中小学教育资源及组卷应用平台
5.2 探索轴对称的性质 分层练习
考查题型一、利用轴对称的性质解对称问题
1．如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
2．如图，P在∠AOB内；点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若△PEF的周长为15，求MN的长．
3．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝10，试求△PMN的周长．
考查题型二、利用轴对称的性质探索折叠中问题
4．如图，△ABC的周长为15cm，把边AC对折，使顶点C和A重合，折痕交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AE＝2cm，求△ABD的周长．
5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是 ，CF的对应线段是 ；
（2）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB＝8，DE＝10，求CF的长度．
6．将一个宽为2cm的长方形纸条折叠，折痕为AC，重叠部分为△ABC（如图）．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝30°，求△ABC的面积；
（3）若△ABC的面积为2cm2，试画出大致的图形，并求∠BAC的度数．
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ．
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ．
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
考查题型三、利用轴对称图形的性质求线段长
8．作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
9．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点B的对称点是 ，点C的对称点是 ；
（2）写出图中相等的一对线段是 ，相等的一对角是 ；
（3）写出图中全等的一对三角形是 ．
10．如图，l是该轴对称图形的对称轴．
（1）试写出图中二组对应相等的线段： ；
（2）试写出二组对应相等的角： ；
（3）线段AB、CD都被直线l ．
11．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
考查题型四、利用轴对称性质求线段最值
12．如图，污水处理厂要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能用料最省？试画出铺设管道的路线，并说明理由．
13．如图，A、B两个小集镇在河流l的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水．
（1）请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省？
（2）若铺设水管的费用为每千米3万元，请你求出（1）中铺设水管的费用是多少？
14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC＝200米，BD＝600米，且CD＝600米．
（1）牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）最短路程是多少？
15．已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′P+PB＝A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．
一、单选题
1．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形
C．圆 D．正六边形
2．如图所示，图中的两个三角形沿AB折叠能完全重合，下列写法正确的是（ ）
A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FAB
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
5．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
6．长方形ABCD如图折叠，D点折叠到D'的位置，已知∠D'FC＝40°，则∠EFC＝（ ）
A．120° B．115° C．112° D．110°
7．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A，B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH．则下列结论不一定成立的是（ ）
A．DH＝AB B．EF＝FG C．EF⊥FG D．DE∥GH
10．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直线为对称轴翻折△ABC得到△A′BC，点A的对称点为A′，连结BA′，AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（ ）
A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝9，EF＝2.5，△AEF的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题
12．如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是 ．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝25，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则BF的长为 ．
14．在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝60°，∠CEF＝10°，那么∠A的度数是 ．
15．如图，点P为∠AOB内任一点，E，P分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠EOF＝62°，则∠P＝ °．
16．如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ．
三、解答题
17．已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，折痕为AE，已知AB＝6cm，BC＝10cm，求EC的长．
18．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数；
（2）若AD＝8，AB＝4，求BF．
19．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A+∠D＝155°，AB＝3cm，EH＝4cm．
（1）试写出EF，AD的长度；
（2）求∠G的度数；
（3）连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
20．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
21．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？
22．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，PO＝8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
5 .2 探索轴对称的性质 分层练习
考查题型一、利用轴对称的性质解对称问题
1．如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
【解答】解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD＝∠EBD，即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，∠ABC＝2∠C．
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝2∠C+∠C＝3∠C＝90°．
∴∠C＝30°
∴∠ABC＝2∠C＝60°．
2．如图，P在∠AOB内；点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若△PEF的周长为15，求MN的长．
【解答】解：∵点M是点P关于AO，的对称点，
∴AO垂直平分MP，
∴EP＝EM．
同理PF＝FN．
∵MN＝ME+EF+FN，
∴MN＝EP+EF+PF，
∵△PEF的周长为15，
∴MN＝EP+EF+PF＝15．
3．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝10，试求△PMN的周长．
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN，
＝P1M+MN+P2N，
＝P1P2，
∵P1P2＝10，
∴△PMN的周长＝10．
考查题型二、利用轴对称的性质探索折叠中问题
4．如图，△ABC的周长为15cm，把边AC对折，使顶点C和A重合，折痕交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AE＝2cm，求△ABD的周长．
【解答】解：∵把边AC对折，使顶点C和A重合，折痕交BC于点D，交AC于点E，连接AD，AE＝2cm，
∴EC＝2cm，AD＝CD，
∴AC＝4cm，
∴AB+BC＝BD+AB+AD＝11cm，
∴△ABD的周长为：11cm．
5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是 BC′ ，CF的对应线段是 C′F ；
（2）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB＝8，DE＝10，求CF的长度．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；
（2）由折叠的性质可得：∠2＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2＝50°．
∴∠2＝∠BEF＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
（3）∵AB＝8，DE＝10，
∴BE＝10，
∴AE＝＝6，
∴AD＝BC＝6+10＝16，
∵∠1＝∠BEF＝50°，
∴BF＝BE＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝16﹣10＝6．
故答案为：BC′，C′F．
6．将一个宽为2cm的长方形纸条折叠，折痕为AC，重叠部分为△ABC（如图）．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝30°，求△ABC的面积；
（3）若△ABC的面积为2cm2，试画出大致的图形，并求∠BAC的度数．
【解答】（1）证明：如图，
∵纸条为长方形，
∴∠1＝∠2，
又∵长方形纸条折叠，折痕为AC，重叠部分为△ABC，
∴∠1＝∠BAC，
∴∠2＝∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：过A作AD⊥BC于D，如图，
则AD＝2cm，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AD＝4cm，
∴BC＝AB＝4cm，
∴△ABC的面积＝AD BC＝×4×2＝4（cm2）；
（3）解：如图，
∵△ABC的面积为2cm2，
而高总等于纸条宽2cm，
∴BC＝2cm，
∴BA＝BC＝2cm，
∴AB为纸条宽，
∴AB⊥BC，
∴∠BAC＝45°．
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ 150° ．
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ 2n° ．
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
故答案为：150°；
（2）∵）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝n°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣n°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣n°）＝2n°，
∴∠1+∠2＝2n°；
（3）由（1）、（2）可知，2∠A＝∠1+∠2．
考查题型三、利用轴对称图形的性质求线段长
8．作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
【解答】解：如图所示：
①过点A作AD⊥MN，延长AD使AD＝A1D；
②过点B作BE⊥MN，延长BE使B1E＝BE；
③过点C作CF⊥MN，延长CF使CF＝C1F；
④连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
9．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点B的对称点是 D ，点C的对称点是 E ；
（2）写出图中相等的一对线段是 AB＝AD ，相等的一对角是 ∠B＝∠D ；
（3）写出图中全等的一对三角形是 △ABC≌△ADE ．
【解答】解：（1）图中点B的对称点是D，点C的对称点是E；
（2）图中相等的一对线段是AB＝AD，相等的一对角是∠B＝∠D；
（3）图中全等的一对三角形是△ABC≌△ADE．
故答案为：D，E；AB＝AD，∠B＝∠D；△ABC≌△ADE．
10．如图，l是该轴对称图形的对称轴．
（1）试写出图中二组对应相等的线段： AC＝BD，AE＝BE，CF＝DF，AO＝BO ；
（2）试写出二组对应相等的角： ∠BAC＝∠ABD，∠ACD＝∠BDC ；
（3）线段AB、CD都被直线l 垂直平分 ．
【解答】解：（1）∵AC与BD，AE与BE，CF与DF，AO与BO是对应线段，
∴AC＝BD，AE＝BE，CF＝DF，AO＝BO．
故答案为：AC＝BD，AE＝BE，CF＝DF，AO＝BO；
（2）∵∠BAC与∠ABD，∠ACD与∠BDC是对应角，
∴∠BAC＝∠ABD，∠ACD＝∠BDC．
故答案为：∠BAC＝∠ABD，∠ACD＝∠BDC；
（3）∵A与B，C与D是关于直线l的对称点，
∴线段AB、CD都被直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分．
11．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
【解答】解：如图所示：
（1）△A1B1C1即为所求．
（2）连接B1C与直线DE的交点P即为所求．
（3）作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求．
考查题型四、利用轴对称性质求线段最值
12．如图，污水处理厂要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能用料最省？试画出铺设管道的路线，并说明理由．
【解答】解：如图，因为点到直线间的距离垂线段最短．
13．如图，A、B两个小集镇在河流l的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水．
（1）请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省？
（2）若铺设水管的费用为每千米3万元，请你求出（1）中铺设水管的费用是多少？
【解答】解：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点M，点M即为所求．
如图所示：
（2）过点A′作A′K⊥BD，交BD的延长线于点K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K＝CD＝30千米，BK＝BD+DK＝30+10＝40千米，
在Rt△A′BK中，
A′B＝＝＝50（千米）．
∴AM+MB＝50．
即铺设水管的最短长度为50千米，
∵铺设水管的费用为每千米3万元，
∴所需费用＝50×3＝150（万元）．
答：铺设水管的费用是150万元．
14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC＝200米，BD＝600米，且CD＝600米．
（1）牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）最短路程是多少？
【解答】解：（1）作点A关于L的对称点F，连接BF交CD于点P，则点P为所求，此时PA+PB＝BF，BF就是最短路程．
（2）作BE⊥BD交CA的延长线于点E，如图所示，
由题意得AE＝BD+AC＝600+200＝800m，BE＝CD＝600m
由勾股定理得：BF＝＝1000m
所以最短路程为1000米．
15．已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′P+PB＝A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．
【解答】答：小明的做法正确，理由如下：
∵点A和点A′关于直线l对称，且点P在l上，
∴PA＝PA′，
又∴A′B交l与P，且两条直线相交只有一个交点，
∴PA′+PB最短，
即PA+PB的值最小．
一、单选题
1．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形
C．圆 D．正六边形
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不一定是轴对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．如图所示，图中的两个三角形沿AB折叠能完全重合，下列写法正确的是（ ）
A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FAB
【解答】解：∵图中的两个三角形沿AB折叠能完全重合，
∴△ABE≌△ABF，
故选：B．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，
∴∠B＝∠B′＝110°，
又∵∠A＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，
故选：C．
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝OB′，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
5．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
【解答】解：A、全等的三角形不一定对称，故错误；
B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误，
故选：B．
6．长方形ABCD如图折叠，D点折叠到D'的位置，已知∠D'FC＝40°，则∠EFC＝（ ）
A．120° B．115° C．112° D．110°
【解答】解：根据翻折的性质得出，∠DFE＝∠EFD′，
∵∠D′FC＝40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，
∴2∠EFD′＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EFD′＝70°，
∴∠EFC＝∠EFD′+∠D′FC＝70°+40°＝110°．
故选：D．
7．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：先作点M关于直线l的对称点，再连接连接N和对称点交l于点Q，
则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BD交AC于点F，
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∴BF＝DF，∠BFC＝90°，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
设CF＝x，则AF＝10﹣x，
∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，
∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2，
∴x＝，
∴CF＝，
∵CE＝BC，
∴CF＝DE，
∴DE＝．
故选：D．
9．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A，B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH．则下列结论不一定成立的是（ ）
A．DH＝AB B．EF＝FG C．EF⊥FG D．DE∥GH
【解答】解：∵折叠直角三角形纸片ABC，使得点A，B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH．
∴AD＝DF，BH＝FH，∠ADE＝∠EDF＝∠FHG＝∠BHG＝90°，
∴DF+FH＝DH＝AB，故选项A不符合题意，∠EDH+∠GHD＝180°，
∴DE∥GH，故选项D不符合题意，
在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，
由折叠知，∠DFE＝∠A，∠GFH＝∠B，
∴∠DFE+∠GFH＝∠A+∠B＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴EF⊥FG，故选项C不符合题意，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
10．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直线为对称轴翻折△ABC得到△A′BC，点A的对称点为A′，连结BA′，AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（ ）
A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H
【解答】解：∵将△ABC沿直线BC折叠，
∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，
∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，
∵AH⊥A'B，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，
∴∠A'BC＝∠HAA'，
又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，
在△BHE和△AHA'中，
，
∴△BHE≌△AHA'（AAS），
∴BE＝AA'，
∴BE＝2AC，
故选：B．
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝9，EF＝2.5，△AEF的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【解答】解：如图，连接BE，交AD于点O，过点F作FG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
由翻折可知：AD是EF的垂直平分线，
∵点F是DE的中点，
∴DF＝EF＝2.5，
∴BD＝DE＝5，
∴S△ADF＝S△AEF＝9，
∴S△ADE＝18，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝18，∠BOD＝90°，
∴ AD OE＝18，
∴9OE＝18，
∴OE＝4，
∴OD＝＝3，
∵BE＝2OE＝8，
∴S△BDE＝BD EH＝BE OD，
∴5EH＝8×3，
∴EH＝4.8，
∵点F是DE的中点，FG⊥BC，EH⊥BC，
∴FG是△DEH的中位线，
∴FG＝EH＝2.4．
∴点F到BC的距离为2.4．
故选：B．
二、填空题
12．如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是 垂线段最短 ．
【解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝25，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则BF的长为 13 ．
【解答】解：∵B点与AC的中点D重合，AC＝10，
∴，
∵折叠，BC＝25，
∴BF＝FD，
∴FC＝25﹣BF，
∵∠C＝90°，
∴在Rt△CFD中，FD2＝CD2+FC2，
∴BF2＝52+（25﹣BF）2，
解得：BF＝13，
故答案为：13．
14．在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝60°，∠CEF＝10°，那么∠A的度数是 55° ．
【解答】解：∵DF∥BC，∠B＝60°，
∴∠ADF＝60°．
∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴∠EDF＝∠ADF＝×60°＝30°，∠A＝∠F．
∵∠CEF＝10°，
∴∠DEC＝＝85°，
∴∠DEF＝85°+10°＝95°，
∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝180°﹣30°﹣95°＝55°．
故答案为：55°．
15．如图，点P为∠AOB内任一点，E，P分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠EOF＝62°，则∠P＝ 149 °．
【解答】解：连接OP，
根据对称知，∠E＝∠OPE，∠F＝∠OPF，OA⊥EP，OB⊥OB，
∴∠E+∠F＝∠OPE+∠OPF＝∠EPF，
∴∠EPF＝（360°﹣∠EOF）÷2＝（360°﹣62°）÷2＝149°，
故答案为：149．
16．如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 3 ．
【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，
则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；
在△OP'P''中，OP'＝OP''，
∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∵OP＝3，
∴P'P''＝3；
故答案为：3．
三、解答题
17．已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，折痕为AE，已知AB＝6cm，BC＝10cm，求EC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，DC＝AB＝6cm；∠B＝90°，
由题意得：
AF＝AD＝10cm；DE＝EF（设为x），EC＝（6﹣x）cm；
由勾股定理得：
BF2＝102﹣62＝64，
∴BF＝8cm，CF＝10﹣8＝2cm；
由勾股定理得：
x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴EC＝6﹣＝（cm）．
18．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数；
（2）若AD＝8，AB＝4，求BF．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2＝50°．
∵∠BEF＝∠2＝50°，
∴∠3＝180﹣∠2﹣∠BEF＝80°；AD＝8，AB＝4，
（2）∵∠1＝∠2，∠BEF＝∠2，
∴∠1＝∠BEF，
∴BE＝BF，
又∵∠A＝∠C′，AB＝BC′，∠A＝∠C′＝90°，
在Rt△ABE与Rt△C′BF中，
∴△ABE≌△C′BF（HL），
∴AE＝C′F．
∵FC＝FC′，
∴AE＝FC．
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2．
∵AB＝4，AD＝8，
∴42+AE2＝（8﹣AE）2，
∴AE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝5．
19．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A+∠D＝155°，AB＝3cm，EH＝4cm．
（1）试写出EF，AD的长度；
（2）求∠G的度数；
（3）连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A+∠D＝155°，AB＝3cm，EH＝4cm．
∴EF＝AB＝3cm，AD＝EH＝4cm；
（2）∵∠B＝125°，∠A+∠D＝155°，
∴∠C＝80°，
∴∠G＝∠C＝80°；
（3）∵对称轴垂直平分对称点的连线，
∴直线MN垂直平分BF．
20．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）结论：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
21．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？
【解答】解：如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．
理由：两点之间线段最短．
22．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，PO＝8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
【解答】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
由轴对称的性质可知，OM＝ON＝OP＝8，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
则△MON为等边三角形，
∴MN＝8，
∵QP＝QM，RN＝RP，
∴△PQR周长＝MN＝8，
