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上海市2023-2024学年六年级数学下册期末测试卷
一、单选题
1．下列四个数中，是负数的是( )
A．|﹣2| B．(﹣2)2 C．﹣(﹣2) D．﹣|﹣2|
2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下面不能用来检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．长方形纸片 B．合页型折纸 C．铅垂线 D．三角尺
5．下列说法正确的是（ ）．
A．两个相等的角不可能互余 B．一个角的余角一定比这个角大
C．一个角的补角一定比这个角大 D．一个锐角的补角一定比这个角的余角大
6．已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）
A．5 B． C．或 D．
二、填空题
7．的倒数是 .
8．比较大小： （填“”或“”）
9．被称“地球之肺”的森林正以每年14500000公顷的速度从地球上消失，这个数据用科学记数法表示为 ．
10．当 时，．
11．已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y= ．
12．方程组的解是，则a + b = ．
13．已知与互补，，则的大小是 ．
14．如图，在长方体中，既与平面垂直，又与棱异面的棱是 ．
15．小德和小新在米环形跑道上练习跑步，小德每分钟跑米，小新每分钟跑米，两人同时由同一地点反向而跑， 秒以后小德和小新第一次相遇？
16．如图所示，是的角平分线，是的角平分线，如果，，则的度数为 ．
17．若关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为 ．
18．已知一个长方体，它的长：宽：高，先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，再从剩下的立体图形上再切去一个尽可能大的长方体（只允许沿着与原长方体的某个面平行的方向切）．如果最后剩下的立体图形的体积为，那么原长方体的表面积是 ．
三、解答题
19．计算：
20．解方程：
21．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
22．解方程组：
(1)
(2)
23．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
24．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM=1，BC=4，求MN的长度；
（2）若MN=5，求AB的长度．
25．《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？
26．甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
(1)求a与b的值；
(2)求的值．
27．为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？
甲种货车 乙种货车
载货量（吨辆） 45 30
租金（元辆） 400 300
28．用斜二测画法画长方体直观图：
(1)补全长方体；
(2)若量得图中的长度是，则所表示的实际长方体长度是_______．
(3)与平面平行的平面是________．
29．如图，已知，在的内部，
(1)用直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，在完成画图后所得的图形中，与互余的角有________；
(3)如果的补角与的2倍互补，那么________，
30．已知、、三点在数轴上的位置如图所示，点表示的数为，，．
(1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；
(2)动点、分别从，同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为()秒；
①求数轴上点，表示的数(用含的式子表示)；
②请直接写出为何值时，、两点相距个单位长度．中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2023-2024学年六年级数学下册期末测试卷
一、单选题
1．下列四个数中，是负数的是( )
A．|﹣2| B．(﹣2)2 C．﹣(﹣2) D．﹣|﹣2|
【答案】D
【分析】先化简，再利用负数的意义判定．
【解析】解：A、|﹣2|=2，是正数，不符合题意；
B、（﹣2）2=4，是正数，不符合题意；
C、﹣（﹣2）=2，是正数，不符合题意；
D、﹣|﹣2|=﹣2，是负数，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握相应的运算法则．
2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可，由两个一次方程组成，并含有两个未知数的整式方程组叫做二元一次方程组．
【解析】解：A．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
D．方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
3．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解析】A. 若，则不等式两边同时加2，不等号不变，选项正确；
B. 若，则不等式两边同时乘，不等号改变，选项正确；
C. 若，则不等式两边同时乘2，不等号不变，选项正确；
D. 若，则不等式两边同时乘，有可能，选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘（除）一个正数不等号不变，同时乘（除）一个负数不等号改变．
4．下面不能用来检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．长方形纸片 B．合页型折纸 C．铅垂线 D．三角尺
【答案】A
【分析】根据长方体中棱与面的位置关系，逐项分析判定可知．
【解析】解：铅垂线，三角尺，合页型折纸可以用来检验直线与平面是否垂直，
而长方形纸片只能判断两条直线互相垂直，不能判断直线与平面是否垂直，
故选：A．
【点睛】本题主要考查长方体中棱与面的位置关系，熟记概念是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）．
A．两个相等的角不可能互余 B．一个角的余角一定比这个角大
C．一个角的补角一定比这个角大 D．一个锐角的补角一定比这个角的余角大
【答案】D
【分析】根据余角的定义（和为的两个角互为余角）与补角的定义（和为的两个角互为补角）逐项判断即可得．
【解析】解：A、两个大小均为的角互余，则此项说法错误，不符题意；
B、一个角的余角不一定比这个角大，如角的余角为，则此项说法错误，不符题意；
C、一个角的补角不一定比这个角大，如角的补角为，则此项说法错误，不符题意；
D、设一个锐角的度数为，则它的补角为，余角为，
因为，
所以，
所以一个锐角的补角一定比这个角的余角大，此项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了余角与补角，熟记定义是解题关键．
6．已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）
A．5 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【解析】
设，则，
∴．
∵，
∴．
设，
当点E在线段之间时，如图，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点E在线段之间时，如图，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：，不符合题意，舍；
综上可得．
故选B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．
二、填空题
7．的倒数是 .
【答案】
【分析】求一个数的倒数，可以用1除以这个数；也可以先把这个数化成分数，是带分数的要化成假分数，再把它的分子和分母交换位置即可．
【解析】=-的倒数是.
故答案为.
【点睛】此题考查倒数的意义，解题关键在于掌握乘积是1的两个数互为倒数．
8．比较大小： （填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了有理数大小的比较，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可，熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
9．被称“地球之肺”的森林正以每年14500000公顷的速度从地球上消失，这个数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
10．当 时，．
【答案】-4
【分析】按照去分母，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可得到答案．
【解析】解：
去分母得：，
移项得：，
系数化为1得：，
∴当，，
故答案为：-4．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
11．已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y= ．
【答案】
【分析】先移项，再把y的系数化为1即可．
【解析】解：移项得， 2y＝5 x，
y的系数化为1得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
12．方程组的解是，则a + b = ．
【答案】3
【解析】把代入，得到关于a 和b的二元一次方程组，解得，故a + b=3
13．已知与互补，，则的大小是 ．
【答案】
【分析】根据与互补，得到，代入计算即可．
【解析】∵与互补，
∴；
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两个角的互补即两个角的和为，正确理解定义，熟练掌握计算方法是解题的关键．
14．如图，在长方体中，既与平面垂直，又与棱异面的棱是 ．
【答案】和
【分析】根据长方体的棱与棱和棱与面的位置关系可直接解答．
【解析】解：由题意得与平面垂直的棱有，
上述棱中与棱异面的棱是，
故答案为：和．
【点睛】本题主要考查长方体中棱与棱和棱与面的位置关系，正确理解概念是解题的关键．
15．小德和小新在米环形跑道上练习跑步，小德每分钟跑米，小新每分钟跑米，两人同时由同一地点反向而跑， 秒以后小德和小新第一次相遇？
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小德和小新第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，再进行单位换算即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【解析】解：设分钟以后小德和小新第一次相遇，
由题意可得，，
解得，
秒，
∴秒以后小德和小新第一次相遇，
故答案为：．
16．如图所示，是的角平分线，是的角平分线，如果，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义及题意可直接求解．
【解析】解：∵、分别是、的角平分线，
∴，；
∵，∴，
∵，∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角之间的等量关系是解题的关键．
17．若关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为 ．
【答案】1≤m＜2
【分析】先解不等式得到x≤m+2，则正整数解为1、2、3，所以3≤m+2＜4，解得1≤m＜2．
【解析】解：解不等式2（x-1）≤x+m，得x≤m+2．
∵不等式恰好有3个正整数解，
∴正整数解为1、2、3．
∴3≤m+2＜4，
解得1≤m＜2．
故答案为：1≤m＜2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，求不等式的整数解，一般是先解不等式，在不等式范围内找整数解．
18．已知一个长方体，它的长：宽：高，先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，再从剩下的立体图形上再切去一个尽可能大的长方体（只允许沿着与原长方体的某个面平行的方向切）．如果最后剩下的立体图形的体积为，那么原长方体的表面积是 ．
【答案】376
【分析】根据比例可以设出长、宽、高的值，从而表示出第一次切下的正方体的边长，再确定第二次切下图形的长、宽、高，列出关系式，求出结果即可．
【解析】设原长方体长为5xcm，宽为4xcm，高为3xcm．
先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，则正方体棱长为3xcm．
再从剩下的立方体上再切去一个尽可能大的长方体，则长方体长为4xcm，宽为2xcm，高为3xcm．
∴剩下长方体长为3xcm，宽为xcm，高为3xcm．
依题意得：，，，∴．
∴原长方体的长为10cm，宽为8cm，高为6cm．
∴原长方体的表面积为：
．
故答案为：376．
【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积和表面积问题，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
三、解答题
19．计算：
【答案】
【解析】原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
20．解方程：
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】去分母：
移项：
合并整理
所以原方程的解为．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
21．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．
【解析】
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，
（1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
（2）先利用代入消元法得到，然后利用加减消元法求解即可；
利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【解析】（1）解：
整理得，
得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为；
（2）解：
由①得，
将④代入②，③得，
整理得，
得，
解得，
将代入⑤得，
解得，
将，代入④得，
∴原方程组的解为．
23．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
24．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM=1，BC=4，求MN的长度；
（2）若MN=5，求AB的长度．
【答案】（1）MN= 3；（2）AB= 10．
【分析】（1）由已知可求得CN的长，即可求得MN的长度；
（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知MN的长则不难求得AB的长度．
【解析】（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM=1，BC=4
∴CN=2，AM=CM=1
∴MN=MC+CN=3；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，MN=5，
∴AB=AC+BC=2CM+2CN=2（CM+CN）=2MN=10．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
25．《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？
【答案】甲有37.5钱，乙有25钱
【分析】设甲有x钱，乙有y钱，根据题意，列出方程组，即可求解．
【解析】解：设甲有x钱，乙有y钱，
依题意得：，解得：
答：甲有37.5钱，乙有25钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
26．甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
(1)求a与b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)a＝ 1，b＝10；
(2)0
【分析】（1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出a与b的值；
（2）将a与b的值代入即可求解．
【解析】（1）解：根据题意，将代入②，
得： 12＋b＝ 2；
即b＝10；
将代入①，
得：5a＋20＝15，
即a＝ 1；
（2）将a＝ 1，b＝10代入，
可得：原式．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
27．为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？
甲种货车 乙种货车
载货量（吨辆） 45 30
租金（元辆） 400 300
【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数．
【解析】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得：
，
解得：，
为正整数，
共有两种方案，
方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆，
方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆，
方案1的费用为：元；
方案2的费用为：元；
∵，
则选择方案1最省钱，
即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆．
28．用斜二测画法画长方体直观图：
(1)补全长方体；
(2)若量得图中的长度是，则所表示的实际长方体长度是_______．
(3)与平面平行的平面是________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）作，且连接，BC，作，且，连接，即可；
（2）利用测量法解决问题即可
（3）根据平面平行的定义，判断即可．
【解析】（1）解：如图，长方体即为所求．
（2）测量,根据斜二测画法可知实际长度为．
故答案为：．
（3）与平面，平行的平面是面
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用斜二测画法画长方体．
29．如图，已知，在的内部，
(1)用直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，在完成画图后所得的图形中，与互余的角有________；
(3)如果的补角与的2倍互补，那么________，
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作的平分线即可；
（2）根据互余的定义解答；
（3）由补角定义得到，再根据角平分线的性质和余角定义得到，据此解答即可．
【解析】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）
，
∵平分，
∴，
∴，
∴
与互余的角有，；
故答案为：，；
（3）的补角与的2倍互补，
平分
故答案为：．
【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质、余角、补角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
30．已知、、三点在数轴上的位置如图所示，点表示的数为，，．
(1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；
(2)动点、分别从，同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为()秒；
①求数轴上点，表示的数(用含的式子表示)；
②请直接写出为何值时，、两点相距个单位长度．
【答案】(1)；；
(2)①点表示的数是，点表示的数是；②当或时，点、两点相距个单位长度
【分析】（1）点表示的数是，点表示的数是，求出即可；
（2）①求出，，根据、表示的数求出、表示的数即可；
②利用“点，相距个单位长度”列出关于的方程，并解答即可．
【解析】（1）解：点对应的数为，，
点表示的数是，
，
点表示的数是．
故答案是：；；
（2）①由题意得：如图所示：
在数轴上点表示的数是
在数轴上点表示的数是；
②当点，相距个单位长度时：，
解得：或
当或时，点、两点相距个单位长度
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，数形结合是解题的关键．
