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2023-2024学年八年级数学下册期末测试卷
（测试范围：八年级第二学期+比例线段+三角形一边的平行线）
一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，；
C．，．，； D．，，，
2．下列四个方程中，有一个根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，值随的增大而减小的函数（ ）
A．； B．； C．； D．．
4．在矩形中，，则向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若：：，则 ．
8．直线在y轴上的截距为 ．
9．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ．
10．已知一次函数，点，在图象上，则 填“”或“”．
11．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ．
12．已知菱形的边长为，一条对角线长为，那么菱形的高为 ．
13．用换元法解方程，若设，那么所得到的关于的整式方程为 ．
14．如图，，，，，则 ．
15．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
16．若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ．
17．如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到，点A、B分别与点对应，边分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边的中点，那么=
三、解答题
19．解方程组：
20．已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
21．已知四边形是平行四边形，点在上．
(1)填空：________；________；
(2)求作：．
22．甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前天完工，乙队单独做要延期天完成，现在两个工程队先合作天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
23．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点.
（1）求线段的长.
（2）求直线所对应的函数关系式.
（3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
(1)求的长；
(2)如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
(3)如果的长为2，求梯形的面积．（直接写出结果）中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2023-2024学年八年级数学下册期末测试卷
（测试范围：八年级第二学期+比例线段+三角形一边的平行线）
一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，；
C．，．，； D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断四条线段是否成比例即可．
【解析】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项符合题意；
C． ，故该选项不符合题意；
D．，故该选项不符合题意；
故选B．
2．下列四个方程中，有一个根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将代入四个方程进行检验即可．
【解析】A、由分式方程的分母不能为0可得，则不是原分式方程的根，此项不符题意
B、将代入得：，经检验，是原方程的根，此项符合题意
C、当时，无意义，则不是原方程的根，此项不符题意
D、当时，无意义，则不是原方程的根，此项不符题意
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程与无理方程的根的定义，掌握方程的根的定义是解题关键．
3．下列函数中，值随的增大而减小的函数（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【分析】此题考查函数的性质，熟知一次函数的性质及反比例函数的性质是解题的关键，根据函数性质依次判断即可．
【解析】A.是一次函数，，值随的增大而减小，故符合题意；
B.是正比例函数，，值随的增大而增大，故不符合题意；
C. 是一次函数，，值随的增大而增大，故不符合题意；
D.由得函数图象是两个分支，在每个象限内，值随的增大而减小，故不符合题意；
故选：A．
4．在矩形中，，则向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在矩形中，，，，则，，由勾股定理求得，由即可得到答案.
【解析】解：如图，
在矩形中，，，，
，，
，
，
向量的长度为，
故选：A
【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是熟练掌握矩形的性质和三角形法则.
5．下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐个判断即可．
【解析】同一底边上两底角相等的梯形是等腰梯形，则命题①是假命题
如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点
联结AC、BD
由中位线定理得：
，
四边形EFGH是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
平行四边形EFGH是菱形，则命题②是真命题
由等腰梯形的判定定理可知，两条对角线相等的梯形是等腰梯形，则命题③是真命题
由矩形的判定可知，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，则命题④是真命题
综上，真命题的有②③④，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．
6．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理分别分析得出答案．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴＝，＝，故选项A错误；
∵DF∥AC，
∴＝，可得选项C错误；
可得：＝＝，故选项B错误，
＝＝，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确得出比例式是解题关键．
二、填空题
7．若：：，则 ．
【答案】
【分析】根据比例设，，然后代入比例式计算即可得解．
【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更加简便．
8．直线在y轴上的截距为 ．
【答案】
【分析】当时，进行计算即可得．
【解析】解：当时，，
则直线在y轴上的截距为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质．
9．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
10．已知一次函数，点，在图象上，则 填“”或“”．
【答案】
【分析】直接利用一次函数的增减性进而分析得出答案．
【解析】一次函数，
随x的增大而减小，
点，在图象上，
．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题关键．
11．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割点定义，知是较长线段，则代入求出，再利用即可求出．
【解析】由于为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，准确求出较长线段的长度是解题的关键．
12．已知菱形的边长为，一条对角线长为，那么菱形的高为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得出，，根据勾股定理求出，根据扇形面积求出，即，求出即可．
【解析】解：如图，在菱形中，，，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
菱形的面积，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出菱形的另外一条对角线的长度．
13．用换元法解方程，若设，那么所得到的关于的整式方程为 ．
【答案】
【分析】用y替换方程中的，用替换方程中的，得到关于y的分式方程，再去分母转化为整式方程即可．
【解析】解：设，则，
原方程可变为：，
两边都乘以y得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查换元法解分式方程、一元二次方程，理解换元法的意义是解题的关键．
14．如图，，，，，则 ．
【答案】//
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案．
【解析】解：∵，，，，
∴，即，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
15．一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意画树状图，可得共有36种等可能的结果，然后求出在直线上的点的坐标，最后计算求解即可．
【解析】解：由题意画树状图如下：
共有36种等可能的结果，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴在直线上的点的坐标为，，共个，
∴点、落在直线上的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，一次函数．解题的关键在于列举所有可能存在的情况．
16．若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜2
【分析】将配方可得，于是，则当m＜2时方程无实数解；
【解析】解：∵
∴
∴当m＜2时，方程无实根，
故答案为：m＜2；
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式，不等式的性质，掌握平方的非负性是解题关键．
17．如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．
【答案】
【分析】如图，过作交于，结合梯形，，证明四边形为平行四边形，，利用勾股定理求解，可得，再利用梯形的中位线的性质可得答案．
【解析】解：如图，过作交于，结合梯形，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，而，
∴，
∴，
∴梯形的中位线长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，梯形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到，点A、B分别与点对应，边分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边的中点，那么=
【答案】
【分析】设AC=1，则AB=2，BC=，根据旋转可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，根据直角三角形性质，证明△CEA1是等边三角形，得出∠ECB1=∠B=30°，根据平行线的判定，得出，根据平行线分线段成比例定理，得出，求出，即可得出结果．
【解析】解：设AC=1，则AB=2，BC=，根据旋转可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，
∴∠CA1B1=60°，
∵E是边的中点，
∴CE=EA1，
∴△CEA1是等边三角形，
∴CE=A1C=1，，
∴BE=，，
∴∠ECB1=∠B=30°，
∴
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，根据旋转，结合题目中的已知条件证明，是解题的关键．
三、解答题
19．解方程组：
【答案】，
【分析】① ②×2得关于x与y的二元一次方程，再用代入法求解即可．
【解析】解:
① ②×2得：③
由③得：，代入②整理得：，
解得：，，
把y的值分别代入得：，，
所以方程组的解为：，．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，与解一元二次方程组相同，有代入消元法与加减消元法两种方法，只是消元后得到的是一元二次方程而已．
20．已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
（1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．
【解析】（1）解：设，，，
∴，即，
解得：，
∴，，；
（2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
21．已知四边形是平行四边形，点在上．
(1)填空：________；________；
(2)求作：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，利用三角形法则求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC＝OB，AC//OB，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
（2）解：连接AB．
∵，
∴即为所求．
【点睛】本题考查向量的运算，熟练运用三角形法则是解题的关键．
22．甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前天完工，乙队单独做要延期天完成，现在两个工程队先合作天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
【答案】这项工程规定的时间是30天
【分析】设这项工程规定的时间是天，则甲队单独做需要（x-2）天完工，乙队单独做要(x+5)天完成，由题意：两个工程队先合作天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，列出分式方程，解方程即可．
【解析】解：设这项工程规定的时间是天，则甲队单独做需要（x-2）天完工，乙队单独做要(x+5)天完成，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程规定的时间是30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；
（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．
【解析】证明：（1）如图1，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
在和中，∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）如图2，
∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点.
（1）求线段的长.
（2）求直线所对应的函数关系式.
（3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）10；（2）；（3）P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）．
【分析】（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长；
（2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；
（3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据中点坐标公式求出P点的坐标．
【解析】解：（1）∵，
∴，，
在直角中，；
（2）在和中，平分，于点，于点，∴，
设，则，.
在和中，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：.
即，，
则的坐标是.
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是
设所对应的解析式是，则4+m=0，则m=-4．
则直线所对应的解析式是.
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，
易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（-8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6-6）2=5m2，
AB=10，
根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=-5，
∴M1（-5，-4），BM1中点坐标为,
BM1中点同时也是AP1中点，则有，
解得P1（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=-4或m=0（舍去），
∴M2（-4，-2），AB中点坐标为（-4，3），
AB中点同时也是P2M2中点，则有，
解得P2（-4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及中点坐标公式的应用．
25．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
(1)求的长；
(2)如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
(3)如果的长为2，求梯形的面积．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长．
（2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式．
（3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积．
【解析】（1）解：过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
∴
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为．
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
．
【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
