那么乙得1分.此游戏（ A ）
A. 对甲有利 B. 对乙有利
C. 是公平的 D. 以上说法都不对
A
3. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停
车”的情况进行抽查.各组随机抽查辖区内某三个小区中的一
个，则两个组恰好抽到同一个小区的概率为（ C ）
A. B. C. D.
C
4. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐.假设
这三种可能性相同.现在有两个人经过该路口，则至少有一人直
行的概率是 .
5. 小静和小安两人都很想去观看某场体育比赛，可门票只有一
张.小安想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为2，3，5，9
的四张牌给小静，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并
制定游戏规则如下：小静和小安从各自的四张牌中随机抽出一
张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加.如果和为偶数，那么小
静去；如果和为奇数，那么小安去.小安设计的游戏规则
（填“公平”或“不公平”）.
不公
平
6. 有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪
开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一
个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每
个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一张
画片的概率.
解：将第一张画片的上半部分记为“1上”，下半部分记为“1
下”，以此类推，可列表如下：
第二张 第一张 1下 2下 3下
1上 （1上，1下） （1上，2下） （1上，3下）
2上 （2上，1下） （2上，2下） （2上，3下）
3上 （3上，1下） （3上，2下） （3上，3下）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中恰好能拼成原来的一张
画片的结果有3种，
∴ P （这两张恰好能拼成原来的一张画片）＝ ＝ .
7. 四张相同的卡片上分别写有数字0，1，－2，3，将卡片的背
面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将卡片上的数字记录下
来；再从余下的三张卡片中任意抽取一张，同样将卡片上的数
字记录下来.
（1）第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率为 .
（1）【解析】 P （负数）＝ .故答案为 .
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去
第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，
乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图
或列表的方法说明理由）
（2）解：公平.理由如下：根据题意，列表如下：
第二次 第一次 0 1 －2 3
0 （0，1） （0，－2） （0，3）
1 （1，0） （1，－2） （1，3）
－2 （－2，0） （－2，1） （－2，3）
3 （3，0） （3，1） （3，－2）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中由第一个数字减去第
二个数字所得结果为非负数的有6种，
∴ P （结果为非负数）＝ ＝ ， P （结果为负数）＝1－ ＝
.∴小敏设计的游戏规则对甲、乙双方是公平的.
8. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，
8，9四个数字，这些小球除标有的数字外其他都相同.甲、乙两
人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球
上的数字记为 m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为 n .如果
m ， n 满足｜ m － n ｜≤1，就称甲、乙两人“心领神会”，那
么两人“心领神会”的概率为 .
9. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小
明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设
计一个对小明和小刚都公平的方案.甲同学的方案：将红桃2，
3，4，5四张牌背面朝上洗匀，小明先随机抽一张，小刚从剩下
的三张牌中随机抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小
明去看电影；否则，小刚去看电影.
甲同学的方案 （填“公平”或“不公平”）；若乙
同学将甲的方案修改为只用红桃2，3，4三张牌，抽取方式及规
则不变，则乙的方案 （填“公平”或“不公平”）.
不公平
不公平
10. 如图，小明和小亮用A，B两个转盘（每个转盘被分成五个
面积相等的扇形）做游戏.转动两个转盘各一次.
（1）若两次转盘转出数字之和为6，7或8，则小明胜；否则，
小亮胜.这个游戏公平吗？说说你的理由.
解：（1）不公平.理由如下：
根据题意，列表如下：
B 盘 A 盘 2 3 4 5 6
1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
由表可知，共有25种等可能的结果，其中和为6，7，8的结果有
13种，
∴ P （小明胜）＝ ， P （小亮胜）＝ .
∴ P （小明胜）≠ P （小亮胜）.
∴这个游戏对双方不公平.
解：（2）不公平.理由如下：
由（1）中表格可知，共有25种等可能的结果，其中和为奇数的结果有13种，
∴ P （小明胜）＝ ， P （小亮胜）＝ .
∴ P （小明胜）≠ P （小亮胜）.
∴这个游戏对双方不公平.
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶
数，则小亮胜.这个游戏公平吗？说说你的理由.如果不公平，请
简要修改规则，使游戏公平.
若要使这个游戏对双方公平，可修改游戏规则如下：若两次
数字之和小于7，则小明胜；若两次数字之和大于7，则小亮
胜；若两次数字之和等于7，则重新转动转盘，直到分出胜
负.（答案不唯一）
11. （选做）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，
热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理
古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用A，B，
C，D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成
如下不完整的两幅统计图.
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
解：（1）60÷10％＝600（人），
故本次参加抽样调查的游客有600人.
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
解：（2）由题意，得选择C景区的人数为600－180－60－240＝
120，
选择A景区的人数占比为 ×100％＝30％，
∴选择C景区的人数占比为 ×100％＝20％ .
补全统计图如下：
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列
表或画树状图的方法，求他恰好选择了A景区的概率.
解：（3）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选择了A景
区的结果有6种，
∴ P （恰好选择了A景区）＝ ＝ .
演示完毕 谢谢观看
