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第一章 特殊平行四边形
专题2 特殊平行四边形中的最值问题
1. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8，
AB ＝10，点 P 为直线 AB 上一动点，连接 PC ，则线段 PC 长的最
小值是（ D ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 4.8
（第1题图）
D
2. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2， AD ＝3，动点 P 满足
S△ PBC ＝ S矩形 ABCD ，则点 P 到 B ， C 两点距离之和 PB ＋ PC 的最
小值为（ B ）
A. B. C. D. 2
（第2题图）
B
3. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为2，点 E 为边 BC 的中点，
点 P 在对角线 BD 上移动，则△ PCE 周长的最小值是（ C ）
A. B. 2
C. ＋1 D. 2 ＋2
（第3题图）
C
4. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝3， CD ＝4，点 P 是 AC 上
一个动点（点 P 与点 A ， C 不重合），过点 P 分别作 PE ⊥ BC 于
点 E ， PF ∥ BC 交 AB 于点 F ，连接 EF ，则 EF 的最小值
为 .
（第4题图）
5. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， BC ＝6，点 P 是矩形
ABCD 内一动点，且 S△ PAB ＝ S△ PCD ，则 PC ＋ PD 的最小值为
.
（第5题图）
2
6. 如图，将两张长为9、宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是
一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值
9，则菱形面积的最大值是 .
（第6题图）
15
【解析】如图，此时菱形 ABCD 的面积最大.设 AB ＝ x ，则 EB ＝
9－ x ， AE ＝3.由勾股定理，得32＋（9－ x ）2＝ x2.解得 x ＝5. S最
大＝5×3＝15.故答案为15.
7. 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标
为（－3，5），点 D 在线段 AO 上，且 AD ＝2 OD ，点 E 在线段
AB 上.当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标.
解：如答图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D '，连接 CD '交 AB
于点 E '.此时△ DCE '的周长最小.
∵四边形 OABC 是矩形，且 B （－3，5），
∴ OA ＝3， OC ＝5.
∵ AD ＝2 OD ，
∴ AD ＝2， OD ＝1.
∴ AD '＝ AD ＝2.
∴ D '（－5，0）.
又∵ C （0，5），
答图
∴直线 CD '的函数表达式为 y ＝ x ＋5.
当 x ＝－3时， y ＝－3＋5＝2.∴ E '（－3，2），
即当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（－3，2）.
答图
答图
8. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝12， AB ＝8，点 E 是 AB 上
一点，且 EB ＝3，点 F 是 BC 上一动点.若将△ EBF 沿 EF 翻折
后，点 B 落在点 P 处，求点 P 到点 D 的距离的最小值.
解：如答图，连接 PD ， DE .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ A ＝90°.
∵ AB ＝8， BE ＝3，
∴ AE ＝5.
∵ AD ＝12，
∴ DE ＝ ＝ ＝13.
由折叠，得 EP ＝ EB ＝3.
∵ EP ＋ DP ≥ ED ，
答图
∴当点 E ， P ， D 共线时， DP 最小.
∴ DP 的最小值＝ DE － EP ＝13－3＝10.
答图
9. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝6，点 E 是 AB 所
在直线的一个动点，点 F 是对角线 AC 上的动点，且 AE ＝ CF ，
则 BF ＋ CE 的最小值为 .
2
【解析】如答图，延长 CD 到点 G ，使 CG ＝ AC ，连接 FG . 在
矩形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∴∠ EAC ＝∠ FCG . 又∵ AE ＝
CF ，∴△ ACE ≌△ CGF （SAS）.∴ CE ＝ GF . 当 G ， F ， B 三
点共线时， BF ＋ GF 的值最小，此时 BF ＋ CE 的值也最小，最
小值等于 BG 的长.在矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝ BC ＝6，∠
ABC ＝90°，∴ AC ＝ ＝ ＝2 .∴ CG ＝2
.在Rt△ BCG 中，由勾股定理，得 BG ＝ ＝
＝2 .
∴ BF ＋ CE 的最小值为2 .
故答案为2 .
答图
答图
10. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝5， BC ＝4，点 E ， F 分
别是 AD ， BC 的中点，点 P ， Q 在 EF 上，且满足 PQ ＝2，则四
边形 ABQP 周长的最小值为 .
12
【解析】∵ AB ＝5， PQ ＝2，∴四边形 ABQP 的周长为 AP ＋
PQ ＋ BQ ＋ AB ＝ AP ＋ BQ ＋7，则要使四边形 ABQP 的周长最
小，只要 AP ＋ BQ 最小即可.如答图，在 AB 边上截取 AM ＝ PQ .
∵点 F 是 BC 的中点，∴点 B 关于 EF 的对称点为点 C . 连接 CM
交 EF 于点 Q ，则 CM 即为 AP ＋ BQ 的最小值.在Rt△ BCM 中，
MB ＝ AB － AM ＝5－2＝3， BC ＝4，∴ CM ＝ ＝5.∴四
边形 ABQP 周长的最小值为5＋7＝12.故答案为12.
答图
11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝3， AB ＝2，点 P 是线段
AD 上一动点，连接 BP ，求 BP ＋ DP 的最小值.
解：如答图，在 AD 上方作∠ ADE ＝30°，过点 P 作 PE ⊥ DE 于
点 E ，过点 B 作 BH ⊥ DE 于点 H ，交 AD 于点 F ，则 PE ＝ PD .
∴ BP ＋ DP ＝ BP ＋ PE .
当 B ， P ， E 三点共线时， BP ＋ PE 最小，即为 BH 的长度.
∵∠ AFB ＝∠ DFH ，∠ A ＝∠ H ＝90°，
∴∠ ABF ＝∠ PDE ＝30°.
∴ BF ＝2 AF .
在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得AF2＋ AB2＝ BF2，
答图
∴ AF2＋22＝4 AF2.
∴ AF ＝ .∴ BF ＝2 AF ＝ .
∴ DF ＝ AD － AF ＝3－ .
∴ FH ＝ DF ＝ － .
∴ BH ＝ BF ＋ FH ＝ ＋ － ＝ ＋ .
∴ BP ＋ DP 的最小值为 ＋ .
答图
12. （选做）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题：如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝30°，
BC ＝6， AC ＝5，在△ ABC 内部有一点 P ，连接 PA ， PB ，
PC ，求 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值.
图1
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条
端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，
并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最
短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻
折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.
他的做法：如图2，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得
到△ EDC ，连接 PD ， BE ，则 BE 的长即为所求.
图2
（1）请你写出图2中， PA ＋ PB ＋ PC 的最小值为 .
（1）【解析】∵将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得到
△ EDC ，∴△ APC ≌△ EDC . ∴∠ ACP ＝∠ ECD ， AC ＝ EC ＝
5，∠ PCD ＝60°.∴∠ ACP ＋∠ PCB ＝∠ ECD ＋∠ PCB ＝∠
ACB ＝30°.∴∠ BCE ＝∠ ECD ＋∠ PCB ＋∠ PCD ＝30°＋60°＝
90°.在Rt△ BCE 中，∵∠ BCE ＝90°， BC ＝6， CE ＝5，∴ BE
＝ ＝ ＝ ，
即 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值为 .故答案为 .
图2
（2）参考小华解决问题的方法，解决下列问题：
①如图3，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝60°，在菱形 ABCD 内部
有一点 P ，请在图3中画出并指明长度等于 PA ＋ PB ＋ PC 最小值
的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
图3
②若①中菱形 ABCD 的边长为4，请直接写出当 PA ＋ PB ＋ PC 的
值最小时 PB 的长.
（2）①解：如图1，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得
到△ DEC ，连接 PE ， DE ，则线段 BD 为 PA ＋ PB ＋ PC 最小值
的线段.
图1
② PB ＝ .
【解析】如图2，当点 B ， P ， E ， D 四点共线时， PA ＋ PB ＋
PC 的值最小，最小值为 BD 的长.∵将△ APC 绕点 C 按顺时针方
向旋转60°，得到△ DEC ，∴△ APC ≌△ DEC . ∴ CP ＝ CE ，∠
PCE ＝60°.∴△ PCE 是等边三角形.∴ PE ＝ CE ＝ CP ，∠ EPC ＝
∠ CEP ＝60°.在菱形 ABCD 中，∠ ABP ＝∠ CBP ＝ ∠ ABC ＝
30°，∴∠ PCB ＝∠ EPC －∠ CBP ＝60°－30°＝30°.∴∠ PCB ＝
∠ CBP ＝30°.∴ BP ＝ CP . 同理，得 DE ＝ CE .
∴ BP ＝ PE ＝ ED .
图2
图2
连接 AC ，交 BD 于点 O ，则 AC ⊥ BD . 在Rt△ BOC 中，∠ BOC
＝90°，∠ OBC ＝30°， BC ＝4，∴ OC ＝2.∴ BO ＝
＝2 .∴ BD ＝2 BO ＝4 .∴ BP ＝ BD ＝ .∴当 PA ＋ PB ＋
PC 的值最小时， PB 的长为 .
图2
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第四章 图形的相似
专题6 相似三角形的基本模型
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在 AB ， AC 上.若 DE
∥ BC ， ＝ ， DE ＝8，则 BC 的长为（ A ）
A. 20 B. 10 C. 40 D.
（第1题图）
A
2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 为边 AC 上的一点，且∠ DBC
＝∠ A ， BC ＝ ， AC ＝3，则 AD ＝（ B ）
A. 2 B. 1 C. D.
（第2题图）
B
3. 如图，已知△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，且∠ ABC
＝∠ ADE ＝90°，连接 BD ， CE ，则 的值为（ B ）
A. B. C. D. 2
（第3题图）
B
4. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为
D ， AD ＝4， CD ＝6，则 BD 的长为 .
（第4题图）
9
5. 如图，在正方形 ABCD 中，△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转
到△ AB ' C '位置， AB '， AC '分别交对角线 BD 于点 E ， F . 若 AE
＝4，则 EF · ED 的值为 .
（第5题图）
16
6. 如图，等边三角形 ABC 的边长为6，点 P 为 BC 上一点， BP ＝
2，点 D 为 AC 上一点.若∠ APD ＝60°，则 CD 的长为 .
（第6题图）
7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 是 BC 的中点，连接 AE ，过
点 D 作 DF ⊥ AE ，垂足为 F .
（1）求证：△ ABE ∽△ DFA ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ B ＝90°， AD ∥ BC .
∴∠ AEB ＝∠ DAF .
∵ DF ⊥ AE ，
∴∠ DFA ＝90°.
∴∠ B ＝∠ DFA .
∴△ ABE ∽△ DFA .
（2）若 AB ＝6， BC ＝4，求 DF 的长.
（2）解：∵△ ABE ∽△ DFA ，∴ ＝ .
∵ BC ＝4，点 E 是 BC 的中点，
∴ BE ＝ BC ＝ ×4＝2.
在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得
AE ＝ ＝ ＝2 .
又∵ AD ＝ BC ＝4， AB ＝6，
∴ ＝ .∴ DF ＝ .
8. 如图，已知 AD 与 BC 交于点 O ， EF 过点 O ，交 AB 于点 E ，
交 CD 于点 F ， BO ＝1， CO ＝3， AO ＝ ， DO ＝ .
（1）求证：∠ A ＝∠ D ；
证明：（1）∵ BO ＝1， CO ＝3， AO ＝ ，
DO ＝ ，∴ ＝ ＝ .
又∵∠ AOB ＝∠ DOC ，
∴△ AOB ∽△ DOC .
∴∠ A ＝∠ D .
（2）若 AE ＝ BE ，求证： CF ＝ DF .
证明：（2）∵∠ A ＝∠ D ，∴ AB ∥ CD .
∴△ AOE ∽△ DOF ，△ BOE ∽△ COF .
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ .
又∵ AE ＝ BE ，∴ CF ＝ DF .
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标为（0，4），
直线 y ＝ x －3与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，点 M 是直线 AB
上的一个动点，则线段 PM 长度的最小值为 .
（第9题图）
【解析】如图，过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M . 由垂线段最短，可知
此时线段 PM 的长度最小.∵直线 y ＝ x －3与 x 轴交于点 A （4，
0），与 y 轴交于点 B （0，－3），∴ AO ＝4， BO ＝3.∴ AB ＝
5， PB ＝7.∵∠ PBM ＝∠ ABO ，∠ PMB ＝∠ AOB ＝90°，∴△
PBM ∽△ ABO . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ PM ＝ .故答案为 .
10. 如图，在 ABCD 中，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 E ，交 AD
于点 F ，交 CD 的延长线于点 G . 若 AF ＝2 FD ，则 的值
为 .
（第10题图）
【解析】由 AF ＝2 DF ，可以假设 DF ＝ k ，则 AF ＝2 k ， AD ＝3
k .∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， AB
＝ CD . ∴∠ AFB ＝∠ FBC ＝∠ DFG ，∠ ABF ＝∠ G . ∵ BE 平分
∠ ABC ，∴∠ ABF ＝∠ CBG . ∴∠ ABF ＝∠ AFB ＝∠ DFG ＝∠
G . ∴ AB ＝ CD ＝ AF ＝2 k ， DG ＝ DF ＝ k .∴ CG ＝ CD ＋ DG ＝3
k .∵ AB ∥ DG ，∴△ ABE ∽△ CGE . ∴ ＝ ＝ ＝ .故答案
为 .
11. 如图，在△ ABC 中， AC ＝4， BC ＝3，∠ ACB ＝90°，点 P
是线段 AC 上不与点 A 重合的动点，过点 P 作 PQ ⊥ AC 交 AB 边
于点 Q . 将△ APQ 绕点 P 按顺时针方向旋转90°得到△ A ' PQ '，
设线段 AP 的长为4 t .
（1）直接用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长；
解：（1）∵ PQ ⊥ AC ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ APQ ＝∠ ACB ＝90°.
∴ PQ ∥ BC .
∴△ APQ ∽△ ACB .
∴ ＝ .
∵ AC ＝4， BC ＝3， AP ＝4 t ，
∴ ＝ .
∴ PQ ＝3 t ，即线段 PQ 的长为3 t .
（2）当点 B 落在线段 A ' Q '上时，求 t 的值.
解：（2）如图.
由题意，得 A ' P ＝ AP ＝4 t ， PQ '＝ PQ ＝3 t ， AC ＝4， BC ＝3，
∴ CQ '＝ AP ＋ PQ '－ AC ＝4 t ＋3 t －4＝7 t －4.
∵ PQ ⊥ AC ，∠ ACB ＝90°，
∴ PQ ∥ BC .
∴△ BCQ '∽△ A ' PQ '.
∴ ＝ .
∴ ＝ .
解得 t ＝ .∴ t 的值为 .
12. 如图，已知点 B 在线段 AC 上，点 D ， E 在 AC 同侧，∠ A ＝
∠ C ＝90°， BD ⊥ BE ， AD ＝ BC .
（1）求证： AC ＝ AD ＋ CE .
（1）证明：∵ BD ⊥ BE ，∴∠ ABD ＋∠ CBE ＝180°－90°＝90°.
∵∠ C ＝90°，∴∠ CBE ＋∠ E ＝180°－90°＝90°.
∴∠ ABD ＝∠ E . 在△ ABD 和△ CEB 中，
∴△ ABD ≌△ CEB （AAS）.
∴ AB ＝ CE .
∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝ AD ＋ CE .
（2）若 AD ＝3， CE ＝5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP ，
作 PQ ⊥ DP ，交直线 BE 于点 Q . 当点 P 与 A ， B 两点不重合时，
求 的值.
（2）解：如图，过点 Q 作 QF ⊥ BC 于点 F ，
则△ BFQ ∽△ BCE .
∴ ＝ .
由（1）知， AB ＝ CE ＝5.
又∵ BC ＝ AD ＝3，
∴ ＝ .∴ QF ＝ BF .
∵ DP ⊥ PQ ，
∴∠ APD ＋∠ FPQ ＝180°－90°＝90°.
又∵∠ FPQ ＋∠ PQF ＝180°－90°＝90°，
∴∠ APD ＝∠ PQF .
又∵∠ A ＝∠ PFQ ＝90°，∴△ ADP ∽△ FPQ .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴5 AP － AP2＋ AP · BF ＝3· BF .
整理，得（ AP － BF ）（ AP －5）＝0.
∵点 P 与 A ， B 两点不重合，
∴ AP ≠5.∴ AP ＝ BF .
∴ ＝ ＝ .
由△ ADP ∽△ FPQ ，得 ＝ .
∴ ＝ .
13. （选做）在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 D 在 BC
所在的直线上运动，作∠ ADE ＝45°（点 A ， D ， E 按逆时针方
向排列）.
（1）如图1，若点 D 在线段 BC 上， DE 交 AC 于点 E ，求证：△
ABD ∽△ DCE .
图1
（1）证明：∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ C ＝45°.
又∵∠ ADE ＝45°，
∴∠ ADB ＋∠ CDE ＝∠ ADB ＋∠ BAD ＝135°.
∴∠ BAD ＝∠ CDE .
∴△ ABD ∽△ DCE .
图1
（2）如图2，若点 D 在 BC 的延长线上， DE 的反向延长线与 AC
的延长线相交于点 F . 找出图2中的相似三角形，并证明.
图2
（2）解：△ ACD ∽△ ADF . 证明如下：
∵∠ ACB ＝45°，∠ ADE ＝45°，
∴∠ ACD ＝∠ ADF ＝135°.
又∵∠ CAD ＝∠ DAF ，
∴△ ACD ∽△ ADF .
（3）如图3，若点 D 在 BC 的反向延长线上，则图3中存在相似
三角形吗？若存在，请写出相似的三角形，并证明；若不存
在，请说明理由.
图3
（3）解：存在，△ ADB ∽△ DEC . 证明如下：
∵∠ ABC ＝∠ ACB ＝45°，
∴∠ ABD ＝∠ DCE ＝135°，∠ ADB ＋∠ BAD ＝45°.
∵∠ ADE ＝45°，
∴∠ ADB ＋∠ CDE ＝45°.
∴∠ BAD ＝∠ CDE .
∴△ ADB ∽△ DEC .
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第一章 特殊平行四边形
专题1 矩形、正方形中的四个常考模型
1. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，折痕为 EF ，折叠后点 C ， D
分别落在点 C '， D '处， D ' E 与 BF 交于点 G . 若∠ BGD '＝30°，
则∠α的度数是（ D ）
A. 30° B. 45° C. 74° D. 75°
（第1题图）
D
2. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为
EF ， EF 与 AC 交于点 O . 若 AE ＝5， BF ＝3，则 AO 的长为
（ C ）
A. B. C. 2 D. 4
（第2题图）
C
3. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此
矩形沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则 BE 的长为
（ C ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
（第3题图）
C
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知边长为2的正方形 ABCD 的
边 AB 在 x 轴上，边 AB 的中点是坐标原点 O . 将正方形绕点 C 按
逆时针方向旋转90°后，则点 B 的对应点 B '的坐标是 .
（3，
2）
（第4题图）
5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝3.将矩形 ABCD 绕点 A
按逆时针方向旋转一定角度得到矩形 AB ' C ' D '.若点 B 的对应点
B '落在边 CD 上，则 B ' C 的长为 .
（第5题图）
1
6. 如图，已知点 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片
沿 AE 对折，点 D 的对应点 D '恰好在线段 BE 上，且 AD ＝3， DE
＝1，则 AB ＝ .
（第6题图）
5
7. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是边 BC 延长线上一点，
连接 DE ，过点 B 作 BF ⊥ DE ，垂足为 F ， BF 与 CD 交于点 G .
（1）求证： CG ＝ CE ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ BCG ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ DC . ∵ BF ⊥ DE ，
∴∠ DFG ＝∠ BCG ＝90°.又∵∠ BGC ＝∠ DGF ，
∴∠ CBG ＝∠ CDE .
在△ BCG 和△ DCE 中，
∴△ BCG ≌△ DCE （ASA）.
∴ CG ＝ CE .
（2）若 BE ＝4 ， DG ＝2 ，求 BG 的长.
（2）解：由（1），得 CG ＝ CE .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD .
∴ BE ＝ BC ＋ CE ＝4 ， DG ＝ CD － CG ＝2 .
∴ BC ＝3 ， CG ＝ .
在Rt△ BCG 中，根据勾股定理，得
BG ＝ ＝
＝2 .
8. 如图，折叠矩形 ABCD 的边 AD ，使得点 D 落在边 BC 的点 F
处.已知 BC ＝10 cm， AB ＝8 cm，求 CF 和 CE 的长.
解：设 CE 的长为 x cm，则 DE ＝（8－ x ）cm.
∵△ ADE 折叠后的图形是△ AFE ，
∴ AD ＝ AF ，∠ D ＝∠ AFE ，DE ＝ EF .
∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝10 cm.
∴ AF ＝ AD ＝10 cm.
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得
AB2＋ BF2＝ AF2.
∴82＋ BF2＝102.∴ BF ＝6 cm.
∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得
CF2＋ CE2＝ EF2.
∴42＋ x2＝（8－ x ）2.∴ x ＝3.
即 CE 的长为3 cm.
故 CF ＝4 cm， CE ＝3 cm.
9. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点，
BE ＝3，在 AE 的右侧以 AE 为边作正方形 AEFG ，点 H 为 BG 的
中点，则 AE 的长为 ， AH 的长为 .
5
（第9题图）
【解析】如图，以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BA 所
在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.
∵正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点， BE ＝3，∴点
B （0，0）， C ， A ， E （3，0）.∴ AE ＝
＝5.过点 G 作 GM ⊥ y 轴于点 M ，则∠ AMG ＝90°.∴∠
GAM ＋∠ AGM ＝90°.∵四边形 AEFG 是正方形，∴∠ EAG ＝
90°， AE ＝ AG . ∴∠ GAM ＋∠ BAE ＝90°. ∴∠ AGM ＝∠ BAE .
又∵∠ AMG ＝∠ EBA ＝90°，∴△ AMG ≌△ EBA .
∴ MG ＝ AB ＝4， AM ＝ BE ＝3.∴ OM ＝ AB ＋ AM ＝7.∴点 G 的
坐标是 .∵点 H 为 BG 的中点，
∴点 H 的坐标是 .即 .
∴ AH ＝ ＝ .故答案为5， .
10. （2022·广州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC ＝2 AB ，点
P 为边 AD 上的一个动点，将线段 BP 绕点 B 按顺时针方向旋转
60°得到线段 BP '，连接 PP ' ， CP '.当点 P ' 落在边 BC 上时，则
∠ PP ' C 的度数为 ； 当线段 CP ' 的长度最小时，则∠
PP ' C 的度数为 .
120°
75°
（第10题图）
【解析】如图1，以 AB 为边向右作等边三角形 ABE ，连接 EP '.
由旋转，易得△ BPP '是等边三角形，∴∠ ABE ＝∠ PBP '＝
60°， BP ＝ BP '， BA ＝ BE . ∴∠ ABP ＝∠ EBP '.在△ ABP 和△
EBP '中，∴△ ABP ≌△ EBP '（SAS）.∴∠ BAP
＝∠ BEP '＝90°.∴点 P '在射线 EP '上运动.
图1
如图2，设 EP '交 BC 于点 O . 当点 P '落在 BC 上时，点 P '与点 O 重合，此时∠ PP ' C ＝180°－60°＝120°.当 CP '⊥ EP '时， CP '的长最小，此时∠ EBO ＝∠ OCP '＝30°，∴ EO ＝ OB ， OP '＝ OC .
∴ EP '＝ EO ＋ OP '＝ OB ＋ OC ＝ BC . ∵ BC ＝2 AB ，
∴ EP '＝ AB ＝ EB ，∴∠ EBP '＝∠ EP ' B ＝45°.
∴∠ BP ' C ＝45°＋90°＝135°.
∴∠ PP ' C ＝∠ BP ' C －∠ BP ' P ＝135°－60°＝75°.
故答案为120°；75°.
图2
11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8 cm， BC ＝6 cm，动点
P 从点 A 出发，以1 cm/s的速度沿线段 AB 向点 B 运动，连接
DP ，将∠ A 沿 DP 折叠，使点 A 落在点 A '处.当△ BPA '为直角三
角形时，求点 P 运动的时间.
解：①当∠ BA ' P ＝90°时，由折叠，得∠ PA ' D ＝∠ A ＝
90°.∴∠ BA ' D ＝∠ BA ' P ＋∠ PA ' D ＝180°.
∴点 B ， A '， D 在一条直线上.
如图，连接 BD .
在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得 BD ＝10 cm.
设 AP ＝ x cm，
则 A ' P ＝ x cm， BP ＝（8－ x ）cm， A ' B ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ A ' PB 中， x2＋42＝（8－ x ）2.
解得 x ＝3.
∴点 P 的运动时间为3÷1＝3（s）.
②当∠ A ' PB ＝90°时，∠ A ' PA ＝90°.
又∵∠ DA ' P ＝∠ A ＝90°，
∴四边形 APA ' D 是矩形.
根据折叠的性质，得 A ' P ＝ AP .
∴四边形 APA ' D 是正方形.
∴ AP ＝ AD ＝6 cm.
∴点 P 的运动时间为6÷1＝6（s）；
③当∠ A ' BP ＝90°时，不存在.
综上所述，符合要求的点 P 的运动时间为3 s或6 s .
12. （选做）如图，已知点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，
连接 AM ，点 E 是线段 AM 上一点，∠ CDE 的平分线 DF 交 AM 的
延长线于点 F ，连接 BE ， BF .
（1）如图1，若点 E 是线段 AM 的中点，且 CM ＝2 BM ， BE ＝
10，求正方形 ABCD 的面积；
图1
（1）解：设 BM ＝ x ，则 CM ＝2 x ， BC ＝3 x .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BA ＝ BC . ∴ BA ＝3 x .
在Rt△ ABM 中，点 E 为斜边 AM 的中点，
∴ AM ＝2 BE ＝20.
由勾股定理，得 AM2＝ MB2＋ AB2，
即400＝ x2＋9 x2.
解得 x ＝2 .
图1
∴ AB ＝3 x ＝6 .
∴正方形 ABCD 的面积＝ AB2＝（6 ）2＝360.
（2）如图2，若 DA ＝ DE ，求证： BF ＋ DF ＝ AF .
图2
（2）证明：如图，过点 A 作 AH ⊥ AF ，交 FD 的延长线于点
H ，过点 D 作 DP ⊥ AF 于点 P .
∵ DF 平分∠ CDE ，
∴∠1＝∠2.
∵ DE ＝ DA ， DP ⊥ AF ，
∴∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴∠2＋∠3＝45°.
∴∠ DFP ＝90°－45°＝45°.
∴ AH ＝ AF .
∵∠ BAF ＋∠ DAF ＝90°，∠ DAH ＋∠ DAF ＝90°，
∴∠ BAF ＝∠ DAH .
在△ ABF 和△ ADH 中，
∴△ ABF ≌△ ADH （SAS）.
∴ BF ＝ DH .
∵Rt△ FAH 是等腰直角三角形， AF ＝ AH ，
∴ HF ＝ AF .
∵ HF ＝ DH ＋ DF ＝ BF ＋ DF ，
∴ BF ＋ DF ＝ AF .
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第六章 反比例函数
专题9 反比例函数与一次函数的综合问题
1. 已知正比例函数 y ＝－2 x 与反比例函数 y ＝ 图象的一个交点
坐标为（－1，2），则另一个交点的坐标为（ D ）
A. （2，－1） B. （－2，1）
C. （－2，－1） D. （1，－2）
D
2. 已知一次函数 y1＝ kx ＋ b 和反比例函数 y2＝ 的图象如图所
示，则使 y1＞ y2的 x 的取值范围是（ C ）
A. －2＜ x ＜3 B. x ＜－2或0＜ x ＜3
C. －2＜ x ＜0或 x ＞3 D. x ＜－2或 x ＞3
（第2题图）
C
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 OABC 是菱形，点 A
的坐标为（10，0），对角线 OB ， AC 相交于点 D ，反比例函数
y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 D ，交 AB 于点 E ，且 OB AC ＝
160，则点 E 的坐标为（ B ）
A. （3，8） B.
C. （4，8） D. （12，4）
（第3题图）
B
4. 如图，已知 A （ m ＋3，2）， B 是反比例函数 y ＝
（ k ≠0）图象上两点，连接 OA ， OB ，则△ OAB 的面积
为 .
（第4题图）
5. （2023·成都）若点 A ， B （－1， y2）都在反比例函
数 y ＝ 的图象上，则 y1 y2（填“＞”或“＜”）.
6. （2022·黄石）如图，已知反比例函数 y ＝ 的图象经过矩形
ABCD 对角线的交点 E 和点 A ，点 B ， C 在 x 轴上，△ OCE 的面
积为6，则 k ＝ .
＞
8
（第6题图）
7. 如图，已知一次函数 y1＝－ x ＋7的图象与反比例函数 y2＝ 的
图象交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为－1.
（1）求该反比例函数的表达式；
解：（1）把 x ＝－1代入 y1＝－ x ＋7，得 y1＝1
＋7＝8.∴点 A （－1，8）.
把 A （－1，8）代入 y2＝ ，得8＝ .
解得 k ＝－8.
∴反比例函数的表达式为 y ＝－ .
（2）求△ AOB 的面积；
解：（2）设 y ＝－ x ＋7与 y 轴交于点 C .
易知 C （0，7）.∴ OC ＝7.
联立
解得或
∴点 B （8，－1）.
∴ S△ AOB ＝ S△ AOC ＋ S△ BOC ＝ ×7×1＋ ×7×8＝ .
（3）直接写出满足 y1≤ y2时 x 的取值范围.
解：（3）当 y1≤ y2时， x 的取值范围是－1≤ x
＜0或 x ≥8.
8. 如图，已知直线 l 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， D 两点，与反比例
函数 y ＝ 的图象在第一象限内交于点 B ， BC ⊥ x 轴于
点 C ，点 D 为 AB 的中点， AC ＝6， CD ＝5.
（1）求反比例函数的表达式；
解：（1）∵ BC ⊥ x 轴，点 D 为 AB 的中点，
∴ AB ＝2 CD ＝10.
∵ AC ＝6，∴ BC ＝ ＝8.
∵ OD ⊥ OC ，∴ OC ＝ AC ＝3.
∴点 B 的坐标为 .
把 B （3，8）代入反比例函数表达式，得8＝ .
解得 k ＝24.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）若点 P 是该反比例函数图象上一点，且 m ＞3.请直
接写出 n 的取值范围.
解：（2）∵点 P 是该反比例函数图象
上一点，
∴ nm ＝24.
∵ m ＞3，∴ ＞3.
∴ n ＜8.
又∵ n ＞0，
∴0＜ n ＜8，即 n 的取值范围为0＜ n ＜8.
9. 在平面直角坐标系中，直线 l 过 A （4，1）， B （5，0）两
点，且点 A 在反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象上.将直线 l 向下
平移 个单位长度，可以使直线 l 与反比例函数的图象恰
好只有一个公共点.
1或9
10. 如图，直线 AB 与双曲线 y ＝ （ k ＞0）在第一象限内交于
A ， B 两点，与 x 轴交于点 C ，点 B 为线段 AC 的中点，连接 OA .
若△ AOC 的面积为3，则 k 的值为 .
2
【解析】如答图，分别过点 A ， B 作 AM ⊥ OC ， BN ⊥ OC ，垂
足分别为点 M ， N . ∵点 B 是 AC 的中点，∴ AB ＝ BC . ∵ AM ∥
BN ，∴ ＝ ＝ ＝ .∴ CN ＝ MN . 设 BN ＝ a ，则 AM ＝2
a .∵点 A ， B 在反比例函数的图象上，∴ OM · AM ＝ ON · BN .
∴ OM ＝ ON . ∴ OM ＝ MN ＝ NC . 设 OM ＝ b ，则 OC ＝3 b .∵△
AOC 的面积为3，即 OC · AM ＝3，∴ ·3 b ·2 a ＝3.∴ ab ＝1.
∴ S△ AOM ＝ OM · AM ＝ · b ·2 a ＝ ab ＝1＝ ｜ k ｜.∴ k ＝－2
（舍去）或 k ＝2.故答案为2.
答图
11. 如图，已知点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象上， AB ⊥
x 轴于点 B ， AB 的垂直平分线 PD 交双曲线于点 P ， AP ⊥ BP ，
点 A 的横坐标为 m .
（1）求 k 与 m 之间的函数关系式；
解：（1）∵点 A 的横坐标为 m ，点 A 在反比例
函数 y ＝ 的图象上，
∴点 A .
∴ OB ＝ m ， AB ＝ .
∵ AP ⊥ BP ， DP 垂直平分 AB ，
∴△ APB 是等腰直角三角形.
∴点 D 是 AB 的中点，
∴ PD ＝ AD ＝ BD ＝ ，
∴点 P .
∵点 P 在反比例函数 y ＝ 的图象上，
∴ ＝ k ，
∴ k ＝2 m2.
（2）连接 OA ， OP ，若△ AOP 的面积为6，求 k 的值.
解：（2）如图，设 OP 交 AB 于点 E .
由（1）可知， k ＝2 m2，
∴点 A ， P .
∴ OB ＝ m ， PD ＝2 m － m ＝ m .
∴ OB ＝ PD .
∵ AB ⊥ OB ， PD ⊥ AB ，
∴ OB ∥ PD .
∴∠ OBE ＝∠ PDE ，∠ EOB ＝∠ EPD .
∴△ OBE ≌△ PDE （ASA）.
∴ BE ＝ DE .
∴ BE ＝ BD ＝ m .
∴ AE ＝ AB － BE ＝2 m － m ＝ m .
∵ S△ AOP ＝ S△ AOE ＋ S△ PAE ＝ OB · AE ＋ PD · AE ＝ xP · AE ＝6，
∴ ·2 m · m ＝6.
∴ m2＝4.
∴ k ＝2 m2＝2×4＝8.
12. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知 B ， C 两点在 x
轴的正半轴上，以线段 BC 为边向上作正方形 ABCD ，顶点 A 在
正比例函数 y ＝2 x 的图象上.反比例函数 y ＝ （ x ＞0， k ＞0）
的图象经过点 A ，且与边 CD 相交于点 E .
（1）若 BC ＝4，求点 E 的坐标.
解：（1）在正方形 ABCD 中， AB ＝ BC ＝
4，点 A 在 y ＝2 x 的图象上，∴点 A （2，4）.
∵点 A （2，4）在 y ＝ 的图象上，
∴ k ＝2×4＝8.∵ OC ＝ OB ＋ BC ＝6，
∴ xE ＝6.
将 xE ＝6代入 y ＝ 中，得 yE ＝ .
∴点 E 的坐标为 .
（2）连接 AE ， OE .
①若△ AOE 的面积为24，求 k 的值.
②是否存在某一位置使得 AE ⊥ OA ？若存在，求出 k 的值；若
不存在，请说明理由.
解：（2）①设 A （ a ，2 a ）（ a ＞0），则
点 E .∵ S△ COE ＝ S△ AOB ＝ ｜ k ｜，
∴ S梯形 ABCE ＝ S△ AOE ＝24.
∴ × ×2 a ＝24.可得 a2＝9.
∴ k ＝2 a2＝18.
②不存在，理由如下：假设存在.
∵ AE ⊥ OA ，∴∠ OAB ＋∠ BAE ＝90°.
∵∠ BAD ＝∠ BAE ＋∠ EAD ＝90°，
∴∠ OAB ＝∠ EAD .
又∵ AB ＝ AD ，∠ ABO ＝∠ D ＝90°，
∴△ OAB ≌△ EAD （ASA）.∴ OB ＝ DE .
由①可知， A （ a ，2 a ）（ a ＞0）， E .
∴ OB ＝ a ， DE ＝2 a － ＝ .
∴ a ＝ .
∴ a ＝0.这与 a ＞0矛盾，不符合题意.故不存在.
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第二章 一元二次方程
专题3 一元二次方程的解法
1. 已知一元二次方程 x2－ kx ＋4＝0有两个相等的实数根，则 k
的值为（ C ）
A. k ＝4 B. k ＝－4
C. k ＝±4 D. k ＝±2
C
2. 解下列方程：①2 x2－18＝0；②9 x2－12 x －1＝0；③12 x2＋
12＋25 x ＝0；④2（5 x －1）2＝3（5 x －1）.较简便的方法是
（ C ）
A. ①②用直接开平方法，③用公式法，④用因式分解法
B. ①用因式分解法，②用公式法，③用配方法，④用直接开平
方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用配方法，③④用因式分解法
C
3. 已知一元二次方程2（2 x －3）2＋2 x －3＝3，若用换元法解这
个方程，则应设 t ＝（ B ）
A. 2 x B. 2 x －3
C. 2 x －6 D. （2 x －3）2
B
4. 方程 x2＋0.7＝2.5的根是 .
5. 若关于 x 的一元二次方程（ m －1） x2＋2 x －1＝0有两个不相
等的实数根，则 m 的取值范围是 .
6. 已知 y1＝2 x2＋7 x －1， y2＝6 x ＋2，当 x ＝ 时， y1
＝ y2.
x1＝3， x2＝－3
m ＞0且 m ≠1
1或－
（1） x2＋4 x －192＝0；
解： x1＝12， x2＝－16.
（2）2 x2＋3 x －1＝0.
解： x1＝ ， x2＝ .
7. 用配方法解下列方程：
8. 用公式法解下列方程：
（1） x2＋3 x ＝－1；
解： x1＝ ， x2＝ .
（2）5 x2＋121＝ x2＋44 x ；
解： x1＝ x2＝ .
（3）（ x －2）（3 x －5）＝1.
解： x1＝ ， x2＝ .
9. 用因式分解法解下列方程：
（1）（3 x ＋2）2－ x2＝0；
解： x1＝－ ， x2＝－1.
（2）（ x －4）2－2 x ＋8＝0；
解： x1＝4， x2＝6.
（3）4 y2＝13 y －3.
解： y1＝ ， y2＝3.
10. 已知Rt△ ABC 三边的长分别为 x ， x ＋1和5，则△ ABC 的周
长为 ，△ ABC 的面积为 .
12或30
6或30
【解析】①当 x ＋1＜5，即 x ＜4时， x2＋（ x ＋1）2＝52.整理，
得 x2＋ x －12＝0，解得 x ＝－4（舍去）或 x ＝3.∴ x ＋1＝4.∴△
ABC 的周长为3＋4＋5＝12，面积为 ×3×4＝6；②当 x ＋1＞
5，即 x ＞4时， x2＋52＝（ x ＋1）2，解得 x ＝12.∴ x ＋1＝
13.∴△ ABC 的周长为5＋12＋13＝30，面积为 ×5×12＝30.故
答案为12或30，6或30.
11. 定义新运算“※”：对于实数 m ， n ， p ， q ，有[ m ，
p ]※[ q ， n ]＝ mn ＋ pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运
算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于 x 的方程[ x2
＋1， x ]※[5－2 k ， k ]＝0有两个实数根，则 k 的取值范围是
.
k
≤ 且 k ≠0
【解析】由题意，得 k （ x2＋1）＋（5－2 k ） x ＝0.整理，得 kx2
＋（5－2 k ） x ＋ k ＝0.∵该方程有两个实数根，∴Δ＝（5－2
k ）2－4 k2≥0，且 k ≠0.解得 k ≤ 且 k ≠0.故答案为 k ≤ 且 k
≠0.
12. 用合适的方法解下列方程：
（1） x2－9 x ＋14＝0；
解： x1＝2， x2＝7.
（2）2 x （ x ＋1）＝1；
解： x1＝ ， x2＝ .
（3）（2 x －1）2＝ x （3 x ＋2）－7；
解： x1＝4， x2＝2.
（4）2（ x －1）2－（ x ＋1）（1－ x ）＝（ x ＋2）2.
解： x1＝ ， x2＝ .
13. 用换元法解下列方程：
（1）（ x －2）2－4（ x －2）＋3＝0；
解： x1＝3， x2＝5.
（2）（ x2＋ x ）2＋（ x2＋ x ）＝6；
解： x1＝1， x2＝－2.
（3） － ＝20.
解： x1＝ ， x2＝－ .
14. （选做）若关于 x 的方程（ a ＋1） x2＋（2 a －3） x ＋ a －2
＝0有两个不相等的实数根，且关于 x 的方程 －1＝ 的
解为整数，求满足条件的所有整数 a 的和.
解：∵关于 x 的方程（ a ＋1） x2＋（2 a －3） x ＋ a －2＝0有两
个不相等的实数根，
∴ a ＋1≠0且Δ＝（2 a －3）2－4（ a ＋1）（ a －2）＞0.
解得 a ＜ 且 a ≠－1.
由方程 －1＝ ，得（ a －1） x ＝4.
∴ x ＝ .
∴ a －1≠0.
又∵关于 x 的方程 －1＝ 的解为整数，
∴ ≠－1且是整数.
∴ a －1＝－2，－1，1，2或4.
∴ a ＝－1，0，2，3或5.
又∵ a ＜ 且 a ≠－1，
∴ a ＝0或2.
∴满足条件的所有整数 a 的和是0＋2＝2.
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第六章 反比例函数
专题8 反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义
1. 如图，已知等边三角形 OAB 的顶点 B 在 x 轴正半轴上，反比
例函数 y ＝ 图象的一支经过点 A ，则△ AOB 的面积是
（ D ）
A. B. 2 C. D. 4
（第1题图）
D
2. （2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函
数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点 P 作 PQ
∥ y 轴，交 x 轴于点 Q ，将线段 QP 绕点 Q 按顺时针方向旋转60°
得到线段 QM . 若点 M 也在该反比例函数的图象上，则 k 的值为
（ C ）
A. B. C. 2 D. 4
（第2题图）
C
3. （2023·张家界）如图，矩形 OABC 的顶点 A ， C 分别在 y 轴、
x 轴的正半轴上，点 D 在 AB 上，且 AD ＝ AB ，反比例函数 y ＝
的图象经过点 D 及矩形 OABC 的对称中心 M ，连接
OD ， OM ， DM . 若△ ODM 的面积为3，则 k 的值为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（第3题图）
C
4. 如图，已知点 A 是反比例函数 y ＝－ （ x ＜0）的图象上的一
点，过点 A 作 ABCD ，使点 B ， C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，
则 ABCD 的面积为 .
（第4题图）
6
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴
上，点 C 的坐标为（2，－2）， AO ∶ BO ＝1∶2，点 D 在函数 y
＝ （ x ＞0）的图象上，则 k 的值为 .
2
（第5题图）
6. 如图，已知双曲线 y ＝ （ x ＞0）与△ OAB 交于点 A ， C ，点
A ， B ， C 横坐标的比为5∶5∶2，且 S△ OAB ＝21，则 k ＝ .
（第6题图）
8
7. 已知图中的曲线是反比例函数 y ＝ （ m 为常数）的图象的
一支.
（1）根据图象位置，求 m 的取值范围；
解：（1）∵这个反比例函数图象的一支位于
第一象限，
∴ m －5＞0.解得 m ＞5.
（2）若在该函数的图象上任取一点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线，
垂足为 B ，当△ OAB 的面积为4时，求 m 的值.
解：（2）由图可知， k ＝ m －5＞0，
∴ S△ OAB ＝ ｜ k ｜＝ （ m －5）.
∵△ OAB 的面积为4，
∴ （ m －5）＝4.解得 m ＝13.
8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y ＝ （ x ＞0， k ＞
0）的图象经过点 A （ m ， n ）， B （2，1），且 n ＞1.过点 B 作
y 轴的垂线，垂足为 C . 若△ ABC 的面积为2，求点 A 的坐标.
解：∵ B （2，1），∴ BC ＝2.∵△ ABC 的面积为2，∴ ×2×
（ n －1）＝2.解得 n ＝3.∵点 B （2，1）在 y ＝ 的图象上，∴ k
＝2.∴反比例函数的表达式为 y ＝ .当 n ＝3时， m ＝ ＝ .∴点
A 的坐标为 .
9. （2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，△ AOC 的边 OA
在 y 轴上，点 C 在第一象限内，点 B 为 AC 的中点，反比例函数 y
＝ 的图象经过 B ， C 两点.若△ AOC 的面积是6，则 k 的
值为 .
4
【解析】如答图，过 B ， C 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为
点 D ， E ，则 BD ∥ CE . ∴△ ABD ∽△ ACE . ∴ ＝ .设点 B
的坐标为 ，则 BD ＝ m .∵点 B 为 AC 的中点，∴ ＝
＝ .∴ CE ＝2 BD ＝2 m .∴点 C 的坐标为 .
答图
设直线 BC 的函数表达式为 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0），则解得
∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .当 x
＝0时， y ＝ .∴点 A 的坐标为 .∵△ AOC 的面积是6，
∴ · ·2 m ＝6.解得 k ＝4.故答案为4.
答图
10. （2022·衢州）如图，在△ ABC 中，边 AB 在 x 轴上，边 AC 交
y 轴于点 E ，反比例函数 y ＝ 的图象恰好经过点 C ，与
边 BC 交于点 D . 若 AE ＝ CE ， CD ＝2 BD ， S△ ABC ＝6，则 k
＝ .
【解析】如答图，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F ，过点 D 作 DG ⊥ x
轴于点 G . 设点 C 的坐标为 ，则 OF ＝ m ， CF ＝ n ， mn
＝ k .∵ AE ＝ CE ， CD ＝2 BD ，∴ ＝ ， ＝ .∵ OE ⊥ x
轴， CF ⊥ x 轴，∴ OE ∥ CF . ∴△ AOE ∽△ AFC . ∴ ＝ ＝
，即 AO ＝ AF . ∴ AO ＝ OF ＝ m ，又∵ CF ⊥ x 轴， DG ⊥ x
轴，∴ CF ∥ DG ，∴△ BDG ∽△ BCF ，
∴ ＝ ＝ ，即
＝ ＝ .∴ DG ＝ n ， BG ＝ BF .
答图
令 y ＝ ＝ n ，得 x ＝ ＝3 m .∴ D ， OG ＝3 m .∴
FG ＝ OG － OF ＝2 m .由 BG ＝ BF ，得 BF ＝ FG ＝3 m .∴ AB ＝
AO ＋ OF ＋ BF ＝ m ＋ m ＋3 m ＝5 m .∵ S△ ABC ＝6，∴ AB · CF ＝
×5 mn ＝6.解得 mn ＝ ，即 k ＝ .故答案为 .
答图
11. 如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝ BC ＝5， AB ＝8， AB ⊥ x 轴
于点 A . 反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 C ，交 AB 于点
D .
（1）若 OA ＝ AB ，求 k 的值；
解：（1）如答图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ，
CF ⊥ OA 于点 F ，则 CF ＝ AE .
∵ AB ＝8， AC ＝ BC ， CE ⊥ AB ，∴ BE ＝ AE
＝ CF ＝4.
在Rt△ ACE 中，由勾股定理，得 CE ＝3.
∵ OA ＝ AB ＝8，∴ OF ＝5.
∴点 C （5，4）.
∵点 C 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
∴ k ＝20.
答图
（2）若 BC ＝ BD ，连接 OC ，求△ OAC 的面积.
解：（2）∵ BC ＝ BD ＝5， AB ＝8，∴ AD ＝3.
设点 A 的坐标为（ m ，0），则 C ， D 两点的坐
标分别为（ m －3，4），（ m ，3）.
∵ C ， D 两点在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
∴4（ m －3）＝3 m .解得 m ＝12.
∴点 A （12，0）， C （9，4）， D （12，3）.
∴ S△ OAC ＝ ×12×4＝24.
12. （选做）如图，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 与反比例函数 y ＝
的图象交于点 A ， B ，且直线 AB 交 x 轴于点 D ，
Rt△ AOC 的面积为3.
（1）求一次函数的表达式；
解：（1）∵点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象
上， AC ⊥ x 轴于点 C ， S△ AOC ＝3，
∴ c ＝2 S△ AOC ＝2×3＝6.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
把 A ， B （ n ，－3）两点分别代入
表达式，解得 m ＝2， n ＝－2.
∴点 A ， B .
∵一次函数图象经过点 A ， B ，
∴解得
∴一次函数的表达式为 y ＝ x －1.
（2）直接写出不等式 kx ＋ b ＞ 的解集；
解：（2）观察图象可得，不等式 kx ＋ b ＞
的解集为－2＜ x ＜0或 x ＞3.
解：（3）∵ AC ⊥ x 轴，∴点 C .
当 y ＝ x －1＝0时，解得 x ＝1.
∴点 D .∴ CD ＝3－1＝2.
如图，过点 B 作 BE ⊥ AC 交 AC 延长线于点
E ，过点 P 作 PF ⊥ AC 交 AE 于点 F .
设点 P （ n ， n －1）.
∴ S△ ABC ＝ AC · BE ＝ ×2× ＝5，
S△ APC ＝ AC · PF ＝ ×2×（3－ n ）＝3－ n .
（3）点 P 是直线 AB 上的动点，若 CP 把△ ABC 分成面积比为
2∶3的两部分，求点 P 的坐标.
①当 S△ APC ＝ S△ ABC ＝ ×5＝2时，有3－ n ＝2.解得 n ＝1.
②当 S△ APC ＝ S△ ABC ＝ ×5＝3时，有3－ n ＝3.解得 n ＝0.
当 n ＝1时， n －1＝0；当 n ＝0时， n －1＝－1.
∴符合条件的点 P 的坐标为 或 .
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第三章 概率的进一步认识
专题5 概率的综合问题
1. 为了调查某批乒乓球的质量，根据所做试验，得到这批乒乓
球“优等品”的频率如图所示，则这批乒乓球“优等品”的概
率的估计值（精确到0.01）为（ B ）
A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97
B
2. 有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完
全相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，以
其正面的数字作为 x 的值，放回卡片，洗匀，再从三张卡片中随
机抽取一张，以其正面的数字作为 y 的值，两次结果记为（ x ，
y ），则使分式 有意义的（ x ， y ）的概率为（ B ）
A. B. C. D.
B
3. 如图，顺次连接一张矩形纸板各边中点得到菱形，再顺次连
接菱形各边中点得到一个矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸
板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（ B ）
A. B. C. D.
（第3题图）
B
4. 从－2，－1，1，2这四个数中任取一个数作为 a 的值，再从
余下的三个数中任取一个数作为 b 的值，则不等式组有
整数解的概率为 .
5. 在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的 A ， B 两
点，在格点上任意放置点 C ，恰好能使得△ ABC 的面积为1的概
率为 .
（第5题图）
6. 一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色外
其他都相同.
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；
解：（1） P （摸出一个球是红球）＝ ＝ .
（2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球.搅拌
均匀后，要使从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ，则需取
走多少个白球？
解：（2）设取走 x 个白球，则 ＝ .解得 x ＝7.
故需取走7个白球.
7. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色
的球共4个，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个
球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的
一组统计数据：
摸球的次
数 n 1 000 2 000 4 000 8 000 10 000 …
摸到白球
的次数 m 749 1 499 2 998 6 000 7 501 …
摸到白球
的频率 0.749 0 0.749 5 0.749 5 0.750 0.750 1 …
（1）根据试验结果，试估算口袋中白球的数量；
解：（1）由题表可知，当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定
于0.75，∴摸到白球的概率为0.75.
设口袋中白球个数为 x ，则 ＝0.75.
解得 x ＝3.
故估计口袋中白球有3个.
（2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画
树状图或列表的方法求这两个球颜色相同的概率.
解：（2）记三个白球分别为A1，A2，A3，黑球为B. 根据题
意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同
的结果有6种，
∴ P （两个球颜色相同）＝ ＝ .
8. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，
2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，记录牌上
的数字并把牌放回洗匀，再重复这样的步骤两次，得到三个数
字 a ， b ， c ，则以长为 a ， b ， c 的线段正好构成等边三角形的
概率是 .
由树状图可知，共有27种等可能的结果，其中构成等边三角形
的结果有3种，∴ P （以 a ， b ， c 为长正好构成等边三角形）＝
＝ .故答案为 .
【解析】根据题意，画树状图（略图）如下：
9. 一个不透明的口袋中装有同型号的红球 m 个，黄球 n 个.小明
做试验：往该口袋中再放入同型号的红球1个，把球摇匀后，从
中任取一球出来.经过大量重复试验，小明发现取出红球的频率
越来越稳定于0.5.小聪做试验：从该口袋中取出2个红球，把球
摇匀后，再从口袋中任取一球出来.经过大量重复试验，小聪发
现取出红球的频率越来越稳定于0.2，则 m ＋ n 的值是 .
7
【解析】根据题意，得整理，得
解得经检验，是原分式方程
组的解，且符合题意.∴ m ＋ n ＝7.故答案为7.
10. 为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取
一件产品，并测量其尺寸.在一天的抽检结束后，检测员将测得
的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 尺寸/cm 编号 尺寸/cm 编号 尺寸/cm
1 8.72 6 8.96 11 9.04
2 8.88 7 8.97 12 9.06
3 8.92 8 8.98 13 9.07
4 8.93 9 a 14 9.08
5 8.94 10 9.03 15 b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸 x /cm 产品等次
8.97≤ x ≤9.03 特等品
8.95≤ x ≤9.05 优等品
8.90≤ x ≤9.10 合格品
x ＜8.90或 x ＞9.10 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品
时，将优等品（含特等品）计算在内.
（1）已知此次抽检的合格率为80％，请判断编号为15的产品是
否为合格品，并说明理由.
解：（1）编号为15的产品不是合格品.理由如下：∵抽检的合
格率为80％，
∴合格品有15×80％＝12（件），
即非合格品有3件.
而从编号1至编号14对应的产品中，只有编号1与编号2对应的产
品为非合格品，
故编号为15的产品不是合格品.
①求 a 的值；
②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm，另一组尺寸不
大于9 cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽取到的2
件产品都是特等品的概率.
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm.
解：（2）①按照优等品的标准，从编号6到编号11对应的6件产
品为优等品，中间两件产品的尺寸数据分别为8.98和 a ，
∴ ＝9.
解得 a ＝9.02.
②在优等品当中，编号6，7，8对应的产品尺寸不大于9 cm，分
别记为A1，A2，A3；编号9，10，11对应的产品尺寸大于9 cm，
分别记为B1，B2，B3，其中的特等品为A2，A3，B1，B2.根据题
意，列表如下：
B1 B2 B3
A1 （A1，B1） （A1，B2） （A1，B3）
A2 （A2，B1） （A2，B2） （A2，B3）
A3 （A3，B1） （A3，B2） （A3，B3）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中2件产品都是特等品的
结果有4种，
∴ P （抽取到的2件产品都是特等品）＝ .
11. （选做）如图，已知 AC 与 BD 是☉ O 的两条直径，首尾顺次
连接点 A ， B ， C ， D 得四边形 ABCD . 若 AC ＝10，∠ BAC ＝
36°，现随机向该圆形内掷一枚小针，设针尖落在阴影区域内的
概率为 P1，针尖落在该圆形的其余区域内的概率为 P2，求 的
值.（提示： S扇形＝ π R2， n °为圆心角度数， R 为半径）
解：∵ AC 与 BD 是☉ O 的两条直径，
∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD .
∵ OA ＝ OB ，
∴∠ OAB ＝∠ OBA .
∵ OA ＝ OD ，∴∠ OAD ＝∠ ODA .
∴∠ OAB ＋∠ OAD ＝ ＝90°，
即∠ DAB ＝90°.
同理，得∠ ADC ＝∠ DCB ＝∠ CBA ＝90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∵点 O 是 BD 的中点，
∴ S△ COD ＝ S△ BOC ， S△ AOD ＝ S△ AOB .
∵∠ BAC ＝36°＝∠ OBA ，
∴∠ BOC ＝∠ DOA ＝72°.
∴ S阴影＝ S扇形 BOC ＋ S扇形 AOD ＝π× × ＋π× ×
＝π×52×2× ＝10π.
∵ S☉ O ＝π× ＝52π＝25π，
∴ P1＝ ＝ .
∴ P2＝1－ P1＝1－ ＝ .
∴ ＝ ＝ .
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第四章 图形的相似
专题7 相似三角形中常作的辅助线
1. 如图， AD 是△ ABC 的中线，点 E 是 AD 上的一点，且 AE ＝
AD ， CE 的延长线交 AB 于点 F . 若 AF ＝1 cm，则 AB ＝（ C ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
（第1题图）
C
2. 如图，在△ ABC 中，已知 BD ⊥ AB 交 AC 于点 D ， AD ＝
AC ， AB ＝2，∠ ABC ＝150°，则△ DBC 的面积是（ A ）
A. B. C. D.
（第2题图）
A
3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为 D ，
AF 平分∠ CAB 交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F . 若 AC ＝3， AB ＝
5，则 CE 的长为（ A ）
A. B. C. D.
（第3题图）
A
4. 如图，在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝60°，∠ ABC ＝90°，直线
l1∥ l2∥ l3， l1与 l2之间的距离是1， l2与 l3之间的距离是2，且 l1，
l2， l3分别经过点 A ， B ， C ，则边 AC 的长为 .
（第4题图）
5. 如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动
点，以 AB 为边作Rt△ ABC ，使∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝30°.设
点 B 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 y ，则 y 与 x 之间的函数关系
式为 .
（第5题图）
y ＝ x ＋1（ x ＞0）
6. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝10，边 AC 的垂直平
分线交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E . 若△ ABD 的周长为26，则 DE
的长为 .
（第6题图）
【解析】如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F . ∵ DE 是 AC 的垂直平
分线，∴ AD ＝ CD ，∠ DEC ＝90°， AE ＝ EC ＝5.∵△ ABD 的
周长为26，∴ AB ＋ BD ＋ AD ＝26.∴ AB ＋ BD ＋ DC ＝ AB ＋ BC
＝26.∵ AB ＝10，∴ BC ＝16.∵ AB ＝ AC ＝10，∴ CF ＝8.∴ AF
＝ ＝ ＝6.∵∠ DEC ＝∠ AFC ＝90°，∠ C
＝∠ C ，∴△ DEC ∽△ AFC . ∴ ＝ .∴ ＝ .解得 DE ＝ .
故答案为 .
7. 如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有
一点 E ，且 AD ＝ CE ， DE 交 AC 于点 F . 试证明： AB · DF ＝
BC · EF .
证明：如答图，作 DG ∥ BC ，交 AC 于点 G ，
则△ ADG ∽△ ABC ，△ DGF ∽△ ECF .
∴ ＝ ， ＝ .
又∵ AD ＝ CE ，
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ .
∴ AB · DF ＝ BC · EF .
答图
8. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 为 AB 的中点，点
M 为射线 AC 上一点，点 N 为射线 CB 上一点，且 DM ⊥ DN ，求
证： ＝ .
证明：如答图，分别过点 D 作 DP ⊥ BC 于点 P ， DQ ⊥ AC 于点
Q ，则∠ DQC ＝∠ DPC ＝90°.
∵∠ C ＝90°，∴四边形 DPCQ 是矩形.
∴∠ QDP ＝90°.
又∵ DM ⊥ DN ，
∴∠ MDQ ＋∠ QDN ＝∠ QDN ＋∠ NDP ＝90°.
∴∠ MDQ ＝∠ NDP .
又∵∠ DQM ＝∠ DPN ＝90°，
答图
∴△ DQM ∽△ DPN . ∴ ＝ .
∴ DQ ∥ BC ， DP ∥ AC .
又∵点 D 是 AB 的中点，
∴ DQ ＝ BC ， DP ＝ AC .
∴ ＝ .
答图
9. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在边 AD ， CD 上，
AF ， BE 相交于点 G . 若 AE ＝3 ED ， DF ＝ CF ，则 的值
是 .
（第9题图）
【解析】如图，作 FN ∥ AD 交 AB 于点 N ，交 BE 于点 M . ∵四边
形 ABCD 是正方形，∴ AB ∥ CD . ∵ FN ∥ AD ，∴四边形 ANFD
是平行四边形.又∵∠ D ＝90°，∴ ANFD 是矩形.由 AE ＝3
DE ，设 DE ＝ a ，则 AE ＝3 a ， AD ＝ AB ＝ CD ＝ FN ＝4 a ， AN
＝ DF ＝2 a .∵ AN ＝ BN ， MN ∥ AE ，∴ MN ＝ AE ＝ a .∴ FM
＝ a .∵ AE ∥ FM ，∴△ AGE ∽△ FGM . ∴ ＝ ＝ ＝ .故
答案为 .
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA ， OC 分
别在 x 轴和 y 轴上，且 OA ＝5， OC ＝3.若把矩形 OABC 绕着点 O
按逆时针方向旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 A1处，则点 C
的对应点 C1的坐标为 .
（第10题图）
【解析】如图，过点 C1作 C1 N ⊥ x 轴于点 N ，过点 A1作 A1 M ⊥ x
轴于点 M . ∵ OA ＝5， OC ＝3，∴ OA1＝5， A1 M ＝3，∴ OM ＝
4.由题意，可得∠ C1 NO ＝∠ A1 MO ＝90°，∠1＝∠2＝∠3，则
△ A1 OM ∽△ OC1 N . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .设 ON
＝3 x ，则 C1 N ＝4 x .又∵ OC1＝3，∴（3 x ）2＋（4 x ）2＝9.解
得 x ＝± （负数舍去）.∴ ON ＝ ， C1 N ＝ .故点 C1的坐标为
.故答案为 .
11. 如图，已知△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形，点 B ， C ， E
在同一直线上，连接 BD ，交 AC 于点 F ，连接 AD .
（1）若 AD2＝ FD · BD ，求证： AD ＝ BF .
（1）证明：∵ AD2＝ FD · BD ，∴ ＝ .
又∵∠ ADF ＝∠ BDA ，∴△ ADF ∽△ BDA .
∴∠ FAD ＝∠ ABD .
∵△ ABC 和△ CDE 均为等边三角形，
∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝∠ DCE ＝∠ ACB ＝60°.
∴∠ ACD ＝60°.∴∠ ACD ＝∠ BAF ＝60°.
在△ ACD 和△ BAF 中，
∴△ ACD ≌△ BAF （ASA）.∴ AD ＝ BF .
（2）若∠ BAD ＝90°， BE ＝6.
①求△ BDE 的面积；
②求 DF 的长.
（2）解：①∵∠ BAD ＝90°，∠ BAC ＝60°，
∴∠ CAD ＝30°.
∵∠ ACD ＝60°，∴∠ ADC ＝90°.
∴ DC ＝ AC . ∴ CE ＝ BC .
∵ BE ＝6，∴ CE ＝2， BC ＝4.
如图，过点 D 作 DG ⊥ BE 于点 G .
∵△ CDE 为等边三角形，
∴ CG ＝ EG ＝1.∴ BG ＝5.
在Rt△ CDG 中， DG ＝ CG ＝ .
∴ S△ BDE ＝ BE · DG ＝ ×6× ＝3 .
②在Rt△ BDG 中，根据勾股定理，得
BD ＝ ＝ ＝2 .
∵∠ ABC ＝∠ DCE ＝60°，∴ CD ∥ AB .
∴△ CDF ∽△ ABF . ∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .∴ DF ＝ .
12. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，已知点 E 为
AD 的中点.连接 BE ，将△ ABE 沿 BE 折叠得到△ FBE ， BF 交 AC
于点 G . 求 CG 的长.
解：如答图，延长 BF ，交 CD 于点 H ，连接 EH .
∵△ FBE 由△ ABE 沿 BE 折叠得到，
∴ EA ＝ EF ，∠ EFB ＝∠ EAB ＝90°.
∵点 E 为 AD 的中点，正方形 ABCD 的边长为1，
∴ EA ＝ ED ＝ .∴ ED ＝ EF ＝ .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ D ＝∠ EFB ＝∠ EFH ＝90°.
答图
在Rt△ EDH 和Rt△ EFH 中，
∴Rt△ EDH ≌Rt△ EFH （HL）.
∴∠ DEH ＝∠ FEH .
又∵∠ AEB ＝∠ FEB ，
∴∠ DEH ＋∠ AEB ＝90°.
又∵∠ ABE ＋∠ AEB ＝90°，∴∠ ABE ＝∠ DEH .
∴△ DHE ∽△ AEB .
答图
∴ ＝ ＝ .∴ DH ＝ .
∴ CH ＝ CD － DH ＝1－ ＝ .
∵ CH ∥ AB ，∴△ CHG ∽△ ABG .
∴ ＝ ＝ .
∴ CG ＝ AG ＝ （ AC － CG ）.
∵ AB ＝1， CB ＝1，∠ CBA ＝90°，
答图
∴ AC ＝ .∴ CG ＝ － CG ）.
∴ CG ＝ .
答图
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第二章 一元二次方程
专题4 一元二次方程根的判别式、
根与系数的关系的综合应用问题
1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ A ）
A. x2＋9＝6 x B. x2－1＝0
C. x2－4 x ＝4 D. x2－2 x ＝0
2. 已知α，β是一元二次方程 x2＋ x －2＝0的两个实数根，则α＋β
－αβ的值是（ B ）
A. 3 B. 1 C. －1 D. －3
A
B
3. 已知关于 x 的方程 kx2－6 x ＋9＝0有实数根，则 k 的取值范围
是（ D ）
A. k ＜1且 k ≠0 B. k ＜1
C. k ≤1且 k ≠0 D. k ≤1
D
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－10 x ＋ m ＝0有实数根，则 m 的取
值范围是 .
5. 对于任意实数 k ，关于 x 的方程 x2－（ k ＋4） x ＋8 k ＝0的根
的情况为 .
6. 设 x1， x2是方程 x2－4 x ＋2＝0的两根，则：
（1） ＋ ＝ ；
（2）｜ x1－ x2｜＝ ；
（3）（ x1＋1）（ x2＋1）＝ .
m ≤25
有两个不相等的实数根
2
2
7
7. （2023·岳阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m
＋2＝0有两个不相等的实数根，且 x1＋ x2＋ x1 x2＝2，求实数 m
的值.
解：∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有两个不
相等的实数根，
∴Δ＝ －4 ＝4 m －8＞0.
解得 m ＞2.
由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝ m2－ m ＋2.
∵ x1＋ x2＋ x1 x2＝2，∴－2 m ＋ m2－ m ＋2＝2.
解得 m1＝3， m2＝0（不合题意，舍去）.∴ m ＝3.
8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数根.
（1）求 m 的取值范围；
解：（1）由题可知， m ≥0.
又∵关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（ ）2－4×1×（－2）＝ m ＋8≥0.
解得 m ≥－8.
∴ m ≥0.
解：（2）∵关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数
根 x1， x2，
∴ x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝－2.
∴（ x1－ x2）2－17＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2－17＝0，
即 m ＋8－17＝0.
解得 m ＝9＞0，符合题意.
故 m ＝9.
（2）设方程的两根为 x1， x2，且满足（ x1－ x2）2－17＝0，求
m 的值.
9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－ x ＋1＝0有两个实数
根，则 m 的取值范围是 .
【解析】由题意，可得 m －1≠0，Δ＝（－1）2－4
×1≥0.解得 m ≠4， m ≤5.故答案为 m ≤5且 m ≠4.
m ≤5且 m ≠4
10. 已知关于 x 的一元二次方程（ m －1）2 x2＋3 mx ＋3＝0有一
个实数根为－1，则该方程的另一个实数根为 .
【解析】将 x ＝－1代入原方程，得（ m －1）2－3 m ＋3＝0.化
简，得 m2－5 m ＋4＝0.解得 m1＝1， m2＝4.又∵原方程是一元二
次方程，∴（ m －1）2≠0，即 m ≠1.∴ m ＝4.将 m ＝4代入原方
程并化简，得3 x2＋4 x ＋1＝0.由根与系数的关系，得 x1 x2＝ .
∵ x1＝－1，∴ x2＝－ .故答案为－ .
－
11. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋1＝0.
（1）当 b ＝ a ＋2时，利用根的判别式判断该方程根的情况；
解：（1）由题意，得 a ≠0，Δ＝ b2－4 ac ＝（ a ＋2）2－4 a ＝
a2＋4 a ＋4－4 a ＝ a2＋4.
∵ a2＞0，∴Δ＞0.
∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）若该方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ，
b 的值，并求出此时方程的根.
解：（2）∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝ b2－4 a ＝0.
若 b ＝2， a ＝1，则原方程变形为 x2＋2 x ＋1＝0.
解得 x1＝ x2＝－1.（答案不唯一）
12. 已知关于 x 的一元二次方程（ x －1）（ x －4）＝ p2，其中 p
为实数.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（1）证明：原方程可化为 x2－5 x ＋4－ p2＝0.
∵Δ＝（－5）2－4×（4－ p2）＝4 p2＋9＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）若 p 为整数，则 p 为何值时，方程有整数解？（直接写出
三个）
（2）解： p 为0，2，－2.
【解析】原方程可化为 x2－5 x ＋4－ p2＝0.∵方程有整数解，
∴ 为整数.∴当 p 取0，2，－2时，方程有整数解.
13. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ m －2＝0有两个实数根
x1， x2.
（1）求 m 的取值范围；
解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ m －2＝0有两个实
数根，
∴Δ≥0，即9－4（ m －2）≥0.解得 m ≤ .
∴ m 的取值范围是 m ≤ .
（2）若 x1， x2满足2 x1＝｜ x2｜＋1，求 m 的值.
解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝ m －2.
∵ x1， x2满足2 x1＝｜ x2｜＋1，
∴有以下两种情况：
①当 x2≥0时，2 x1＝ x2＋1.
把 x2＝3－ x1代入，得2 x1＝3－ x1＋1.
解得 x1＝ .∴ x2＝ .
∴ m －2＝ x1 x2＝ .∴ m ＝ .
②当 x2＜0时，2 x1＝－ x2＋1.
把 x2＝3－ x1代入，得2 x1＝－3＋ x1＋1.
解得 x1＝－2.∴ x2＝5.
这与 x2＜0矛盾，故舍去.
综上所述， m 的值为 .
14. （选做）已知 ABCD 的两边 AB ， AD 的长是关于 x 的方程
x2－ mx ＋ － ＝0的两个实数根.
（1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？并求出这时菱形的
边长.
解：（1）要使 ABCD 是菱形，必有 AB ＝ AD .
又∵ AB ， AD 的长是关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实
数根，
∴Δ＝（－ m ）2－4× ＝（ m －1）2＝0.
解得 m ＝1.
∴当 m ＝1时，四边形 ABCD 是菱形.
当 m ＝1时，原方程为 x2－ x ＋ ＝0，
即 ＝0，
解得 x1＝ x2＝ .
∴菱形 ABCD 的边长是 .
（2）若 AB 的长为2，则 ABCD 的周长是多少？
解：（2）把 x ＝2代入原方程，得4－2 m ＋ － ＝0.
解得 m ＝ .
将 m ＝ 代入原方程，得 x2－ x ＋1＝0.
由根与系数的关系知， AB · AD ＝1.
∴方程的另一根 AD ＝ ＝ .
∴ ABCD 的周长是2× ＝5.
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