福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（含答案）

2024年福州一中高三模拟考试
数学试题
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，则
A． B． C． D．
2．已知，向量，，若，则实数
A． B． C． D．2
3．等比数列的前项和为，若，，，，则
A．30 B．31 C．62 D．63
4．将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为
A．54 B．45 C．36 D．27
5．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为
A． B． C． D．
6．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为
A． B． C． D．
7．当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少.现同时给两位患者分别注射药品和药品，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A． B． C． D．
8．在中，角，，所对应的边分别为，，，点为边的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的命题是
A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，，则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
10．已知，为椭圆的左、右焦点，为平面上一点，若，则
A．当为上一点时，的面积为1
B．当为上一点时，的值可以为1
C．当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于
D．当点在的外部时，在上必存在点，使得
11．在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则
A．存在点，使平面
B．存在点，点到直线的距离等于
C．过，，，四点的球的体积为
D．过，，三点的平面截正方体所得截面为六边形
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数满足（是虚数单位），则 .
13．能说明“若对任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是 .
14．设集合为含有个元素的有限集.若集合的个子集满足以下3个条件：①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③.则称为集合的一个阶分拆.
若，，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知数列中，，.
（1）证明：数列为常数列；
（2）求数列的前2024项和.
16．（15分）
如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，,，，，，分别为，的中点.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖，两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
用频率估计概率，回答以下问题.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域的概率为0.6，选择区域的概率为0.4，
（ⅰ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ⅱ）若新入职的甲，乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.
18．（17分）
已知双曲线的上、下顶点分别为，.
（1）若直线与交于，两点，记直线与的斜率分别为，，求的值；
（2）过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，，证明：直线与圆相切.
19．（17分）
已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）证明：时，；
（2）求函数在内的零点个数；
（3）若，求的取值范围.
【参考答案】
2024年福州一中高三模拟考试
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BC 10．ACD 11．AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．
13．，等
14．0； 1012
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） 解：证明：
，
又，所以，
所以数列为常数列.
（2） 由（1）知，数列，，设，则当时，，，，，，，
所以，
又，所以
.
16．（1） 解：取的中点，连，；
为等腰直角三角形，
，；
又梯形中，，，，
四边形为矩形且，；
又，，即；
，，两两垂直；
以为原点，，，所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，如图；
，，，，；
16．（1） 证明：当、为，中点时，，，
，，，
设，则；
，；
；
四点共面.
（2） ，，，
设面的一个法向量；
则；
令，则，，，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．（1） （ⅰ） 解：设“随机抽取一名骑手是区域骑手”为事件，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件，则，，
结合频率分布直方图知，，，
所以，
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26.
（ⅱ） 设为选择区域的骑手人数，则，
.
（2） 设为区域骑手日工资，则随机变量分布列为
100 150 200 250 350 400
0.05 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1
.
设为区域骑手日工资，则随机变量分布列为
150 190 270 400 480
0.25 0.25 0.3 0.15 0.05
.
因为，所以新聘骑手应选择区域.
18．（1） 解：由已知，，，设，，
联立得，所以，得，
又因为，，
所以.
（2） 法一：设切点，，设直线方程为，
联立得，所以，
对抛物线求导得，
所以抛物线在点处切线的斜率为
所以切线的方程为
又因为
所以切线的方程为
同理，切线的方程为
联立得
所以，
又因为在双曲线上，
所以，所以①，所以圆的圆心到直线的距离
所以直线与圆相切.
法二：设切点，，
对抛物线求导得，
所以抛物线在点处切线的斜率为
所以切线的方程为
又因为
所以切线的方程为
同理，切线的方程为
联立得
又因为在双曲线上，
所以，所以①，
由已知，直线斜率存在，，
所以直线方程为，即，
又因为，
所以直线方程为，
所以圆的圆心到直线的距离②，①代入②得，
所以直线与圆相切.
19．（1） 解：证明：令，则，
所以在单调递增，所以，所以时，；
再令，则，
所以在单调递增，所以，所以时，.
综上所述，时，.
（2） ，，
①时，由（1）知，
在没有零点；
②时，，所以是函数的零点；
③当时，，，
，
则函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递减，则；在没有零点；
④当，，没有零点；
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
（3） 由（2）知，当时，，
令，
则，，故单调递增，（ⅰ）当时，
，，
使得，
当时，，单调递减，不符合题意；
（ⅱ）当时，，
若时，总有（不恒为零），则在上为增函数，
但，故当时，，不合题意.
故在上，有解，故，使得，
又在时单调递增，所以当，，单调递增，
故当时，，不符合题意，故不符合题意；
（ⅲ）当时，，
由于单调递增，，故时，，单调递减；
时，，单调递增，此时；
当时，，
综上可得，.