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第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
1. 小明用长为3 m的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高
度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB ＝12 m，此时 O ， C ，
A 三点共线（如图所示），则旗杆 AB 的高度为（ A ）
A. 9 m B. 7.5 m C. 6 m D. 4 m
（第1题图）
A
2. 若图1是装液体的高脚杯的示意图，用去一部分液体后如图2
所示，则此时液面 AB ＝（ C ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
（第2题图）
C
3. 如图，一束平行的阳光从教室窗户 AB 射入，小秋量出 BC ＝1
m， NC ＝ m， BN ＝ m， AC ＝4.5 m， MC ＝6 m，则 MA 的
长为（ B ）
A. 5 m
B. 7.5 m
C. 6 m
D. 5.5 m
B
4. 小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4 m，他的影
长为1.75 m，他同学的身高为1.6 m，则此时他的同学的影长
为 m.
2
（第5题图）
5. （2023·南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，
小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜
和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的
顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子
的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度
为 m.
8
6. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A ，
在近岸取点 B ， C ， D ，使得 AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ，点 E 在 BC
上，并且点 A ， E ， D 在同一条直线上.测得 BE ＝20 m， EC ＝
10 m， CD ＝20 m，则河的宽度 AB 为 m.
（第6题图）
40
7. 如图，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去，他发现教学楼
后面有一水塔 DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔
了？”心里很纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别为20 m和
30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m.小张要想看到
水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？
解：如答图，由题意知， AH ＝20－1.6＝18.4（m）， DG ＝30
－1.6＝28.4（m）， HG ＝30 m.
∵ AB ∥ DC ，
∴△ EAH ∽△ EDG .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ EH ＝55.2 m.
∴小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有55.2 m.
答图
8. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的
高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM
与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走
到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB ，并测
得 AB ＝1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高
CD （结果精确到0.1 m）.
解：设 CD 为 x m.
由题意，得 AM ⊥ EC ， CD ⊥ EC ， BN ⊥ EC ， EA ＝ MA ，
∴ MA ∥ CD ， BN ∥ CD .
∴△ EAM ∽△ ECD ，△ ABN ∽△ ACD .
∴ EC ＝ CD ＝ x m， ＝ .
∴ ＝ .
解得 x ＝6.125≈6.1.
∴路灯的高 CD 约为6.1 m.
9. 如图，在离某建筑物4 m处有一棵树 AB . 在某时刻，1.2 m长
的竹竿 A ' B '垂直地面，影 BB '长为2 m，此时，树的影子有一部
分在地面上，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为2
m，则这棵树的高为 m.
4.4
【解析】如答图，过点 C 作 CE ∥ AD 交 AB 于点 E ，则 CD ＝ AE
＝2 m.易得△ B ' BA '∽△ BCE . ∴ A ' B '∶ B ' B ＝ BE ∶ BC ，即
1.2∶2＝ BE ∶4.∴ BE ＝2.4 m.∴ AB ＝2.4＋2＝4.4（m）.∴这棵
树的高为4.4 m.故答案为4.4.
答图
答图
10. 如图，小明用相似图形的知识测量旗杆的高度.已知小明的
眼睛离地面的高度 AB ＝1.5 m，他将3 m长的标杆（ CD ）竖直
放置在身前3 m处（ AC ＝3 m），此时小明的眼睛点 B 、标杆的
顶端点 D 、旗杆的顶端点 F 在一条直线上，通过计算测得旗杆
高度 EF ＝15 m，则旗杆和标杆之间距离 CE ＝ m.
24
【解析】如答图，延长 FB 交 EA 的延长线于点 T . 设 TA ＝ x m，
CE ＝ y m.∵ AB ∥ CD ，∴△ TAB ∽△ TCD . ∴ ＝ .∵ AB ＝
1.5 m， AC ＝ CD ＝3 m，∴ ＝ .解得 x ＝3.经检验， x ＝3
是分式方程的解，且符合题意.∵ CD ∥ EF ，∴△ TCD ∽△
TEF . ∴ ＝ .∵ EF ＝15 m， CD ＝3 m， TC ＝3＋3＝6
（m），∴ ＝ .解得 y ＝24.经检验， y ＝24是分式方程的
解，且符合题意.∴ CE ＝24 m.故答案为24.
答图
11. 如图，路灯 P 距地面8 m（即 OP ＝8 m），身高1.6 m的小明
从点 A 处沿 AO 所在直线行走14 m到达点 B ，求影长 BD 比 AC 缩
短了多少米.
解：∵ EA ⊥ OC ， PO ⊥ OC ，∴∠ EAC ＝∠ POC .
又∵∠ C ＝∠ C ，∴△ EAC ∽△ POC .
∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .
∴ AC ＝ OA . 同理可得， BD ＝ OB .
∴ AC － BD ＝ （ OA － OB ）＝ AB ＝ ×14＝3.5（m）.
∴影长 BD 比 AC 缩短了3.5 m.
12. 如图，王华同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD ，当他走到点
P 时，身后的影子的顶部刚好位于路灯 AC 的底部.当他向前再走
12 m到达点 Q 时，身前的影子的顶部刚好位于路灯 BD 的底部.
已知王华同学的身高是1.8 m，两个路灯的高度都是9.6 m.
（1）求两个路灯之间的距离；
解：（1）由对称性知， AP ＝ BQ . 设 AP ＝ BQ ＝ x m.
∵ MP ∥ BD ，∴△ APM ∽△ ABD .
∴ ＝ .∴ ＝ .解得 x ＝3.6.
经检验， x ＝3.6是原分式方程的根，且符合题意.
∴ AB ＝2 AP ＋ PQ ＝2 x ＋12＝2×3.6＋12＝19.2（m）.
故两个路灯之间的距离为19.2 m.
（2）当王华同学走到路灯 BD 时，他在路灯 AC 下的影长是多少
（结果精确到0.1 m）？
解：（2）设王华走到路灯 BD 处头的顶部
为 E ，连接 CE 并延长，交 AB 的延长线于点
F （如图）.则 BF 即为此时他在路灯 AC 下
的影长.
设 BF ＝ y m.
∵ BE ∥ AC ，∴△ EBF ∽△ CAF .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 y ≈4.4.
检验：4.4＋19.2≠0，且符合题意.
故当王华同学走到路灯 BD 处时，他在路灯 AC 下的影长约是
4.4 m.
13. （选做）如图，平台 AB 上有一棵直立的大树 CD ，平台的边
缘 B 处有一棵直立的小树 BE ，平台边缘 B 外有一个向下的斜坡
BG . 小明想利用数学课上学习的知识测量大树 CD 的高度.一
天，他发现大树的影子一部分落在平台 CB 上，一部分落在斜坡
上，而且大树的顶端 D 的影子与小树顶端 E 的影子恰好重合，
都落在斜坡上的 F 处.经测量， CB ＝5 m， BF ＝2 m，小树
BE ＝1.8 m，斜坡 BG 与平台 AB 所成的∠ ABG ＝150°.请你帮小
明求出大树 CD 的高度.
解：如答图，延长 CB 交 EF 于点 H ，过点 F 作 FM ⊥ EB ，交 EB
的延长线于点 M .
∵∠ ABG ＝150°， BE ⊥ CB ，
∴∠ MBF ＝150°－90°＝60°.
∴∠ MFB ＝30°.
∵ BF ＝2 m，∴ BM ＝1 m.
∴ MF ＝ ＝ m.
∵ BE ⊥ CB ， MF ⊥ BE ，∴ BH ∥ MF .
答图
∴△ EBH ∽△ EMF . ∴ ＝ .
又∵ EB ＝1.8 m， EM ＝ EB ＋ BM ，
∴ ＝ .∴ BH ＝ （m）.
∵ BE ∥ CD ，∴△ HBE ∽△ HCD .
∴ ＝ .
∵ CB ＝5 m， CH ＝ CB ＋ BH ，
答图
∴ ＝ .
∴ CD ＝15.8 m.
即大树 CD 的高度为15.8 m.
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件(第二课时)
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE
与 BC 不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ ADE ∽△ ACB
的是（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ∠ AED ＝∠ B D. ∠ ADE ＝∠ C
（第1题图）
B
2. 如图，下面能判定△ ACD ∽△ ABC 的条件是（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. AC2＝ AB · AD D. CD2＝ AD · AB
（第2题图）
C
3. 如图，在△ ABC 纸片中，已知∠ C ＝90°， BC ＝5， AC ＝7，
将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的
是（ D ）
D
4. 如图，已知 ＝ ，请你再补充一个条件：
，使得△ ABC ∽△ ADE .
（第4题图）
∠ BAC ＝
∠ DAE （或∠ CAE ＝∠ BAD ）
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝∠ ACD ， AB ＝6， BC
＝4， AC ＝5， CD ＝7.5，则 AD ＝ .
（第5题图）
6.25
6. 如图，在Rt△ OAD 中，∠ A ＝90°，点 B ， C 在边 AD 上，且
OA ＝ AB ＝ BC ＝ CD . 现有下列结论：①△ AOB ∽△ BOD ；②
△ BOC ∽△ BDO ；③△ COD ∽△ BDO . 其中成立的有
（填序号）.
②
7. 如图，在△ ABC 与△ ADE 中，已知 ＝ ，且∠ EAC ＝∠
DAB . 求证：△ ABC ∽△ ADE .
证明：∵∠ EAC ＝∠ DAB ，
∴∠ EAC ＋∠ BAE ＝∠ DAB ＋∠ BAE ，
即∠ BAC ＝∠ DAE .
又∵ ＝ ，
∴△ ABC ∽△ ADE .
8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 在边 BC 上，点 Q 为边 DC
的中点， BP ＝3 PC . 求证：△ CPQ ∽△ DQA .
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ C ＝∠ D ＝90°.
∵点 Q 为 DC 的中点，
∴ CQ ＝ DQ ＝ CD ＝ AD .
∵ BP ＝3 PC ，∴ CP ＝ CB ＝ CD .
∴ CP ＝ DQ . ∴ ＝ ＝ .
又∵∠ C ＝∠ D ，∴△ CPQ ∽△ DQA .
9. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， K 都是7×8
方格纸中的格点，为使△ DEM ∽△ ABC 成立，则点 M 应是 F ，
G ， H ， K 四点中的点 .
H
10. 如图，在正方形 ADBC 中，已知点 P 是边 BC 上一点，以 AP
为边作正方形 APEF ，点 Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ . 若
正方形 APEF 的边长为5， CQ ＝ ，则正方形 ADBC 的边长
为 .
4
【解析】如答图，连接 AB ， AQ . ∵四边形 ADBC 是正方形，
∴ ＝ ，∠ BAC ＝45°.∵点 Q 是正方形 APEF 的中心，∴
＝ ，∠ PAQ ＝45°.∴∠ BAP ＋∠ PAC ＝∠ PAC ＋∠ CAQ .
∴∠ BAP ＝∠ CAQ . 又∵ ＝ ，∴△ ABP ∽△ ACQ . ∴ ＝
＝ .∵ CQ ＝ ，∴ BP ＝1.设 PC ＝ x ，则 AC ＝ BC ＝1＋ x .
在Rt△ APC 中， AP2＝ AC2＋ PC2，即52＝ ＋ x2，解得 x1
＝－4（不合题意，舍去）， x2＝3，∴正方形 ADBC 的边长为3
＋1＝4.故答案为4.
11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ，对角线 AC ， BD
相交于点 E ，点 F 在边 AB 上，连接 CF ，交线段 BE 于点 G ，且
CG2＝ GE · GD .
（1）求证：∠ ACF ＝∠ ABD ；
证明：（1）∵ CG2＝ GE · GD ，∴ ＝ .
又∵∠ CGD ＝∠ EGC ，
∴△ GCD ∽△ GEC .
∴∠ GDC ＝∠ GCE .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC .
∴∠ ACF ＝∠ ABD .
（2）连接 EF ，求证： EF · CG ＝ EG · CB .
证明：（2）∵∠ ABD ＝∠ ACF ，∠ BGF ＝∠ CGE ，
∴△ BGF ∽△ CGE .
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠ FGE ＝∠ BGC ，
∴△ FGE ∽△ BGC . ∴ ＝ .
∴ EF · CG ＝ EG · CB .
12. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α得到△ ADE ，连接 BD ，
CE .
（1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：△ ABD ∽△ ACE ；
（1）证明：由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ BAD
＝∠ CAE ，∴ ＝ .
∴△ ABD ∽△ ACE .
（2）如图2，当α＝45°时，点 E 在 AB 的延长线上，延长 DB 交
CE 于点 F ，求∠ DFE 的度数；
（2）解：如图1.∵在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ，
∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝45°.
由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝
45°，
∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ ACE ＝67.5°.
∴∠4＝∠2＝67.5°.
∴∠ BFE ＝180°－∠3－∠4＝45°.
图1
（3）如图3，当45°＜α＜90°时，延长 DB 交 CE 于点 F ，求证：
点 F 是线段 CE 的中点.
（3）证明：如图2，过点 E 作 EM ⊥ DF 于点 M ，过点 C 作 CN ⊥
DF ，交 DF 的延长线于点 N ，则∠ DME ＝∠ EMF ＝∠ BNC ＝90°.
由旋转的性质可知， DE ＝ BC ， AD ＝ AB ，
∠ ADE ＝∠ ABC ＝90°，
∴∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝180°－∠ ABC ＝90°.∴∠4＝∠3.
∴△ DEM ≌△ BCN . ∴ EM ＝ CN .
在△ FME 和△ FNC 中，
∴△ FEM ≌△ FCN （AAS）.∴ EF ＝ CF .
∴点 F 是线段 CE 的中点.
图2
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件(第三课时)
1. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，
， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ， ，则
甲、乙两个三角形（ A ）
A. 一定相似 B. 一定全等
C. 一定不相似 D. 不一定相似
A
2. 下列选项的四对三角形中，根据条件不能判定两个三角形相
似的是 （ B ）
A
B
B
C
D
3. 如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相
似的一对是（ A ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
A
4. 如图，在正方形网格中有3个三角形，则与△ FDE 相似的三角
形是 .
（第4题图）
△ HGR
5. 如图，点 D 是△ ABC 内的一点，连接 BD 并延长到点 E ，连接
AD ， AE . 若 ＝ ＝ ，且∠ CAE ＝30°，则∠ BAD
＝ .
（第5题图）
30°
6. 在△ ABC 和△ A ' B ' C '中，有下列条件：① ＝ ；②
＝ ；③∠ A ＝∠ A '；④∠ C ＝∠ C '.若从中任取两个条件组
成一组，则能判断△ ABC ∽△ A ' B ' C '的共有 组.
3
7. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA
的中点.求证：△ EFD ∽△ ABC .
证明：∵点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，
∴ DF ， EF ， DE 是△ ABC 的中位线.
∴ DF ＝ BC ， EF ＝ AB ， DE ＝ AC .
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴△ EFD ∽△ ABC .
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （3，0）， B （0，
4）， C （4，2），过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，连接 AB ， BC ，
AC . 求证：△ ABC ∽△ ACD .
证明：∵ A （3，0）， B （0，4），
∴ OA ＝3， OB ＝4.
∴ AB ＝ ＝ ＝5.
∵ C （4，2）， CD ⊥ x 轴，
∴ OD ＝4， CD ＝2.
∴ AD ＝ OD － OA ＝1.
∴ AC ＝ ＝ ＝ .
如答图，过点 C 作 CH ⊥ OB 于点 H .
则 OH ＝ CD ＝ BH ＝2， CH ＝ OD ＝4.
答图
∴ BC ＝ ＝ ＝2 .
在△ ABC 和△ ACD 中，
＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
∴△ ABC ∽△ ACD .
答图
9. 如图，将三角形纸片（△ ABC ）折叠，使点 B 落在边 AC 上的
点 B '处，折痕为 EF ， AB ＝ AC ＝3， BC ＝4.若要使以点 B '，
F ， C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则 BF 的长为 .
（第9题图）
2或
【解析】设 BF ＝ x ，则 B ' F ＝ x ， FC ＝4－ x .①若 ＝ ＝
，则△ FB ' C ∽△ ABC . 此时 ＝ ＝ ，解得 x ＝2，即
BF ＝2；②若 ＝ ＝ ，则△ B ' FC ∽△ ABC . 此时 ＝
＝ ，解得 x ＝ ，即 BF ＝ .综上所述， BF 的长为2或 .故
答案为2或 .
10. 如图，把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方
格的边长为1个单位长度，△ ABC 的顶点都在方格的格点位置，
即点 A 的坐标是（1，0）.若点 D 也在格点位置（与点 A 不重
合），且使△ DBC 与△ ABC 相似，则符合条件的点 D 的坐标
是 .
（0，0），（3，2），（3，3）或（4，1）
（第10题图）
【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴ AB ＝1， BC ＝ ，
AC ＝ .∵△ DBC 与△ ABC 相似，∴△ DBC 三边之比为1∶
∶ .如图，可知这样的点 D 的坐标为（0，0），（3，
2），（3，3）或（4，1）.故答案为（0，0），（3，2），
（3，3）或（4，1）.
11. 如图，已知点 O 为△ ABC 内一点，点 A '， B '， C '分别是
OA ， OB ， OC 上的点，且 OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2，
OC '∶ CC '＝2∶1，且 OB ＝6.
（1）求证：△ OA ' B '∽△ OAB .
（1）证明：∵ OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2，
∴ OA '∶ OA ＝ OB '∶ OB ＝1∶3.
又∵∠ A ' OB '＝∠ AOB ，
∴△ OA ' B '∽△ OAB .
（2）以点 O ， B '， C '为顶点的三角形是否可能与△ OBC 相
似？如果可能，求 OC 的长；如果不可能，请说明理由.
（2）解：可能相似.
∵ OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2， OB ＝6，
∴ OB '＝2.
∵ OC '∶ CC '＝2∶1，∠ COB ＝∠ C ' OB '，
∴可设 CC '＝ x ，则 OC '＝2 x ， OC ＝3 x .
要使以点 O ， B '， C '为顶点的三角形与△ OBC
相似，
只要满足 ＝ ，∴ ＝ .
解得 x ＝± .
∵ x ＞0，∴ x ＝ .
∴ OC ＝3 .
12. （选做）定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图
形，则称这个图形是自相似图形.
探究：
（1）如图1，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，你能把△ ABC 分割成2
个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图1中画出分割
线，并说明理由.
解：（1）能.如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， CD 即是满足要
求的分割线.理由如下：
∵∠ B ＝∠ B ，∠ CDB ＝∠ ACB ＝90°，
∴△ BCD ∽△ BAC .
∵∠ A ＝∠ A ，∠ ADC ＝∠ ACB ＝90°，
∴△ ACD ∽△ ABC .
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接
三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小
三角形.我们把△ DEF （图2）第一次顺次连接各边中点所进行
的分割，称为1阶分割（如图3）；把1阶分割得出的4个三角形
再分别顺次连接各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图
4）……依次规则操作下去. n 阶分割后得到的每一个小三角形都
是全等三角形（ n 为正整数），设此时小三角形的面积为 Sn .
①若△ DEF 的面积为1， Sn ＝ ，求 n 的值；
②当 n ＞1时，请写出一个反映 Sn－1， Sn ， Sn＋1三者之间关系的
等式（不用证明）.
解：（2）①由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个
数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当 n 阶分割
后，如果设原三角形的面积为 S ，那么小三角形的面积 Sn ＝ .
∵△ DEF 的面积为1，
∴△ DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的面积为 .
∴ Sn ＝ ＝ .
∴ n ＝3.
②∵ Sn ＝ ＝ ， Sn－1＝ ＝ ， Sn＋1＝ ＝
，
∴ ＝ ＝ ， Sn－1× Sn＋1＝ × ＝ .
∴ ＝ Sn－1× Sn＋1.
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第四章 图形的相似
1 成比例线段(第二课时)
1. 下列各式的推论中，不正确的是（ D ）
A. 由 ＝ ，得 ＝ （ b ＋ d ≠0）
B. 由 ＝ ，得 ＝ （ x ≠0）
C. 由 ＝ ，得 ＝
D. 由 ＝ ，得 ＝
D
2. 已知 x ∶ y ∶ z ＝2∶3∶4，则 的值为（ D ）
A. 1 B. C. 0 D.
3. 已知 ＝ ，有下列等式：① ＝ ；② ＝ ；③
＝ ；④ ＝ .其中正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
C
4. 已知 ＝ ，且 y ≠4，则 ＝ .
5. 已知2 a ＝3 b ＝4 c ，且 abc ≠0，则 的值为 .
6. 已知 ＝ ＝ ，且2 a ＋ b ＋ c ＝33，则 a － b ＋ c ＝ .
2
9
（1）若 AB ＝24， AE ＝6， EC ＝10，求 AD 的长；
（1）解：设 AD ＝ x ，则 BD ＝24－ x .
由 ＝ ，得 ＝ .
解得 x ＝9.
经检验， x ＝9是原分式方程的解，且符合
题意.
∴ AD ＝9.
7. 如图，在△ ABC 中，已知 ＝ .
（2）求证： ＝ .
（2）证明：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴ ＝ .
8. 已知 ＝ ＝ ＝ ，且 b ≠ d ，2 b ＋3 d －4 f ≠0.
（1）求 的值；
解：（1）∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
（2）求 的值；
解：（2）∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
（3）比较（1）（2）的结论，你能发现什么规律？
解：（3）若 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），则 ＝ k .
9. 已知 ＝ ＝ ≠0，则 的值为 .
【解析】设 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），则 x ＝2 k ， y ＝3 k ，
z ＝5 k .∴原式＝ ＝ ＝12.故答案为12.
12
10. 设 a ， b ， c 是三个互不相同的正数.若 ＝ ＝ ，则
a ∶ b ∶ c ＝ .
【解析】∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即
＝ .∴ a ＋ b － c ＝ c .∴ c ＝ .结合 ＝ ，可得 a ＝2
b .∴ c ＝ b .∴ a ∶ b ∶ c ＝2 b ∶ b ∶ b ＝4∶2∶3.故答案为
4∶2∶3.
4∶2∶3
11. 已知 ＝ ＝ ＝ k ，则一次函数 y ＝ kx ＋ k 的图象
一定经过哪些象限？
解：①当 a ＋ b ＋ c ≠0时，
∵ ＝ ＝ ＝ k ，
∴ k ＝ ＝2.
∴ y ＝2 x ＋2，其图象经过第一、二、三象限.
②当 a ＋ b ＋ c ＝0时， k ＝ ＝ ＝－1，
∴ y ＝－ x －1，其图象经过第二、三、四象限.
综上所述， y ＝ kx ＋ k 的图象一定经过第二、三象限.
12. 已知 ＝ ＝ ＝3，且 k ＝ （ b ＋3 d － f ≠0）.
（1）求 k 的值；
解：（1）∵ ＝ ＝ ＝3，
∴ ＝ ＝ ＝3.
又∵ b ＋3 d － f ≠0，
∴由等比性质，得 k ＝ ＝3.
（2）若 x1， x2是方程 x2－3 x ＋ k －2＝0的两根，求 ＋
的值.
解：（2）∵ k ＝3，
∴原一元二次方程为 x2－3 x ＋1＝0.
∴Δ＝（－3）2－4×1×1＝5＞0.
∴方程 x2－3 x ＋1＝0有两个不相等的实数根.
∵ x1， x2是方程 x2－3 x ＋1＝0的两根，
∴ x1＋ x2＝3， x1 x2＝1.
∴ ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝32－2×1＝7.
13. （选做）我们知道：若 ＝ ，且 b ＋ d ≠0，则 ＝ ＝ .
（1）若 b ＋ d ＝0，则 a ， c 满足什么关系？
解：（1）∵ b ＋ d ＝0，
∴ d ＝－ b .
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ a ＝－ c ，即 a ＋ c ＝0.
（2）若 ＝ ＝ ＝ t ，求 t2－ t －2的值.
解：（2）①当 a ＋ b ＋ c ≠0时，
t ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2，
∴ t2－ t －2＝22－2－2＝0.
②当 a ＋ b ＋ c ＝0时，b ＋ c ＝－ a ， a ＋ c ＝－ b ， a ＋ b ＝－ c ，
∴ t ＝ ＝ ＝ ＝－1.
∴ t2－ t －2＝（－1）2－（－1）－2＝0.
综上所述， t2－ t －2＝0.
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件(第一课时)
1. 在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，用直尺和圆规在 AB 上确定
点 D ，使△ ACD ∽△ CBD . 根据作图痕迹判断，下面符合要求
的是（ C ）
A
B
C
C
D
2. 若将含60°角的直角三角板 ABC （∠ A ＝60°）与含45°角的直
角三角板 BCD 按如图方式放置，斜边 AC 与斜边 BD 相交于点 E .
则下列结论正确的是（ A ）
A. △ ABE ∽△ CDE B. △ ABE ∽△ BCE
C. △ BCE ∽△ DCE D. △ ABC ∽△ DCB
（第2题图）
A
3. 已知点 D 是△ ABC 中的边 BC 上的一点，∠ BAD ＝∠ C ，∠
ABC 的平分线交边 AC 于点 E ，交 AD 于点 F ，则下列三角形中
与△ BDF 一定相似的是（ C ）
A. △ BAC B. △ BEC
C. △ BAE D. △ BFA
（第3题图）
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中， CA 平分∠ BCD ，要使△ ABC
∽△ DAC ，还需添加一个条件：
（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）.
（第4题图）
∠ BAC ＝∠ D （或∠ ABC ＝
∠ DAC ）
5. 如图，已知点 E 是 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，连接 AE
交 CD 于点 F ，则图中的相似三角形共有 对.
（第5题图）
3
6. 如图，已知∠ CAB ＝∠ BCD ， AD ＝2， BD ＝4，则 BC ＝
.
2
7. 如图，在△ ABC 和△ DEC 中，已知∠ A ＝∠ D ，∠ BCE ＝∠
ACD .
（1）求证：△ ABC ∽△ DEC ；
（1）证明：∵∠ BCE ＝∠ ACD ，
∴∠ BCE ＋∠ ACE ＝∠ ACD ＋∠ ACE ，
即∠ ACB ＝∠ DCE .
又∵∠ A ＝∠ D ，
∴△ ABC ∽△ DEC .
（2）若 AB ∶ DE ＝2∶3， BC ＝6，求 EC 的长.
（2）解：∵△ ABC ∽△ DEC ，
∴ ＝ ＝ .
又∵ BC ＝6，
∴ ＝ .
∴ EC ＝9.
8. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ，∠ B ＝90°，点 E 为
BC 上一点，且 AE ⊥ ED .
（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；
解：（1）△ ABE ∽△ ECD . 理由如下：
∵ AE ⊥ ED ，
∴∠ AED ＝90°.
∴∠ AEB ＋∠ CED ＝90°.
∵∠ B ＝90°，
∴∠ BAE ＋∠ AEB ＝90°.
∴∠ BAE ＝∠ CED .
∵ AB ∥ DC ，
∴∠ C ＝180°－∠ B ＝90°.
∴∠ C ＝∠ B .
在△ ABE 与△ ECD 中，
∵∠ BAE ＝∠ CED ，∠ B ＝∠ C ，
∴△ ABE ∽△ ECD .
（2）若 BC ＝12， DC ＝7， BE ∶ EC ＝1∶2，求 AB 的长.
解：（2）∵ BC ＝12， BE ∶ EC ＝1∶2，
∴ BE ＝4， EC ＝8.
由（1），得△ ABE ∽△ ECD .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 AB ＝ .
9. 如图，已知点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的一个动
点，以 AD 为边作等腰直角三角形 ADE ，斜边 AE 交 BC 于点 F ，
则图中的相似三角形共有 对.
（第9题图）
5
【解析】∵△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∴∠ BAC ＝
∠ ADE ＝90°，∠ B ＝∠ C ＝∠ E ＝∠ DAE ＝45°.∴△ ABC ∽△
DAE . ∵∠ AFB ＝∠ DFE ，∠ B ＝∠ E ＝45°，∴△ ABF ∽△
DEF . ∵∠ ADF ＝∠ ADB ，∠ B ＝∠ DAE ＝45°，∴△ ABD ∽△
FAD . 同理，得△ FCA ∽△ FAD . ∴△ ABD ∽△ FCA . 综上所
述，图中相似的三角形共有5对.故答案为5.
10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， BC ＝4，点 M 是对角线
BD 上的动点，过点 M 作 ME ⊥ BC 于点 E ，连接 AM . 当△ ADM
是等腰三角形时，则 ME 的长为 .
（第10题图）
或
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ C ＝90°， CD ＝ AB ＝
3， AD ＝ BC ＝4.∴ BD ＝5.①当 AD ＝ DM 时， BM ＝ BD － DM
＝1.∵ ME ⊥ BC ， DC ⊥ BC ，∴ ME ∥ CD . ∴△ BEM ∽△ BCD .
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ME ＝ .②当 MA ＝ MD 时，如图所示.易
证 ME 是△ BDC 的中位线.∴ ME ＝ CD ＝ .综上所述， ME 的长
为 或 .故答案为 或 .
11. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 AD ， CD
上的点，且 AE ＝ ED ， EF ⊥ BE ，连接 EF 并延长，交 BC 的延
长线于点 G .
（1）求证：△ ABE ∽△ DEF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ A ＝∠ D ＝90°.
∴∠ ABE ＋∠ AEB ＝90°.
∵ EF ⊥ BE ，∴∠ DEF ＋∠ AEB ＝90°.
∴∠ ABE ＝∠ DEF .
∴△ ABE ∽△ DEF .
（2）若正方形的边长为4，求 BG 的长.
（2）解：∵正方形 ABCD 的边长为4，且 AE ＝ ED ，
∴ AB ＝4， AE ＝2.∴ BE ＝ ＝2 .
∵ EF ⊥ BE ，
∴∠ A ＝∠ BEG ＝90°.
∵ AE ∥ BC ，∴∠ AEB ＝∠ EBC .
∴△ AEB ∽△ EBG .
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ BG ＝10.
12. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 BC ， AC 上，连
接 AD ， DE ，且∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C .
（1）求证：△ BDA ∽△ CED ；
（1）证明：∵∠ ADE ＋∠ ADB ＋∠ EDC ＝180°， ∠ B ＋∠
ADB ＋∠ DAB ＝180°，且∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C ，
∴∠ DAB ＝∠ EDC .
∴△ BDA ∽△ CED .
（2）若∠ B ＝45°， BC ＝2，点 D 在 BC 上运动（点 D 不与点
B ， C 重合），当△ ADE 是等腰三角形时，求 BD 的长.
（2）解：∵∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C ，∠ B ＝45°，
∴△ ABC 是等腰直角三角形.∴∠ BAC ＝90°.
∵ BC ＝2，∴ AB ＝ AC ＝ .
①当 AD ＝ AE 时，有∠ ADE ＝∠ AED .
∵∠ B ＝45°，∴∠ B ＝∠ ADE ＝∠ AED ＝45°.
∴∠ DAE ＝∠ BAC ＝90°.
∵点 D 在 BC 上运动，点 D 不与点 B ， C 重合，
∴此情况不符合题意.
②如图1，当 AD ＝ DE 时，有∠ DAE ＝∠ DEA .
由（1）可知，△ BDA ≌△ CED ，
∴ AB ＝ DC ＝ .
∴ BD ＝2－ .
图1
图1
③如图2，当 AE ＝ DE 时，∠ ADE ＝∠ DAE ＝45°，
∴△ AED 是等腰直角三角形.
∵∠ B ＝45°，
∴∠ B ＝∠ C ＝∠ DAE ＝45°.
∴∠ ADC ＝90°，即 AD ⊥ BC .
∴ BD ＝ BC ＝1.
综上所述， BD 的长为2－ 或1.
图2
13. （选做）在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点
D ，点 O 是边 AC 上一点，连接 BO 交 AD 于点 F ， OE ⊥ OB 交
BC 于点 E .
（1）如图1，求证：△ ABF ∽△ COE ；
图1
（1）证明：∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ DAC ＋∠ C ＝90°.
∵∠ BAC ＝90°，
∴∠ BAF ＋∠ DAC ＝90°.
∴∠ BAF ＝∠ C .
∵ OE ⊥ OB ，
∴∠ BOA ＋∠ COE ＝90°.
又∵∠ BOA ＋∠ ABF ＝90°，
∴∠ ABF ＝∠ COE .
∴△ ABF ∽△ COE .
图1
（2）如图2，当点 O 为边 AC 的中点，当 ＝2时，求 的值；
图2
（2）解：如图，过点 O 作 AC 的垂线，交 BC 于点 H ，则 OH ∥
AB .
由（1），得∠ ABF ＝∠ COE ，∠ BAF ＝∠ C .
∴∠ AFB ＝∠ CEO .
∴∠ AFO ＝∠ HEO .
∵∠ FAO ＋∠ C ＝90°，∠ EHO ＋∠ C ＝90°，
∴∠ FAO ＝∠ EHO .
∴△ OFA ∽△ OEH .
∴ OF ∶ OE ＝ OA ∶ OH .
又∵点 O 为 AC 的中点， OH ∥ AB ，
∴ OH 为△ ABC 的中位线.
∴ OH ＝ AB ， OA ＝ OC ＝ AC .
∵ ＝2，∴ OA ＝ OC ＝ AB .
∴ OA ∶ OH ＝2∶1.
∴ OF ∶ OE ＝2∶1，即 ＝2.
（3）当点 O 为边 AC 的中点，当 ＝ n 时，请直接写出 的值.
（3） ＝ n .
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第四章 图形的相似
8 图形的位似(第一课时)
1. 下列说法中，正确的是（ C ）
A. 两个多边形相似，则它们一定是位似图形
B. 两个位似图形的位似中心可能不止一个
C. 位似图形一定是相似图形
D. 两个多边形相似，面积比一定是相似比
C
2. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心为
点 O ，且 OE ∶ EA ＝4∶3，则 EF ∶ AB ＝（ D ）
A. 4∶3 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶7
（第2题图）
D
3. 如图，△ ABC 和△ A1 B1 C1是以点 O 为位似中心的位似三角形.
若点 C1为 OC 的中点， AB ＝4，则 A1 B1的长为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
（第3题图）
B
4. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 是位似图形，位似
中心是点 O ， ＝ ，则 ＝ .
（第4题图）
5. 如图，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，点 P '， Q '， R '分别是
OP ， OQ ， OR 的中点，则△ P ' Q ' R '与△ PQR 是位似三角形.此
时△ P ' Q ' R '与△ PQR 的位似中心是点 ，相似比
为 .
O
1∶2
（第5题图）
6. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知
圆，感悟数学之美.如图，正方形 ABCD 的面积为4，以它的对角
线的交点为位似中心，作它的位似图形 A ' B ' C ' D '.若 A ' B '∶ AB
＝2∶1，则四边形 A ' B ' C ' D '的外接圆的周长为 .
4 π
7. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△
ABC 的顶点在网格的格点上，以图中的点 O 为位似中心，在网
格内画出△ A1 B1 C1，使它与△ ABC 位似，且相似比为2.
解：如答图，△ A1 B1 C1即为所求.
答图
答图
8. 如图，五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '是位似图形，点
O 是位似中心，相似比为2∶1.若五边形 ABCDE 的面积为16
cm2，周长为20 cm，则五边形 A ' B ' C ' D ' E '的面积为多少？周长
为多少？
解：∵五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '是位似图形，
∴五边形 ABCDE ∽五边形 A ' B ' C ' D ' E '.
∴五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方.
∵相似比为2∶1，五边形 ABCDE 的面积为16 cm2，周长为20
cm，
∴五边形 A ' B ' C ' D ' E '的面积为4 cm2，周长为10 cm.
9. 如图，在 ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 AB ， CD 的中
点，点 O 是 AF ， DE 的交点，点 P 是 BF ， CE 的交点，则除△
FOD 外，与△ AOE 位似的是 （写出一个即
可）.
（第9题图）
△ AFB 或△ CPF
10. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以点 B 为位似中心，作
ABCD 的位似图形 EBFG ，位似图形与原图形的相似比为
2∶3，连接 AG ， DG . 若 ABCD 的面积为24，则△ ADG 的面
积为 .
（第10题图）
4
【解析】连接 BG . ∵ ABCD 和 EBFG 是以点 B 为位似中心的
位似图形，∴点 D ， G ， B 在同一条直线上.∵四边形 ABCD 是
平行四边形，面积为24，∴△ ADB 的面积为12.易知 EG ∥ AD .
又∵位似图形与原图形的相似比为2∶3，∴ ＝ ＝ .∴
＝ .∴△ ADG 的面积＝12× ＝4.故答案为4.
11. 如图，已知点 G 是 BD 上的一点，且 EG ∥ AD ， FG ∥ CD .
求证：△ EFG 与△ ACD 构成位似图形.
证明：∵ EG ∥ AD ，∴∠ BGE ＝∠ BDA ，△ BGE ∽△ BDA .
∴ ＝ .∵ FG ∥ CD ，
∴∠ BGF ＝∠ BDC ，△ BGF ∽△ BDC .
∴ ＝ .∴∠ FGE ＝∠ CDA ， ＝ .
∴△ EFG ∽△ ACD .
又∵三组对应点所在直线交于同一点 B ，
∴△ EFG 与△ ACD 构成位似图形.
12. 如图，用下面的方法可以画△ AOB 的内接等边三角形.阅读
后证明相应问题.
画法：
①在△ AOB 内画等边三角形 CDE ，使点 C 在 OA 上，点 D 在
OB 上；
②连接 OE 并延长，交 AB 于点 E '，过点 E '作 E ' C '∥ EC ，交 OA
于点 C '，作 E ' D '∥ ED ，交 OB 于点 D '；
③连接 C ' D '，则△ C ' D ' E '是△ AOB 的内接三角形.
求证：△ C ' D ' E '是等边三角形.
证明：∵ E ' C '∥ EC ， E ' D '∥ ED ，
∴△ OCE ∽△ OC ' E '，△ ODE ∽△ OD ' E '.
∴ ＝ ， ＝ ， ∠ CEO ＝∠ C ' E ' O ，∠ DEO ＝∠ D '
E ' O .
∴ ＝ ，∠ CEO ＋∠ DEO ＝∠ C ' E ' O ＋∠ D ' E ' O . ∴∠
CED ＝∠ C ' E ' D '.
∴△ CDE ∽△ C ' D ' E '.
又∵△ CDE 是等边三角形，
∴△ C ' D ' E '是等边三角形.
13. （选做）若△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α后，与△ ADE
构成位似图形，则我们称△ ABC 与△ ADE 互为“旋转位似图
形”.
（1）知识理解：如图1，△ ABC 与△ ADE 互为“旋转位似图
形”.
①若α＝25°，∠ D ＝100°，∠ C ＝28°，则∠ BAE ＝ ；
27°
（1）①【解析】∵△ ABC 和△ ADE 互为“旋转位似图形”，
∴△ ABC ∽△ ADE . ∴∠ B ＝∠ D ＝100°.又∵α＝25°，∠ C ＝∠
E ＝28°，∴∠ BAE ＝180°－100°－25°－28°＝27°.故答案为27°.
②【解析】∵△ ABC ∽△ ADE ，∴ ＝ .又∵ AD ＝6， DE ＝
7， AB ＝4，∴ ＝ .∴ BC ＝ .故答案为 .
②若 AD ＝6， DE ＝7， AB ＝4，则 BC ＝ .
（2）知识运用：如图2，在四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝90°，
AE ⊥ BD 于点 E ，∠ DAC ＝∠ DBC . 求证：△ ACD 与△ ABE 互
为“旋转位似图形”.
（2）证明：∵∠ DOA ＝∠ COB ，∠ DAC ＝∠ DBC ，
∴△ DOA ∽△ COB .
∴ ＝ ，即 ＝ .
又∵∠ AOB ＝∠ DOC ，
∴△ AOB ∽△ DOC .
∴∠ OBA ＝∠ OCD .
又∵∠ ADC ＝90°， AE ⊥ BD ，
∴∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°.
∴△ ABE ∽△ ACD .
∴∠ EAB ＝∠ DAC .
∴△ AEB 绕点 A 按逆时针方向旋转∠ DAE 的度数后与△ ADC 构
成位似图形.
∴△ ACD 和△ ABE 互为“旋转位似图形”.
（3）拓展提高：如图3，△ ABC 为等边三角形，点 G 为 AC 的中
点，点 F 是 AB 边上的一点，连接 GF ，点 D 为 GF 延长线上的一
点，点 E 在线段 GF 上， AE ⊥ DG ，且△ ABD 与△ AGE 互为
“旋转位似图形”.若 AB ＝6， AD ＝4，求 的值.
（3）解：∵点 G 为 AC 的中点，△ ABC 为等边三角形，
∴ AG ＝ AC ＝ AB ＝3.
∵△ ABD 与△ AGE 互为“旋转位似图形”，
∴△ AGE ∽△ ABD ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
又∵ AD ＝4，∴ AE ＝2.
∵ AE ⊥ DG ，∴∠ DEA ＝90°.
在Rt△ AEG 中，由勾股定理，得
GE ＝ ＝ ＝ .
在Rt△ ADE 中，由勾股定理，得
DE ＝ ＝ ＝2 .
∴ ＝ ＝ .
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第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
1. 下列命题中是真命题的是（ C ）
A. 有一个角相等的直角三角形都相似
B. 有一个角相等的等腰三角形都相似
C. 有一个角是120°的等腰三角形都相似
D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ ADC ＝∠ BAC ，则补充下
列条件后仍不能判定△ ADC 和△ BAC 相似的是（ C ）
A. CA 平分∠ BCD
B. ＝
C. AC2＝ BC · CD
D. ∠ DAC ＝∠ ABC
C
3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部
分）与△ ABC 相似的是（ B ）
（第3题图）
A
B
C
D
B
4. 如图，若 AE ∶ AB ＝ ，则△ AEF ∽△ ABC ；若
∠ E ＝ ，则△ AEF ∽△ ABC .
（第4题图）
AF ∶ AC
∠ B
5. （2023·大庆）有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点 N 在边 AD
上，现将矩形折叠，折痕为 BN ，点 A 对应的点记为点 M . 若点
M 恰好落在边 DC 上，则图中与△ NDM 一定相似的三角形
是 .
（第5题图）
△ MCB
6. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AB ＝10， BC ＝
6，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E ，过点 C 作 CD ∥ AB 交 BE
的延长线于点 D ，则 DE ＝ .
（第6题图）
7. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是边 AC 上的一点，∠ CBD 的
平分线 BE 交 AC 于点 E ，且 AE ＝ AB ，求证： AE2＝ AD · AC .
证明：∵ BE 平分∠ CBD ，
∴∠ DBE ＝∠ CBE .
∵ AE ＝ AB ，
∴∠ ABE ＝∠ AEB .
∵∠ ABE ＝∠ ABD ＋∠ DBE ，∠ AEB ＝∠ C ＋∠ CBE ，
∴∠ ABD ＝∠ C .
又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABD ∽△ ACB .
∴ ＝ .∴ AB2＝ AD · AC .
又∵ AE ＝ AB ，
∴ AE2＝ AD · AC .
8. 如图，已知点 E ， F 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且∠
EBF ＝45°.
（1）若 BE ＝ BF ，求证： AE ＝ CF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ BC ，∠ BAE ＝∠ BCF ＝45°.
∵ BE ＝ BF ，∴∠ BEF ＝∠ BFE .
∴∠ AEB ＝∠ CFB . ∴△ ABE ≌△ CBF .
∴ AE ＝ CF .
（2）若 AB ＝4，求 AF · CE 的值.
（2）解：∵∠ BEC ＝∠ BAE ＋∠ ABE ＝45°＋
∠ ABE ，∠ ABF ＝∠ EBF ＋∠ ABE ＝45°＋∠ ABE ，
∴∠ BEC ＝∠ ABF .
又∵∠ BAF ＝∠ BCE ＝45°，
∴△ ABF ∽△ CEB . ∴ ＝ .
又∵ AB ＝4，四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ AB ＝4.
∴ AF · CE ＝ AB · BC ＝4×4＝16.
9. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在
边 AB 上的点 E 处， EQ 与 BC 相交于点 F . 若 AD ＝8， AB ＝6，
AE ＝4，则△ EBF 的周长为 .
8
（第9题图）
10. 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 BC ，
CD 的中点， DE ， AF 交于点 G ， AF 的中点为 H ，连接 BG ，
DH . 给出下列结论：① AF ⊥ DE ；② DG ＝ ；③ HD ∥ BG ；④
△ ABG ∽△ DHF . 其中正确的结论有 （填序号）.
（第10题图）
①④
11. 如图，正方形 ABCD 的边长为1，边 AB 上有一动点 P ，连接
PD . 将线段 PD 绕点 P 按顺时针方向旋转90°后，得到线段 PE ，
且 PE 交 BC 于点 F ，连接 DF . 过点 E 作 EQ ⊥ AB ，交 AB 的延长
线于点 Q .
（1）求线段 PQ 的长.
解：（1）由题意，得 PE ＝ PD ，∠ DPE ＝90°.
∴∠ APD ＋∠ QPE ＝90°.∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ A ＝90°.∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°.
∴∠ ADP ＝∠ QPE . ∵ EQ ⊥ AB ，∴∠ Q ＝90°.
∴∠ A ＝∠ Q . 在△ ADP 和△ QPE 中，
∴△ ADP ≌△ QPE （AAS）.
∴ AD ＝ PQ ＝1.
（2）点 P 在何处时，△ BFP ∽△ PFD ？并说明理由.
解：（2）点 P 为边 AB 的中点时，△ PFD ∽△ BFP . 理由如下：
若△ BFP ∽△ PFD ，则 ＝ .∴ ＝ .
∵∠ ADP ＝∠ EPB ，∠ A ＝∠ CBP ，
∴△ DAP ∽△ PBF . ∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ PA ＝ PB .
∴当点 P 为边 AB 的中点时，△ BFP ∽△ PFD .
12. （选做）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝8，点 P ，
E 分别在线段 AC ， BC 上，且四边形 PEFD 为矩形.若 AP ＝ ，
求 CF 的长.
解：如答图，连接 PF ， DE ， PF 与 DE 相交于点 O ，连接 OC .
∵四边形 ABCD 和四边形 PEFD 都是矩形，
∴∠ ADC ＝∠ PDF ＝90°，
即∠ ADP ＋∠ PDC ＝∠ PDC ＋∠ CDF .
∴∠ ADP ＝∠ CDF .
∵∠ BCD ＝90°， OE ＝ OD ，
∴ OC ＝ ED .
在矩形 PEFD 中， PF ＝ DE ，
答图
∴ OC ＝ PF .
∵ OP ＝ OF ＝ PF ，
∴ OC ＝ OP ＝ OF .
∴∠ OCF ＝∠ OFC ，∠ OCP ＝∠ OPC .
又∵∠ OPC ＋∠ OFC ＋∠ PCF ＝180°，
∴2∠ OCP ＋2∠ OCF ＝180°.
∴∠ PCF ＝90°，即∠ PCD ＋∠ FCD ＝90°.
在Rt△ ADC 中，∠ PCD ＋∠ PAD ＝90°，
答图
∴∠ FCD ＝∠ PAD . ∴△ CDF ∽△ ADP .
∴ ＝ ＝ .
∵ AP ＝ ，
∴ CF ＝ .
答图
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第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质(第二课时)
1. 已知△ ABC ∽△ DEF ， AB ∶ DE ＝1∶2，则△ ABC 与△ DEF
的周长比为（ B ）
A. 1∶4 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 1∶3
B
2. 如图，在一块斜边长30 cm的Rt△ ACB 木板上截取一个正方形
EDCF ，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上.若
AF ∶ AC ＝1∶3，则这块木板截取正方形 EDCF 后，剩下的两个
三角形的周长之比为（ C ）
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶2 D. 1∶5
（第2题图）
C
3. 如图，将△ ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△ A ' B ' C '的位置.
已知△ ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若 AA '＝
1，则 A ' D ＝（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
（第3题图）
B
4. 如图，已知平行于 BC 的直线 DE 把△ ABC 分成面积相等的两
部分，则 ＝ .
（第4题图）
5. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，对角线 AC 和 BD 相
交于点 O ，△ AOD 的面积为1 cm2，△ BOC 的面积为4 cm2，则
△ AOB 的面积为 cm2.
（第5题图）
2
6. （2023·乐山）如图，在 ABCD 中，点 E 是线段 AB 上的一
点，连接 AC ， DE ， AC 与 DE 交于点 F . 若 ＝ ，则
＝ .
7. 如图，已知 AB 与 CD 相交于点 O ，△ OBD ∽△ OAC ， ＝
， OB ＝6， S△ ACO ＝50.求：
（1） OA 的长；
解：（1）∵△ OBD ∽△ OAC ，
∴ ＝ ＝ .
又∵ OB ＝6，
∴ OA ＝10.
（2）△ OBD 的面积.
解：（2）∵△ OBD ∽△ OAC ， ＝ ，
∴ ＝ .
∵ S△ OAC ＝50，
∴ S△ OBD ＝18.
8. 如图，在 ABCD 中，已知 AB ＝6，点 G 在 AB 的延长线上，
连接 DG ，分别交 AC ， BC 于点 E ， F ，且 AE ∶ CE ＝3∶2.
（1）求 BG 的长；
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ CD ＝ AB ＝6， AB ∥ CD .
∴△ AEG ∽△ CED .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 AG ＝9.
∴ BG ＝ AG － AB ＝9－6＝3.
（2）若 S△ BGF ＝3，求四边形 ABFD 的面积.
解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC .
∴△ GBF ∽△ GAD .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 S△ GAD ＝27.
∴ S四边形 ABFD ＝ S△ ADG － S△ BGF ＝27－3＝24.
9. 如图，在边长为 的菱形 ABCD 中，∠ B ＝30°，过点 A 作
AE ⊥ BC 于点 E ，现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置，
AF 与 CD 交于点 G ，则线段 CG 的长为 .
（第9题图）
－1
【解析】在Rt△ ABE 中，∵∠ B ＝30°， AB ＝ ，∴ BE ＝ .根
据折叠性质可得， BF ＝2 BE ＝3.∴ CF ＝3－ .∵ AD ∥ CF ，
∴△ ADG ∽△ FCG . ∴ ＝ .设 CG ＝ x ，则 ＝ ，解
得 x ＝ －1.故答案为 －1.
10. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，
DF 过 EC 的中点 G ，并与 BC 的延长线交于点 F ， BE 与 DF 交于
点 O . 若四边形 BCED 的面积为 S ，则△ FCG 的面积＝
（用含 S 的代数式表示）.
S
（第10题图）
【解析】∵点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，∴ DE ∥ BC ，
DE ＝ BC . ∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ ＝ ＝ .∵四边
形 BCED 的面积为 S ，∴ S△ ADE ＝ S . ∵ DE ∥ CF ，∴∠ EDG ＝
∠ F ，∠ DEG ＝∠ FCG . ∵点 G 是 EC 的中点，∴ EG ＝ CG .
∴ EG ＝ AE . ∴ S△ DEG ＝ S△ ADE ＝ S . 在△ DEG 和△ FCG 中，
∴△ DEG ≌△ FCG （AAS）.∴ S△ FCG ＝ S△
DEG ＝ S . 故答案为 S .
11. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB 和 AC 上，且
DE ∥ BC .
（1）若 AD ∶ DB ＝1∶1，求 S△ ADE ∶ S四边形 DBCE 的值；
解：（1）∵ AD ∶ DB ＝1∶1，
∴ AD ∶ AB ＝1∶2.∵ DE ∥ BC ，
∴△ ADE ∽△ ABC .
∴ ＝ ＝ .
∴ S△ ADE ∶ S四边形 DBCE ＝ .
（2）若 S△ ADE ＝ S四边形 DBCE ，求 和 的值.
解：（2）∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC .
又∵ S△ ADE ＝ S四边形 DBCE ，
∴ S△ ADE ∶ S△ ABC ＝1∶2.
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
∴ ＝ ＝ ＋1.
12. （2023·武汉）如图，已知 DE 将等边三角形 ABC 分为面积相
等的两部分，折叠△ BDE 得到△ FDE ， AC 分别与 DF ， EF 相
交于 G ， H 两点.若 DG ＝ m ， EH ＝ n ，请用含 m ， n 的式子表
示 GH 的长.
解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°.
由折叠的性质，得△ BDE ≌△ FDE ，
∴ S△ BDE ＝ S△ FDE ，∠ B ＝∠ F ＝60°＝∠ A ＝∠ C .
∵ DE 平分等边三角形 ABC 的面积，
∴ S梯形 ADEC ＝ S△ BDE ＝ S△ FDE .
∴ S△ FHG ＝ S△ ADG ＋ S△ CHE .
又∵∠ AGD ＝∠ FGH ，∠ CHE ＝∠ FHG .
∴△ ADG ∽△ FHG ，△ CHE ∽△ FHG .
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
∴ ＋ ＝ ＝ ＝1.
∴ GH2＝ m2＋ n2.
解得 GH ＝ 或 GH ＝－ （不符合题意，舍
去）.
∴ GH ＝ .
13. （选做）如图，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，动
点 E （与点 A ， C 不重合）在 AC 边上， EF ∥ AB 交 BC 于点 F .
（1）当△ EFC 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE
的长.
解：（1）∵△ EFC 的面积与四边形 EABF 的面积相等，
∴ S△ EFC ∶ S△ ACB ＝1∶2.
由 EF ∥ AB ，得△ EFC ∽△ ABC .
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .
∴ CE ＝ CA ＝2 .
（2）试问：在 AB 上是否存在一点 P ，使得△ EPF 为等腰直
角三角形？若存在，请求出 EF 的长；若不存在，请简要说
明理由.
解：（2）存在.分两种情况：
①如图1，当∠ PEF ＝90°时， EP ＝ EF ，过
点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 由 AB ＝5， BC ＝
3， AC ＝4，得∠ ACB ＝90°.
∵ S△ ABC ＝ AB · CD ＝ AC · BC ，
∴ CD ＝ .
图1
设 EP ＝ EF ＝ x .
由△ EFC ∽△ ABC ，得 ＝ ，
解得 x ＝ .∴ EF ＝ .
同理，当∠ EFP '＝90°时， EF ＝ .
图1
②如图2，当∠ EPF ＝90°时， PE ＝ PF ，过点 P 作 PG ⊥ EF 于
点 G ，则 PG ＝ EF .
过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D .
由①知， CD ＝ .
设 EF ＝ y .
由△ EFC ∽△ ABC ，得 ＝ ，
解得 y ＝ .
图2
∴ EF ＝ .
综上所述，在 AB 上存在一点 P ，使△ EFP 为等腰直角三角形，
EF 的长为 或 .
图2
图2
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第四章 图形的相似
3 相似多边形
1. 下列两个图形一定相似的是（ B ）
A. 两个菱形 B. 两个正方形
C. 两个矩形 D. 两个梯形
B
2. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 A ' B ' C ' D '相似，则∠α的
度数为（ A ）
A. 82° B. 85° C. 90° D. 92°
A
3. 如图，取一张长为 a 、宽为 b 的矩形纸片，将它对折两次后得
到一张小矩形纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片
的边 a ， b 应满足的条件是（ B ）
A. a ＝ b B. a ＝2 b
C. b ＝ a D. b ＝2 a
B
4. 已知两个相似多边形的最长边分别是10 cm和30 cm，其中较
小的多边形的最短边为6 cm，则较大多边形的最短边
为 cm.
5. 如图，在 ABCD 中，已知 AB ＝6， AD ＝4，且 ABCD ∽
ADFE ，则 AE ＝ .
18
（第5题图）
6. 如图，一个矩形广场的长为90 m、宽为60 m，广场内有两
横、两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似.若
两条横向小路的宽均为1.2 m，则每条纵向小路的宽为 m.
（第6题图）
1.8
7. 请在右边的格点图中画一条与左边相似的“小鱼”.
解：如图所示（答案不唯一）.
8. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4，在 BC 上取一点 E ，将△
ABE 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处.
（1）求 AF 的长；
解：（1）在矩形 ABCD 中，∠ B ＝∠ BAF ＝90°.
由折叠，得∠ AFE ＝∠ B ＝90°， AF ＝ AB ，
∴四边形 ABEF 是正方形.
∴ AF ＝ AB ＝4.
（2）若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，求 AD 的长.
解：（2）设 AD ＝ x ，则 FD ＝ x －4.
由（1）知，四边形 ABEF 是正方形.
∴ EF ＝ AB ＝4.∴ EF ＝4
∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即 x （ x －4）＝16.
解得 x1＝2＋2 ， x2＝2－2 （不合题意，舍去）.
经检验， x ＝2＋2 是原方程的解，且符合题意.∴ AD 的长为2
＋2 .
9. 如图，在 ABCD 中，∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ，∠ ABC
的平分线交 AD 于点 F . 若 ABCD ∽ CEFD ，且 AD ＝4，则
AF 的长为 .
（第9题图）
2 －2
10. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝12， BC ＝9，点 E ， G 分
别为边 AB ， AD 上的点，矩形 AEFG 与矩形 ABCD 相似，且相似
比为2∶3，连接 CF ，则 CF 的长为 .
（第10题图）
5或
【解析】延长 GF 交 BC 于点 M . ∵四边形 AEFG 和四边形 ABCD
都是矩形，∴ GF ∥ AE . ∵ AB ⊥ BC ，∴ GM ⊥ BC . 分两种情
况：①当 AD 与 AG 是对应边时（如图1）.∵相似比为2∶3，
∴ AG ∶ AD ＝ AE ∶ AB ＝2∶3.∵ AB ＝12， AD ＝ BC ＝9，∴ EF
＝ AG ＝ BM ＝6， GF ＝ AE ＝8.∴ FM ＝ GM － GF ＝ AB － GF ＝
12－8＝4， CM ＝ BC － BM ＝9－6＝3.在Rt△ CMF 中，由勾股
定理，得 CF ＝ ＝ ＝5.
图1
②当 AD 与 AE 是对应边时（如图2）.∵相似比为2∶3，∴ AG ∶
AB ＝ AE ∶ AD ＝2∶3.∴ AG ∶12＝ AE ∶9＝2∶3.∴ AG ＝8，
AE ＝6.∴ FM ＝ GM － GF ＝ AB － GF ＝12－6＝6， CM ＝ BC －
BM ＝ BC － AG ＝9－8＝1.在Rt△ CMF 中，由勾股定理，得 CF
＝ ＝ ＝ .综上所述， CF 的长为5或
.故答案为5或 .
图2
11. （1）如图1，在四边形 ABCD 中，若对角线 AC ， BD 相交于
点 O ，点 E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 的中点，
则四边形 EFGH 和四边形 ABCD 是否相似？
图1
解：（1）四边形 EFGH ∽四边形 ABCD . 理由如下：∵点 E ， F
分别是 OA ， OB 的中点，∴ EF ∥ AB ， ＝ .∴∠1＝∠2.∵点
F ， G 分别是 OB ， OC 的中点，∴ FG ∥ BC . ∴∠3＝∠4.∴∠1
＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ EFG ＝∠ ABC . 同理，得 ＝ ＝
＝ ，∠ FGH ＝∠ BCD ，∠ GHE ＝∠ CDA ，∠ HEF ＝∠ DAB .
∴四边形 EFGH ∽四边形 ABCD .
（2）如图2，已知矩形 ABCD 的边长 AB ＝5， BC ＝6，把它的
各边长都减去2，得到矩形 A ' B ' C ' D '，则矩形 ABCD 与矩形 A ' B
' C ' D '是否相似？
图2
解：（2）不相似.理由如下：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝
， ≠ ，∴ ≠ .∴矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '不相似.
12. （选做）如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB 长为2，动直线 l 分
别交 AD ， BC 于 E ， F 两点，且 EF ∥ AB .
（1）若直线 l 是矩形 ABCD 的对称轴，且沿着直线 l 剪开后得到
的矩形 EFCD 与原矩形 ABCD 相似，试求 AD 的长.
解：（1）由题可知，矩形 EFCD ∽矩形
BCDA ，∴ ＝ .设 AD ＝ BC ＝2 CF ＝2 x .
又∵ CD ＝ AB ＝ EF ＝2，∴ ＝ .解得 x ＝
（负值舍去）.故 AD ＝2 .
（2）若 AD ＝ ＋1，在 AD 边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直
线 l 剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD 相似的
情况？若存在，请求出 AE 的长；若不存在，试说明理由.
解：（2）存在.理由如下：①假设存在矩形
EFCD 与矩形 ABCD 相似，则矩形 EFCD 中 DC
必与矩形 ABCD 中 AD 对应，矩形 EFCD 中 ED 必
与矩形 ABCD 中 DC 对应，有 ＝ .又∵ DC ＝
2， AD ＝ ＋1，∴ ED ＝ －1.∴ AE ＝ AD －
ED ＝2.②假设矩形 EFBA 与矩形 ABCD 相似，与
①同理，可得 AE ＝ －1.综上所述，当 AE ＝
－1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中存
在与原矩形相似的情况.
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第四章 图形的相似
1 成比例线段(第一课时)
1. （2023·武威）若 ＝ ，则 ab ＝（ A ）
A. 6 B.
C. 1 D.
A
2. 已知一个零件长40 cm，它在设计图上的长是2 mm，则这幅
设计图的比例尺是（ B ）
A. 1∶2 000 B. 1∶200
C. 200∶1 D. 2 000∶1
3. 下面四条线段中，不是成比例线段的是（ C ）
A. a ＝3， b ＝6， c ＝2， d ＝4
B. a ＝1， b ＝ ， c ＝ ， d ＝
C. a ＝4， b ＝6， c ＝5， d ＝10
D. a ＝2， b ＝ ， c ＝ ， d ＝2
B
C
4. 在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠ A ＝120°， AD 为
高，则 AD ∶ AB ＝ .
5. （1）已知 a ， b ， p ， q 是成比例线段，其中 a ＝4 cm， b ＝5
cm， q ＝6 cm，则 p ＝ cm；
（2）已知 a ， b ， b ， c 是成比例线段，且 a ＝3 cm， c ＝6 cm，则 b ＝ cm.
1∶2
4.8
3
6. 已知 ＝ ，则 ＝ .
7. 已知 ＝ ，求 的值.
解：∵ ＝ ，
∴5（ a －2 b ）＝2（ a ＋2 b ）.
∴5 a －10 b ＝2 a ＋4 b .
∴3 a ＝14 b .
∴ ＝ .
8. 如图，已知点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点，
AC ∶ BC ＝3∶2，且 AD ＝8，求线段 AB 的长.
解：设 AC ＝3 x ， BC ＝2 x ，则 CD ＝ x ， AB ＝5 x .
∵ AD ＝8，
∴ AC ＋ CD ＝8，即3 x ＋ x ＝8.
∴4 x ＝8.∴ x ＝2.
∴ AB ＝5×2＝10.
9. 如图，在△ ABC 中，已知 ＝ ，且 AB ＝6， AC ＝4， BC
＝5，则 CD 的长为 .
【解析】∵ ＝ ， AB ＝6， AC ＝4，∴ ＝ ＝ .∵ BC ＝
5，∴ BD ＋ CD ＝5.∴ CD ＝2.故答案为2.
2
10. 若 ＝ ＝ （ x ， y ， z 均不为0）， ＝1，则 m 的值
为 .
【解析】设 ＝ ＝ ＝ a （ a ≠0），则 x ＝2 a ， y ＝3 a ， z ＝
ma .∴ ＝ ＝1.∴ m ＝4.故答案为4.
4
11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝1.在 BC 上取一点 E ，沿
AE 将△ ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处，且四条线段
EF ， FD ， AD ， AB 是成比例线段，求 AD 的长.
解：∵沿 AE 将△ ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处，
∴ BE ＝ FE .
∴四边形 ABEF 是正方形.
由 AB ＝1，设 AD ＝ x ，则 FD ＝ x －1， FE ＝1.
∵四条线段 EF ， FD ， AD ， AB 是成比例线段，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即 x2－ x －1＝0.
解得 x1＝ ， x2＝ （舍去）.
经检验， x ＝ 是原分式方程的解，且符合题意.
故 AD 的长为 .
12. 如图，在 ABCD 中，已知 CE 是∠ DCB 的平分线，点 F 是
AB 的中点， AB ＝6， BC ＝4，求 AE ∶ EF ∶ FB 的比.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DC ∥ AB . ∴∠ DCE ＝∠ BEC .
∵ CE 是∠ DCB 的平分线，∴∠ DCE ＝∠ BCE .
∴∠ BEC ＝∠ BCE . ∴ BE ＝ BC ＝4.
∴ AE ＝ AB － BE ＝2.
∵点 F 是 AB 的中点， AB ＝6，
∴ FB ＝3.∴ EF ＝ BE － FB ＝1.
∴ AE ∶ EF ∶ FB ＝2∶1∶3.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （0，－
2）， B （－2，1）， C （3，2）.
（1）求线段 AB ， BC ， AC 的长；
解：（1）由勾股定理，得 AB ＝ ＝
， BC ＝ ＝ ， AC ＝
＝5.
（2）把 A ， B ， C 三点的横坐标、纵坐标都乘2，得到点 A '，
B '， C '的坐标，求 A ' B '， B ' C '， A ' C '的长；
解：（2）由已知，得 A '（0，－4）， B '
（－4，2）， C '（6，4）.
由勾股定理，得 A ' B '＝ ＝2 ，
B ' C '＝ ＝2 ，
A ' C '＝ ＝10.
（3）指出线段 AB ， BC ， AC ， A ' B '， B ' C '， A ' C '中的成比例
线段（写一组即可）.
解： （3）答案不唯一，线段 AB ， A ' B '，
BC ， B ' C '是成比例线段.
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第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质(第一课时)
1. 已知△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 的相似比为 ，则△
ABC 与△ DEF 对应中线的比为（ A ）
A. B. C. D.
2. 已知一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的
三角形的最长边是21，则这个三角形其他两边的和是
（ D ）
A. 17 B. 19 C. 21 D. 24
A
D
3. 如图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，
AD 与 CB 相交于点 O ， AB ∥ CD ，根据图2中的数据可得 x 的值
为（ A ）
A. 0.4 B. 0.8 C. 1 D. 1.6
A
4. （2023·泰州）已知两个相似图形的周长比为3∶2，则它们的
面积比为 .
5. 如图，在小孔成像问题中，已知点 O 到 AB 的距离是18 cm，
点 O 到 CD 的距离是6 cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的 .
9∶4
6. 在△ ABC 中， AB ＝8， AC ＝5，点 D 为边 AB 的中点，点 E 在
边 AC 上.若△ ABC ∽△ ADE ，则 AE ＝ .
解：∵ AB ＝2 DE ， AC ＝2 DF ，∴ ＝ ＝2.又∵∠ BAC ＝∠
EDF ，∴△ BAC ∽△ EDF . ∵ AG ， DH 分别是△ ABC ，△ DEF
的中线，∴ ＝ ＝2.
7. 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，已知点 G ， H 分别是边 BC 和
EF 的中点， AB ＝2 DE ， AC ＝2 DF ，∠ BAC ＝∠ EDF ，求
的值.
8. 如图，已知光源 L 距地面 LN ＝8 m，距正方体箱子 DEFG 顶部
的距离 LM ＝2 m，在光源照射下，箱子在左侧的影子 BE ＝5
m，求箱子在右侧的影子 CF 的长.（箱子的棱长为6 m）
解：由题意知，△ BDE ∽△ BLN ，∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ EN ＝ m.∴ NF ＝6－ ＝ （m）.由△ CFG ∽△ CNL ，得
＝ ，即 ＝ .∴ CF ＝13 m.故箱子在右侧的影子 CF 的长
为13 m.
9. 如图，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共
种了6棵.如果小勇站在距宣传栏中间位置垂直距离为3 m处，正
好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长
为 m（不计宣传栏的厚度）.
6
（第9题图）
10. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝4， BC ＝5，点 D ， E 分别在
BC ， AC 上， CD ＝2 BD ， CE ＝2 AE ， BE 交 AD 于点 F ，则△
AFE 面积的最大值是 .
（第10题图）
【解析】如图，连接 DE . ∵ CD ＝2 BD ， CE ＝2 AE ，∴ ＝
＝ ，∴ DE ∥ AB . ∴△ CDE ∽△ CBA ，∴∠ CDE ＝∠ CBA ，
△ DEF ∽△ ABF . ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ S△ AFE ∶ S△ DEF ＝
3∶2.∴ S△ AFE ＝ S△ ADE . ∴当 S△ ADE 最大时， S△ AFE 最大.过点 D
作 DG ⊥ AB 于点 G . ∵ DE ＝ AB ＝ ，∴当 DG 最大时.∴ S△ AFE
最大.∵ BD ≥ DG ，∴当 AB ⊥ BC 时， DG 最大，此时 DG ＝ BD
＝ BC ＝ .∴ S△ AFE ＝ × × × ＝ .故答案为 .
11. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， EF ∥ CD ， AB ＝
2， EF ＝5， ＝ ，求 DC 的值.
答图
答图
解：如答图，延长 DA ， CB 相交于点 G . ∵ AB ∥ CD ， EF ∥
CD ，∴ AB ∥ EF . ∴∠ GAB ＝∠ GEF ，∠ GBA ＝∠ GFE . ∴△
GAB ∽△ GEF . ∴ ＝ ＝ .设 GA ＝2 x ，则 GE ＝5 x ，∴ AE
＝ GE － GA ＝3 x .∵ ＝ ，∴ ED ＝2 x .∵ EF ∥ CD ，∴∠ GEF
＝∠ D ，∠ GFE ＝∠ C . ∴△ GEF ∽△ GDC . ∴ ＝ ＝
＝ ＝ .∴ DC ＝7.
12. （选做）如图1，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4， BC ＝3.
若正方形 DEFG 的顶点 D ， E 在斜边 AB 上，点 G ， F 分别在直
角边 AC ， BC 上，则我们称正方形 DEFG 内接于△ ABC . 设正方
形的边长为 x ，通过计算易得边长 x 的值为 .
图1
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它
们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长.
图2
解：（1）如图，作 CM ⊥ AB 于点 M ，交 GF 于点 N ，设正方形
的边长为 x .∵∠ ACB ＝90°， AC ＝4， BC ＝3，∴ AB ＝
＝ ＝5.∵ S△ ABC ＝ AB · CM ＝ BC · AC ，
∴ ×5· CM ＝ ×3×4.∴ CM ＝ .∵四边形 DEFG 是矩形，∴
GF ∥ AB . ∴△ CGF ∽△ CAB . ∴ ＝ ，即 ＝ .解得 x
＝ .∴正方形的边长为 .
（2）如图3，若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它
们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长.
图3
（2）由（1），得 ＝ ，解得 x ＝ .
∴正方形的边长为 .
猜想与证明：
（3）如图4，若三角形内有竖立排列的 n 个全等的正方形，它
们组成的矩形内接于△ ABC ，请猜想正方形的边长是多少，并
对你的猜想进行证明.
图4
（3）猜想：正方形的边长为 .证明：同理（1），得 ＝
，解得 x ＝ .
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第四章 图形的相似
8 图形的位似(第二课时)
1. 如图，在平面直角坐标系中，将△ OAB 以原点 O 为位似中心
放大后得到△ OCD . 若点 B 的坐标为（0，1），点 D 的坐标为
（0，3），则△ OAB 与△ OCD 的相似比是（ D ）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 3∶1 D. 1∶3
（第1题图）
D
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ OAB 的顶点坐标分别为
O （0，0）， A （4，3）， B （3，0）.以点 O 为位似中心，在
第三象限内作△ OAB 的位似图形△ ODC ，且相似比为3∶1，则
点 C 的坐标为（ B ）
A. （－1，－1） B.
C. D. （－2，－1）
（第2题图）
B
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别是 A
（1，2）， B （1，1）， C （3，1），以坐标原点 O 为位似中
心，在原点的同侧画△ DEF ，使△ DEF 与△ ABC 成位似图形，
且相似比为2∶1，则线段 DF 的长度为（ D ）
A. B. 2 C. 4 D. 2
（第3题图）
D
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 与△ ODE 是位似图
形，则位似中心的坐标为 .
（第4题图）
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 与△ A ' B ' C '顶点的
横、纵坐标都是整数，△ ABC 与△ A ' B ' C '是位似图形，则位似
中心的坐标是 .
（8，0）
（第5题图）
6. 如图，△ ABC 和△ A ' B ' C 是以点 C 为位似中心的位似图形，
且△ ABC 和△ A ' B ' C 的周长之比为1∶2，点 C 的坐标为（－1，
0）.若点 B 的对应点 B '的横坐标为5，则点 B 的横坐标为 .
－
4
（第6题图）
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 和△ A ' B ' C '是以坐
标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B （3，1）， B '（6，
2）.
（1）填空：
①若 A （2.5，3），则点 A '的坐标为 ；
②△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似比为 .
（5，6）
1∶2
（1）①【解析】由题意可知，点 B 的横、纵坐
标分别乘2即得到点 B '的坐标，∴点 A '的坐标
为（2.5×2，3×2），即（5，6）.故答案为
（5，6）.
②【解析】由题意知，△ ABC 与△ A ' B ' C '的相
似比为3∶6＝1∶2.故答案为1∶2.
（2）若△ ABC 的面积为 m ，求△ A ' B ' C '的面积（用含 m 的代
数式表示）.
（2）解：∵△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似比为1∶2，
∴ ＝ .
∵△ ABC 的面积为 m ，
∴△ A ' B ' C '的面积为4 m .
8. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知
在△ ABC 中， A （－1，2）， B （2，1）， C （4，5）.
（1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1 C1；
解：（1）如图，△ A1 B1 C1为所求作
图形.
（2）以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△ A2 B2 C2，使△
A2 B2 C2与△ ABC 成位似图形，且△ A2 B2 C2与△ ABC 的相似比为
2∶1，并写出点 A2， B2， C2的坐标.
解：（2）如图，△ A2 B2 C2为所求作图
形，点 A2， B2， C2的坐标分别为（－
2，4），（4，2），（8，10）.
9. （2023·绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 与△ AB '
C '的相似比为1∶2，点 A 是位似中心.若点 A （2，0）， C （ a ，
b ），∠ C ＝90°，则点 C '的坐标为 （结
果用含 a ， b 的式子表示）.
（第9题图）
（6－2 a ，－2 b ）
【解析】如图，过点 C ， C '分别作 x 轴的垂线 CD ， C ' D '，垂足
分别为 D ， D '.
∵△ ABC 与△ AB ' C '的相似比为1∶2，点 A 是位似中心， A
（2，0），∴ AD '＝2 AD . ∵ C （ a ， b ），∴ AD ＝ a －2， CD
＝ b .∴ A ' D ＝2 a －4， C ' D '＝2 b .∴ D '（2－2 a ＋4，0），即 D '
（6－2 a ，0）.∴ C '（6－2 a ，－2 b ）.故答案为（6－2 a ，－2
b ）.
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 A1 BB1 C1， A2 B1 B2 C2，
A3 B2 B3 C3关于原点 O 位似，其中点 B ， B1， B2， B3都在 x 轴
上，点 C1在 A2 B1上，点 C2在 A3 B2上，依此方式，继续作正方形
A4 B3 B4 C4……若点 A1的坐标为（1，1），则点 C2 024的坐标
为 .
（第10题图）
解：∵点 A1坐标为（1，1），∴ OB ＝1， A1 B ＝1.∵四边形 A1
BB1 C1是正方形，∴ OB1＝2， B1 C1＝1.∴点 C1的坐标为（2，
1）.∵正方形 A1 BB1 C1与正方形 A2 B1 B2 C2关于原点 O 位似，
∴ ＝ ＝ .∴正方形 A1 BB1 C1与 A2 B1 B2 C2的相似比为
1∶2.同理可得，正方形 A1 BB1 C1与正方形 A3 B2 B3 C3的相似比为
1∶4，正方形 A1 BB1 C1与正方形 A4 B3 B4 C4的相似比为1∶8，
∴正方形 A1 BB1 C1与正方形 AnBn－1 BnCn 的相似比为1∶2 n－1.∴点
C2 024的坐标为 ，即
.故答案为 .
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A
（7，1）， B （8，2）， C （9，0）.
（1）请在图中以点 P （12，0）为位似中心画△ A ' B ' C '，使它
与△ ABC 位似，且相似比为3∶1（要求△ A ' B ' C '与△ ABC 同在
点 P 同侧）；
解：（1）画出△ A ' B ' C '如图所示.
（2）求线段 BC 的对应线段 B ' C '所在直线的函数表达式.
解：（2）由（1），得 B '（0，
6）， C '（3，0）.
设 B ' C '所在直线的函数表达式为
y ＝ kx ＋ b .
将点 B '， C '的坐标代入，得
解得
∴线段 B ' C '所在直线的函数表达
式为 y ＝－2 x ＋6.
12. （选做）如图，在平面直角坐标系中，有正方形 ABCD 和正
方形 EFGH . 若点 A 和点 E 的坐标分别为（－2，3），（1，－1），
且这两个正方形是位似图形，求位似中心的坐标.
解：①当点 A 和点 E 是对应顶点，点 B 和点 F 是对应顶点
时，位似中心就是 AE 与 BF 的交点.
如图1，连接 AE ，交 x 轴于点 N ，点 N 即为两个正方形的位
似中心.
∵点 A 和点 E 的坐标分别为（－2，3），（1，－1），
∴ B （－2，0）， AB ＝3， EF ＝1， BF ＝1－（－2）＝3.
∵ AB ∥ EF ，
∴△ ABN ∽△ EFN .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
图1
解得 BN ＝ .
∴ ON ＝ BN － BO ＝ －2＝ .
∴位似中心的坐标是 .
图1
图1
②当点 A 和点 G 是对应顶点，点 C 和点 E 是对应顶点时，位似中
心就是 AG 与 CE 的交点.
如图2，连接 AG ， DF ， BH ， CE ，并延长交于点 M .
∵点 E 的坐标为（1，－1），
∴ EF ＝1， F （1，0）， G （2，0）， H （2，－1）.
设 AG 所在直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .
把点 A （－2，3）， G （2，0）代入，得
图2
解得
故 AG 所在直线的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
设 BH 所在直线的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
把点 B （－2，0）， H （2，－1）代入，得
图2
解得
故 BH 所在直线的函数表达式为 y ＝－ x － .
联立解得
故 M .
综上所述，位似中心的坐标是（ ，0）或（4，－ ）.
图2
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件(第四课时)
1. 下列式子能表达点 E 是线段 MN 的黄金分割点（ ME ＜ EN ）
的是（ A ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
A
2. 如图，点 P 是线段 AB 上一点 ，若满足 ＝ ，则
称点 P 是 AB 的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包
含“黄金分割”.若图中 AB ＝8，则 BP 的长是（ A ）
A. 12－4 B. 4＋4
C. 4 －4 D. 2
A
3. 已知线段 AB ＝1，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长
度为（ C ）
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
C
4. 若点 P 是线段 MN 的黄金分割点，且 MP ＞ NP ，则 的值
为 .
5. 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是
黄金比.已知蝴蝶展开的双翅的长度是4 cm，则蝴蝶身体的长度
约为 cm（精确到0.1 cm）.
2.5
6. 我们把两条邻边中较短边与较长边的比值为 的矩形称作
“黄金矩形”.从外形上看，它具有美感.现将长度为20 cm的铁
丝折成一个“黄金矩形”，则这个“黄金矩形”较短的边长
是 cm.
（15－5 ）
（1）求作：∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ；（要求：尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）
（1）解：如答图， BD 即为所求作.
7. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠ A ＝36°.
答图
（2）求证：点 D 为线段 AC 的黄金分割点（即 AD2＝ CD · CA ）.
（2）证明：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°，
∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°.
∵ BD 平分∠ ABC ，
∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝36°.
∴ AD ＝ BD ，∠ BDC ＝72°.
∴ BD ＝ BC .
∴ AD ＝ BC .
∵∠ BCD ＝∠ ACB ，∠ CBD ＝∠ CAB ，
∴△ BCD ∽△ ACB .
∴ BC ∶ AC ＝ CD ∶ BC .
∴ AD ∶ AC ＝ CD ∶ AD .
∴ AD2＝ CD · CA .
∴点 D 为线段 AC 的黄金分割点.
8. 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 的黄金分割
点（ BE ＞ DE ）， AE ， BC 的延长线交于点 F ， AB ＝2，
求 CF 的长.
解：∵点 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 的黄金分割点（ BE ＞
DE ），∴ ＝ .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ＝ AB ＝2.
∴△ ADE ∽△ FBE . ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .
解得 CF ＝ －1.
9. 如图，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA ＞ PB . 若 S1表
示以 PA 为边的正方形的面积， S2表示长为 AB 、宽为 PB 的矩形
的面积，则 S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝
10. 某校举办了建校70周年校庆活动，节目展演环节主持人站在
舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台 AB 的长为20 m，点 C 为
AB 的一个黄金分割点，则 AC 的长为
m.
（10 －10）或（30－
10 ）
【解析】∵点 C 为 AB 的一个黄金分割点， AB ＝20 m，∴当 AC
＞ BC 时， AC ＝ AB ＝ ×20＝（10 －10）m；当 AC
＜ BC 时， BC ＝ AB ＝ ×20＝（10 －10）m，则 AC
＝ AB － BC ＝20－（10 －10）＝ m.综上所述，
AC 的长为（10 －10）m或（30－10 ）m.故答案为（10
－10）或（30－10 ）.
11. “黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上
许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”.下面我们就
用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇（如图）.假设纸扇张开
到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比等于黄金
比，请你求出纸扇张开的角度.（黄金比取0.6，扇形的面积公式
S ＝ ，其中， R 为扇形的半径， n °为扇形的圆心角）
解：设扇形的半径为 R ，圆心角为 n °，则剩余扇形的圆心角为
（360－ n ）°.依题意，得 ∶ ＝0.6.
解得 n ＝135.
即纸扇张开的角度为135°.
12. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝1，∠ A ＝36°， BD 平
分∠ ABC 交 AC 于点 D .
（1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；
（1）证明：∵ AB ＝ AC ＝1，
∴∠ ABC ＝∠ C ＝ ×（180°－∠ A ）
＝ （180°－36°）＝72°.
∵ BD 平分∠ ABC ，
∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝36°.
∴∠ ABD ＝∠ A .
∴∠ BDC ＝180°－36°－72°＝72°.
∴∠ BDC ＝∠ C .
∴ DA ＝ DB ， BD ＝ BC .
∴ AD ＝ BD ＝ BC .
∵∠ BDC ＝∠ ABC ，∠ C ＝∠ C ，
∴△ BDC ∽△ ABC .
∴ BC ∶ AC ＝ CD ∶ BC .
∴ BC2＝ CD · AC .
∴ AD2＝ CD · AC ，即 ＝ .
∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点.
（2）求线段 AD 的长.
（2）解：∵点 D 是线段 AC 的黄金分割点， AC ＝1，
∴ ＝ .∴ AD ＝ .
13. （选做）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金
三角形”.如图1，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°.
图1
（1）在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，
并连接 BD . （保留作图痕迹，不写作法）
（1）解：如图1所示.
图1
图1
（2）在（1）的条件下，△ BCD 是不是“黄金三角形”？若
是，请给出证明；若不是，请说明理由.
（2）解：△ BCD 是“黄金三角形”.
证明如下：
∵∠ A ＝36°， AB ＝ AC ，
∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°.
又∵点 D 在 AB 的垂直平分线上，
∴ AD ＝ BD .
∴∠ ABD ＝∠ A ＝36°.
图1
∴∠ ABD ＝∠ DBC ＝36°.
又∵∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＝72°，
∴∠ BDC ＝∠ C .
∴ BD ＝ BC .
∴△ BCD 是“黄金三角形”.
图1
（3）在（1）的条件下，设 ＝ k ，试求 k 的值.
（3）解：设 BC ＝ x ， AC ＝ y .
由（2）知， AD ＝ BD ＝ BC ＝ x .
∵∠ DBC ＝∠ A ，∠ C ＝∠ C ，
∴△ BDC ∽△ ABC .
∴ ＝ ，即 ＝ .
整理，得 x2＋ xy － y2＝0.解得 x ＝ y .
∵ x ， y 均为正数，∴ k ＝ ＝ .
图1
（4）如图2，在△ A1 B1 C1中，已知 A1 B1＝ A1 C1，∠ A1＝108°，
且 A1 B1＝ AB ，请直接写出 的值.
图2
（4） ＝ .
【解析】如图2，延长 BC 到点 E ，使 CE ＝ AC ，连接 AE .
∵∠ BAC ＝36°， AB ＝ AC ，
∴∠ ACB ＝∠ B ＝72°.
∴∠ ACE ＝180°－∠ ACB ＝180°－72°＝108°.
∴∠ ACE ＝∠ B1 A1 C1.
又∵ A1 B1＝ AB ，
∴ AC ＝ CE ＝ A1 B1＝ A1 C1.
图2
在△ ACE 和△ B1 A1 C1中，
∴△ ACE ≌△ B1 A1 C1（SAS）.
∴ AE ＝ B1 C1.
∵ CE ＝ AC ，∠ ACE ＝108°，
∴∠ CAE ＝∠ E ＝36°.
∴∠ B ＝∠ BAE ＝72°.
∴△ ABE 为“黄金三角形”.
图2
由（3）知， ＝ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ ＝ · ＝ × ＝ .
图2
图2
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第四章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
1. （2023·吉林）如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点 D
作 DE ∥ BC ，交 AC 于点 E . 若 AD ＝2， BD ＝3，则 的值是
（ A ）
A. B. C. D.
（第1题图）
A
2. 如图，已知 AB ∥ CD ， AD 与 BC 相交于点 O ， AO ∶ DO ＝
1∶2，则下列各式正确的是（ B ）
A. BO ∶ BC ＝1∶2 B. OC ∶ BO ＝2∶1
C. CO ∶ BC ＝1∶2 D. AD ∶ DO ＝3∶1
（第2题图）
B
3. 如图，已知 l1∥ l2∥ l3，则下列各式错误的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
（第3题图）
D
4. 如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ，且 AD ∶ AF ＝3∶5， BE ＝12，
则 CE 的长为 .
（第4题图）
5. 如图，在△ ABC 中，点 D 在 AB 的延长线上，点 E 在 AC 的延
长线上，且 DE ∥ BC . 若 AB ＝3， BD ＝2， AE ＝4.5，则 AC
＝ .
（第5题图）
2.7
6. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是边 AB ， AC ，
BC 上的点，且 DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， AD ∶ DB ＝3∶5，则
＝ ； ＝ .
（第6题图）
7. 如图，在△ ABC 中，已知 MN ∥ BC ， DN ∥ MC ，求证： AM2
＝ AB · AD .
证明：∵ MN ∥ BC ，
∴ ＝ .
∵ DN ∥ MC ，
∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ AM2＝ AD · AB .
8. 如图，已知点 F 为 ABCD 的边 AD 延长线上一点， BF 分别交
CD ， AC 于点 G ， E .
（1）求证： ＝ ；
（1）证明：在 ABCD 中，有 DC ∥ AB ，
BC ∥ AD ，
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ .
（2）若 EF ＝32， GE ＝12，求线段 BE 的长.
（2）解：由（1）可知， ＝ .
将 EF ＝32， GE ＝12代入上式，得 ＝ .
解得 BE ＝8 （负值舍去）.
故 BE ＝8 .
9. 如图，已知 DE ∥ AB ， DF ∥ BC ， AD ∶ AC ＝2∶3， AB ＝
9， BC ＝6，则四边形 BEDF 的周长为 .
（第9题图）
14
10. 如图， BE 是△ ABC 的中线，点 F 在 BE 上，延长 AF 交 BC 于
点 D . 若 BF ＝3 EF ，则 ＝ .
（第10题图）
11. 如图，在 ABCD 中，已知 EF ∥ AB ， FG ∥ ED ， DE ∶ DA
＝2∶5， EF ＝4，求线段 CG 的长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∵ EF ∥ AB ，∴ EF ∥ DG . 又∵ FG ∥ ED ，∴四边形 DEFG 是平
行四边形.∴ DG ＝ EF ＝4.∵ EF ∥ AB ，∴ ＝ ＝ .∵ FG ∥
ED ， ED ∥ BC ，∴ FG ∥ BC . ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .∴ DC
＝10.∴ CG ＝ DC － DG ＝10－4＝6.
12. 在△ OAB 中，已知 OA ＝ OB ，点 C 在直线 AB 上， BC ＝3
AC ，点 E 为 OA 边的中点，连接 OC ，射线 BE 交 OC 于点 G ，求
的值.
解：①当点 C 在点 A 左侧时，如图1，过点 A 作 AF ∥ BG ，交 OC
于点 F . ∵ AF ∥ BG ， BC ＝3 AC ，∴ ＝ ＝ .∴ FG ＝2 CF .
∵点 E 为 OA 边的中点， AF ∥ BG ，∴ ＝ ＝1.∴ OG ＝ FG
＝2 CF . ∴ ＝ .
图1
②当点 C 在点 A ， B 之间时，如图2，过点 A 作 AF ∥ BG ，交 OC
的延长线于点 F . ∵ AF ∥ BG ， BC ＝3 AC ，∴ ＝ ＝ .∴ CG
＝3 CF . ∵点 E 为 OA 边的中点， AF ∥ BG ，∴ ＝ ＝1.
∴ OG ＝ FG ＝4 CF . ∴ ＝ .
综上所述， 的值为 或 .
图2
13. （选做）如图，在△ ABC 中，已知点 D 为 BC 的边中点，点
P 在 AD 上，过点 P 作 PM ∥ AC 交 AB 于点 M ，作 PN ∥ AB 交 AC
于点 N .
（1）若 AP ∶ PD ＝2∶1，求 AM ∶ AB 的比；
（1）解：过点 D 作 DE ∥ PM ，交 AB 于点 E ，如
图1所示.∵点 D 为 BC 的中点， DE ∥ PM ∥ AC ，
∴点 E 为 AB 的中点，且 AM ∶ AE ＝ AP ∶ AD .
∵ AP ∶ PD ＝2∶1，∴ AP ∶ AD ＝2∶3.∴ AM ∶
AE ＝2∶3.又∵点 E 为 AB 的中点，∴ AB ＝2 AE .
∴ AM ∶ AB ＝2∶6＝1∶3.
图1
（2）试证明： AM ∶ AB ＝ AN ∶ AC .
（2）证明：延长 AD 至点 Q ，使 DQ ＝ AD ，连接
BQ ， CQ ，如图2所示.∵点 D 是 BC 的中点，∴四
边形 ABQC 是平行四边形.∴ AC ∥ BQ ， AB ∥ CQ .
∴ PM ∥ BQ ， PN ∥ CQ . ∴ AM ∶ AB ＝ AP ∶
AQ ， AN ∶ AC ＝ AP ∶ AQ . ∴ AM ∶ AB ＝ AN ∶
AC .
图2
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第四章 图形的相似
回顾与思考
1. 已知 ＝ ，则 的值等于（ A ）
A. B. － C. D. －
A
2. 如图，点 P 是△ ABC 的边 AC 上一点，连接 BP ，以下条件
中，不能判定△ ABP ∽△ ACB 的是（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ∠ ABP ＝∠ C D. ∠ APB ＝∠ ABC
（第2题图）
B
3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，点 O 是位似中心，相似
比为2∶3，点 A ， B 的对应点分别为点 A '， B '.若 AB ＝6，则 A '
B '的长为（ B ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 15
（第3题图）
B
4. 已知 m ， n ， x ， y 是成比例线段，且 m ＝2， n ＝8， y ＝20，
则线段 x 的长为 .
5. 如图，已知 l1∥ l2∥ l3，直线 a ， b 与 l1， l2， l3分别交于点 A ，
B ， C 和点 D ， E ， F ，且 ＝ ， DE ＝4，则 EF 的长为 .
5
6
（第5题图）
6. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 为 BC 上一点， BC ＝ AB ＝3
BD ，则 AD ∶ AC 的值为 .
（第6题图）
7. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF
来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边
DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上.已
知 DE ＝0.5 m， EF ＝0.25 m，测得点 D 到地面的距离 DG ＝1.5
m，到旗杆的水平距离 DC ＝20 m，求旗杆的高度.
解：由题意，得△ DEF ∽△ DCA ，∴ ＝ .∵ DE ＝0.5 m，
EF ＝0.25 m， DC ＝20 m， ∴ ＝ .
∴ AC ＝10 m.
∴ AB ＝ AC ＋ BC ＝ AC ＋ DG ＝10＋1.5＝11.5（m）.
故旗杆的高度为11.5 m.
8. （2023·上海）如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，点
F ， E 分别在线段 BC ， AC 上，且∠ FAC ＝∠ ADE ， AC ＝ AD .
（1）求证： DE ＝ AF ；
证明：（1）∵ AD ∥ BC ，
∴∠ DAE ＝∠ ACF .
在△ DAE 和△ ACF 中，
∴△ DAE ≌△ ACF .
∴ DE ＝ AF .
（2）若∠ ABC ＝∠ CDE ，求证： AF2＝ BF · CE .
证明：（2）由（1）知，△ DAE ≌△ ACF ，
∴∠ DEA ＝∠ AFC .
∴180°－∠ AFC ＝180°－∠ DEA ，
即∠ AFB ＝∠ CED . 又∵∠ ABF ＝∠ CDE ，
∴△ ABF ∽△ CDE . ∴ ＝ .
又∵ DE ＝ AF ，∴ ＝ .
∴ AF2＝ BF · CE .
9. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝3， BC ＝4.若点 D ， E 是
BC 边的两个“黄金分割点”，则△ ADE 的面积为 .
（第9题图）
10－4
10. 如图，在边长为10的正方形 ABCD 中，内接有六个大小相同
的正方形，点 P ， Q ， M ， N 是在大正方形边上的小正方形的
顶点，则每个小正方形的边长为 .
（第10题图）
【解析】如图，过点 Q 作 QE ⊥ AD 于点 E . 在△ MDN 和△ NEQ
中，∠ MDN ＝∠ NEQ ＝90°，∠ DMN ＝∠ ENQ ，∴△ MDN
∽△ NEQ ，∴ ＝ ＝ ＝ .∴ DN ＝ ×10＝2.在△ MDN
和△ PBQ 中，∴△ MDN ≌△ PBQ
（ASA）.∴ DM ＝ BP ， DN ＝ BQ ＝2.∴ NE ＝ AD － DN － EA ＝
AD － DN － BQ ＝10－2－2＝6.∴ DM ＝ ×6＝ .∴ MN ＝
＝ ＝ .
即每个小正方形的边长为 .故答案为 .
11. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 BC ， AB
上， BD ＝ AD ＝ AC ， AD 与 CE 相交于点 F ，且 AE2＝
EF · EC . 求证：
（1）∠ ADC ＝∠ DCE ＋∠ EAF ；
证明：（1）∵ AE2＝ EF · EC ，∴ ＝ .
又∵∠ AEF ＝∠ CEA ，∴△ EAF ∽△ ECA .
∴∠ EAF ＝∠ ECA . ∵ AD ＝ AC ，
∴∠ ADC ＝∠ ACD .
∵∠ ACD ＝∠ DCE ＋∠ ECA ，
∴∠ ADC ＝∠ DCE ＋∠ EAF .
（2） AF · AD ＝ AB · EF .
证明：（2）由（1）可知，△ EAF ∽△ ECA ，
∴∠ EFA ＝∠ EAC ，即∠ EFA ＝∠ CAB .
∵ BD ＝ AD ，
∴∠ BAD ＝∠ B ，即∠ EAF ＝∠ B .
∴△ FAE ∽△ ABC .
∴ ＝ .
∴ FA · AC ＝ AB · FE . ∵ AC ＝ AD ，∴ AF · AD ＝ AB · EF .
12. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 边上的中点，且 AD ＝
AC ， DE ⊥ BC ， DE 与 AB 相交于点 E ， EC 与 AD 相交于点 F .
（1）求证：△ ABC ∽△ FCD ；
证明：（1）∵ AD ＝ AC ，
∴ ∠ ADC ＝∠ ACD .
∵点 D 是 BC 边上的中点， DE ⊥ BC ，
∴ EB ＝ EC .
∴ ∠ EBC ＝∠ ECB .
∴ △ ABC ∽△ FCD .
（2）求证： AF ＝ DF ；
证明：（2）证明：∵△ ABC ∽△ FCD ， ∴ ＝ .
∵点 D 是 BC 的中点，
∴ DC ＝ BC . ∴ ＝2.
∴ DF ＝ AC .
又∵ AC ＝ AD ，
∴ DF ＝ AD ＝ AF .
（3）若△ FCD 的面积为5， BC ＝10，求 DE 的长.
证明：（3）解：如图，过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M .
∵△ FCD ∽△ ABC ， BC ＝2 CD ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
∵ S△ FCD ＝5，∴ S△ ABC ＝20.
又∵ S△ ABC ＝ BC · AM ， BC ＝10，
∴ AM ＝4. ∵ AD ＝ AC ， AM ⊥ CD ，
∴ DM ＝ CM ＝ CD ， DE ∥ AM ，
∴ ＝ ＝ .∴ DE ＝ .
13. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm，
BC ＝8 cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以3 cm/s的速度向点 A
运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以2 cm/s的速度向点 B
运动.运动时间为 t s ，连接 MN .
（1）若△ BMN 与△ ABC 相似，求 t 的值；
解：（1）∵∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm， BC
＝8 cm，
∴ BA ＝ ＝ ＝10（cm）.
由题意，得 BM ＝3 t cm， CN ＝2 t cm，
∴ BN ＝ BC － CN ＝（8－2 t ）cm.
①当∠ MNB ＝90°时，若△ BMN ∽△ BAC ，
则 ＝ .
∴ ＝ .解得 t ＝ .
②当∠ BMN ＝90°时，若△ BMN ∽△ BCA ，则 ＝ .
∴ ＝ .解得 t ＝ .
综上所述，△ BMN 与△ ABC 相似时， t 的值为 或 .
（2）连接 AN ， CM ，若 AN ⊥ CM ，求 t 的值.
解：（2）如图，过点 M 作 MD ⊥ CB 于点
D ，则∠ BDM ＝∠ ACB ＝90°.
又∵∠ B ＝∠ B ，
∴△ BDM ∽△ BCA .
∴ ＝ ＝ .
∵ AC ＝6 cm， BC ＝8 cm， BA ＝10 cm， BM
＝3 t cm， CN ＝2 t cm，
∴ DM ＝ t cm， BD ＝ t cm.
∴ CD ＝ cm.
∵ AN ⊥ CM ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ CAN ＋∠ ACM ＝90°，∠ MCD ＋∠ ACM ＝90°.
∴∠ CAN ＝∠ MCD .
∵ MD ⊥ CB ，
∴∠ MDC ＝∠ ACB ＝90°.
∴△ CAN ∽△ DCM . ∴ ＝ .
∴ ＝ .
解得 t ＝ ，∴ t 的值为 .
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