2023-2024学年沪科版数学九年级上册 第23章 解直角三角形 单元模拟测试卷 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年沪科版数学九年级上册 第23章 解直角三角形 单元模拟测试卷 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-30 15:19:49 | ||
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文档简介
第23章 解直角三角形
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
分数
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2023·山东烟台期中)把△ABC三边的长度都扩大到原来的3倍,则锐角A的正弦值 ( )
A. 不变 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的3倍 D. 不能确定
2.(2022·天津红桥区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,下列结论正确的是( )
A. sin A= B. cos A= C. tan C= D. cos C=
(第2题) (第3题) (第4题)
3.在如图所示的山坡上沿水平方向每前进100 m,高度就升高60 m,那么山坡的坡度i为( )
A. 3∶5 B. 3∶4 C. 4∶3 D. 5∶3
4.(2023·山东济南期末改编)按如图所示的运算程序,能使输出y值为的是( )
A. α=60°,β=45° B. α=30°,β=45°
C. α=45°,β=30° D. α=30°,β=30°
5.[课标理念|跨语文学科]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象.小明周末制作了一只风筝在公园里放飞,如图所示,风筝拉线长100米,且拉线与地面夹角为65°,假设拉线是直的,小明身高忽略不计,则风筝离地面的高度可以表示为( )
A. 100sin 65° 米 B. 100cos 65° 米
C. 100tan 65° 米 D. 米
(第5题) (第6题)
6.(2023·河北滦州期中)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则图中∠ABC的正切值是( )
A. 2 B. C. D.
7.(2022·山西运城盐湖区实验中学月考)如图是一张简易活动餐桌的侧面示意图,测得OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm.现要求桌面离地面的高度为40 cm,那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为( )
A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
(第7题) (第8题) (第9题)
8.(2023·山东烟台芝罘区期中)已知直线l1∥l2∥l3,且相邻的两条平行线间的距离相等,将一个含45°角的直角三角板按图示放置,使其三个顶点分别在三条平行线上,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
9.如图,CD是一观光塔,为测量该观光塔的高度,小明同学先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C,仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D,俯角是30°.已知楼房AB高45 m,小明的身高忽略不计,则观光塔CD的高度是( )
A. 150 m B. 135 m C. 130 m D. 120 m
10.[课标理念|结合真实情境]某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据:sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)( )
图(1) 图(2) 图(3)
A B C D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(2022·江苏无锡惠山区期中)若α为锐角,tan α-=0,则α= .
12.(2022·山东泰安期中)等腰三角形的底边长为10,周长为36,则底角的正弦值为 .
13.(2023·湖南株洲天元区模拟)把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,则tan∠ADC= .
14.[课标理念|跨物理学科](2023·吉林白城期末)小明利用折射定律n1·sin α=n2·sin β(n1,n2为折射率,∠α为入射角,∠β为折射角)制作了一个测算液体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使光线折射后恰好落到点C. 已知sin∠1=,空气折射率n1为1,正方形ABCD的边长为36 cm.
图(1) 图(2)
(1)如图(1),装入某款家用食用油时,恰好CF=15 cm,该食用油的折射率为 ;
(2)如图(2),装入纯净水时,水的折射率为,通过度量得到CF=20 cm(存在误差),问此次度量的误差为 cm.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:
(1)6tan 30°-sin 45°+4cos260°;
(2)+sin 60°sin 30°.
16.(2023·陕西西安碑林区期中)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,BD=AC=10,tan B=,求AD的长和cos C的值.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的大正方形.已知小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,求tan α的值.
18.[中考创新题型|创新作图题]如图,射线OA放置在4×5的正方形网格中,请你在图中找出格点B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且
(1)使tan∠AOB的值为1;
(2)使tan∠AOB的值为.
图(1) 图(2)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(2023·山东威海期中)一次数学活动课上,老师带领学生去测一条东西流向的河宽,如图所示,小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上,沿河岸向西前行20 m到达B处,又测得C在B的南偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助小明计算出这条河的宽度(结果保留根号).
20.[中考创新题型|开放性试题](2022·江苏泰州海陵区二模)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A＞90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan B=;④tan C=.
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC边的长的解答过程.
六、(本题满分12分)
21.[课标理念|跨物理学科]中国古代人在公元前2世纪就制出了世界上最早的潜望镜,《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣.”图(1)的工作原理主要利用光的反射,其示意图如图(2)所示,A,B,C三点共线,OB⊥AC,入射角∠COD=30°,∠OAE=15°(反射角等于入射角),AC=12米,求OB的长(参考数据:≈1.7).
图(1) 图(2)
七、(本题满分12分)
22.(2023·河北邢台襄都区期中)许多露营爱好者利用周末去郊区露营,为遮阳和防雨他们会搭建一种“天幕”.如图,“天幕”的截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD;
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减小到45°,求点E下降的高度.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41)
八、(本题满分14分)
23.[中考创新题型|探究性试题](2022·山东济宁中考)知识再现
如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,
∴c=,c=,
∴=.
拓展探究
如图(2),在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图(3),为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.
图(1) 图(2) 图(3)
参考答案
1.A
2.C 在Rt△ABC中,∠B=90°,则sin A=,cos A=,tan C=,cos C=.故选C.
3.A 由题意得,坡度i==.
4.D 逐项分析如下.
选项 分析 正误
A α>β,y=sin α=sin 60°= ×
B α<β,y=cos β=cos 45°= ×
C α>β,y=sin α=sin 45°= ×
D α=β,y=sin α=sin 30°= √
5.A 如图,过点A作AC⊥BC于点C,在Rt△ABC中,sin B=,即AC=AB·sin B=100sin 65°(米).
(第5题) (第8题)
6.A 由题图可得,BC==,AC==2,AB==5,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形∠ACB=90°,∴tan∠ABC===2.
7.B 连接CD,由题意可知,AB∥CD.过点B作BE⊥CD于点E.在Rt△BCE中,sin∠BCE===,∴∠BCE=30°.∵OC=OD,∴∠ODC=
∠BCE=30°,∴∠COD=120°.
8.A 如图,过点A作AD⊥l3于点D,过点B作BE⊥l3于点E,设l1,l2,l3间的距离为1,∵AD⊥l3,BE⊥l3,∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠CAD+
∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠BCE.在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,在△ACD和△CBE中,∴△ACD≌
△CBE(AAS),∴CE=AD=2.在Rt△BCE中,BC===,∴sin α===.
9.B 由题意可知,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=45 m,∠ADB=30°,∴tan∠ADB==,∴AD=45 m.在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
∴tan∠CAD==,∴CD=AD=×45=135(m).故选B.
10.A 如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72 (m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故选A.
11.60° ∵tan α-=0,∴tan α=.∵α为锐角,∴α=60°.
12. 如图,过点A作AD⊥BC于点D,则BD=5,由题意知该等腰三角形的腰长为(36-10)÷2=13.由勾股定理易得AD=12,所以sin B==.
13. 如图,过点A作AH⊥BC于点H.∵△ABC是等腰直角三角形,∴H是BC的中点,∴AH=BC.∵△ADE≌△BCA,∴AD=BC,∴AH=AD,
∴∠ADC=30°,∴tan∠ADC=.
14.(1)1.7 (2) ∵∠1=∠EAP,sin∠1=,∴sin∠EAP==.设EP=4x cm,则AP=5x cm,AE=3x cm,∴PF=(36-4x)cm,CF=(36-3x)cm.(1)在题图(1)中,CF=15 cm,∴36-3x=15,解得x=7,∴PF=36-4x=8(cm),∴CP=17 cm,∴sin∠2=sin∠PCF==.∵n1·sin∠1=n2·sin∠2,∴×1=n2,
∴n2=1.7.(2)在题图(2)中,∵水的折射率为,即n2=,∴×1=·sin∠3,∴sin∠PCF=sin∠3==,∴=,∴=,解得 x=,∴CF=36-3x=,∴误差为-20=(cm).
15.【参考答案】(1)原式=6×-×+4×()2(2分)
=2-1+1
=2. (4分)
(2)原式=+× (2分)
=-+
=-. (4分)
16.【参考答案】∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴tan B==.
∵BD=AC=10,
∴AD=8. (4分)
∵∠ADC=90°,AC=10,AD=8,
∴CD===6,
∴cos C===. (8分)
17.【参考答案】∵大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,
∴大正方形的边长为5,小正方形的边长为1. (2分)
设直角三角形较短的直角边为x,则较长的直角边为x+1. (4分)
根据题意,得x2+(x+1)2=52,
解得x1=3,x2=-4(不合题意,舍去), (6分)
∴tan α ==. (8分)
18.【参考答案】(1)如图(1)所示. (4分)
图(1) 图(2)
(2)如图(2)所示. (8分)
19.【参考答案】如图,过点C作CD⊥AB于D.
设CD=x m,
在Rt△BCD中,
∵∠CBD=45°,
∴BD=CD=x m.
在Rt△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,
AD=AB+BD=(20+x)m,CD=x m,
∴CD=AD·tan 30°, (6分)
∴x=(20+x),
解得x=10(+1),
∴CD=10(+1)m.
答:这条河的宽度为10(+1)m. (10分)
20.【参考答案】(1)3 (2分)
(2)①②④ (4分)
解答过程如下.
如图,过点A作AD⊥BC于点D,
设AD=x,
∵tan C=,
∴CD=2x.
∵AC=6,
∴在Rt△ACD中,根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6)2,
解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),
∴AD=6,CD=2x=12.
∵AB=10,
∴在Rt△ABD中,根据勾股定理,得BD==8,
∴BC=CD+BD=12+8=20. (10分)
或①②④ (4分)
解答过程如下.
如图,过点B作BE⊥CA,交CA的延长线于点E.
在Rt△BCE中,tan C==,
∴设BE=x,则CE=2x,
∴AE=2x-6.
在Rt△BAE中,由勾股定理得AE2+BE2=AB2,
即(2x-6)2+x2=102,
解得x=4或x=(不合题意,舍去),
∴BE=4,CE=8,
∴在Rt△BCE中,BC===20.(10分)
(也可选择①②③,解法略)
21.【参考答案】解法一 ∵∠COD=30°,
∴∠AOD=30°,
∴∠AOC=60°.
∵AE⊥AB,OB⊥AB,
∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°.
∵∠OAE=15°,
∴∠AOB=∠OAE=15°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°,
∴∠C=∠BOC=45°,
∴OB=BC. (5分)
如图,过点A作AF⊥OC于点F.
∵AC=12,∠C=45°,
∴AF=6.
在Rt△AFO中,∠AFO=90°,
∠AOF=60°,
∴OF===2,
AO===4. (8分)
设BC=x,则AB=12-x,OB=x.
∵∠OBA=90°,
∴AB2+OB2=OA2,
∴(12-x)2+x2=(4)2,
解得x1=6+2,x2=6-2.
∵OB>AB,
∴x2=6-2不合题意,舍去,
∴OB=6+2≈6+2×1.7=9.4(米),
即OB的长约是9.4米. (12分)
解法二 ∵∠COD=30°,
∴∠AOD=30°,
∴∠AOC=60°.
∵AE⊥AB,OB⊥AB,
∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°.
∵∠OAE=15°,
∴∠AOB=∠OAE=15°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°,
∴∠C=∠BOC=45°,
∴OB=BC. (5分)
如图,过点A作AF⊥OC于点F.
∵AC=12,∠C=45°,
∴AF=6.
在Rt△AFO中,∠AFO=90°,
∠AOF=60°,
∴OF===2,
AO===4. (8分)
设OB=x,∵∠C=45°,OF+CF=OC,
∴OC=OB,CF=AF,
即2+6=x,
解得x=6+2.
∴OB=6+2≈9.4(米).
即OB的长约是9.4米. (12分)
22.【参考答案】(1)由对称知,CD=2OD,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠α=65°,sin α=, (3分)
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.91=1.82(m),
∴CD=2OD≈3.6 m.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m. (6分)
(2)如图,过点E作EH⊥AB于点H,
∴∠BHE=90°.
∵AB⊥BF,EF⊥BF,
∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3 m. (9分)
在Rt△AHE中,tan α=,
∴AH=.
当∠α=65°时,AH=≈=1.40(m),
当∠α=45°时,AH==3(m),
∴当∠α从65°减小到45°时,点E下降的高度约为3-1.40=1.6(m). (12分)
(第22题) (第23题)
23.【参考答案】拓展探究
如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,
在Rt△ABE中,sin B==,
在Rt△BCD中,sin B==,
在Rt△ACD中,sin∠BAC==,
sin∠BCA==,
∴AE=csin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B,CD=bsin∠BAC,
∴csin B=bsin∠BCA,asin B=bsin∠BAC,
∴=,=,
∴==. (7分)
解决问题
在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=45°.
由拓展探究中的结论,得=,即=,
∴AB===30(m).
答:点A到点B的距离为30 m. (14分)
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
分数
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2023·山东烟台期中)把△ABC三边的长度都扩大到原来的3倍,则锐角A的正弦值 ( )
A. 不变 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的3倍 D. 不能确定
2.(2022·天津红桥区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,下列结论正确的是( )
A. sin A= B. cos A= C. tan C= D. cos C=
(第2题) (第3题) (第4题)
3.在如图所示的山坡上沿水平方向每前进100 m,高度就升高60 m,那么山坡的坡度i为( )
A. 3∶5 B. 3∶4 C. 4∶3 D. 5∶3
4.(2023·山东济南期末改编)按如图所示的运算程序,能使输出y值为的是( )
A. α=60°,β=45° B. α=30°,β=45°
C. α=45°,β=30° D. α=30°,β=30°
5.[课标理念|跨语文学科]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象.小明周末制作了一只风筝在公园里放飞,如图所示,风筝拉线长100米,且拉线与地面夹角为65°,假设拉线是直的,小明身高忽略不计,则风筝离地面的高度可以表示为( )
A. 100sin 65° 米 B. 100cos 65° 米
C. 100tan 65° 米 D. 米
(第5题) (第6题)
6.(2023·河北滦州期中)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则图中∠ABC的正切值是( )
A. 2 B. C. D.
7.(2022·山西运城盐湖区实验中学月考)如图是一张简易活动餐桌的侧面示意图,测得OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm.现要求桌面离地面的高度为40 cm,那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为( )
A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
(第7题) (第8题) (第9题)
8.(2023·山东烟台芝罘区期中)已知直线l1∥l2∥l3,且相邻的两条平行线间的距离相等,将一个含45°角的直角三角板按图示放置,使其三个顶点分别在三条平行线上,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
9.如图,CD是一观光塔,为测量该观光塔的高度,小明同学先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C,仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D,俯角是30°.已知楼房AB高45 m,小明的身高忽略不计,则观光塔CD的高度是( )
A. 150 m B. 135 m C. 130 m D. 120 m
10.[课标理念|结合真实情境]某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据:sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)( )
图(1) 图(2) 图(3)
A B C D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(2022·江苏无锡惠山区期中)若α为锐角,tan α-=0,则α= .
12.(2022·山东泰安期中)等腰三角形的底边长为10,周长为36,则底角的正弦值为 .
13.(2023·湖南株洲天元区模拟)把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,则tan∠ADC= .
14.[课标理念|跨物理学科](2023·吉林白城期末)小明利用折射定律n1·sin α=n2·sin β(n1,n2为折射率,∠α为入射角,∠β为折射角)制作了一个测算液体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使光线折射后恰好落到点C. 已知sin∠1=,空气折射率n1为1,正方形ABCD的边长为36 cm.
图(1) 图(2)
(1)如图(1),装入某款家用食用油时,恰好CF=15 cm,该食用油的折射率为 ;
(2)如图(2),装入纯净水时,水的折射率为,通过度量得到CF=20 cm(存在误差),问此次度量的误差为 cm.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:
(1)6tan 30°-sin 45°+4cos260°;
(2)+sin 60°sin 30°.
16.(2023·陕西西安碑林区期中)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,BD=AC=10,tan B=,求AD的长和cos C的值.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的大正方形.已知小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,求tan α的值.
18.[中考创新题型|创新作图题]如图,射线OA放置在4×5的正方形网格中,请你在图中找出格点B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且
(1)使tan∠AOB的值为1;
(2)使tan∠AOB的值为.
图(1) 图(2)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(2023·山东威海期中)一次数学活动课上,老师带领学生去测一条东西流向的河宽,如图所示,小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上,沿河岸向西前行20 m到达B处,又测得C在B的南偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助小明计算出这条河的宽度(结果保留根号).
20.[中考创新题型|开放性试题](2022·江苏泰州海陵区二模)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A＞90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan B=;④tan C=.
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC边的长的解答过程.
六、(本题满分12分)
21.[课标理念|跨物理学科]中国古代人在公元前2世纪就制出了世界上最早的潜望镜,《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣.”图(1)的工作原理主要利用光的反射,其示意图如图(2)所示,A,B,C三点共线,OB⊥AC,入射角∠COD=30°,∠OAE=15°(反射角等于入射角),AC=12米,求OB的长(参考数据:≈1.7).
图(1) 图(2)
七、(本题满分12分)
22.(2023·河北邢台襄都区期中)许多露营爱好者利用周末去郊区露营,为遮阳和防雨他们会搭建一种“天幕”.如图,“天幕”的截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD;
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减小到45°,求点E下降的高度.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41)
八、(本题满分14分)
23.[中考创新题型|探究性试题](2022·山东济宁中考)知识再现
如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,
∴c=,c=,
∴=.
拓展探究
如图(2),在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
如图(3),为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.
图(1) 图(2) 图(3)
参考答案
1.A
2.C 在Rt△ABC中,∠B=90°,则sin A=,cos A=,tan C=,cos C=.故选C.
3.A 由题意得,坡度i==.
4.D 逐项分析如下.
选项 分析 正误
A α>β,y=sin α=sin 60°= ×
B α<β,y=cos β=cos 45°= ×
C α>β,y=sin α=sin 45°= ×
D α=β,y=sin α=sin 30°= √
5.A 如图,过点A作AC⊥BC于点C,在Rt△ABC中,sin B=,即AC=AB·sin B=100sin 65°(米).
(第5题) (第8题)
6.A 由题图可得,BC==,AC==2,AB==5,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形∠ACB=90°,∴tan∠ABC===2.
7.B 连接CD,由题意可知,AB∥CD.过点B作BE⊥CD于点E.在Rt△BCE中,sin∠BCE===,∴∠BCE=30°.∵OC=OD,∴∠ODC=
∠BCE=30°,∴∠COD=120°.
8.A 如图,过点A作AD⊥l3于点D,过点B作BE⊥l3于点E,设l1,l2,l3间的距离为1,∵AD⊥l3,BE⊥l3,∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠CAD+
∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠BCE.在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,在△ACD和△CBE中,∴△ACD≌
△CBE(AAS),∴CE=AD=2.在Rt△BCE中,BC===,∴sin α===.
9.B 由题意可知,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=45 m,∠ADB=30°,∴tan∠ADB==,∴AD=45 m.在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
∴tan∠CAD==,∴CD=AD=×45=135(m).故选B.
10.A 如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72 (m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故选A.
11.60° ∵tan α-=0,∴tan α=.∵α为锐角,∴α=60°.
12. 如图,过点A作AD⊥BC于点D,则BD=5,由题意知该等腰三角形的腰长为(36-10)÷2=13.由勾股定理易得AD=12,所以sin B==.
13. 如图,过点A作AH⊥BC于点H.∵△ABC是等腰直角三角形,∴H是BC的中点,∴AH=BC.∵△ADE≌△BCA,∴AD=BC,∴AH=AD,
∴∠ADC=30°,∴tan∠ADC=.
14.(1)1.7 (2) ∵∠1=∠EAP,sin∠1=,∴sin∠EAP==.设EP=4x cm,则AP=5x cm,AE=3x cm,∴PF=(36-4x)cm,CF=(36-3x)cm.(1)在题图(1)中,CF=15 cm,∴36-3x=15,解得x=7,∴PF=36-4x=8(cm),∴CP=17 cm,∴sin∠2=sin∠PCF==.∵n1·sin∠1=n2·sin∠2,∴×1=n2,
∴n2=1.7.(2)在题图(2)中,∵水的折射率为,即n2=,∴×1=·sin∠3,∴sin∠PCF=sin∠3==,∴=,∴=,解得 x=,∴CF=36-3x=,∴误差为-20=(cm).
15.【参考答案】(1)原式=6×-×+4×()2(2分)
=2-1+1
=2. (4分)
(2)原式=+× (2分)
=-+
=-. (4分)
16.【参考答案】∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴tan B==.
∵BD=AC=10,
∴AD=8. (4分)
∵∠ADC=90°,AC=10,AD=8,
∴CD===6,
∴cos C===. (8分)
17.【参考答案】∵大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,
∴大正方形的边长为5,小正方形的边长为1. (2分)
设直角三角形较短的直角边为x,则较长的直角边为x+1. (4分)
根据题意,得x2+(x+1)2=52,
解得x1=3,x2=-4(不合题意,舍去), (6分)
∴tan α ==. (8分)
18.【参考答案】(1)如图(1)所示. (4分)
图(1) 图(2)
(2)如图(2)所示. (8分)
19.【参考答案】如图,过点C作CD⊥AB于D.
设CD=x m,
在Rt△BCD中,
∵∠CBD=45°,
∴BD=CD=x m.
在Rt△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,
AD=AB+BD=(20+x)m,CD=x m,
∴CD=AD·tan 30°, (6分)
∴x=(20+x),
解得x=10(+1),
∴CD=10(+1)m.
答:这条河的宽度为10(+1)m. (10分)
20.【参考答案】(1)3 (2分)
(2)①②④ (4分)
解答过程如下.
如图,过点A作AD⊥BC于点D,
设AD=x,
∵tan C=,
∴CD=2x.
∵AC=6,
∴在Rt△ACD中,根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6)2,
解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),
∴AD=6,CD=2x=12.
∵AB=10,
∴在Rt△ABD中,根据勾股定理,得BD==8,
∴BC=CD+BD=12+8=20. (10分)
或①②④ (4分)
解答过程如下.
如图,过点B作BE⊥CA,交CA的延长线于点E.
在Rt△BCE中,tan C==,
∴设BE=x,则CE=2x,
∴AE=2x-6.
在Rt△BAE中,由勾股定理得AE2+BE2=AB2,
即(2x-6)2+x2=102,
解得x=4或x=(不合题意,舍去),
∴BE=4,CE=8,
∴在Rt△BCE中,BC===20.(10分)
(也可选择①②③,解法略)
21.【参考答案】解法一 ∵∠COD=30°,
∴∠AOD=30°,
∴∠AOC=60°.
∵AE⊥AB,OB⊥AB,
∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°.
∵∠OAE=15°,
∴∠AOB=∠OAE=15°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°,
∴∠C=∠BOC=45°,
∴OB=BC. (5分)
如图,过点A作AF⊥OC于点F.
∵AC=12,∠C=45°,
∴AF=6.
在Rt△AFO中,∠AFO=90°,
∠AOF=60°,
∴OF===2,
AO===4. (8分)
设BC=x,则AB=12-x,OB=x.
∵∠OBA=90°,
∴AB2+OB2=OA2,
∴(12-x)2+x2=(4)2,
解得x1=6+2,x2=6-2.
∵OB>AB,
∴x2=6-2不合题意,舍去,
∴OB=6+2≈6+2×1.7=9.4(米),
即OB的长约是9.4米. (12分)
解法二 ∵∠COD=30°,
∴∠AOD=30°,
∴∠AOC=60°.
∵AE⊥AB,OB⊥AB,
∴AE∥BO,∠OBA=∠OBC=90°.
∵∠OAE=15°,
∴∠AOB=∠OAE=15°,
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°,
∴∠C=∠BOC=45°,
∴OB=BC. (5分)
如图,过点A作AF⊥OC于点F.
∵AC=12,∠C=45°,
∴AF=6.
在Rt△AFO中,∠AFO=90°,
∠AOF=60°,
∴OF===2,
AO===4. (8分)
设OB=x,∵∠C=45°,OF+CF=OC,
∴OC=OB,CF=AF,
即2+6=x,
解得x=6+2.
∴OB=6+2≈9.4(米).
即OB的长约是9.4米. (12分)
22.【参考答案】(1)由对称知,CD=2OD,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠α=65°,sin α=, (3分)
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.91=1.82(m),
∴CD=2OD≈3.6 m.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m. (6分)
(2)如图,过点E作EH⊥AB于点H,
∴∠BHE=90°.
∵AB⊥BF,EF⊥BF,
∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3 m. (9分)
在Rt△AHE中,tan α=,
∴AH=.
当∠α=65°时,AH=≈=1.40(m),
当∠α=45°时,AH==3(m),
∴当∠α从65°减小到45°时,点E下降的高度约为3-1.40=1.6(m). (12分)
(第22题) (第23题)
23.【参考答案】拓展探究
如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,
在Rt△ABE中,sin B==,
在Rt△BCD中,sin B==,
在Rt△ACD中,sin∠BAC==,
sin∠BCA==,
∴AE=csin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B,CD=bsin∠BAC,
∴csin B=bsin∠BCA,asin B=bsin∠BAC,
∴=,=,
∴==. (7分)
解决问题
在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=45°.
由拓展探究中的结论,得=,即=,
∴AB===30(m).
答:点A到点B的距离为30 m. (14分)