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第一章 特殊平行四边形
回顾与思考
1. 如图，已知点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边的中点，则下列
说法正确的是（ C ）
A. 四边形 ADEF 不一定是平行四边形
B. 当 DE ⊥ BC 时，四边形 ADEF 是矩形
C. 当 AB ＝ AC 时，四边形 ADEF 是菱形
D. 当△ ABC 是等边三角形时，四边形 ADEF 是正方
形
（第1题图）
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上一点， DE ＝ AD ，连
接 EC . 若∠ ADE ＝36°，则∠ DEC 的度数为（ B ）
A. 56° B. 54° C. 50° D. 48°
（第2题图）
B
3. （2022·海南）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，
EF ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 F . 若 BF ∶ CE ＝1∶2， EF ＝ ，
则菱形 ABCD 的边长是（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
（第3题图）
B
4. （2022·重庆）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相
交于点 O . 点 E ， F 分别为 AC ， BD 上一点，且 OE ＝ OF ，连接
AF ， BE ， EF . 若∠ AFE ＝25°，则∠ CBE 的度数为 .
（第4题图）
65°
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 OABC 为菱形， O
， A ，∠ AOC ＝60°，则对角线交点 E 的坐标
为 .
（第5题图）
6. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6， BC ＝10，以点 B 为圆
心、 BC 的长为半径画弧，交 AD 于点 E ，再分别以点 C ， E 为圆
心、大于 CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F ，作射线 BF 交
CD 于点 G ，则 CG 的长为 .
（第6题图）
7. 如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 O ，分别过
点 C ， D 作 CE ∥ BD ， DE ∥ AC ， CE 和 DE 交于点 E ，连接
AE ，交 BD 于点 F ，点 O ， F 分别为 AC ， AE 的中点.
（1）求证：四边形 ODEC 是矩形；
（1）证明：∵ CE ∥ BD ， DE ∥ AC ，
∴四边形 ODEC 是平行四边形.
又∵ AC ⊥ BD ，∴∠ DOC ＝90°.
∴ ODEC 是矩形.
（2）若 OF ＝1，∠ CAE ＝30°，求 AC 的长.
（2）解：∵四边形 ODEC 是矩形，
∴∠ ACE ＝90°.
∵点 O ， F 分别为 AC ， AE 的中点，
∴ OF 是△ ACE 的中位线.
∴ CE ＝2 OF ＝2.
∵∠ CAE ＝30°，∴ AE ＝2 CE ＝4.
∴ AC ＝ ＝ ＝2 .
8. 如图，已知点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， CE ∥ BD ， EB
∥ AC ，连接 OE ，交 BC 于点 F .
（1）求证： OE ＝ CB ；
（1）证明：∵ CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，
∴四边形 OBEC 为平行四边形.
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC ＝90°.
∴ OBEC 为矩形.∴ OE ＝ CB .
（2）若 OB ＝2 OC ， CD ＝ ，求菱形 ABCD 的面积.
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BC ＝ CD ＝ .
由（1）知， AC ⊥ BD .
在Rt△ BOC 中，由勾股定理，得 BC2＝ OC2＋ OB2.
又∵ OB ＝2 OC ，∴5＝ OC2＋（2 OC ）2.
∴ OC ＝1， OB ＝2.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ＝2 CO ＝2， BD ＝2 OB ＝4.
∴菱形 ABCD 的面积＝ BD · AC ＝ ×4×2＝4.
9. （2022·贺州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝
6，点 E ， F 分别是 AD ， AB 的中点，∠ ADC 的平分线交 AB 于
点 G ，点 P 是线段 DG 上的一个动点，则△ PEF 周长的最小值
为 .
＋5
【解析】如答图，在 CD 上取点 H ，使 DH ＝ DE ，连接 EH ，
PH ， FH ，过点 F 作 FK ⊥ CD 于点 K . 在矩形 ABCD 中，∠ A ＝
∠ ADC ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8，∴△ DEH 为等腰
直角三角形.∵ DG 平分∠ ADC ，∴ DG 垂直平分 EH . ∴ PE ＝
PH . ∴△ PEF 的周长等于 PE ＋ PF ＋ EF ＝ PH ＋ PF ＋ EF ≥ FH
＋ EF . ∴当 F ， P ， H 三点共线时，△ PEF 的周长最小，最小值
为 FH ＋ EF .
答图
∵点 E ， F 分别是 AD ， AB 的中点，∴ AE ＝ DE ＝ DH ＝3， AF
＝4.∴ EF ＝5.∵ FK ⊥ CD ，∴∠ DKF ＝∠ A ＝∠ ADC ＝90°.∴
四边形 AFKD 为矩形.∴ DK ＝ AF ＝4， FK ＝ AD ＝6.∴ HK ＝
1.∴ FH ＝ ＝ .∴ FH ＋ EF ＝ ＋5，即△
PEF 的周长最小为 ＋5.故答案为 ＋5.
答图
10. （2022·辽宁）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD
相交于点 O ，点 E 是 OD 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于点 G ，
将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转90°得到 CF ，连接 EF ，点 H
为 EF 的中点.连接 OH ，则 的值为 .
【解析】如答图，以点 O 为原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，建
立平面直角坐标系.过点 E 作 EM ⊥ CD 于点 M ，过点 F 作 FN ⊥
DC ，交 DC 延长线于点 N . 设正方形 ABCD 的边长为2，则 C
（1，1）， D （－1，1）.∵点 E 为 OD 的中点，∴ E .
设直线 CE 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .把点 C （1，1）， E
代入，得解得
答图
∴直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x ＋ .在 y ＝ x ＋ 中，令 x ＝－1，得 y ＝ .∴ G . ∴ GE ＝ ＝ .∵将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转90°得到 CF ，∴ CF ＝ CE ，∠ ECF ＝90°.∴∠ MCE ＝90°－∠ NCF ＝∠ NFC . 又∵∠ EMC ＝∠ CNF ＝90°，∴△ EMC ≌△ CNF （AAS）.∴ ME ＝ CN ， CM ＝ NF . ∵ E ， C （1，1），∴ ME ＝ CN ＝ ， CM ＝ NF ＝ .∴ F . ∵点 H 是 EF 的中点，∴ H . ∴ OH ＝ .∴ ＝ ＝ .故答案为 .
11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线 AE 与 BC 边交
于点 E ，点 P 是线段 AE 上一定点（其中 PA ＞ PE ），过点 P 作
AE 的垂线与 AD 边交于点 F （不与点 D 重合）.一个直角三角形
的直角顶点落在点 P 处，两直角边分别交 AB 边和 AD 边于点
M ， N .
（1）求证：△ PAM ≌△ PFN ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ BAD ＝90°.∵∠ BAD 的平分线 AE 交 BC 边于点 E ，
∴∠ BAE ＝∠ EAD ＝45°.
∵ PF ⊥ AP ，∴∠ PAF ＝∠ PFA ＝45°.
∴ PA ＝ PF . ∵∠ MPN ＝90°，∠ APF ＝90°，
∴∠ MPN －∠ APN ＝∠ APF －∠ APN ，
即∠ MPA ＝∠ NPF .
又∵ PA ＝ PF ，∠ MAP ＝∠ NFP ＝45°，
∴△ PAM ≌△ PFN （ASA）.
（2）若 PA ＝3，求 AM ＋ AN 的长.
（2）解：∵ PA ＝3，∴ PA ＝ PF ＝3.
又∵∠ APF ＝90°，
∴ AF ＝ ＝3 .
∵△ PAM ≌△ PFN ，∴ AM ＝ FN .
∴ AM ＋ AN ＝ AN ＋ NF ＝ AF ＝3 .
12. 如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15，点 P
为 BC 边上一动点， PG ⊥ AC 于点 G ， PH ⊥ AB 于点 H .
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形.
（1）证明：∵ AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15，
∴ AC2＋ AB2＝ BC2.
∴∠ A ＝90°.
又∵ PG ⊥ AC ， PH ⊥ AB ，
∴∠ AGP ＝∠ AHP ＝90°.
∴四边形 AGPH 是矩形.
（2）在点 P 的运动过程中， GH 的长是否存在最小值？若存
在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
（2）解：存在.理由如下：如图，连接 AP .
∵四边形 AGPH 是矩形，∴ GH ＝ AP .
∵当 AP ⊥ BC 时 AP 最短，∴此时 AC · AB ＝ BC · AP ，
即 ×9×12＝ ×15· AP . ∴ AP ＝ .
∴ GH 的长的最小值为 .
13. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD
上，连接 BK . 过点 A ， C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M ， N ，点
O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM ， ON .
（1）证明：△ ABM ≌△ BCN ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°.∴∠ ABM ＋∠ NBC ＝90°.
∵ AM ⊥ BM ， CN ⊥ BN ，
∴∠ AMB ＝∠ BNC ＝90°.∴∠ MAB ＋∠ MBA ＝90°.
∴∠ MAB ＝∠ NBC .
在△ ABM 和△ BCN 中，
∴△ ABM ≌△ BCN （AAS）.
（2）请判定△ OMN 的形状，并说明理由；
（2）解：△ OMN 是等腰直角三角形.理由如下：
如图，连接 OB . ∵点 O 是正方形 ABCD 的中心，
∴ OA ＝ OB ，∠ OBA ＝∠ OAB ＝45°＝∠ OBC ， AO ⊥ BO .
由（1）可知，∠ MAB ＝∠ CBM ，
∴∠ MAB －∠ OAB ＝∠ CBM －∠ OBC .
∴∠ MAO ＝∠ NBO . ∵△ ABM ≌△ BCN ，
∴ AM ＝ BN .
在△ AOM 和△ BON 中，
∴△ AOM ≌△ BON （SAS）.
∴ MO ＝ NO ，∠ AOM ＝∠ BON .
∵∠ AON ＋∠ BON ＝90°，
∴∠ AON ＋∠ AOM ＝90°.
∴∠ MON ＝90°.
∴△ MON 是等腰直角三角形.
（3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点），当 AK ＝ 时，
求△ OMN 的面积.
（3）解：设 AK ＝ x （0＜ x ＜1）.
在Rt△ ABK 中， BK ＝ ＝ .
∵ S△ ABK ＝ AK · AB ＝ BK · AM ，
∴ AM ＝ ＝ .
∴ BN ＝ AM ＝ ， BM ＝ ＝ .
∴ MN ＝ BM － BN ＝ .
∴ S△ OMN ＝ MN2＝ ＝ （0＜ x ＜1）.
将 x ＝ 代入，得 S△ OMN ＝ ＝ .
∴当 AK ＝ 时， S△ OMN ＝ .
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定(第三课时)
1. 如图，在矩形 COED 中，已知点 D 的坐标是（2，3），则 CE
的长是（ A ）
A. B. 2 C. 4 D.
（第1题图）
A
2. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6， BC ＝8， AE ⊥ BD 于
点 F ，则线段 AF 的长是（ C ）
A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4
（第2题图）
C
3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝3， BC ＝4，点 D
是 AB 上的动点，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ， DF ⊥ BC 于点 F ，
连接 EF ，则线段 EF 的最小值是（ D ）
A. 1.2 B. 2.5 C. 1.5 D. 2.4
（第3题图）
D
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， DE 平分
∠ ADC . 若∠ AOB ＝60°，则∠ COE 的大小为 .
（第4题图）
75°
5. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF
边上.若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1， S2，则 S1与 S2
的大小关系是 S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）.
（第5题图）
＝
6. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ⊥ BD ， AB ＝
5， BD ＝4， CD ＝3，点 E 是 AC 的中点，则 AE 的长为 .
（第6题图）
2
7. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE ＝ BD ，连接
AE ，∠ ADB ＝38°，求∠ E 的度数.
解：如答图，连接 AC ，交 BD 于点 O .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ∥ BE ， AC ＝ BD ， OB ＝ OD ， OA ＝ OC .
∴∠ CBD ＝∠ ADB ＝38°， OB ＝ OC .
∴∠ ACB ＝∠ CBD ＝38°.
∵ CE ＝ BD ，∴ CE ＝ AC .
∴∠ E ＝∠ CAE .
∵∠ ACB ＝∠ CAE ＋∠ E ＝38°，
∴∠ E ＝19°.
答图
8. 如图，在 ABCD 中，已知过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在
边 CD 上， CF ＝ AE . 连接 AF ， BF .
（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD .
∵ AE ＝ CF ，
∴ AB － AE ＝ CD － CF ，即 BE ＝ DF .
∵点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，
∴ BE ∥ DF .
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
∵ DE ⊥ AB ，
∴∠ DEB ＝90°.
∴ BFDE 是矩形.
（2）若∠ DAB ＝60°， AF 平分∠ DAB ， AD ＝4，求 AB 的长.
（2）解：∵ DE ⊥ AB ，∴∠ AED ＝90°.
在Rt△ ADE 中，∵∠ DAE ＝60°，
∴∠ ADE ＝30°.∴ AE ＝ AD ＝2.
∴ DE ＝ ＝2 .
∵四边形 BFDE 是矩形，
∴ BF ＝ DE ＝2 .
∵∠ DAB ＝60°， AF 平分∠ DAB ，
∴∠ DAF ＝∠ BAF ＝ ∠ DAB ＝30°.
∵四边形 BFDE 是矩形，
∴∠ ABF ＝90°.
在Rt△ ABF 中，∠ BAF ＝30°，
∴ AF ＝2 BF ＝4 .
∴ AB ＝ ＝6.
9. （2022·抚顺）如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，∠ B
＝60°， BC ＝2，点 P 为斜边 AB 上的一个动点（点 P 不与点 A ，
B 重合），过点 P 作 PD ⊥ AC ， PE ⊥ BC ，垂足分别为 D ， E ，
连接 DE ， PC 交于点 Q ，连接 AQ . 当△ APQ 为直角三角形时，
AP 的长是 .
3或2
（第9题图）
【解析】∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， BC ＝
2，∴∠ BAC ＝30°.∴ AB ＝2 BC ＝4.∴ AC ＝ ＝2
.①当∠ APQ ＝90°时，如图1，则 AP ⊥ CP . ∴ S△ ABC ＝
AC · BC ＝ AB · CP . ∴2 ×2＝4 CP . ∴ CP ＝ .在Rt△ ACP
中，由勾股定理，得 AP ＝ ＝3；②当∠ AQP ＝90°
时，如图2.∵ PD ⊥ AC ， PE ⊥ BC ，∠ ACB ＝90°，∴四边形
CDPE 是矩形.∴ CQ ＝ PQ . ∵ AQ ⊥ CP ，∴△ ACP 是等腰三角
形.∴ AP ＝ AC ＝2 .综上所述， AP 的长是3或2 .故答案为3
或2 .
图1
图2
10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝1， BC ＝2，点 A 在 x 轴正半
轴上，点 D 在 y 轴正半轴上.当点 A 在 x 轴上运动时，点 D 也随之
在 y 轴上运动，在这个运动过程中，则点 C 到原点 O 的最大距离
为 .
＋1
（第10题图）
【解析】如图，取 AD 的中点 H ，连接 CH ， OH . 在矩形 ABCD
中， AB ＝1， BC ＝2，∴ CD ＝ AB ＝1， AD ＝ BC ＝2.∵点 H 是
AD 的中点，∴ AH ＝ DH ＝1.∴ CH ＝ ＝ ＝
.∵∠ AOD ＝90°，点 H 是 AD 的中点，∴ OH ＝ AD ＝1.在△
OCH 中， CO ＜ OH ＋ CH ，当点 H 在 OC 上时， CO ＝ OH ＋
CH ，∴ CO 的最大值为 CH ＋ OH ＝ ＋1.故答案为 ＋1.
11. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与边
AB 和边 CD 的延长线交于点 M ， N ，与边 AD 交于点 E ，垂足为
O .
（1）求证：△ AOM ≌△ CON ；
（1）证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AO ＝ CO ，∠ AOM ＝∠ CON ＝90°.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ CD .
∴∠ M ＝∠ N .
在△ AOM 和△ CON 中，
∴△ AOM ≌△ CON （AAS）.
（2）若 AB ＝3， AD ＝6，求 AE 的长.
（2）解：如图，连接 CE .
∵ MN 是 AC 的垂直平分线，∴ CE ＝ AE .
设 AE ＝ CE ＝ x ，则 DE ＝6－ x .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ CDE ＝90°， CD ＝ AB ＝3.
在Rt△ CDE 中， CD2＋ DE2＝ CE2，
即32＋（6－ x ）2＝ x2，
解得 x ＝ .故 AE 的长为 .
12. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E
是 AD 的中点，点 F ， G 在 AB 上， EF ⊥ AB ， OG ∥ EF .
（1）判断四边形 OEFG 的形状；
解：（1）四边形 OEFG 是矩形.理由如下：
在菱形 ABCD 中， DO ＝ BO .
∵点 E 是 AD 的中点，
∴ AE ＝ DE ， OE ∥ AB .
∴ OE ∥ FG .
又∵ OG ∥ EF ，
∴四边形 OEFG 是平行四边形.
∵ EF ⊥ AB ，∴∠ EFG ＝90°.
∴ OEFG 是矩形.
（2）若 AC ＝8， BD ＝6，求菱形 ABCD 的面积和 EF 的长.
解：（2）菱形 ABCD 的面积＝ AC · BD
＝ ×8×6＝24.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC ， AO ＝ AC ＝4， BO ＝ BD
＝3.
∴ AB ＝ ＝5.
由（1）知，四边形 OEFG 是矩形，
∴ EF ＝ OG ， OG ⊥ AB .
∴ AO · BO ＝ AB · OG .
∴ OG ＝ ＝ .
∴ EF ＝ .
13. （选做）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边
AB ＝4， BC ＝6.若不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶
点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在
y 轴的正半轴上随之上下移动.
（1）当∠ OAD ＝30°时，求 OD 的长及点 C 的坐标.
解：（1）如答图，过点 C 作 CE ⊥ y 轴于点 E .
在矩形 ABCD 中， CD ⊥ AD ，
∴∠ CDE ＋∠ ADO ＝90°.
又∵∠ OAD ＋∠ ADO ＝90°，
∴∠ CDE ＝∠ OAD ＝30°.
又∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ CD ＝ AB ＝4， AD ＝ BC ＝6.
在Rt△ CED 中， CE ＝ CD ＝2.
答图
∴ DE ＝ ＝2 .
在Rt△ OAD 中，∠ OAD ＝30°，
∴ OD ＝ AD ＝3.
∴ OE ＝ OD ＋ DE ＝3＋2 .
∴点 C 的坐标为（2，3＋2 ）.
答图
答图
（2）设 AD 的中点为 M .
①连接 OM ， MC ，当四边形 OMCD 的面积为 时，求 OA
的长；
②当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请
求出其最大值.
解：（2）①∵点 M 是 AD 的中点，
∴ DM ＝3， S△ DCM ＝ DC · DM ＝ ×4×3＝6.
又∵ S四边形 OMCD ＝ ，
∴ S△ ODM ＝ S四边形 OMCD － S△ DCM ＝ －6＝ .
∴ S△ AOD ＝2 S△ ODM ＝9.
设 OA ＝ x ， OD ＝ y ，则 xy ＝9.∵ OA2＋ OD2＝ AD2，
∴ x2＋ y2＝36.∴ x ＝ y ＝3 （负值已舍去）.∴ OA ＝3 .
②如答图，连接 OC .
∵点 M 是 AD 的中点，
∴ AM ＝ DM ＝ OM ＝ AD ＝3.
在Rt△ CDM 中， CM ＝ ＝5.
∵ OC ≤ OM ＋ CM ，
答图
∴当 O ， M ， C 三点共线时， OC 有最大值.
此时， OC ＝ OM ＋ CM ＝8.
故点 C 到点 O 的距离的最大值为8.
答图
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第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定(第一课时)
1. 下列性质中，正方形具有但菱形却不一定具有的性质是
（ C ）
A. 对角线互相垂直
B. 对角线互相平分
C. 对角线长度相等
D. 一条对角线平分一组对角
C
2. （2022·青岛）如图，点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，
△ ACE 为等边三角形.若 AB ＝2，则 OE 的长度为（ B ）
A. B. C. 2 D. 2
（第2题图）
B
3. （2022·黔东南）如图，在边长为2的等边三角形 ABC 的外侧
作正方形 ABED ，过点 D 作 DF ⊥ BC ，垂足为 F ，则 DF 的长为
（ D ）
A. 2 ＋2 B. 5－
C. 3－ D. ＋1
（第3题图）
D
4. （2023·山东）如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，将△
ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°得到△ CBF . 若∠ ABE ＝55°，
则∠ EGC ＝ °.
（第4题图）
80
5. （2023·益阳）如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝4，点 E 为 AB
的中点，连接 DE ，将△ DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转90°得到
△ DCF ，连接 EF ，则 EF 的长为 .
（第5题图）
2
6. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，已知点 O 是
坐标原点，点 A 的坐标为 ，则点 C 的坐标
为 .
7. 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 外一点， AE ＝ AD ，∠ ADE
＝75°，求∠ AEB 的度数.
解：在△ ADE 中，∵ AE ＝ AD ，∠ ADE ＝75°，
∴∠ AED ＝75°.
∴∠ EAD ＝180°－∠ ADE －∠ AED ＝180°－75°×2＝30°.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°， AB ＝ AD .
∴ AB ＝ AE . 在△ ABE 中， AB ＝ AE ，
∠ BAE ＝∠ BAD ＋∠ EAD ＝90°＋30°＝120°，
∴∠ AEB ＝ （180°－∠ BAE ）＝ ×（180°－120°）＝30°.
8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是 AB 上一点，点 F 是 AD
延长线上一点，且 CE ＝ CF .
（1）求证： BE ＝ DF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ DC ，∠ CBA ＝∠ CDA ＝90°.
∵点 F 是 AD 延长线上一点，
∴∠ CDF ＝180°－∠ CDA ＝90°.
在Rt△ CBE 和Rt△ CDF 中，
∴Rt△ CBE ≌Rt△ CDF （HL）.∴ BE ＝ DF .
（2）连接 EF ，若 CE ＝5，求 EF 的长.
（2）解：由（1）知，Rt△ CBE ≌Rt△ CDF ，
∴∠ BCE ＝∠ DCF .
又∵∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝90°，
∴∠ ECF ＝∠ DCF ＋∠ DCE ＝∠ BCE ＋∠
DCE ＝90°.
又∵ CE ＝5， CE ＝ CF ，
∴ EF ＝ ＝ ＝5 .
9. （2023·内江）如图，已知四边形 ABCD 是边长为4的正方形，
△ BPC 是等边三角形，则阴影部分的面积为 .
12－4
【解析】如答图，过点 P 作 PM ⊥ DC 于点 M ， PN ⊥ BC 于点 N .
∵四边形 ABCD 是边长为4的正方形，∴∠ BCD ＝90°， BC ＝
CD ＝4.∴ S正方形 ABCD ＝4×4＝16.∵△ BPC 是等边三角形，∴∠
BCP ＝60°， BC ＝ CP ＝4， BN ＝ CN ＝2.∴ PN ＝
＝2 .∴ S△ PBC ＝ BC · PN ＝ ×4×2 ＝4 .∵∠ BCD ＝
90°，∠ BCP ＝60°，∴∠ PCM ＝30°.在Rt△ PCM 中， PM ＝
CP ＝2.∴ S△ PCD ＝ CD · PM ＝ ×4×2＝4.∴ S阴影＝ S正方形 ABCD
－ S△ PBC － S△ PCD ＝16－4 －4＝12－4 .
故答案为12－4 .
答图
10. 如图，在正方形 ABCD 中，∠ NCD ＝22.5°，点 P 是 CN 上一
点.若 CD ＝8， CM ＝ ，则 PM ＋ PD 的最小值是 5 .
5
【解析】如答图，连接 AC ，在 AC 上取一点 M '，使 CM '＝ CM
＝ ，连接 PM '， DM '，过点 M '作 M ' E ⊥ CD 于点 E . ∵四边
形 ABCD 是正方形，∴∠ ACD ＝45°.∵∠ NCD ＝22.5°，∴∠ M '
CP ＝∠ MCP . 在△ M ' CP 和△ MCP 中，∴△
M ' CP ≌△ MCP . ∴ PM '＝ PM . ∴ PM ＋ PD ＝ PM '＋ PD
≥ M ' D . ∴ PM ＋ PD 的最小值是 M ' D 的长.
在Rt△ M ' CE 中， CM '＝ ，∠ M ' CE ＝45°，
∴△ M ' CE 为等腰直角三角形，
∴ M ' E ＝ CE ＝1.
答图
∵ CD ＝8，∴ DE ＝ CD － CE ＝7.在Rt△ M ' DE
中，由勾股定理，得 M ' D ＝ ＝ ＝5 ，
∴ PM ＋ PD 的最小值是5 .故答案为5 .
答图
11. 如图，在正方形 ABCD 中， G 是对角线 BD 上的一点， GE ⊥
CD 于点 E ， GF ⊥ BC 于点 F ，连接 AG ， EF .
（1）求证： AG ＝ EF ；
（1）证明：如答图，连接 GC .
∵四边形 ABCD 是正方形， GE ⊥ CD ， GF ⊥ BC ，
∴∠ GEC ＝∠ GFC ＝90°＝∠ ECF .
∴四边形 GFCE 是矩形.∴ EF ＝ CG .
∵四边形 ABCD 是正方形， BD 为对角线，
∴∠ ADG ＝∠ CDG ＝45°， AD ＝ CD .
在△ ADG 和△ CDG 中，
∴△ ADG ≌△ CDG （SAS）.∴ AG ＝ CG . ∴ AG ＝ EF .
答图
（2）若∠ DAG ＝30°， GE ＝1，求正方形 ABCD 的面积.
（2）解：∵ GE ⊥ DE ，∠ GDE ＝45°，
∴ DE ＝ GE ＝1.
由（1）知，△ ADG ≌△ CDG ，
∴∠ DAG ＝∠ GCE ＝30°.
∴在Rt△ GCE 中， GC ＝2 GE ＝2.
∴ CE ＝ ＝ ＝ .
∴ CD ＝ CE ＋ DE ＝ ＋1.
∴正方形 ABCD 的面积＝（ ＋1）2＝4＋2 .
12. 如图，已知点 D 在边 CG 上，四边形 ABCD 和 CEFG 均为正
方形，点 H 是 AF 的中点.求证：
（1） BG ＝ DE ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 和 CEFG 均为正方形，
∴∠ BCD ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ DC ， CG ＝ CE .
在△ BCG 和△ DCE 中，
∴△ BCG ≌△ DCE （SAS）.
∴ BG ＝ DE .
（2） CH ＝ AF .
证明：（2）如图，连接 AC ， CF .
∵四边形 ABCD 和 CEFG 均为正方形，
∴∠ ACD ＝∠ FCG ＝45°.
∴∠ ACF ＝∠ ACD ＋∠ FCG ＝45°＋45°＝
90°，
即△ ACF 是直角三角形.
又∵点 H 是斜边 AF 的中点，
∴ CH ＝ AF .
13. （选做）在边长为5的正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 所在直
线上，连接 BE ，以 BE 为边，在 BE 的下方作正方形 BEFG ，并
连接 AG .
（1）如图1，当点 D ， E 重合时，则 AG ＝ ；
5
图1
（1）【解析】如图1，连接 CG . ∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG
都是正方形，∴∠ CDB ＝∠ CBD ＝45°，∠ DBG ＝90°， BD ＝
BG . ∴∠ CBG ＝45°.∴∠ CBG ＝∠ CBD . 在△ CBD 和△ CBG
中，∴△ CBD ≌△ CBG （SAS）.∴∠ DCB ＝
∠ BCG ＝90°， DC ＝ CG ＝5.
∴ G ， C ， D 三点共线.∴ DG ＝10.
∴ AG ＝ ＝ ＝5 .
故答案为5 .
图1
（2）如图2，当点 E 在线段 CD 上时，若 DE ＝2，求 AG 的长；
图2
（2）解：如图2，过点 G 作 GK ⊥ AB ，交 AB 的延长线于点 K .
∵ DE ＝2， DC ＝5，∴ CE ＝3.
∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形，
∴ BE ＝ BG ，∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝90°，∠ CBG ＋∠
GBK ＝90°.∴∠ EBC ＝∠ GBK .
在△ BCE 和△ BKG 中，
∴△ BCE ≌△ BKG （AAS）.
∴ CE ＝ KG ＝3， BC ＝ BK ＝5.
∴ AK ＝ AB ＋ BK ＝10.
在Rt△ AKG 中，由勾股定理，得AG ＝ ＝ .
图2
图2
（3）若 AG ＝ ，请直接写出 DE 的长.
（3）解：分三种情况：
①当点 E 在 CD 的延长线上时，如图3所示.
同理（2）可知，△ BCE ≌△ BKG （AAS），
∴ BC ＝ BK ＝5， CE ＝ KG . ∴ AK ＝10.
在Rt△ AKG 中，由勾股定理，得 KG ＝ ＝
＝ .∴ CE ＝ KG ＝ .此种情况不成立.
图3
图3
②当点 E 在边 CD 上时，如图4所示.
同理，得 CE ＝ KG ＝ .
∴ DE ＝ DC － CE ＝5－ ＝ .
图4
③当点 E 在 DC 的延长线上时，如图5所示.
同理，得 CE ＝ GK ＝ .
∴ DE ＝ DC ＋ CE ＝5＋ ＝ .
综上所述， DE 的长是 或 .
图5
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定(第一课时)
1. 如图，已知 AC 为菱形 ABCD 的对角线，∠ DAB ＝40°，则∠
BAC 的度数为（ B ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
（第1题图）
B
2. （2023·深圳）如图，在 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝6，将线
段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF . 若四边形 ECDF
为菱形，则 a 的值为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第2题图）
B
3. （2023·浙江）如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝1，∠ DAB ＝
60°，则 AC 的长为（ D ）
A. B. 1 C. D.
（第3题图）
D
4. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点
D 作 DH ⊥ AB 于点 H ，∠ BCD ＝50°，则∠ BDH 的度数
为 .
（第4题图）
25°
5. （2023·甘孜）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知菱形
AOBC 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（1， ），
则点 C 的坐标为 .
（第5题图）
6. （2023·大连）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AC ， BD 为菱形
的对角线，∠ DBC ＝60°， BD ＝10，点 F 为 BC 的中点，则 EF
的长为 .
（第6题图）
5
7. 如图，点 E ， F 分别在菱形 ABCD 的边 BC ， CD 上，且 BE ＝
DF ，求证：∠ BAE ＝∠ DAF .
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ AD .
在△ ABE 和△ ADF 中，
∴△ ABE ≌△ ADF （SAS）.
∴∠ BAE ＝∠ DAF .
8. （2022·西宁）如图，已知四边形 ABCD 是菱形， AE ⊥ BC 于
点 E ， AF ⊥ CD 于点 F .
（1）求证：△ ABE ≌△ ADF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，
∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.
在△ ABE 和△ ADF 中，
∴△ ABE ≌△ ADF （AAS）.
（2）若 AE ＝4， CF ＝2，求菱形的边长.
（2）解：设菱形的边长为 x ，
则 AB ＝ CD ＝ x ， DF ＝ x －2.
∵△ ABE ≌△ ADF ，
∴ BE ＝ DF ＝ x －2.
在Rt△ ABE 中，由勾股定理，得
AE2＋ BE2＝ AB2，
即42＋（ x －2）2＝ x2，
解得 x ＝5.
故菱形的边长为5.
9. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AB ＝6，对角线 AC
与 BD 相交于点 O . 若点 E 在 AC 上，且 OE ＝ ，则 CE 的长
为 .
（第9题图）
4 或2
10. 如图，在边长为2 cm的菱形 AFEO 中，∠ AFE ＝120°，过点
O 作两条夹角为60°的射线，分别交边 AF 和边 FE 于点 M ， N ，
连接 MN ， OF . 下列结论：① OF ＝ OA ；② S四边形 OMFN ＝
cm2；③ MN 的长度为定值；④△ OMN 为等边三角形.其中正确
的有 （填序号）.
①②④
（第10题图）
【解析】∵四边形 AFEO 是菱形，∠ AFE ＝120°，∴ OA ＝
AF ，∠ A ＝60°.∴△ AOF 是等边三角形.∴ OF ＝ OA ，∠ AOF ＝
60°.∴①正确.∵∠ MON ＝60°，∴∠ AOM ＝∠ FON . 在△ AOM
和△ FON 中，∴△ AOM ≌△ FON
（ASA）.∴ OM ＝ ON . ∴△ OMN 是等边三角形.∴④正确.
∵ OM 的长度不是定值，∴ MN 的长度不是定值.∴③不正
确.∵△ AOM ≌△ FON ，∴ S△ AOM ＝ S△ FON . ∴ S四边形 OMFN ＝ S△
AOF ＝ ×2× ＝ （cm2）.∴②正确.综上所述，①②④正
确.故答案为①②④.
11. 如图，已知菱形 ABCD 和菱形 BEFG 的边长分别是5和2，
∠ A ＝60°，连接 DF ，求 DF 的长.
解：如答图，延长 FG 交 AD 于点 M ，过点 D 作 DH ⊥ AB 于点
H ，交 GM 于点 N .
∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是菱形，
∴ GF ∥ BE ， EF ∥ AM .
答图
∴四边形 AEFM 是平行四边形， DN ⊥ MN .
∴ AM ＝ EF ＝2， MF ＝ AE ＝ AB ＋ BE ＝5＋2＝7.
∴ DM ＝ AD － AM ＝5－2＝3.
∵∠ A ＝60°， DH ⊥ AB ，
∴∠ ADH ＝30°.
∴ MN ＝ DM ＝ ×3＝ .
∴ DN ＝ ＝ ，
答图
NF ＝ MF － MN ＝7－ ＝ .
在Rt△ DNF 中，根据勾股定理，得
DF ＝ ＝ ＝ .
12. （选做）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB ＝4，∠ A ＝
120°，点 P ， Q ， K 分别为线段 BC ， CD ， BD 上任意一点，求
PK ＋ QK 的最小值.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD ∥ BC ， BC ＝ AB ＝4.
∵∠ A ＝120°，
∴∠ ABC ＝180°－∠ A ＝180°－120°＝60°.
如答图，作点 P 关于直线 BD 的对称点 P '.
过点 P '作 CD 的垂线，垂足为 Q ， P ' Q 交 BD 于点 K ，则 P ' Q 的
长即为 PK ＋ QK 的最小值.
由图可知，此最小值等于菱形 CD 边上的高的长度.
过点 C 作 CP ″⊥ CD ，交 AB 于点 P ″，
则 P ' Q ＝ CP ″，∠ BP ″ C ＝∠ P ″ CD ＝90°.
答图
在Rt△ BCP ″中，∠ ABC ＝60°，∠ BP ″ C ＝90°，
∴∠ BCP ″＝30°.
∴ BP ″＝ BC ＝ ×4＝2.
∴ CP ″＝ ＝ ＝2 .
故 PK ＋ QK 的最小值为2 .
答图
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定(第二课时)
1. （2023·达州）下列命题中，是真命题的是（ C ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上
D. 在△ ABC 中，若∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则△ ABC 是直
角三角形
C
2. 如图，将△ ABC 沿射线 BC 向右平移得到△ DCE ，连接 AD ，
下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（ A ）
A. AB ＝ BC B. AC ＝ BC
C. ∠ B ＝60° D. ∠ ACB ＝60°
（第2题图）
A
3. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DE ∥ AC 交 AB 于点
E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F . 若 AF ＝6，则四边形 AEDF 的周长是
（ A ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
（第3题图）
A
4. 如图，已知 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加一
个条件，使 ABCD 成为菱形，则添加的条件是
（写出符合要求的一个即可）.
AC ⊥ BD
（答案不唯一）
5. 如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：
分别以点 A 和点 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相
交于 C ， D 两点，则直线 CD 即为所求.根据他的作图方法可知
四边形 ADBC 一定是 .
（第5题图）
菱形
6. 如图，将等边三角形 ABC 沿射线 BC 向右平移到△ DCE 的位
置，连接 AD ， BD ，则下列结论：① AD ＝ BC ；② BD ， AC 互
相平分；③四边形 ACED 是菱形.其中正确的结论有
（填序号）.
（第6题图）
①②③
7. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ＝ CD ＝ BC .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ AB ∥ CD ， AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ CD ＝ BC ，
∴ ABCD 是菱形.
8. （2023·沈阳）如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD 是 BC
边上的中线，点 E 在 DA 的延长线上，连接 BE ，过点 C 作 CF ∥
BE 交 AD 的延长线于点 F ，连接 BF ， CE ，求证：四边形 BFCE
是菱形.
证明：∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD 垂直平分 BC .
∴ EB ＝ EC ， FB ＝ FC ， BD ＝ CD .
∵ CF ∥ BE ，
∴∠ BED ＝∠ CFD ，∠ EBD ＝∠ FCD .
在△ EBD 和△ FCD 中，
∴△ EBD ≌△ FCD .
∴ BE ＝ CF .
∴ BE ＝ BF ＝ CF ＝ EC .
∴四边形 BFCE 是菱形.
9. （2023·聊城）如图，在 ABCD 中， BC 的垂直平分线 EO 交
AD 于点 E ，交 BC 于点 O ，连接 BE ， CE ，过点 C 作 CF ∥ BE ，
交 EO 的延长线于点 F ，连接 BF . 若 AD ＝8， CE ＝5，则四边形
BFCE 的面积为 .
（第9题图）
24
【解析】∵ CF ∥ BE ，∴∠ BEO ＝∠ CFO . ∵ BC 的垂直平分线
EO 交 AD 于点 E ，∴ BO ＝ CO ，∠ BOE ＝∠ COF ＝90°.∴△
BOE ≌△ COF （AAS）.∴ BE ＝ CF ， OE ＝ OF . ∴四边形
BFCE 为平行四边形.又∵ BC ⊥ EF ，∴ BFCE 为菱形.∵ AD ＝
8，∴ BC ＝8.∴ OC ＝ BC ＝4.在Rt△ EOC 中， OE ＝
＝ ＝3.∴ EF ＝6.∴ S菱形 BFCE ＝ BC · EF ＝
×8×6＝24.故答案为24.
10. 如图，在四边形 ABCD 中， AC ＝ BD ＝6，点 E ， F ， G ， H
分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，连接 EF ， FG ， GH ，
EH ， EG ， HF ，且 EG ， HF 交于点 O ，则 EG2＋ FH2＝ .
（第10题图）
36
【解析】∵点 E ， H 分别是 AB ， DA 的中点，∴ EH 是△ ABD 的
中位线.∴ EH ＝ BD ＝3.同理可得 EF ， FG ， GH 分别是△
ABC ，△ BCD ，△ ACD 的中位线.∴ EF ＝ GH ＝ AC ＝3， FG
＝ BD ＝3.∴ EH ＝ EF ＝ GH ＝ FG ＝3.∴四边形 EFGH 为菱
形.∴ EG ⊥ HF ，且点 O 为垂足.∴ EG ＝2 OE ， FH ＝2 OH . 在
Rt△ OEH 中，根据勾股定理，得 OE2＋ OH2＝ EH2＝9，∴（2
OE ）2＋（2 OH ）2＝36，即 EG2＋ FH2＝36.故答案为36.
11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ AD ，对角
线 AC ， BD 相交于点 O ， AC 平分∠ BAD . 过点 C 作 CE ⊥ AB ，
交 AB 的延长线于点 E .
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（1）证明：∵ AB ∥ CD ，
∴∠ OAB ＝∠ DCA . ∵ AC 为∠ DAB 的平分线，
∴∠ OAB ＝∠ DAC . ∴∠ DCA ＝∠ DAC .
∴ CD ＝ AD . 又∵ AB ＝ AD ，∴ AB ＝ CD .
又∵ AB ∥ CD ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB ＝ AD ，
∴ ABCD 是菱形.
（2）若 AB ＝2 ， BD ＝4，求 AE 的长.
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， BD ⊥ AC .
∵ BD ＝4，
∴ OB ＝ BD ＝2.
在Rt△ AOB 中， AB ＝2 ， OB ＝2，
∴ OA ＝ ＝ ＝6.
∴ AC ＝2 OA ＝12.
∵ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ AB · CE ，
即 ×12×4＝2 CE .
∴ CE ＝ .
∴ AE ＝ ＝ ＝ .
12. 如图，在 ABCD 中，已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点
E ， F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE ＝ BF ，连接 AE ，
AF ， CE ， CF .
（1）求证： AE ＝ CF .
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC .
∴∠ ADB ＝∠ CBD .
∴∠ ADE ＝∠ CBF .
在△ ADE 和△ CBF 中，
∴△ ADE ≌△ CBF （SAS）.
∴ AE ＝ CF .
（2）当 BD 平分∠ ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊的四边
形？请说明理由.
（2）解：当 BD 平分∠ ABC 时，四边形 AFCE 是菱形.理由
如下：
∵ BD 平分∠ ABC ，
∴∠ ABD ＝∠ CBD .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AD ∥ BC .
∴∠ ADB ＝∠ CBD .
∴∠ ABD ＝∠ ADB . ∴ AB ＝ AD .
∴ ABCD 是菱形.
∴ AC ⊥ BD ，即 AC ⊥ EF .
∵ DE ＝ BF ，∴ OE ＝ OF .
又∵ OA ＝ OC ，
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ AC ⊥ EF ，
∴ AFCE 是菱形.
13. （选做）（2022·福建）已知△ ABC ≌△ DEC ， AB ＝ AC ，
AB ＞ BC .
（1）如图1，若 CB 平分∠ ACD ，求证：四边形 ABDC 是菱形；
（1）证明：∵△ ABC ≌△ DEC ，∴ AC ＝ DC .
∵ AB ＝ AC ，∴ AB ＝ DC ，∠ ABC ＝∠ ACB .
∵ CB 平分∠ ACD ，∴∠ ACB ＝∠ DCB .
∴∠ ABC ＝∠ DCB .
∴ AB ∥ CD .
又∵ AB ＝ DC ，
∴四边形 ABDC 是平行四边形.
又∵ AB ＝ AC ，
∴ ABDC 是菱形.
（2）如图2，将（1）中的△ CDE 绕点 C 按逆时针方向旋转（旋
转角小于∠ BAC ）， BC ， DE 的延长线相交于点 F ，用等式表
示∠ ACE 与∠ EFC 之间的数量关系，并证明；
（2）解：∠ ACE ＋∠ EFC ＝180°.证明如下：
∵△ ABC ≌△ DEC ，∴∠ ABC ＝∠ DEC .
∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB .
∴∠ ACB ＝∠ DEC .
∵∠ ACB ＋∠ ACF ＝∠ DEC ＋∠ CEF ＝180°，
∴∠ ACF ＝∠ CEF .
∵∠ CEF ＋∠ ECF ＋∠ EFC ＝180°，
∴∠ ACF ＋∠ ECF ＋∠ EFC ＝180°.
∴∠ ACE ＋∠ EFC ＝180°.
（3）如图3，将（1）中的△ CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转（旋
转角小于∠ ABC ），若∠ BAD ＝∠ BCD ，求∠ ADB 的度数.
（3）解：如图，在 AD 上取一点 M ，使得 AM ＝ CB ，连接 BM .
由（1）可知， AB ＝ CD .
又∵∠ BAM ＝∠ DCB ， AM ＝ CB ，
∴△ ABM ≌△ CDB （SAS）.
∴ BM ＝ DB ，∠ MBA ＝∠ BDC .
∴∠ ADB ＝∠ BMD .
∵∠ BMD ＝∠ BAD ＋∠ MBA ，
∴∠ ADB ＝∠ BCD ＋∠ BDC .
设∠ BCD ＝∠ BAD ＝α，∠ BDC ＝β，
则∠ ADB ＝α＋β.
∵ CA ＝ CD ，
∴∠ CAD ＝∠ CDA ＝α＋2β.
∴∠ BAC ＝∠ CAD －∠ BAD ＝2β.
∴∠ ACB ＝ ＝90°－β.
∴∠ ACD ＝ ＋α.
∵∠ ACD ＋∠ CAD ＋∠ CDA ＝180°，
∴ ＋α＋2 ＝180°.
∴α＋β＝30°，即∠ ADB ＝30°.
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第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定(第二课时)
1. （2022·滨州）下列命题中，是真命题的是（ D ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 和 BD 交于点 O .
下列三个结论：①当 AB ＝ BC 时，则它是菱形；②当∠ ABC ＝
90°时，它是正方形；③当 AC ⊥ BD 时，则它是矩形.其中正确
的有（ B ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
3. 如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点（与 B ， C 两点不
重合），过点 D 作 DE ∥ AC ， DF ∥ AB ，分别交 AB ， AC 于点
E ， F . 下列说法正确的是（ D ）
A. 四边形 AEDF 一定是矩形
B. 四边形 AEDF 一定是菱形
C. 四边形 AEDF 一定是正方形
D. 四边形 AEDF 一定是平行四边形
（第3题图）
D
4. （2023·黑龙江）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于
点 O ，再添加一个条件，使得四边形 ABCD 是正方形，则这个
条件可以是 （写出一个条件即
可）.
（第4题图）
AB ＝ AD （答案不唯一）
5. 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 三边的中点，下列判断：
①四边形 AEDF 一定是平行四边形；②若 AD 平分∠ BAC ，则四
边形 AEDF 是正方形；③若 AD ⊥ BC ，则四边形 AEDF 是菱形；
④若∠ BAC ＝90°，则四边形 AEDF 是矩形.正确的是
（填序号）.
①③④
（第5题图）
6. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ，∠ ABC ＝∠ CDA ＝
90°， BE ⊥ AD ，垂足为 E . 若四边形 ABCD 的面积为12，则 BE
＝ .
（第6题图）
2
7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠
DCB ， BF ∥ CE ， CF ∥ BE . 求证：四边形 BFCE 是正方形.
证明：∵ BF ∥ CE ， CF ∥ BE ，
∴四边形 BFCE 是平行四边形.
在矩形 ABCD 中， BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCB ，
∴∠ EBC ＝∠ ECB ＝45°.
∴∠ BEC ＝90°， BE ＝ CE .
∴ BECF 是正方形.
8. 如图，在 ABCD 中，已知对角线 AC ， BD 交于点 O ，点 E 是
DB 延长线上一点，且△ ACE 是等边三角形.
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO ＝ CO .
∵△ ACE 是等边三角形，
∴ AE ＝ CE . ∴ EO ⊥ AC .
∴ ABCD 是菱形.
（2）若∠ AEB ＝2∠ EAB ，求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ AOE ＝90°.
∴△ AOE 是直角三角形.
∴∠ AEB ＋∠ EAO ＝90°.
∵△ ACE 是等边三角形，
∴∠ EAO ＝60°.∴∠ AEB ＝30°.
∵∠ AEB ＝2∠ EAB ，∴∠ EAB ＝15°.
∴∠ BAO ＝∠ EAO －∠ EAB ＝60°－15°＝45°.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ BAD ＝2∠ BAO ＝90°.
∴菱形 ABCD 是正方形.
9. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝ AD ，∠ BAD ＝∠ BCD
＝90°，∠ B ＝80°，连接 AC ，则∠ CAD 的度数为 .
35°
【解析】如答图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 交 CD 的
延长线于点 F ，则∠ AEB ＝∠ AEC ＝∠ F ＝90°.又∵∠ BCD ＝
90°，∴四边形 AECF 是矩形.∴∠ FAE ＝90°.又∵∠ BAD ＝90°，
∴∠ FAE ＝∠ BAD . ∴∠ FAD ＝∠ BAE ＝90°－∠ EAD . 在△
AEB 和△ AFD 中，∴△ AEB ≌△ AFD .
∴ AE ＝ AF . ∴四边形 AECF 是正方形.∴∠ ACB ＝∠ ACD ＝45°.
在四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°，∠ B ＝80°，∴∠
ADC ＝360°－90°－90°－80°＝100°.
∴∠ CAD ＝180°－100°－45°＝35°.故答案为35°.
答图
10. 如图，四边形 ABCD 为正方形，点 O 为 AC ， BD 的交点，△
DCE 为直角三角形，∠ CED ＝90°， OE ＝2 .若 CE · DE ＝3，
则正方形 ABCD 的面积为 .
10
【解析】如答图，过点 O 作 OM ⊥ CE 于点 M ， ON ⊥ DE 交 ED
的延长线于点 N . 又∵∠ CED ＝90°，∴四边形 OMEN 是矩
形.∴∠ MON ＝90°.∵四边形 ABCD 是正方形，∴ OC ＝ OD ，
AC ⊥ BD . ∵∠ COM ＋∠ DOM ＝90°，∠ DON ＋∠ DOM ＝
90°.∴∠ COM ＝∠ DON . 在△ COM 和△ DON 中，
∴△ COM ≌△ DON . ∴ OM ＝ ON ，
CM ＝ DN .
答图
∴四边形 OMEN 是正方形.∴ ON ＝ EN . 在Rt△ OEN
中，∵ OE ＝2 ， ∴ NE2＋ NO2＝2 NE2＝ OE2＝8.∴ NE ＝ ON
＝2.∴ DE ＋ CE ＝ DE ＋ EM ＋ MC ＝ DE ＋ EM ＋ DN ＝ EN ＋
EM ＝2 EN ＝4.设 DE ＝ a ， CE ＝ b ，则 a ＋ b ＝4.∵ CE · DE ＝
3，∴ ab ＝3.∴ CD2＝ a2＋ b2＝ －2 ab ＝42－2×3＝10.
∴ S正方形 ABCD ＝10.故答案为10.
答图
11. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ BAM 和∠ ABN 是
△ ABC 的两个外角， AD 平分∠ BAM ，交∠ ABN 的平分线 BD 于
点 D ，过点 D 分别作 DE ⊥ CM 于点 E ， DF ⊥ CN 于点 F .
（1）试猜想四边形 CEDF 的形状，并说明你的理由；
（1）解：四边形 CEDF 的形状是正方形.理由如下：
如答图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G .
∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC ，∠ C ＝90°，
∴∠ C ＝∠ DEC ＝∠ DFC ＝90°.
∴四边形 CEDF 是矩形.
∵ AD 平分∠ BAE ， BD 平分∠ ABF ， DE ⊥
AC ， DG ⊥ AB ， DF ⊥ BC ，
∴ DE ＝ DG ， DF ＝ DG .
答图
∴ DE ＝ DF .
∴矩形 CEDF 是正方形.
答图
（2）若 AE ＝ BF ，试证明： AC ＝ AE .
（2）证明：在Rt△ DEA 和Rt△ DGA 中，
∴Rt△ DEA ≌Rt△ DGA （HL）.∴ AE ＝ AG .
同理可证， BF ＝ BG .
∵四边形 CEDF 是正方形，∴ CE ＝ CF .
∵ AE ＝ BF ，∴ CE － AE ＝ CF － BF ，即 AC ＝ BC .
在Rt△ ABC 中，∵ AB2＝ AC2＋ BC2，
即（ AG ＋ BG ）2＝ AC2＋ BC2，
∴（ AE ＋ BF ）2＝ AC2＋ AC2＝2 AC2.∴（2 AE ）2＝2 AC2.
∴ AC ＝ AE .
12. 如图，在正方形 ABCD 中，已知 AC 与 BD 相交于点 O ，
EF ， GH 都过点 O ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，交 CD ， AB
于点 G ， H ， EF ⊥ GH ，求证：四边形 EHFG 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ，
∠ ODG ＝∠ OBH ＝∠ OCF ＝45°， AC ⊥ BD .
∴∠ COD ＝90°.
在△ ODG 和△ OBH 中，
∴△ ODG ≌△ OBH （ASA）.∴ OG ＝ OH .
同理，得 OE ＝ OF . ∴四边形 EHFG 是平行四边形.
又∵ EF ⊥ GH ，∴ EHFG 是菱形.
∵∠ DOG ＋∠ GOC ＝90°，∠ GOC ＋∠ COF ＝90°，
∴∠ DOG ＝∠ COF .
在△ DOG 和△ COF 中，
∴△ DOG ≌△ COF （ASA）.
∴ OG ＝ OF . ∴ OG ＝ OH ＝ OE ＝ OF .
∴ EF ＝ GH . ∴菱形 EHFG 是正方形.
13. （选做）如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝2，点 E 为对
角线 AC 上一动点，连接 DE ，过点 E 作 EF ⊥ DE ，交射线 BC 于
点 F ，以 DE ， EF 为邻边作矩形 DEFG ，连接 CG .
（1）求 AC 的长.
解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ BC ＝2，∠ B ＝90°.
∴ AC ＝ AB ＝2 .
（2）探究： CE ＋ CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定
值；若不是，请说明理由.
解：（2） CE ＋ CG 的值是定值.
如图1，过点 E 作 EM ⊥ BC 于点 M ， EN ⊥ CD
于点 N ，则∠ MEN ＝90°.
∵点 E 是正方形 ABCD 对角线上的点，
∴ EM ＝ EN . ∵∠ DEF ＝90°＝∠ MEN ，
∴∠ DEN ＝∠ FEM .
在△ DEN 和△ FEM 中，
图1
∴△ DEN ≌△ FEM （ASA）.∴ DE ＝ FE .
∴矩形 DEFG 是正方形.
∴ DE ＝ DG .
在正方形 ABCD 中， AD ＝ DC .
∵∠ CDG ＋∠ CDE ＝∠ ADE ＋∠ CDE ＝90°，
∴∠ CDG ＝∠ ADE .
在△ ADE 和△ CDG 中，
∴△ ADE ≌△ CDG （SAS）.
∴ AE ＝ CG .
∴ CE ＋ CG ＝ CE ＋ AE ＝ AC ＝2 .
图1
图1
（3）设 AE ＝ x ，四边形 DEFG 的面积为 S ，求 S 与 x 之间的函数
关系式.
解：（3）如图2，过点 E 作 EH ⊥ AD 于点 H .
∵∠ DAE ＝45°， AE ＝ x ，∴ AH ＝ EH ＝ x .
在Rt△ DHE 中， DH ＝ AD － AH ＝2－ x .
在Rt△ DEH 中，根据勾股定理，得 DE2＝
DH2＋ EH2＝ ＋ ＝ x2－2 x ＋4.
图2
∵四边形 DEFG 为正方形，∴ S ＝ DE2＝ x2－2 x ＋4（ x ＞0）.
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定(第三课时)
1. 如图，在菱形 ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E . 若菱形
ABCD 的面积为24， AE ＝4，则 AB 的长为（ B ）
A. 12 B. 6 C. D. 2
（第1题图）
B
2. （2022·河南）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交
于点 O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长为
（ C ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
（第2题图）
C
3. （2023·随州）如图，在 ABCD 中，分别以点 B ， D 为圆
心，大于 BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ， N ，过 M ，
N 两点作直线交 BD 于点 O ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，下列
结论不正确的是（ D ）
A. AE ＝ CF B. DE ＝ BF
C. OE ＝ OF D. DE ＝ DC
（第3题图）
D
4. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 A 作
AH ⊥ BC 于点 H ，连接 OH . 若 OB ＝4， ＝24，则 OH
的长为 .
（第4题图）
3
5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E
在线段 BO 上，连接 AE . 若 CD ＝2 BE ，∠ DAE ＝∠ DEA ， EO
＝1，则线段 AE 的长为 .
（第5题图）
2
6. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，斜边 AB ＝ ，过点 C
作 CF ∥ AB ，以 AB 为边作菱形 ABEF . 若∠ F ＝30°，则Rt△ ABC 的面积为 .
（第6题图）
7. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，对角线 BD 的垂直
平分线与边 AD ， BC 分别相交于点 M ， N ，且 BD ＝24， MN ＝
10，求四边形 BNDM 的周长.
解：∵ AD ∥ BC ，
∴∠ CBD ＝∠ ADB .
∵ MN 是对角线 BD 的垂直平分线，
∴ OB ＝ OD ， MB ＝ MD .
在△ BON 和△ DOM 中，
∴△ BON ≌△ DOM （ASA）.
∴ BN ＝ DM .
又∵ BN ∥ DM ，
∴ BNDM 为平行四边形.
又∵ MB ＝ MD ，
∴四边形 BNDM 为菱形.
∴∠ BOM ＝90°， OB ＝ BD ＝12， OM ＝ MN ＝5.
在Rt△ BOM 中，根据勾股定理，得
BM ＝ ＝ ＝13.
∴菱形 BNDM 的周长＝4 BM ＝4×13＝52.
8. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝ AD ， BD 平分∠ ABC ，
AC ⊥ BD ，垂足为 O .
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（1）证明：∵ AB ＝ AD ，∴∠ ABD ＝∠ ADB .
∵ BD 平分∠ ABC ，
∴∠ ABD ＝∠ CBD .
∴∠ ADB ＝∠ CBD . ∴ AD ∥ BC .
∵ AC ⊥ BD ， AB ＝ AD ，∴ BO ＝ DO .
在△ AOD 和△ COB 中，
∴△ AOD ≌△ COB （ASA）.∴ AD ＝ BC .
又∵ AD ∥ BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AC ⊥ BD ，∴ ABCD 是菱形.
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， BD ＝2 ，
∴ OD ＝ BD ＝ .
∴ OC ＝ ＝2.∴ AC ＝2 OC ＝4.
∴ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×4×2 ＝4 .
（2）若 CD ＝3， BD ＝2 ，求四边形 ABCD 的面积.
9. 如图， AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 P 是 AC 上的一个动
点，过点 P 分别作 AB 和 BC 的垂线，垂足分别是 F ， E . 若菱形
的周长是12，面积是6，则 PE ＋ PF 的值是 .
2
【解析】连接 BP . ∵菱形的周长是12，∴ AB ＝ BC ＝ ×12＝
3.∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ BCP ＝ S菱形 ABCD ＝ ×6＝3，∴ S△ ABP ＋
S△ BCP ＝ AB · PF ＋ BC · PE ＝3，即 ×3· PF ＋ ×3· PE ＝3.
∴ PE ＋ PF ＝3× ＝2.故答案为2.
10. 在平面直角坐标系中，点 A ， B ， C ， D 的坐标分别为（－
3，0），（ x ， y ），（0，4），（－6， z ）.若以点 A ， B ，
C ， D 为顶点的四边形是菱形，则 z 的值为 .
4或
【解析】①若 AB ， CD 是对角线，则四边形 ADBC 为菱形，
∴ AC ＝ AD . ∴32＋42＝（－3＋6）2＋ z2.解得 z1＝4， z2＝－4.当
z ＝－4时，点 A ， C ， D 都在直线 y ＝ x ＋4上，故舍去.②若
AC ， BD 为对角线.同理，由 DA ＝ DC ，有（－3＋6）2＋ z2＝62
＋（4－ z ）2.解得 z3＝ .③若 AD ， BC 为对角线.由 CA ＝ CD ，
有32＋42＝62＋（4－ z ）2，无解.综上所述， z ＝4或 .故答案为
4或 .
11. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC 交
BC 于点 D . 在线段 AD 上任取一点 P （点 A 除外），过点 P 作 EF
∥ AB ，分别交 AC ， BC 于点 E ， F ，作 PQ ∥ AC ，交 AB 于点
Q ，连接 QE .
（1）判断四边形 AQPE 的形状，并说明理由；
（1）解：四边形 AQPE 为菱形.理由如下：
∵ EF ∥ AB ， PQ ∥ AC ，
∴四边形 AQPE 为平行四边形，∠ BAD ＝∠ EPA .
∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ BAD .
∴∠ CAD ＝∠ EPA .
∴ EA ＝ EP .
∴ AQPE 为菱形.
（2）当点 P 在何处时，四边形 AQPE 的面积为四边形 EQBF 面
积的一半？
（2）解：当点 P 为 EF 的中点，即 AP ＝ AD 时，
S菱形 AQPE ＝ S四边形 EQBF . 理由如下：
∵四边形 AQPE 为菱形，
∴ AD ⊥ EQ .
∵ AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ，
∴ AD ⊥ BC . ∴ EQ ∥ BC .
又∵ EF ∥ AB ，
∴四边形 EQBF 为平行四边形.
如图，过点 E 作 EN ⊥ AB 于点 N .
∴ S菱形 AQPE ＝ EP · EN
＝ EF · EN
＝ S四边形 EQBF .
12. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 BD ＝8，另一条对角线的长
为6，点 M ， N 分别是边 BC ， CD 的中点，点 P 是对角线 BD 上
一点.求 PM ＋ PN 的最小值.
解：如答图，作点 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于
点 P ，连接 NP .
易知 PQ ＝ PM ，∴ PM ＋ PN ＝ PQ ＋ PN .
由“两点之间，线段最短”可知，此时 PM ＋ PN 的值最小.连接
AC ，则点 P 是 AC 的中点.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD ，∠ QBP ＝∠ MBP . ∴点 Q 在 AB 上.
由折叠的性质，得 MQ ⊥ BD ，∴ AC ∥ MQ .
∵点 M 为 BC 的中点，∴点 Q 为 AB 的中点.
答图
∵点 N 为 CD 的中点，四边形 ABCD 是菱形，
∴ BQ ∥ CN ， BQ ＝ CN .
∴四边形 QBCN 是平行四边形.
∴ PQ ∥ AD .
又∵点 Q 是 AB 的中点，
∴ PQ 是△ ABD 的中位线，
即点 P 是 BD 的中点.
同理可得， PM 是△ ABC 的中位线，
∴点 P 是 AC 的中点.
答图
∴点 P 是菱形 ABCD 对角线的交点.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD ， CP ＝ AC ＝3， BP ＝ BD ＝4.
在Rt△ BPC 中，由勾股定理，得
BC ＝ ＝5.∴ QN ＝5.
∴ PM ＋ PN ＝ PQ ＋ PN ＝ QN ＝5.
故 PM ＋ PN 的最小值为5.
答图
13. （选做）已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E 在 BC 上，连
接 AE ，且 AE ＝ AC .
（1）如图1，若∠ D ＝30°， BE ＝4，求 AC 的长；
图1
（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ D ＝30°，
∴∠ B ＝30°，∠ ACB ＝∠ ACD ＝ ∠ BCD ＝ ×（180°－30°）
＝75°.
如图1，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，
则∠ BEF ＝90°－∠ B ＝90°－30°＝60°.
∵ AE ＝ AC ，
∴∠ AEC ＝∠ ACE ＝75°.
∴∠ AEF ＝180°－∠ AEC －∠ BEF ＝180°－75°－60°＝45°.
图1
∴△ AEF 是等腰直角三角形.
∴ AE ＝ ＝ ＝ EF .
在Rt△ BEF 中， EF ＝ BE ＝ ×4＝2.
∴ AC ＝ AE ＝2 .
图1
图1
（2）如图2，过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，点 F 为 CD 上一点，连
接 AF ，∠ DAF ＝∠ BAE ， DF ＝ AH ，求证： AB ＝3 AH .
图2
（2）证明：如图2，在线段 AB 上取一点 G ，使 BG ＝ BE ，连接
CG .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ AD ＝ BC .
在△ BAE 和△ DAF 中，
∴△ BAE ≌△ DAF （ASA）.
∴ BE ＝ DF ， AE ＝ AF . ∴ BG ＝ DF .
图2
在△ CBG 和△ ABE 中，
∴△ CBG ≌△ ABE （SAS）.∴ CG ＝ AE .
又∵ AE ＝ AC ，∴ CG ＝ AC .
∵ CH ⊥ AB ，∴ AH ＝ HG .
∵ AH ＝ DF ， BG ＝ DF ，
∴ AH ＝ HG ＝ BG .
∴ AB ＝3 AH .
图2
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定(第二课时)
1. 下列关于矩形的判定正确的是（ B ）
A. 四条边相等的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的四边形是矩形
B
2. 如图，下列四个条件：① AB ＝ BC ；②∠ ABC ＝90°；③ AC
＝ BD ；④∠ ADC ＝∠ BAD . 从中选取一个作为补充条件，则不
能使 ABCD 为矩形的是（ A ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
（第2题图）
A
3. （2022·襄阳）如图， ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点
O ，下列说法正确的是（ B ）
A. 若 OB ＝ OD ，则 ABCD 是菱形
B. 若 AC ＝ BD ，则 ABCD 是矩形
C. 若 OA ＝ OD ，则 ABCD 是菱形
D. 若 AC ⊥ BD ，则 ABCD 是矩形
（第3题图）
B
4. 如图，有一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.
若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发
生改变.当∠α的度数为 时，则两条对角线的长度相等.
（第4题图）
90°
5. 如图， ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，△ AOD 是等
边三角形， AD ＝4，则 ABCD 的面积为 .
（第5题图）
16
6. 如图，已知点 E ， F ， G ， H 分别是四边形 ABCD 的四条边的
中点.要使四边形 EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件
是 .
对角线互相垂直（或 AC ⊥ BD ）
7. （2023·内江）如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 的中点，
点 E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 CE 的延长线于点 F .
（1）求证： AF ＝ BD ；
证明：（1）∵ AF ∥ BC ，∴∠ AFE ＝∠ DCE .
∵点 E 为 AD 的中点，∴ AE ＝ DE .
在△ AEF 和△ DEC 中，
∴△ AEF ≌△ DEC （AAS）.∴ AF ＝ CD .
∵点 D 是 BC 的中点，
∴ CD ＝ BD . ∴ AF ＝ BD .
（2）连接 BF ，若 AB ＝ AC ，求证：四边形 AFBD 是矩形.
证明：（2）∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ，
∴四边形 AFBD 是平行四边形.
∵ AB ＝ AC ， BD ＝ CD ，
∴∠ ADB ＝90°.
∴ AFBD 是矩形.
8. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E
是 AD 的中点，点 F ， G 在 AB 上，连接 EF ， OE ， OG ， EF ⊥
AB ， OG ∥ EF .
（1）求证：四边形 OEFG 是矩形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC ，∠ DAO ＝∠ BAO .
又∵点 E 是 AD 的中点，
∴ AE ＝ OE ＝ AD . ∴∠ EAO ＝∠ AOE .
∴∠ AOE ＝∠ BAO . ∴ OE ∥ FG .
又∵ OG ∥ EF ，
∴四边形 OEFG 是平行四边形.
∵ EF ⊥ AB ，∴∠ EFG ＝90°.
∴ OEFG 是矩形.
（2）若 AD ＝10， EF ＝4，求 OE 和 BG 的长.
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC ， AB ＝ AD ＝10.
∴∠ AOD ＝90°.
∵点 E 是 AD 的中点，∴ OE ＝ AE ＝ AD ＝5.
∵四边形 OEFG 是矩形，∴ FG ＝ OE ＝5.
∵ AE ＝5， EF ＝4，
∴ AF ＝ ＝3.
∴ BG ＝ AB － AF － FG ＝10－3－5＝2.
9. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝90°， AD ＝24
cm， BC ＝26 cm.动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向向点 D 以1 cm/s
的速度运动；动点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 方向向点 B 以3 cm/s
的速度运动.点 P ， Q 同时出发，当其中一点到达端点时，另一
点随之停止运动.经过 s，四边形 ABQP 是矩形.
（第9题图）
10. 如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于点
D ， F ，过点 B 作 BE ⊥ DF ，交 DF 的延长线于点 E . 若∠ A ＝
30°， DF ＝1， AF ＝ BF ，则四边形 BCDE 的面积为 .
（第10题图）
2
【解析】∵点 D ， F 分别是 AC ， AB 的中点，∴ DF 是△ ABC 的
中位线， AF ＝ BF . ∴ DF ∥ BC ， BC ＝2 DF ＝2.∵ DF 垂直平分
AC ，∴∠ ADF ＝90°＝∠ C . 又∵∠ E ＝90°，∴∠ ADF ＝∠ E ，
四边形 BCDE 为矩形.在△ ADF 和△ BEF 中，
∴△ ADF ≌△ BEF （AAS）.∴ AD ＝ BE ，
DF ＝ EF ＝1.∴ DE ＝2.∵∠ A ＝30°， DF ＝1，∠ ADF ＝90°，
∴ AD ＝ .∴ BE ＝ .∴矩形 BCDE 的面积＝ DE · BE ＝2 .
故答案为2 .
11. （2023·青岛）如图，在 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线
交 BC 于点 E ，∠ DCB 的平分线交 AD 于点 F ，点 G ， H 分别是
AE 和 CF 的中点，连接 GF ， EH .
（1）求证：△ ABE ≌△ CDF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC ， AB ＝ CD ，∠ BAD ＝∠ DCB ，∠ B ＝∠ D .
∵∠ BAD 和∠ DCB 的平分线 AE ， CF
分别交 BC ， AD 于点 E ， F ，
∴∠ BAE ＝∠ DAE ＝ ∠ BAD ，∠ BCF ＝∠ DCF ＝ ∠ DCB .
∴∠ BAE ＝∠ DCF .
在△ ABE 和△ CDF 中，
∴△ ABE ≌△ CDF .
（2）连接 EF ，若 EF ＝ AF ，请判断四边形 GEHF 的形状，并
证明你的结论.
（2）解：四边形 GEHF 是矩形，证明
如下：
∵△ EAB ≌△ FCD ，
∴ AE ＝ CF ，∠ AEB ＝∠ CFD .
∵ AD ∥ BC ，∴∠ DFC ＝∠ BCF .
∴∠ AEB ＝∠ BCF .
∴ AE ∥ CF ，即 GE ∥ FH .
∵点 G ， H 分别为 AE ， CF 的中点，
∴ GE ＝ AE ， FH ＝ CF .
∴ GE ＝ FH .
∴四边形 GEHF 是平行四边形.
∵ EF ＝ AF ，点 G 为 AE 的中点，
∴ GF ⊥ AE . ∴∠ FGE ＝90°.
∴ GEHF 是矩形.
12. 如图，已知 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 为
OC 的中点.过点 C 作 CF ∥ BD ，交 BE 的延长线于点 F ，连接
DF .
（1）求证：△ FCE ≌△ BOE .
（1）证明：∵ CF ∥ BD ，
∴∠ CFE ＝∠ OBE .
∵点 E 是 OC 的中点，
∴ CE ＝ OE .
在△ FCE 和△ BOE 中，
∴△ FCE ≌△ BOE （AAS）.
（2）当△ ADC 满足什么条件时，四边形 OCFD 为矩形？并说明
理由.
（2）解：当△ ADC 满足 AD ＝ CD 时，四边形
OCFD 为矩形.理由如下：
∵△ FCE ≌△ BOE ，∴ CF ＝ OB .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . ∴ CF ＝ OD .
又∵ CF ∥ BD ，∴四边形 OCFD 为平行四边形.
∵ AD ＝ CD ， OA ＝ OC ，∴ OD ⊥ AC .
∴∠ COD ＝90°.∴ OCFD 为矩形.
13. （选做）如图，在 ABCD 中， AC ＝8 cm， BD ＝12 cm，
点 E ， F 在对角线 BD 上.点 E 从点 B 出发，以1 cm/s的速度向点 D
运动；同时点 F 从点 D 出发，以相同速度向点 B 运动，到端点时
运动停止.设运动时间为 t s .
（1）求证：四边形 AECF 为平行四边形.
（1）证明：在 ABCD 中，∵ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ，
∴∠ EBC ＝∠ FDA . 由题意可知， BE ＝ DF .
在△ BEC 与△ DFA 中，
∴△ BEC ≌△ DFA （SAS）.
∴ CE ＝ AF .
同理可得， AE ＝ CF .
∴四边形 AECF 为平行四边形.
（2）点 E ， F 在 BD 上运动的过程中，以点 A ， E ， C ， F 为顶
点的四边形能否为矩形？如果能，请求出此时 t 的值；如果不
能，请说明理由.
（2）解：能.理由如下：由矩形的性
质，知 OE ＝ OF ， OA ＝ OC . 要使∠
EAF 是直角，只需 OE ＝ OF ＝ OA ＝
AC ＝4 cm，则∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°.
∴∠2＋∠3＝90°，即∠ EAF ＝90°.
此时 BE ＝ DF ＝ （ BD － EF ）＝ ×（12－8）＝2（cm）或
BE ＝ DF ＝6＋4＝10（cm）.
此时， t 的值分别为2，10.
故当 t ＝2或 t ＝10时，以点 A ， E ， C ， F 为顶点的四边形为矩
形.
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定(第一课时)
1. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ A ）
A. 对角线相等 B. 对角相等
C. 对边相等 D. 对角线互相平分
A
2. （2022·济南）如图，在矩形 ABCD 中，分别以点 A ， C 为圆
心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M ， N 两点，作
直线 MN 分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，连接 AF . 若 BF ＝3， AE
＝5，以下结论错误的是（ D ）
A. AF ＝ CF B. ∠ FAC ＝∠ EAC
C. AB ＝4 D. AC ＝2 AB
（第2题图）
D
3. （2023·兰州）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BA 延长线上一
点，点 F 为 CE 的中点，以点 B 为圆心， BF 长为半径的圆弧过
AD 与 CE 的交点 G ，连接 BG . 若 AB ＝4， CE ＝10，则 AG ＝
（ C ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
（第3题图）
C
4. （2023·湘西）如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在边 BC 上，
点 F 是 AE 的中点， AB ＝8， AD ＝ DE ＝10，则 BF 的长为 .
2
5. （2023·内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一.
最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切
成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的
小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形
ABCD 中， AB ＝5， AD ＝12，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E
为 BC 边上的一个动点， EF ⊥ AC ， EG ⊥ BD ，垂足分别为 F ，
G ，则 EF ＋ EG ＝ .
（第5题图）
6. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝2， BC ＝4，点 A ， B 分别在 y
轴、 x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限.若∠ OAB ＝30°，则点 C
的坐标是 .
（第6题图）
（1＋2 ，2）
7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在 DC 上， AE ＝2 BC ， AE
＝ AB ，求∠ CBE 的度数.
解：在矩形 ABCD 中， BC ＝ AD ，∠ D ＝∠ ABC ＝90°，
AB ∥ CD .
∵ AE ＝2 BC ，∴ AE ＝2 AD .
∴∠ DEA ＝30°.
∵ AB ∥ CD ，∴∠ EAB ＝∠ DEA ＝30°.
又∵ AE ＝ AB ，
∴∠ ABE ＝∠ AEB ＝ ×（180°－30°）＝75°.
∴∠ CBE ＝∠ ABC －∠ ABE ＝90°－75°＝15°.
8. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在 BC 上， AE ＝ AD ， DF
⊥ AE ，垂足为 F .
（1）求证： DF ＝ AB ；
（1）证明：在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝90°，
∴∠ FAD ＝∠ BEA . ∵ DF ⊥ AE ，∴∠ DFA ＝90°＝∠ B .
在△ ADF 和△ EAB 中，
∴△ ADF ≌△ EAB （AAS）.∴ DF ＝ AB .
（2）若∠ FDC ＝30°，且 AB ＝6，求 AD 的长.
（2）解：∵∠ FAD ＋∠ ADF ＝90°，∠ FDC
＋∠ ADF ＝90°，∴∠ FAD ＝∠ FDC ＝30°.
∴ AD ＝2 DF .
由（1），得 DF ＝ AB ，
∴ AD ＝2 DF ＝2 AB ＝2×6＝12.
9. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， AD ＝4，点 E ， F 分别是边
BC ， CD 上一点，连接 AE ， EF . 若 EF ⊥ AE ，将△ ECF 沿 EF
翻折得到△ EC ' F ，连接 AC '，当 BE ＝ 时，△ AEC '是
以 AE 为腰的等腰三角形.
或
（第9题图）
【解析】当 EC '＝ AE 时，设 BE ＝ x ，则 EC ＝4－ x .∵△ ECF 沿
EF 翻折得到△ EC ' F ，∴ EC '＝ EC ＝4－ x . AE ＝4－ x .在Rt△
ABE 中，根据勾股定理，得 AE2＝ BE2＋ AB2，即（4－ x ）2＝ x2
＋32，解得 x ＝ ；当 AC '＝ AE 时，如图，过点 A 作 AH ⊥ EC '于
点 H . ∵ AH ⊥ EC '， AE ＝ AC '，∴ EH ＝ C ' H . ∵ EF ⊥ AE ，
∴∠ C ' EF ＋∠ AEC '＝90°，∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°.∵△ ECF 沿
EF 翻折得到△ EC ' F ，∴∠ C ' EF ＝∠ FEC . ∴∠ AEB ＝∠ AEH .
在△ ABE 和△ AHE 中，
∴△ ABE ≌△ AHE （AAS）.∴ BE ＝ HE . ∴ BE ＝ HE ＝ HC '.
∴ BE ＝ EC '.又∵ EC ＝ EC '，∴ BE ＝ EC . ∴ BE ＝ BC ＝ .
综上所述， BE ＝ 或 .故答案为 或 .
10. （2023·南通）如图，已知四边形 ABCD 的两条对角线 AC ，
BD 互相垂直， AC ＝4， BD ＝6，则 AD ＋ BC 的最小值是 .
（第10题图）
2
【解析】如图，设 AC 与 BD 交于点 O ，分别取 AB ， BC ， CD ，
DA 的中点 P ， Q ， R ， S ，连接 PQ ， QR ， RS ， SP ， OQ ，
OS ， QS . ∵ AC ⊥ BD ，∴△ AOD 和△ BOC 均为直角三角形，
AD ， BC 分别为斜边.∴ AD ＝2 OS ， BC ＝2 OQ . ∴ AD ＋ BC ＝2
（ OS ＋ OQ ）.∴当 OS ＋ OQ 最小时， AD ＋ BC 最小.根据两点
之间线段最短，得 OQ ＋ OS ≥ QS . ∴当点 O 在线段 QS 上时，
OQ ＋ OS 最小，最小值为线段 QS 的长.∵点 P ， Q 分别为 AB ，
BC 的中点，∴ PQ 是△ ABC 的中位线.∴ PQ ＝ AC ＝2， PQ ∥
AC . 同理，得 QR ＝ BD ＝3， QR ∥ BD .
RS ＝ AC ＝2， RS ∥ AC . SP ＝ BD ＝3， SP ∥ BD . ∴ PQ ∥ AC
∥ RS ， QR ∥ BD ∥ SP . ∴四边形 PQRS 是平行四边形.∵ AC ⊥
BD ， PQ ∥ AC ， SP ∥ BD ，∴ PQ ⊥ SP . ∴四边形 PQRS 是矩形.
在Rt△ PQS 中， PQ ＝2， SP ＝3，∴ QS ＝ ＝
.∴ OQ ＋ OS 的最小值为 .∴ AD ＋ BC 的最小值为2 .
故答案为2 .
11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝ BC ＝6， AB ＝ CD ＝
10，点 E 为射线 DC 上的一个动点，△ ADE 与△ AD ' E 关于直线
AE 对称，连接 BD '.当△ AD ' B 为直角三角形时，求 DE 的长.
解：①当点 E 在线段 DC 上时.
∵△ ADE 与△ AD ' E 关于直线 AE 对称，∴△ ADE ≌△ AD ' E .
∴∠ D ＝∠ AD ' E ＝90°， AD ＝ AD '＝6， DE ＝ D ' E .
∵∠ AD ' B ＝90°，∴∠ AD ' B ＋∠ AD ' E ＝180°.
∴ B ， D '， E 三点共线.
∵ S△ ABE ＝ BE · AD '＝ AB · AD ， AD '＝ AD ，
∴ BE ＝ AB ＝10.
∵ BD '＝ ＝ ＝8，
∴ DE ＝ D ' E ＝ BE － BD '＝10－8＝2；
②当点 E 在线段 DC 的延长线上，且 ED ″经过点 B 时，如图所示.
∵∠ ABD ″＋∠ CBE ＝∠ ABD ″＋∠ BAD ″＝90°，
∴∠ CBE ＝∠ BAD ″.
在△ ABD ″和△ BEC 中，
∴△ ABD ″≌△ BEC （ASA）.
∴ BE ＝ AB ＝10.
∵ BD ″＝ ＝8，
∴ DE ＝ D ″ E ＝ BD ″＋ BE ＝8＋10＝18.
综上所述， DE 的长为2或18.
12. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线交 BC 于点
E ， AE ＝ AD ，过点 D 作 DF ⊥ AE 于点 F .
（1）求证： AB ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 为矩形，
∴ AD ∥ BC ，∠ DAB ＝∠ ABE ＝90°.
∴∠ DAE ＝∠ AEB .
∵ AE 平分∠ BAD ，
∴∠ BAE ＝∠ DAE ＝45°.
∴∠ BAE ＝∠ AEB ＝45°.
∴ AB ＝ EB .
∵ DF ⊥ AE ，∴∠ AFD ＝90°.
∴∠ ABE ＝∠ AFD ＝90°.
在△ ABE 和△ AFD 中，
∴△ ABE ≌△ AFD （AAS）.
∴ AB ＝ AF .
（2）连接 BF 并延长交 DE 于点 G ，求证： EG ＝ DG .
证明：（2）∵ AE ＝ AD ，∠ EAD ＝45°，
∴∠ AED ＝∠ ADE ＝67.5°.
又∵∠ FDA ＝45°，
∴∠ FDG ＝∠ ADE －∠ FDA ＝22.5°.
∵ AB ＝ AF ，∠ BAF ＝45°，
∴∠ AFB ＝67.5°.
∴∠ EFG ＝67.5°.
∴∠ EFG ＝∠ AED .
∴ FG ＝ EG .
又∵∠ DFG ＝∠90°－∠ EFG ＝22.5°，
∴∠ DFG ＝∠ FDG .
∴ FG ＝ DG .
∴ EG ＝ DG .
13. （选做）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝5， AD ＝3，点
P 是 AB 边上一点（不与点 A ， B 重合），连接 CP ，过点 P 作 PQ
⊥ CP 交边 AD 于点 Q ，连接 CQ .
（1）当△ CDQ ≌△ CPQ 时，求 AQ 的长；
解：（1）∵△ CDQ ≌△ CPQ ，
∴ DQ ＝ PQ ， DC ＝ PC .
∵ AB ＝ DC ＝5， AD ＝ BC ＝3，∴ PC ＝5.
在Rt△ PBC 中， PB ＝ ＝4.
∴ AP ＝ AB － PB ＝5－4＝1.
设 AQ ＝ x ，则 PQ ＝ DQ ＝3－ x .
在Rt△ PAQ 中，由勾股定理，得
PQ2＝ AQ2＋ AP2，即（3－ x ）2＝ x2＋12，
解得 x ＝ .∴ AQ ＝ .
（2）取 CQ 的中点 M ，连接 MD ， MP ，若 MD ⊥ MP ，求
AQ 的长.
解：（2）（方法一）如图，过点 M 作 EF ⊥ CD 于点 F ，
交 AB 于点 E ，则 EF ⊥ AB .
∵ MD ⊥ MP ，∴∠ PMD ＝90°.∴∠ PME ＋∠ DMF ＝90°.
又∵∠ MDF ＋∠ DMF ＝90°，∴∠ MDF ＝∠ PME .
∵点 M 是 CQ 的中点，
∴ DM ＝ QC · MP ＝ QC . ∴ DM ＝ MP .
在△ MDF 和△ PME 中，
∴△ MDF ≌△ PME （AAS）.
∴ DF ＝ ME ， MF ＝ PE .
∵ EF ⊥ CD ， AD ⊥ CD ，∴ EF ∥ AD .
∵ QM ＝ MC ，∴ DF ＝ CF ＝ DC ＝ .
∴ ME ＝ .∵ ME 是梯形 ABCQ 的中位线，
∴2 ME ＝ AQ ＋ BC ，即5＝ AQ ＋3.∴ AQ ＝2.
（方法二）∵点 M 是Rt△ CDQ 的斜边 CQ 的中点，
∴ DM ＝ CM . ∴∠ DMQ ＝2∠ DCQ .
∵点 M 是Rt△ CPQ 的斜边的中点，
∴ MP ＝ CM . ∴∠ PMQ ＝2∠ PCQ .
∵∠ DMP ＝90°，∴2∠ DCQ ＋2∠ PCQ ＝90°.
∴∠ PCD ＝45°，∠ BCP ＝90°－45°＝45°.
∴∠ BPC ＝45°＝∠ BCP .
∴ BP ＝ BC ＝3.
∵∠ CPQ ＝90°，
∴∠ APQ ＝180°－90°－45°＝45°.
∴∠ AQP ＝90°－45°＝45°＝∠ APQ .
∴ AQ ＝ AP ＝5－3＝2.
演示完毕 谢谢观看
