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第五章 生活中的轴对称 单元测试
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形
C．圆 D．正六边形
3．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．106°
4．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形
D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
6．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
7．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
9．如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，使点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM，将∠AEF对折，使点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠BEM＝64°30'，则∠AEN的度数是（ ）
A．25°30' B．32°15' C．51° D．60°
10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：8 B．1：4 C．1：2 D．2：5
11．如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．如图，三角形纸片ABC，AB＝11cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 cm．
14．已知等腰三角形的两边长为a、b，且满足|a﹣3|+（b﹣6）2＝0，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝ °．
16．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF 若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接 根．
三、解答题：（共计98分）
17．（9分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y．
18．（10分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．求BC的长．
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE＝DF．
20．（10分）如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC．
21．（10分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
22．（10分）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同）
23．（12分）在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在如图中画由△ABC关于y轴对称的ΔA'B'C．
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′ ；ΔA'B'C的顶点关于x轴对称的点的坐标为B° ；
（3）求△ABC的面积．
24．（13分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD，AD垂直平分EF．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若△ABC的周长为18，△ABC的面积为24，BC＝6，求DE的长．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是 ；
（2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是16cm，求BC的长；
（4）点Q是BC边上的中点，连接AQ，与直线MN相交于点P，点P到△ABC三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 生活中的轴对称 单元测试
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形
C．圆 D．正六边形
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不一定是轴对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
3．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（ ）
A．32° B．58° C．74° D．106°
【解答】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
5．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形
D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
【解答】解：A、全等的三角形不一定对称，故错误；
B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误，
故选：B．
6．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
7．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∵AC＝4，
∴4×2+×AB×2＝9，
解得AB＝5．
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝10°，
故选：A．
9．如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，使点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM，将∠AEF对折，使点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠BEM＝64°30'，则∠AEN的度数是（ ）
A．25°30' B．32°15' C．51° D．60°
【解答】解：由折叠的性质可得，∠BEM＝∠B'EM，∠AEN＝∠A'EN，
∵∠BEM+∠B'EM+∠AEN+∠A'EN＝180°，
∴2（∠BEM+∠AEN）＝180°，
∴∠BEM+∠AEN＝90°，
∵∠BEM＝64°30'，
∴∠AEN＝90°﹣64°30'＝25°30'，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：8 B．1：4 C．1：2 D．2：5
【解答】解：连接AD，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
设等边三角形的边长为a，
则AB＝a，BD＝a，
根据勾股定理，得AD＝＝a，
∴△ABC的面积＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝×a＝a，
根据勾股定理，DE＝＝，
∴△BED的面积＝＝＝，
∴△BDE的面积与△ABC的面积之比为＝1：8，
故选：A．
11．如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【解答】解：如图所示：M、N、G是三角形的三个外角平分线的三个交点，H为内角平分线的交点，
符合条件的地点有4个，
故选：D．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：连接AD，AM，
∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝18，
解得AD＝6，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CM＝AM，
∴CM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，
∴CM+DM的最小值为6．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．如图，三角形纸片ABC，AB＝11cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 10 cm．
【解答】解：根据折叠可知：CD＝DE、BE＝BC，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝6cm，AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝4cm，
∴C△AED＝AD+DE+AE＝6+4＝10cm．
故答案为：10．
14．已知等腰三角形的两边长为a、b，且满足|a﹣3|+（b﹣6）2＝0，则这个等腰三角形的周长是 15 ．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，
∴a＝3，b＝6，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时，
∴这个等腰三角形的周长＝6+6+3＝15；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的周长是15，
故答案为：15．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝ 103 °．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由折叠可知，
∠ACD＝．
又∵∠A＝58°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝103°．
故答案为：103．
16．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF 若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接 17 根．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与CD相等，∠MAN＝5°，
∴∠DCE＝∠DEC＝10°，
…，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是5°，第二个是10°，第三个是15°，第四个是20°，第五个是25°，第六个是30°，第七个是35°，第八个是40°，…，第十八个是90°就不存在了．
所以一共有17个．
故答案为：17．
三、解答题：（共计98分）
17．如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y．
【解答】解：∵两个四边形关于某直线对称，
∴∠F＝∠B＝70°，EF＝BC＝4，
即x＝70°，y＝4．
18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．求BC的长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直分线，AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长＝BC+BE+EC
＝BC+AE+EC
＝BC+AC
＝24，
∴BC+AC＝24（cm），
∴BC＝24﹣AC＝24﹣15＝9（cm）．
答：BC的长为9cm．
19．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE＝DF．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是高，
∴∠BAD＝∠CAD，又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
20．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC．
【解答】证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝EB，AC＝BC，
∴∠EAC＝∠B．
∵三角形ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，
∴BC＝CD，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠EAC＝∠EDC．
21．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，AD⊥BC，
∴∠EAD＝∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAD+∠CAD＝75°．
22．如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同）
【解答】解：图形如图①②③所示：
23．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在如图中画由△ABC关于y轴对称的ΔA'B'C．
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′ （2，6） ；ΔA'B'C的顶点关于x轴对称的点的坐标为B° （4，﹣3） ；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C′即为所求；
（2）由（1）知，A'（2，6），B'（4，3）关于x轴对称点B''（4，﹣3），
故答案为：（2，6），（4，﹣3）；
（3）S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12．
24．如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD，AD垂直平分EF．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若△ABC的周长为18，△ABC的面积为24，BC＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD垂直平分EF，
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）解：∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝12，
又∵DF＝DE，
∴S△ABC＝AB DE+AC DF＝（AB+AC） DE，
即，
∴DE＝4．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50° ；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是 70° ；
（2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是16cm，求BC的长；
（4）点Q是BC边上的中点，连接AQ，与直线MN相交于点P，点P到△ABC三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝90°﹣∠ANM＝50°；
若∠B＝80°，同理得出∠A＝20°，
∴∠NMA＝90°﹣∠ANM＝70°；
故答案为：50°；70°；
（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）
＝2∠B﹣90°；
（3）如图1：连接BM，
∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是18cm，
∴AC+BC＝18cm，
∵AB＝10cm，
∴BC＝8cm；
（4）结论：PA＝PB＝PC．
理由：连接PB，
∵MN垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∵AB＝AC，BQ＝QC，
∴AQ⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PA＝PB＝PC．
所以此时PB+PQ的和最小．
