2023-2024学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题，每小题4分，共48分。
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AD＝BC时，它是菱形
B．当AC＝BD时，它是矩形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣1）2＝1
5．（4分）在下列方案中，能够得到OC是∠AOB的平分线的是（　　）
方案Ⅰ：作菱形AOBC，连接OC． 方案Ⅱ：取OA＝OB，以A，B为顶点作矩形ADBE，连接AB，DE交于点C，连接OC．
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行
B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行
6．（4分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0
7．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
9．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；
②AE⊥BF；
③AO＝OE；
④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别是BC、CD的中点，则△AEF 的周长是（　　）
A．12 B． C．6 D．
11．（4分）对于任意两个正数m、n，定义运算※为：m※n＝，计算（8※3）×（3※8）的结果为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．﹣3或5
12．（4分）ABCD是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕EF，展开后再沿BG折叠，使点A正好落在EF上．下列说法：①，②∠A'BC＝30°，③△A′GP是等边三角形，④，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题，每小题4分，共24分。
13．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
14．（4分）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝　 　．
15．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围　 　．
16．（4分）如图，在 ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于BF的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝8，AB＝6，则AE的长为 　 　．
17．（4分）如图，把一张大正方形按如图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 　 　．
18．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为 　 　．
三、解答题，78分。
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F，OF＝6．
（1）求证：四边形AOBE是矩形；
（2）求AD的长．
21．（10分）解方程：
（1）2x2﹣5x+3＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
22．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC＝8，EF＝6，求BF的长．
23．（12分）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）化简：＝　 　；＝　 　．
（2）在有关二次根式得计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中得二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们思考“如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化；
（3）计算：．
24．（13分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的边长为2，且边OA、OC分别在x轴和y轴上．
（1）直接写出B点坐标；
（2）正方形OABC绕点A顺时针旋转30°，求点B的对应点B'的坐标；
（3）正方形OABC绕点A顺时针旋转，当点C恰好落在AB延长线上时，直接写出点B的对应点B′的坐标．
25．（12分）阅读材料：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程x2+x＝0就是一个连根方程．
（1）问题解决：请你判断方程x2+7x+12＝0是否是连根方程；
（2）问题拓展：若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是连根方程，求m的值；
（3）方法总结：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．
2023-2024学年山东省泰安市岱岳区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题，每小题4分，共48分。
1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AD＝BC时，它是菱形
B．当AC＝BD时，它是矩形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
【分析】根据菱形和矩形的判定，依次判断，即可求解，
【解答】解：A、由ABCD是平行四边形可得AD＝BC，该选项错误，符合题意，
B、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意，
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意，
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了，矩形的判定，菱形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关判定定理．
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义即可求解．
【解答】解：A．，与不是同类二次根式，不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不符合题意；
C．，与是同类二次根式，符合题意；
D．，与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣1）2＝1
【分析】根据配方法计算即可．
【解答】解：x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5；
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步：，第二步：，第三步：，第四步：；”是解题的关键．
5．（4分）在下列方案中，能够得到OC是∠AOB的平分线的是（　　）
方案Ⅰ：作菱形AOBC，连接OC． 方案Ⅱ：取OA＝OB，以A，B为顶点作矩形ADBE，连接AB，DE交于点C，连接OC．
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行
B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】根据菱形的性质和矩形的性质证明即可．
【解答】解：方案Ⅰ，
证明：∵菱形AOBC，
∴∠AOC＝∠BOC（菱形的性质），
∴OC是∠AOB的平分线；
方案Ⅱ，
证明：∵矩形ADBE，
∴AC＝BC（矩形的性质），
∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是正确推理．
6．（4分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0
C．x2+x+3＝0 D．﹣x2﹣2x﹣1＝0
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等实数根，此选项错误，不合题意；
B．Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误，不合题意；
C．Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，方程没有实数根，此选项错误，符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝0，方程有两个相等的实数根，此选项错误，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
7．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝6，所以A选项的计算错误；
B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝8＝8，所以C选项的计算正确；
D、原式＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．（4分）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．
【解答】解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．
所以第一个正确．
故选：A．
【点评】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．
9．（4分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；
②AE⊥BF；
③AO＝OE；
④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF；可以证出∠ABO+∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO≠OE，根据勾股定理即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，
∵CE＝DF，
∴DE＝AF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）；
∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠AFB+∠EAF＝90°，
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF，
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
∵AE⊥BF，
在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，
在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，
∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，
∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，
∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，
∴2AO2＝2BO×FO，
∴AO2＝BO×FO，故④正确
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出△ADE≌△BAF是解题的关键．
10．（4分）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别是BC、CD的中点，则△AEF 的周长是（　　）
A．12 B． C．6 D．
【分析】连接AC，然后判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE，∠EAC＝30°，同理可得AF，∠CAF＝30°，然后判定△AEF是等边三角形，再根据等边三角形的周长求解即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝×4＝2，∠EAC＝30°，
同理可得：AF＝2，∠FAC＝30°，
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，
∴△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长＝3×2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点．
11．（4分）对于任意两个正数m、n，定义运算※为：m※n＝，计算（8※3）×（3※8）的结果为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．﹣3或5
【分析】直接利用运算规律，进而代入得出答案．
【解答】解：由题意可得：
（8※3）×（3※8）
＝（﹣）×（+）
＝8﹣3
＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确结合运算规律分析是解题关键．
12．（4分）ABCD是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕EF，展开后再沿BG折叠，使点A正好落在EF上．下列说法：①，②∠A'BC＝30°，③△A′GP是等边三角形，④，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由折叠可知AB＝BA，∠ABP＝∠ABP，在Rt△BEA中，∠BEA'＝90°，BA＝2BE，可得∠ABP＝30°，即②正确，可得到 ，故①不正确，可证明∠BGA＝∠BGA＝60°，故△AGP是等边 三角形，即③正确，由PA＝GA＝AG，可得到 故④正确．
【解答】解：∵对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴，∠AEF＝∠BEF＝90°，
∵沿BP折叠，使点A落在EF上的点A处，
∴AB＝BA，∠ABP＝∠ABP，
∴BA＝2BE，
在Rt△BEA中，∠BEA'＝90°，
∴∠EBA+∠EAB＝90°，∠EAB＝∠CBA，
∴∠ABP＝∠A'BP＝∠CBA'＝30°；
故②正确；
在Rt△ABG中，
∵∠ABG＝30°，，
∴，
故①不正确，
∵∠ABP＝30°，
∴∠BGA＝∠BGA＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△AGP是等边三角形，故③正确；
∴PA＝GA＝AG，
而 ，
故④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题，每小题4分，共24分。
13．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 　x≤　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，先列出不等式，求解即可．
【解答】解：3﹣2x≥0，
∴x≤．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
14．（4分）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝　5　．
【分析】根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵直角△ABC的斜边AC＝10，
∴斜边上的中线BD＝AC＝×10＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围　a＜4且a≠0　．
【分析】根据题意和一元二次方程根的判别式可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4a＞0，
解得a＜4，
∵a≠0，
∴a的取值范围是a＜4且a≠0，
故答案为a＜4且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，是基础题，难度不大．
16．（4分）如图，在 ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于BF的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝8，AB＝6，则AE的长为 　4　．
【分析】如图所示：连接EF，AE交于BF于点O，首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AE即可．
【解答】解：如图所示：连接EF，AE交于BF于点O，
由题中作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
..AF＝BE，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AO＝OE＝AE，BO＝OF＝BF＝4，
在Rt△AOB中，
∵AO2＝AB2﹣OB2，
∴AO＝＝＝2，
∴AE＝2OA＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．（4分）如图，把一张大正方形按如图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 　24　．
【分析】由面积分别为8和18的小正方形的边长分别为3，2，得大正方形边长为5，即可得阴影部分的面积＝（5）2﹣8﹣18＝24．
【解答】解：由面积分别为8和18的小正方形的边长分别为3，2，
得大正方形边长为5，
得阴影部分的面积＝（5）2﹣8﹣18＝24．
【点评】本题主要考查了正方形面积的计算，解题关键是求边长．
18．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为 　　．
【分析】当点P运动到点C处时，x＝4，即BC＝4，当点P运动到点D处时，x＝9，即BC+CD＝9，即CD＝5，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当点P运动到点C处时，x＝4，
∴BC＝4，
当点P运动到点D处时，x＝9，
∴BC+CD＝9，
∴CD＝5，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
三、解答题，78分。
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）利用完全平方公式以及平方差公式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+3×﹣3×2
＝3+﹣6
＝﹣2；
（2）原式＝1+12﹣4﹣（4﹣3）
＝1+12﹣4﹣1
＝12﹣4．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F，OF＝6．
（1）求证：四边形AOBE是矩形；
（2）求AD的长．
【分析】（1）先证明四边形AOBE为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得OE＝2OF＝2×6＝12，AB＝OE，则AB＝OE＝12，再由菱形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴平行四边形AOBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形AOBE是矩形，
∴OE＝2OF＝2×6＝12，AB＝OE，
∴AB＝OE＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝12，
即AD的长为12．
【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．（10分）解方程：
（1）2x2﹣5x+3＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
【分析】（1）将左边因式分解，把一元二次方程转化为一元一次方程即可求解；
（2）把等号右边化为0，再因式分解即可解得答案．
【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1；
（2）∵（x+4）2＝5（x+4），
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
22．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC＝8，EF＝6，求BF的长．
【分析】（1）由条件可先证四边形AFCE为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得AE＝CF＝5，设BF＝x，在Rt△ABF和Rt△ABC中，分别利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得BF的长．
【解答】（1）证明：
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAC＝∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形．
又∵EA＝EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形，AC＝8，EF＝6，
∴OE＝3，OA＝4，
∴AE＝CF＝5，
设BF＝x，
在Rt△ABF中，AB2＝AF2﹣BF2，在Rt△ABC中，AB2＝AC2﹣BC2．
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得，
∴．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解题的关键，在求BF的长时，注意方程思想的应用．
23．（12分）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）化简：＝　　；＝　　．
（2）在有关二次根式得计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中得二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们思考“如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化；
（3）计算：．
【分析】（1）根据最简二次根式化简即可；
（2）利用平方差公式，分子和分母同时乘（2+）化简即可；
（3）利用平方差公式进行分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1），，
故答案为：，；
（2）＝
＝
＝；
（3）
＝+
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分母有理化在二次根式加减运算中的应用，读懂阅读材料所展示的方法，是解题的关键．
24．（13分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的边长为2，且边OA、OC分别在x轴和y轴上．
（1）直接写出B点坐标；
（2）正方形OABC绕点A顺时针旋转30°，求点B的对应点B'的坐标；
（3）正方形OABC绕点A顺时针旋转，当点C恰好落在AB延长线上时，直接写出点B的对应点B′的坐标．
【分析】（1）由正方形的性质得出BC＝AB＝2，则可得出答案；
（2）过点B'作B′E⊥x轴于点E，如图，由旋转的性质得出AB'＝AB＝2，∠B'AB＝30°，由勾股定理可得出答案；
（3）过点B'作B′D⊥x轴于D，由正方形的性质及直角三角形的性质求出OD的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴BC＝AB＝2，
∵点B在第一象限内，
∴B（2，2）；
（2）过点B'作B′E⊥x轴于点E，如图，
∵正方形OABC绕点A顺时针旋转30°，
∴AB'＝AB＝2，∠B'AB＝30°，
∴∠EAB'＝60°，
∴∠AB'E＝30°，
在Rt△B'EA中，，
∴，OE＝OA+AE＝2+1＝3，
∴；
（3）当点C恰好落在AB延长线上时，如图，过点B'作B′D⊥x轴于D，
∵四边形O'AB'C'是正方形，
∴∠B'AC'＝45°，
∴∠B'AD＝45°，
∵B′D⊥x轴于D，
∴∠AB'D＝∠B'AD＝45°，
∴AD＝DB'，
∵AB'＝2 ，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
25．（12分）阅读材料：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程x2+x＝0就是一个连根方程．
（1）问题解决：请你判断方程x2+7x+12＝0是否是连根方程；
（2）问题拓展：若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是连根方程，求m的值；
（3）方法总结：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．
【分析】（1）求出x2+7x+12＝0的解x1＝﹣3，x2＝﹣4，即可得方程x2+7x+12＝0是连根方程；
（2）求出x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的解x1＝﹣m，x2＝2，可得﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1，故m的值为﹣3或﹣1；
（3）设一元二次方程x2+bx+c＝0较小的根为m，可得，消去m可得b2＝4c+1．
【解答】解：（1）∵x2+7x+12＝0，
∴（x+3）（x+4）＝0，
∴x+3＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣4，
∵（﹣3）﹣（﹣4）＝1，
∴方程x2+7x+12＝0是连根方程；
（2）∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，
∴（x+m）（x﹣2）＝0，
∴x+m＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣m，x2＝2，
∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是连根方程，
∴﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1，
∴m＝﹣3或m＝﹣1，
∴m的值为﹣3或﹣1；
（3）设一元二次方程x2+bx+c＝0较小的根为m，则另一个根为m+1，
∴，
②﹣①得：（m+1）2+b（m+1）+c﹣m2﹣bm﹣c＝0，
∴m＝﹣，
把m＝﹣代入①得：
（﹣）2+b （﹣）+c＝0，
∴b2＝4c+1．
【点评】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“连根方程”的概念．