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第五章 投影与视图
2 视 图(第一课时)
1. 观察下面几何体，左视图是圆的是（ D ）
A
B
C
D
D
2. （2023·随州）如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何
体的三种视图中完全相同的是（ C ）
A. 主视图和俯视图
B. 左视图和俯视图
C. 主视图和左视图
D. 三个视图均相同
C
3. 下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4. 如图，在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，主视图
与左视图一定完全相同的几何体有 （填序号）.
①②③
5. 如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱组成的，小明准
备画出它的三种视图，则他所画的三种视图中的主视图应该
是 （填序号）.
（第5题图）
①
①
②
③
④
6. 如图，该几何体的主视图和左视图的面积之和是 .
（第6题图）
48
7. 请画出如图所示的物体的主视图、左视图和俯视图.
解：三种视图如图所示：
8. 下图是一个圆柱.
（1）请画出它的三种视图；
解：（1）三种视图如图所示：
（2）若主视图的一边长为4.5 dm，俯视图中圆的半径为3 dm，
求这个几何体的表面积和体积.（结果保留π）
解：（2）由题可知，该圆柱的底面圆的直径为6 dm，
高为4.5 dm.
∴ S ＝2×π×32＋2×π×3×4.5＝45π（dm2），
V ＝π×32×4.5＝40.5π（dm3）.
∴这个几何体的表面积是45π dm2，体积是40.5π dm3.
9. 如图所示是三棱柱的三种视图，在△ EFG 中， EF ＝6 cm，
EG ＝10 cm，∠ EGF ＝30°，则 AB 的长为 cm.
5
（第9题图）
解析：过点 E 作 EH ⊥ FG 交 FG 于点 H . ∵ EH ⊥ FG ，∠ EGF ＝
30°， EG ＝10 cm，∴ EH ＝ EG ＝ ×10＝5 （cm）.由左视图
可得， AB ＝ EH ＝5 cm.故答案为5.
10. 由三个大小不等的正方体拼成的几何体如图所示，其中两个
较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长之和，该几何体的
主视图、左视图和俯视图的面积分别是 S1， S2， S3，则 S1，
S2， S3的大小关系是 .
（第10题图）
S1＞ S2＞ S3
【解析】设三个正方体的棱长分别为 a ， b ， c （ a ＞ b ＞ c ）.原
几何体的三种视图如图所示.则 S1＝ a2＋ b2＋ c2， S2＝ a2＋ b2，
S3＝ a2.∴ S1＞ S2＞ S3.故答案为 S1＞ S2＞ S3.
11. 画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图.
解：三种视图如图所示：
12. 一个组合几何体和它的两种视图如图所示，根据图中的尺寸
（单位：dm），求这个几何体的表面积.（结果保留π）
解：由几何体可知，这两种视图分别为主视图和俯视图.
由主视图和俯视图中的数据，可得圆柱的直径为4 dm，高为6
dm；长方体的长为8 dm，宽为5 dm，高为2 dm.
∴ S表＝4π×6＋（5×8＋2×8＋5×2）×2＝（24π＋132）dm2.
13. （选做）一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是
邻边长分别为4 cm，3 cm的矩形，求这个圆柱的表面积和体积.
（结果保留π）
①当圆柱底面圆的半径为1.5 cm，高为4 cm时，
圆柱的表面积为2π×1.5×4＋π×1.52×2＝12π＋4.5π＝16.5π
（cm2），
体积为π×1.52×4＝9π（cm3）.
解：∵一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是邻边
长分别为4 cm，3 cm的矩形，
∴分两种情形：
②当圆柱底面圆的半径为2 cm，高为3 cm时，
圆柱的表面积为2π×2×3＋π×22×2＝12π＋8π＝20π（cm2），
体积为π×22×3＝12π（cm3）.
综上所述，当圆柱底面圆的半径为1.5 cm，高为4 cm时，圆柱的
表面积为16.5π cm2，体积为9π cm3；当圆柱底面圆的半径为2
cm，高为3 cm时，圆柱的表面积为20π cm2，体积为12π cm3.
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第五章 投影与视图
2 视 图(第二课时)
1. （2023·台州）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，
其主视图是（ C ）
A
B
C
C
D
2. （2023·绥化）如图是一个正方体被切去一角，则其左视图是
（ B ）
A
B
C
D
B
3. （2023·自贡）如图中六棱柱的左视图是（ A ）
A
B
C
D
A
4. 一个长方体如图所示，则它的主视图的面积为 cm2.
（第4题图）
20
5. 由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，若去掉最
左侧的小正方体，则视图不发生改变的是 （填“主
视图”“左视图”或“俯视图”）.
（第5题图）
左视图
6. 观察下面的几何体，指出右面的三幅图分别是哪种视图？
①是 ；②是 ；
③是 .
俯视图
主视图
左视图
7. 先观察下面的立体图形，再分别画出它的三种视图.
解：画出立体图形的三种视图如答图所示.
答图
答图
8. 画出如图所示的几何体的三种视图.
解：画出几何体的三种视图如答图所示.
答图
答图
9. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如
图所示，则该几何体的左视图是 （填序号）.
①
②
③
④
④
10. 右图是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯
视图，则它的左视图的面积是 .
2
【解析】由主视图可知，底面等边三角形的边长为2，此几何体
的高为2.此几何体的左视图为矩形，矩形的长为底面等边三角
形的高，宽为该几何体的高.底面等边三角形如图所示，过点 B
作 BD ⊥ AC 于点 D ，则 CD ＝ AC ＝1， BC ＝2.∴ BD ＝
＝ .∴ S左视图＝ ×2＝2 .故答案为2 .
11. 画出下面实物图的三种视图.
解：画出三种视图如图所示：
12. （1）图1是一个正方体.若将该正方体的表面沿某些棱剪
开，展成一个平面图形，则需要剪开 条棱.
7
（1）【解析】正方体有6个表面，12条棱，要展开成一个平面
图形必须5条棱连接，所以至少要剪开12－5＝7（条）棱，故答
案为7.
（2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面
可能是 （填写所有符合要求的序号）.
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.
（2）【解析】用一个平面从不同方向去截正方体，得到的截面
可能是三角形、四边形、五边形或六边形，如图1所示.
①②③④
图1
故答案为①②③④.
图1
（3）图2是由一些小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，
若要搭成该几何体的正方体的个数最多是 a ，最少是 b ，求 a －
b 的值.
（3）解：由俯视图推测该几何体中小正方体的个数.
要搭成该几何体的正方体的个数最多，则如图2所示（小正方形
中数字代表此处小正方体个数）.
∴ a ＝3＋3＋3＋2＋2＋2＋1＝16.
要搭成该几何体的正方体的个数最少，则如图3所示（小正方形
中数字代表此处小正方体个数，数字填法不唯一）.
∴ b ＝3＋1＋1＋2＋1＋1＋1＝10.
∴ a － b ＝16－10＝6.
图2 图3
13. （选做）由两个长方体所组成的立体图形如图1所示，图2中
的长方体是图1中的两个长方体的另一种摆放形式，图3、图4、
图5是图1的三种视图.（单位：cm）
图1
图2
图3
图4
图5
（1）图3是图1的 视图，图4是图1的 视图，图5是
图1的 视图；
主
俯
左
（2）请根据各图中所给的信息，计算出图1中上面的小长方体
的体积.
（2）解：由图可得解得
则 V小长方体＝ S底×高＝5×3×（4÷2）＝30（cm3）.
即图1中上面的小长方体的体积为30 cm3.
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第五章 投影与视图
回顾与思考
1. 下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时
影子情况的是（ D ）
A
B
D
C
D
2. 如图，一块三角形板 ABC ， BC ＝12 cm， AC ＝10 cm，测得
BC 边的中心投影 B1 C1长为24 cm，则 AC 边的中心投影 A1 C1的
长为（ B ）
A. 24 cm B. 20 cm C. 15 cm D. 5 cm
（第2题图）
B
3. 一个带有方形孔洞和圆形孔洞的儿童玩具如图所示.若用下列
几何体作为塞子，则既可以堵住方形孔洞，又可以堵住圆形孔
洞的几何体是（ B ）
（第3题图）
B
A
B
C
D
4. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时
测得一根旗杆的影长为25 m，则这根旗杆的高度为 m.
5. 一个几何体由几个相同的小正方体搭成， 它的三种视图如图
所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 .
15
6
（第5题图）
6. 如图，在平面直角坐标系内，已知一点光源位于点 A （0，
5）处，线段 CD ⊥ x 轴于点 D ，点 C 的坐标为（3，1）， CD 在
x 轴上的影子长为 DE ，则点 C 的影子点 E 的坐标
为 .
（第6题图）
7. 一个几何体的三种视图如图所示，它的俯视图为菱形.请写出
该几何体的名称，并根据图中所给的数据求它的侧面积和体积.
解：该几何体是直四棱柱.
由三种视图知，棱柱底面菱形的对角线长
分别为4 cm，3 cm.
∴易得菱形的边长为 cm.
∴棱柱的侧面积＝ ×8×4＝80（cm2），
棱柱的体积＝ ×3×4×8＝48（cm3）.
8. 阳光明媚的一天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教
学楼前一座假山 AB 的高度.如图，亮亮在地面上的点 F 处，眼睛
贴地观察，看到假山顶端点 A 、教学楼顶端点 C 在一条直线上.
此时他起身在点 F 处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影
子末端恰好重合于点 G 处，测得 FG ＝1.5 m，亮亮的身高 EF 为
1.6 m.假山的底部 B 处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进
行部分测量后得知， BF ＝6 m，点 D ， B ， F ， G 在一条直线
上， CD ⊥ DG ， AB ⊥ DG ， EF ⊥ DG ，已知教学楼 CD 的高度
为16 m，请你求出假山 AB 的高度.
解：∵ CD ⊥ DG ， EF ⊥ DG ，∴ CD ∥ EF .
∴△ CDG ∽ EFG .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ DG ＝15 m.
∴ DF ＝ DG － FG ＝13.5 m.
∵ AB ⊥ DG ， CD ⊥ DG ，
∴ AB ∥ CD .
∴△ ABF ∽△ CDF .
∴ ＝ .∴ ＝ ，
∴ AB ＝ m.
即假山 AB 的高度为 m.
9. 用相同的小正方体搭了一个几何体，它的主视图和俯视图如
图所示，则搭这个几何体至少需要小正方体 个.
（第9题图）
10
10. 如图，将一块含30°角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放置于直
线 m 上，点 A ， B 在直线 m 上的正投影分别为点 D ， E . 若 AB ＝
10， BE ＝3 ，则 AB 在直线 m 上的正投影的长是 3＋4 .
（第10题图）
3＋4
【解析】在Rt△ ABC 中，∵∠ ABC ＝30°， AB ＝10，∴ AC ＝
AB ＝5.∴ BC ＝ ＝5 .在Rt△ CBE 中， CE ＝
＝ ＝4 .∵∠ CAD ＋∠
ACD ＝90°，∠ BCE ＋∠ ACD ＝90°，∴∠ CAD ＝∠ BCE . 又
∵∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°，∴△ ACD ∽△ CBE . ∴ ＝ .
∴ CD ＝ ＝ ＝3.∴ DE ＝ CD ＋ CE ＝3＋4 .即 AB 在
直线 m 上的正投影的长是3＋4 .故答案为3＋4 .
11. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，请画出它的
三种视图.若每个小正方体的棱长为 a ，试求该几何体的表面积.
解：画出三种视图如图所示：
∵每个小正方体的棱长为 a ，
∴该几何体的表面积＝（3 a2＋3 a2＋4 a2）×2＝20 a2.
12. 在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的
一棵大树的高度.如图，已知山坡 OM 与地面 ON 的夹角为30°
（∠ MON ＝30°），站立在水平地面上且身高为1.7 m的小明 AB
在地面上的影长 BP 为1.2 m，此刻大树 CD 在斜坡上的影长 DQ
为5 m.求大树的高度.
解：如答图，过点 Q 作 QE ⊥ DC 于点 E .
由题意，可得△ ABP ∽△ CEQ ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∵ EQ ∥ ON ，∴∠ OQE ＝∠ QON ＝30°.
∵ QD ＝5 m，∴ DE ＝ m，
∴ EQ ＝ m.
答图
∴ ＝ .∴ CE ＝ m.
∴ CD ＝ CE ＋ DE ＝ ＋ ＝ （m）.
故大树的高度为 m.
答图
13. （选做）用棱长为2 cm的若干小正方体按如图所示的规律在
地面上搭建若干个几何体.图中每个几何体自上而下分别叫第一
层、第二层、…、第 n 层（ n 为正整数）.
（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ；
（1）【解析】搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，
搭建第②个几何体的小立方体的个数为1＋4＝1＋22，
搭建第③个几何体的小立方体的个数为1＋4＋9＝1＋22＋32，
∴搭建第④个几何体的小立方体的个数为1＋22＋32＋42＝1＋4
＋9＋16＝30.
故答案为30.
30
（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）
的面积；
（2）解：第②个几何体的三种视图如下：
由题意，每个小正方形的面积为2×2＝4（cm2），
则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积为
×4＝64（cm2）.
第③个几何体的三种视图如下：
则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积为
×4＝132（cm2）.
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底
面），已知喷涂1 cm2需要油漆0.2 g，则喷涂第20个几何体，共
需要多少克油漆？
（3）解：第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次
为1，22，…，202，
则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积为[2×
＋2×（1＋2＋…＋20）＋202]×4＝4 960（cm2）.
∴共需要油漆4 960×0.2＝992（g）.
故共需要992 g油漆.
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第五章 投影与视图
1 投 影(第二课时)
1. 下列投影现象属于平行投影的是（ B ）
A. 手电筒发出的光线所形成的投影
B. 太阳光发出的光线所形成的投影
C. 路灯发出的光线所形成的投影
D. 台灯发出的光线形成的投影
2. 长方形的正投影不可能是（ D ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 线段 D. 梯形
B
D
3. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若
∠1＝30°，则∠2＝（ B ）
A. 56° B. 66° C. 72° D. 76°
（第3题图）
B
4. 如图，△ ABC 被平行光照射， CD ⊥ AB 于点 D ， AB 在投影面
上，则 AC 的投影是 ， CD 的投影是 ， BC 的投
影是 .
（第4题图）
AD
点 D
BD
5. 某一时刻太阳光下身高1.5 m的小明的影长为2 m，同一时刻
旗杆的影长为6 m，则旗杆的高度为 m.
6. 如图，身高1.6 m的小明利用影长测量学校旗杆的高度，当他
站在点 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在
点 A 处，测量得到 AC ＝2 m， CB ＝18 m，则旗杆的高度
是 m.
4.5
16
7. 如图，某一广告墙 PQ 旁有两根直立的木杆 AB 和 CD . 某一时
刻，木杆 CD 在太阳光下的影子刚好不落在广告墙 PQ 上.
（1）请你在图中画出此时的太阳光线 CE 及木杆 AB 的影子
BF ；
解：（1）如答图， CE 为所求作太阳光
线.线段 BF 为所求作木杆 AB 的影子.
答图
（2）若 AB ＝6 m， CD ＝3 m， CD 到 PQ 的距离 DQ 的长为4
m，求此时木杆 AB 的影长.
解：（2）∵ CD ∥ AB ， AF ∥ CQ ，
∴△ ABF ∽△ CDQ .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 BF ＝8.
即此时木杆 AB 的影长为8 m.
8. 如图，太阳光线 AC 和 A ' C '是平行的，同一时刻两个建筑物在
太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？请说明理由.
解：建筑物一样高.理由如下：
∵ AB ⊥ BC ， A ' B '⊥ B ' C '，
∴∠ ABC ＝∠ A ' B ' C '＝90°.
∵ AC ∥ A ' C '，
∴∠ ACB ＝∠ A ' C ' B '.
在△ ABC 和△ A ' B ' C '中，
∴△ ABC ≌△ A ' B ' C '（ASA）.
∴ AB ＝ A ' B '，即建筑物一样高.
9. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼 AB 高16 m，两楼之间的
距离 BD 长16 m.当地下午14时，物高与影长的比是1∶2.这时
甲楼的影子有一部分落在乙楼上，则落在乙楼上的影子 DE 的长
为 m.
16－8
解析：如答图，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F . 在Rt△ AEF 中，∠
AFE ＝90°， EF ＝ BD ＝16 m.∵物高与影长的比是1∶2，
∴ ＝ ，∴ AF ＝ EF ＝ ×16 ＝8 .∴ DE ＝ BF ＝ AB
－ AF ＝ m.即落在乙楼上的影子 DE 的长为
m.故答案为（16－8 ）.
答图
10. 如图，旧楼的一楼窗台高1 m，现计划在旧楼正南方36 m处
建一幢新楼.已知该市冬天中午12时阳光从正南方照射的光线与
水平线的夹角最小为30°，为了使旧楼的一楼窗户底部在中午12
时能够被照射到阳光，则新楼房最高可建 m.
（12 ＋1）
【解析】如答图，由题可知， CD ＝1 m， BC ＝36 m，∠ NAM
＝30°， AM ⊥ AB ， BC ⊥ AB ， CD ⊥ BC . 过点 D 作 DE ⊥ AB 于
点 E . ∵ AM ⊥ AB ，∴ AM ∥ DE . ∴∠ ADE ＝∠ NAM ＝30°.
∵ DE ⊥ AB ， BC ⊥ AB ， CD ⊥ BC ，∴四边形 BCDE 为矩形.∴
DE ＝ BC ＝36 m， BE ＝ CD ＝1 m.设 AE ＝ x m.在Rt△ ADE 中，
∠ AED ＝90°，∠ ADE ＝30°，∴ AD ＝2 AE ＝2 x m， AE2＋ DE2
＝ AD2.∴ x2＋362＝（2 x ）2.解得 x ＝12 （负值已舍去）.∴
AB ＝ AE ＋ BE ＝（12 ＋1）m.故答案为（12 ＋1）.
答图
11. 如图，小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面
BC 上，量得 CD ＝8 m， BC ＝20 m， CD 与地面成30°角，且此
时测得1 m杆的影长为2 m，求电线杆 AB 的高度.
解：如答图，延长 AD 交 BC 的延长线于点 F ，过点 D 作 DE ⊥
BF 于点 E .
由题可知，∠ DCE ＝30°， AB ⊥ BC .
在Rt△ CDE 中，∠ DCE ＝30°，∠ DEC ＝90°，
∴ DE ＝ CD ＝4 m，
∴ CE ＝ ＝ ＝4 m.
设 AB ＝ x m， EF ＝ y m.
∵ AB ⊥ BF ， DE ⊥ BF ，
∴ AB ∥ DE .
∴△ DEF ∽△ ABF .
答图
∴ ＝ ，即 ＝ .①
∵此时测得1 m杆的影长为2 m，
∴ ＝ . ②
联立①②，解得 x ＝14＋2 .
故电线杆的高度为（14＋2 ） m.
答图
12. 某住宅区内的两幢楼如图所示，它们的高 AB ＝ CD ＝30 m，
两楼间的距离 AC ＝30 m.现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.
（1）当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼
上有多高（结果精确到0.1 m， ≈1.73）；
解：（1）如答图，延长 QB 交 DC 于点 E ，作 EF ⊥ AB 点 F .
在Rt△ BEF 中，∵ EF ＝ AC ＝30 m，∠ FEB ＝30°，
∴ BE ＝2 BF .
设 BF ＝ x m，则 BE ＝2 x m.
根据勾股定理，得 BE2＝ BF2＋ EF2，
∴（2 x ）2＝ x2＋302.
∴ x ＝10 ≈17.3（负值舍去）.
∴ EC ≈30－17.3＝12.7（m）.
故甲楼的影子在乙楼上约有12.7 m高.
答图
（2）若某一时刻甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳
与水平线的夹角为多少度？
解：（2）当甲楼的影子刚好落在点 C 处时，
△ ABC 为等腰直角三角形.
因此，当太阳光与水平线的夹角为45°时，甲
楼的影子刚好不落在乙楼的墙上.
13. （选做）如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB ，点 B 是 CD 的中
点， CD 是水平的.在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上.已知铁
塔底座宽 CD ＝8 m，塔影长 DE ＝12 m，小明和小华的身高都
是1.6 m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站
在水平地面上，影子也在水平地面上，两人的影长分别为2 m和
1 m，则塔高 AB 为 m.
16
【解析】如答图，过点 D 作 DF ⊥ CD ，与 AE 交于点 F ，延长
CD 与 AE 交于点 H . 设 EM 为小明， PG 为小华，则 EM ＝ PG ＝
1.6 m，小明的影长 EN ＝2 m，小华的影长 PK ＝1 m.
易知△ FDE ∽△ MEN ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ FD ＝9.6 m.
易知△ FDH ∽△ GPK ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
答图
∴ DH ＝6 m.
易知△ ABH ∽△ FDH ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ AB ＝16 m.
故答案为16.
答图
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第五章 投影与视图
2 视 图(第三课时)
1. （2023·湖北）如图是一个立体图形的三种视图，则该立体图
形是（ D ）
A. 三棱柱 B. 圆柱
（第1题图）
D
C. 三棱锥 D. 圆锥
2. 某几何体的三种视图如图所示，则与该三种视图相对应的几
何体是（ A ）
（第2题图）
A
A
B
C
D
3. 一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（ C ）
（第3题图）
C
A
B
C
D
4. 一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体的侧面展开图
的面积为 cm2.（结果保留π）
6π
（第4题图）
5. 一个由若干个棱长为1的小正方体组合而成的几何体的三种视
图如图所示，则这个几何体的表面积是 .
（第5题图）
22
6. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体的体积
为 .（结果保留π）
（第6题图）
70π
7. 某几何体的三种视图如图所示.
（1）写出这个几何体的名称；
解：（1）这个几何体为正三棱柱.
（2）若图中两个长方形较长一边的长为8 cm，
三角形的边长为3 cm，求这个几何体的侧面积.
解：（2）这个几何体的侧面积为3×8×3＝72（cm2）.
8. 某工厂要加工一批上、下底都密封的纸盒，设计者给出了密
封纸盒的三种视图，如图1.
（1）由三种视图可知，这个密封纸盒的形状是 ；
正六棱柱
（2）根据该几何体的三种视图，在图2中补全它的表面展开
图；
（2）解：补全表面展开图如图所
示.（答案不唯一）
（3）请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积.
（3）解：由图中数据可知，正六
棱柱的高为12 cm，底面边长为5 cm，
∴正六棱柱的侧面积为6×5×12
＝360 .
9. 某几何体的三种视图如图所示，根据图中的数据，则该几何
体的体积为 .（结果保留π）
800π＋3 000
10. 一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其左视图和俯
视图如图所示，则组成该几何体需要的小正方体最多为
个，最少为 个.
8
6
【解析】由俯视图推测该几何体中小正方体的个数，如图.观察
左视图，可知后面一行最少1层，最多2层，且至少有一个是2
层；前面一行只有1层.由图可知，最多有小正方体2＋2＋2＋1
＋1＝8（个），最少有小正方体2＋1＋1＋1＋1＝6（个）.故答
案为8，6.
答图
答图
11. 由两个长方体组合而成的一个零件的三种视图如图所示，根
据图中所标尺寸（单位：mm），求这个零件的表面积.
解：根据三种视图，可得上面的长方体长6 mm，高6 mm，宽3
mm，下面的长方体长10 mm，宽8 mm，高 3 mm，则表面积为
2×（3×8＋3×10＋8×10）＋2×3×6＋2×6×6＝376
（mm2）.故这个零件的表面积是376 mm2.
12. （选做）双十一购物狂欢节，某网店对所售玩具推出买一送
一活动.根据数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒.所有
外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱，上盖纸板面积刚好等于
底面面积的2倍（底面为单层），如图1所示.长方体纸箱的长为
a cm，宽为 b cm，高为 c cm.
图1
（1）请用含有 a ， b ， c 的代数式表示制作一个长方体纸箱需
要 cm2纸板.
（1）【解析】制作长方体纸箱需要（2 ac ＋2 bc ＋3 ab ）cm2纸
板.故答案为（2 ac ＋2 bc ＋3 ab ）.
（2 ac ＋2 bc ＋3 ab ）
（2）图2为若干包装好的同一型号玩具堆成的几何体的三种视
图，则组成这个几何体的玩具最少有 个.
图2
9
（2）【解析】根据三种视图知，组成这个几何体的玩具个数最
少的分布情况如右图所示.∴组成这个几何体的玩具最少有9个.
故答案为9.
（3）现要将两个同一型号的玩具包装在同一个大长方体的外包
装盒内，如图1所示.已知包装单个玩具的长方体纸盒的长和高
相等，且宽小于长.如图3，现有甲、乙两种摆放方式，请分别
计算甲、乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上
盖朝上），比较哪一种方式所需纸板面积较少，并说明理由.
图1
图3
（3）解：设包装单个玩具的长方体纸盒的长为 x cm，高为 x
cm，宽为 y cm，则甲：2（ x2＋2 xy ＋2 xy ）＋2 xy ，乙：2（2 x2
＋2 xy ＋ xy ）＋2 xy .甲－乙＝－2 x2＋2 xy ＝－2 x （ x － y ）.由题
知， x ＞ y ＞0，∴ x － y ＞0.∴－2 x （ x － y ）＜0.∴甲－乙＜
0，即甲＜乙.∴按甲种方式摆放所需外包装盒纸板的面积较少.
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第五章 投影与视图
1 投 影(第一课时)
1. 下列属于中心投影的是（ B ）
A. 阳光下跑动的运动员的影子
B. 路灯下行人的影子
C. 上午阳光下旗杆的影子
D. 大树在湖面的倒影
B
2. 如图，小强晚上在路灯下散步，在由 A 处走到 B 处这一过程
中，他在地上的影子（ A ）
A. 逐渐变短
B. 逐渐变长
C. 先变短，后变长
D. 先变长，后变短
A
3. 幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕
上.如图，在△ ABC 与△ DEF 中，下列结论一定正确的是
（ B ）
A. ∠ BCA ＝∠ EDF B. ∠ ABC ＝∠ DEF
C. AC ＝ EF D. DE ＝2 AB
（第3题图）
B
4. 三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示（三角
尺各边分别与其影子平行）.若 OA ＝20 cm， OA '＝50 cm，则这
个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 .
（第4题图）
2∶5
5. 如图，已知路灯离地面的高度 AB 为4.8 m，身高为1.6 m的小
明站在 D 处的影长为2 m，则此时小明离灯杆的距离 BD
为 m.
（第5题图）
4
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 P （2，2）是一个光
源，木杆 AB 两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆
AB 在 x 轴上的影长为 .
（第6题图）
6
7. 两棵小树在同一个路灯下的影子如图所示.
（1）确定路灯灯泡的位置，并在适当的位置画出灯杆；
解：（1）如图，两条光线的交点 O
即路灯灯泡所在的位置，灯杆为线
段 OD .
（2）在图中画出表示婷婷影子的线段.
解：（2）如图，线段 EF 表示婷婷
的影子.
8. 如图，身高1.6 m的小明站在距路灯底部 O 点10 m的点 A 处，
他的身高（线段 AB ）在路灯下的影子为线段 AM ，已知路灯灯
杆 OQ 垂直于路面.
（1）在 OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点 P ；
解：（1）如图，点 P 即为所求作.
（2）若 AM ＝2.5 m，求路灯灯泡 P 到地面的距离.
解：（2）∵ AB ∥ OP ，
∴△ MAB ∽△ MOP ，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ .
解得 OP ＝8.
故路灯灯泡 P 到地面的距离是8 m.
9. 如图，在墙壁 CD 上的 D 处有一盏灯，小明站在点 A 处测得他
的影长与身长相等，都为1.6 m，他向墙壁走1 m到点 B 处时，发
现影子刚好落在点 A 处，则灯泡与地面的距离 CD ＝ m.
（第9题图）
10. 如图，圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞）正上
方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面
后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2
m，桌面离地面1 m.若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面
积是 m2（结果保留π）.
0.72π
（第10题图）
【解析】设圆环形阴影外圆半径、内圆半径分别为 x m， y m.
∵桌面离地面1 m，灯泡离地面3 m，桌面直径为1.2 m，圆洞直
径为0.4 m，∴ ＝ ，解得 x ＝0.9； ＝ ，解得 y
＝0.3.故地面圆环形阴影的面积是π×0.92－π×0.32＝0.72π
（m2）.故答案为0.72π.
11. 如图，王林同学在晚上由路灯 A 走向路灯 B ，当他走到点 P
处时发现，他在路灯 B 下的影长为2 m，且恰好位于路灯 A 的正
下方.接着他又走了6.5 m到点 Q 处，此时他在路灯 A 下的影子恰
好位于路灯 B 的正下方.已知王林身高1.8 m，路灯 B 高9 m.
（1）计算王林站在点 Q 处在路灯 A 下影子的长度；
解：（1）∵ EP ∥ BD ，
∴Rt△ CEP ∽Rt△ CBD .
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ .
解得 QD ＝1.5.
∴王林站在点 Q 处在路灯 A 下影子的长度为
1.5 m.
（2）计算灯杆 AC 的高度.
解：（2）∵ FQ ∥ AC ，∴Rt△ DFQ ∽Rt△ DAC .
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ .
解得 AC ＝12.
∴灯杆 AC 的高度为12 m.
12. （选做）有一间长、宽、高都为4 m的房间，在天花板的中
心悬挂一只白炽灯泡，其剖面图如图所示.为了集中光线，加上
了灯罩.已知灯罩深8 cm，灯泡 A 离地面3 m，为了使光线能照在
墙壁（图中 HK ， IJ ）上的1 m高处，灯罩的直径 BC 应为多少？
解：如图，连接 DE ，过点 A 作 AG ⊥ BC ，交 BC 于点 F ，交 HI
于点 G ，交 DE 于点 H '，则△ ABC ∽△ ADE . ∴ ＝ .
∵房间的长、宽、高都为4 m， AH '＝3－1＝2（m），
∴ ＝ .解得 BC ＝0.16.
故灯罩的直径 BC 应为0.16 m.
答图
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