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12.2证明 分层练习
考查题型一 推理与论证
1．请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是
①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：“我们两个年龄加起来比他们小”．
A．甲乙丙丁 B．丁甲乙丙 C．甲乙丁丙 D．乙丙甲丁
2．甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
A．甲，丁，丙，乙 B．丁，甲，乙，丙 C．丁，甲，丙，乙 D．甲，丁，乙，丙
3．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是
A．5 B．4 C．3 D．不能确定
4．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是 ．
6．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ．
考查题型二 证明
1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是
A．①③②⑤④ B．②③⑤①④
C．②③①⑤④ D．②⑤①③④
2．小明在用反证法解答“已知中，，求证这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以；
③假设；
④由，得，所以；
请写出这四个步骤正确的顺序 ．
3．请补全下面的证明过程（括号中填写推理的依据）
已知：如图，，、分别平分、．
求证：．
证明：，（已知）
与 互余，与 互余，（余角定义）
；
、分别平分、，（已知）
， ；
又，（已证）
，（等量代换）
，（等式性质）
即．（等量代换）
4．看图说理，并在括号内注明说明依据．
（1）如图，平分，点在线段上，，与平行吗？为什么？
（补充证明过程，写证明依据）
解：平分（已知），
，
；
，
．
（2）如图，，，．与平行吗？为什么？
5．如图，点在线段上，点、在线段上，，，平分．试说明：平分．
解：因为平分（已知），
所以 （角平分线定义）；
因为（已知），
所以（理由： ，
（理由： ，
所以（等式的性质）；
因为（已知），
所以 （两直线平行，内错角相等），
所以 （等式性质），
所以平分（理由： ．
6．请将下列证明过程补充完整：
如图，点、、、分别在线段、、上，，，
求证：．
证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
；
（已知），
又 ，
，
，
（同位角相等，两直线平行），
．
7．根据图形和条件，把下面的证明过程和理由依据补充完整．
已知：如图，，平分，平分，，求证：．
证明：平分，平分，
， ；
，
，
即；
，
；
又，
，
，
即 ．
8．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证：．
证明：（已知），
，
（等量代换），
，
；
又（已知），
，
，
．
1．综合与实践：
问题：如图1，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
；
，
，
；
，
．
探究：如图2，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点．
（2）在图2中，若，求的度数并说明理由．
猜想：（3）如果的两边分别平行于的两边，直接写出与这两个角之间有怎样的数量关系？
2．已知，点在直线、之间，连接、．
（1）探究发现：（填空）
如图1，过作，
，
（已知），
，
，
结论： ；
（2）解决问题：
如图2，若，分别作，，，分别平分，，则的度数 ．中小学教育资源及组卷应用平台
12.2证明 分层练习
考查题型一 推理与论证
1．请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是
①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：“我们两个年龄加起来比他们小”．
A．甲乙丙丁 B．丁甲乙丙 C．甲乙丁丙 D．乙丙甲丁
【详解】解：由题意可知：甲乙，丙乙，甲丁乙丙，
丁乙，丁丙，
甲乙丙丁．
故本题选：．
2．甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
A．甲，丁，丙，乙 B．丁，甲，乙，丙 C．丁，甲，丙，乙 D．甲，丁，乙，丙
【详解】解：设甲的得分为分，乙的得分为分，丙的得分为分，丁的得分为分，
由题意可得：，
②①得：，
④；
将④代入①得：，
，
，
这四位同学的得分由大到小的顺序是甲，丁，乙，丙．
故本题选：．
3．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是
A．5 B．4 C．3 D．不能确定
【详解】解：五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，
甲手中的数可能为3，4，5，
乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
乙手中的数不可能是3，5，只能是4．
故本题选：．
4．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【详解】解：因为地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且只有两位老师说对了，
所以地理老师的话一定是错误的，
因为冠军只有一个，故历史老师和语文老师的话不能都对，
故政治老师的话一定是正确的，与政治老师的话没有矛盾的是历史老师，
故只有历史老师和政治老师的话是正确的，
故冠军一定是丙．
故本题选：．
5．“4.15国家安全日”之际，某校组织了一次安全知识竞赛，该校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是 ．
【详解】解：七年级男生成绩的优秀率为，八年级男生成绩的优秀率为，
七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，故①正确；
七年级学生成绩的优秀率在与之间，八年级学生成绩的优秀率在与之间，
不能确定哪个年级的优秀率大，故②错误；
七、八年级所有男生成绩的优秀率在与之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在与之间，
七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率，故③正确；
综上，合理推断的序号为：①③．
故本题答案为：①③．
6．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ．
【详解】解：乙同学是1，3；
丁同学是2，5；
甲同学是4，7；
丙同学是6，10；
戊同学是8，9．
故本题答案为：8和9．
考查题型二 证明
1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是
A．①③②⑤④ B．②③⑤①④
C．②③①⑤④ D．②⑤①③④
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（等量代换）．
排序顺序为：②③①⑤④．
故本题选：．
2．小明在用反证法解答“已知中，，求证这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以；
③假设；
④由，得，所以；
请写出这四个步骤正确的顺序 ．
【详解】解：假设，
由，得，所以，
又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
故这四个步骤正确的顺序是③④①②．
故本题答案为：③④①②．
3．请补全下面的证明过程（括号中填写推理的依据）
已知：如图，，、分别平分、．
求证：．
证明：，（已知）
与 互余，与 互余，（余角定义）
；
、分别平分、，（已知）
， ；
又，（已证）
，（等量代换）
，（等式性质）
即．（等量代换）
【详解】证明：，（已知）
与互余，与互余，（余角定义）
；（等式性质）
、分别平分、，（已知）
，；（角平分线定义）
又，（已证）
，（等量代换）
，（等式性质）
即．（等量代换）
4．看图说理，并在括号内注明说明依据．
（1）如图，平分，点在线段上，，与平行吗？为什么？
（补充证明过程，写证明依据）
解：平分（已知），
，
；
，
．
（2）如图，，，．与平行吗？为什么？
【详解】解：（1）平分（已知），
（角平分线的定义）；
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
（2），理由如下：
（已知），
（垂直的定义）；
，且（已知），
（等角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
5．如图，点在线段上，点、在线段上，，，平分．试说明：平分．
解：因为平分（已知），
所以 （角平分线定义）；
因为（已知），
所以（理由： ，
（理由： ，
所以（等式的性质）；
因为（已知），
所以 （两直线平行，内错角相等），
所以 （等式性质），
所以平分（理由： ．
【详解】解：因为平分（已知），
所以（角平分线定义）；
因为（已知），
所以（理由：两直线平行，内错角相等），
（理由：两直线平行，同位角相等），
所以（等式的性质）；
因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等），
所以（等式性质），
所以平分（理由：角平分线定义）．
6．请将下列证明过程补充完整：
如图，点、、、分别在线段、、上，，，
求证：．
证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
；
（已知），
又 ，
，
，
（同位角相等，两直线平行），
．
【详解】证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）；
（已知），
又（邻补角的性质），
（同角的补角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
7．根据图形和条件，把下面的证明过程和理由依据补充完整．
已知：如图，，平分，平分，，求证：．
证明：平分，平分，
， ；
，
，
即；
，
；
又，
，
，
即 ．
【详解】解：平分，平分，
，（角平分线的定义）；
（已知），
，
即，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）；
又，
（垂直定义），
，
即（垂直定义）．
8．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证：．
证明：（已知），
，
（等量代换），
，
；
又（已知），
，
，
．
【详解】解：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）；
又（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
1．综合与实践：
问题：如图1，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段上，过点作交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
；
，
，
；
，
．
探究：如图2，直线、、两两相交，交点分别为点、、，点在线段的延长线上，过点作交于点，过点作交于点．
（2）在图2中，若，求的度数并说明理由．
猜想：（3）如果的两边分别平行于的两边，直接写出与这两个角之间有怎样的数量关系？
【详解】解：（1），
（两直线平行，内错角相等）；
，
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）；
，
．
（2），理由如下：
，
（两直线平行，同位角相等），
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
则．
（3）或，理由如下：
如图1，的两边分别平行于的两边时，；
如图2，的两边分别平行于的两边时，．
2．已知，点在直线、之间，连接、．
（1）探究发现：（填空）
如图1，过作，
，
（已知），
，
，
结论： ；
（2）解决问题：
如图2，若，分别作，，，分别平分，，则的度数 ．
【详解】解：（1）探究发现：（填空）
如图1，过作，
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（平行于同一条直线的两条直线平行），
，
结论：；
（2）如图2，延长线段得到直线，延长交的延长线于点，
设，，
，，
，
，分别平分，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
由（1）可知：，
，
，
是的外角，
，
，
，
故本题答案为：．
