嘉陵一中高 2023 级高一下期第三次月考
数学试卷答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D D B A C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1 5 2 π π
12． 13． 14． ,
2 6 6 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
15．（1）由 z1 1 ai, z2 3 4i，得 z1 z2 2 4 a i ，
而由已知点 ( 2,4 a) 在第二象限，于是4 a 0，解得a 4，
z 3 4i 3 4i 1 ai 3 4a 3a 4 i
（2）依题意， 2 是纯虚数，
z1 1 ai 1 ai 1 ai 1 a
2
3 4a 0 3 3 5
因此 ，解得a ，所以 z1 1 i ， z1 .
3a 4 0 4 4 4
16．（1）如图，取 PA 的中点 F，连接 EF，DF，
1
因为E为PB的中点，所以EF∥AB，EF AB，又 AB CD，AB 2CD，
2
所以EF CD，EF CD，因此四边形 CDFE 为平行四边形，
所以CE∥DF ，又DF 平面 PAD，CE 平面 PAD，因此CE / /平面 PAD．
（2）存在，交点为 PA 的中点 F 和 AB 的中点 H，
连接 FH，DH，下面证明平面PBC / / 平面 DFH．
由（1）得CE∥DF ，又DF 平面 DFH，CE 平面 DFH，因此CE / /平面 DFH，
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因为 F 为 PA 的中点，H为 AB 的中点，所以FH PB，
又FH 平面 DFH， PB 平面 DFH，因此PB / /平面 DFH，
又PB CE E，因此平面PBC / / 平面 DFH．
3
17．（1）因为bcosC a csinB ，
3
3
由正弦定理可得sinBcosC sinA sinCsinB，
3
3
又 A π B C ，所以sinBcosC sin B C sinCsinB ，
3
3 3
所以sinBcosC sin BcosC cos BsinC sinCsinB ，即sinCcosB sinCsinB 0，
3 3
3
C 0,π ，故sinC 0， cosB sinB 0，即 tan B 3 ，
3
2π
又B 0,π ，则B ．
3
2π
（2）由（1）可知，B ，又外接圆的半径为2 3；
3
b 2π
由正弦定理可知 4 3 ，所以b 4 3sin 6 ，
sinB 3
1 π
因为BD是 ABC的平分线，故 CBD ABD ABC ，
2 3
又BD 3 ，由 S ABC S BCD S ABD ，
1 2π 1 π 1 π
可得 acsin a 3sin c 3sin ，即ac 3 a c ．①
2 3 2 3 2 3
2 2 2 2π
由余弦定理可知，b a c 2accos ，即 (a c)2 ac 36．②
3
由①②可知a c 2 3．所以BD AC ，又 EC 2AE，则DE 1，
1 3
所以 S . BDE 1 3
2 2
18．（1）
∵BD∥平面 AMHN，且平面PBD 平面 AMHN MN，BD 平面PBD，
∴BD∥MN ．
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（2）∵MN PC，∴BD PC，
∵四边形 ABCD为菱形，∴BD AC ，OB OD，
∵PC AC C，且PC, AC 平面 PAC，
∴BD 平面 PAC，又PO 平面 PAC，∴BD PO，
∴ PB PD．
∵PA PC，且 O 为 AC 中点，
∴OP AC，由（1）得OP BD，
BD AC O，BD, AC 平面 ABCD，
∴OP 平面 ABCD，
（3） AB 2，又四边形 ABCD为菱形， BAD 60 ，
AC BD， AO 3 ，BO 1．
AO BD, AO PO,PO BD O，且都在平面 PBD 内，
AO 平面 PBD，又 PA 与平面 PBD 所成角为 60°，
∴ APO 60 ， PAC 30 ，
3
∴OP AO 1，
3
1 2 3
∴VP ABCD SABCD OP
3 3
1
又 H 为 PC 中点，且PA PC 2，∴PH PC 1，
2
在△ PAC 中，记 AH OP G，
PG 2
易知点 G 在 MN 上，且点 G 为△ PAC 重心， ，
PO 3
2 4
又∵MN∥BD，∴MN BD ，
3 3
由（1）知BD 平面 PAC，∴MN 平面 PAC，
1 1 3 3
又 S APH PA PH sin120 2 1 ，
2 2 2 2
1 2 3
∴V1 2VM APH S APH MN ，
3 9
2 3 2 3 4 3
∴V2 VP ABCD V ， 1
3 9 9
V1 1
∴ ．
V2 2
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19．（1）以点A 为坐标原点， AB 、 AD所在的直线为 x轴 y 轴建立直角坐标系
则 P 1,2 ，Q 3,1 ， AP 1,2 ， AQ 3,1 ，
2
所以 AP AQ 1 3 2 1 5， AP 1 2
2 5 ， AQ 3
2 12 10 ，
AP AQ 5 2
cos PAQ .
AP AQ 5 10 2
（2）由 AB 3, AD 2，DP DC,CQ CB,0 1，
故 DP DC 3 , CQ CB 2 ，则 BQ 2 2 ，
所以 AP AQ AD DP AB BQ
AD AB AD BQ DP AB DP BQ
0 2 2 2 3 3 0 5 4，
由 0≤ ≤1，故 AP AQ 4,9 ；
（3）如图所示，以A 点为坐标原点， AB为 x 轴，建立直角坐标系，
1
由题意可得P 2,2 ,Q 3,1 ,TC AD 1,Q 3,1 ，即T 3,3 ，
2
π
假设存在点H ，使得 THQ最大，由 THQ 0, ，即有 tan THQ最大，
2
设BH a，当a 0时，角度为 0 ，此时 THQ不可能最大，故a 0，所以0 a 3，
tan THB tan QHB
则 tan THQ tan THB QHB
1 tan THB tan QHB
TB QB
BH TB QB
BH BH
TB QB BH 2 TB QB
1
BH BH
a 3 1 2a 2 2 3
a2 3 1 a2 3 3 3 ，
a 32 a
a a
3
当且仅当a ，即a 3时，等号成立，
a
即存在，且BH 3 .
答案第 4 页，共 4 页秘密★启用前
嘉陵一中高 2023 级高一下期第三次月考
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
3
1．已知 z i 1 i ，则 z 的虚部为（ ）
A． i B． 1 C．1 D． i
2．已知平面 //平面 ，过平面 内的一条直线 a 的平面 ，与平面 相交，交线为直线 b，
则 a、b 的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
3．已知向量 a,b ，且 a 2 b 2，若 (ka 2b) (a b)，则 k （ ）
4
4 3
A． 2 B．3 C． D．
3 4
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD，如图所示， ABC 45 ，
AD DC 1, DC BC ，则原平面图形的面积为（ ）
2 2
A． 2 B．1
2 2
3 2
C． D．3 2
2
5．若一个圆台的两个底面半径分别为 1 和 2，体积为7π，则它的侧面积为（ ）
7π
A．3π B． C．3 2π D．3 10π
3
AC AB BC BA
6．已知点 P 在 ABC所在平面内，若 PA ( ) PB ( ) 0 ，则点 P 是
| AC | | AB | | BC | | BA |
ABC的（ ）
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A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
7．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 B 在同一平面内的两个观测点
C 与 D，现测得 CDB 37 ， BCD 68 ，CD 31.7米，在点 C
处测得塔顶 A 的仰角为64 ，则该铁塔的高度约为（ ）
（参考数据： 2 1.4， 6 2.4， tan 64 2.0，cos37 0.8）
A．40 米 B．44 米
C．48 米 D．52 米
8．在三棱锥P ABC 中，AC 3，BC 1，PA PB PC AB 2，M 为 AC 的中点，则
异面直线 BM 与PA所成角的余弦值是（ ）
5 7 7 5 7 3 7
A． B． C． D．
14 14 28 28
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知 m，n 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）
A．若 ∥ ，m ，m∥n，则n
B．若m∥ ，m∥ ， n，则m // n
C．若m∥ ，m∥n，则n∥
D．若m ，m ，n ，则n∥
10．在 ABC中，角 A, B,C所对的边分别是a,b,c，若c 12，cos A 0.6，且满足条件的三
角形有且仅有两个，则 a 的取值可能为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1，点 P 是BC的中点，点Q在线段CD上，满足
CQ CD 0 1 ，则下列表述正确的是（ ）
1
A． 时，PQ //平面 AB1D1
2
B．不存在 0,1 ，使得 A1Q 平面 AB1D1
C．任意 0,1 ，三棱锥 P A1B1Q 的体积为定值
D．过点 A1,P,Q的平面分别交BB1,DD1于 E, F ，则BE DF的范围是 1,2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量a 2,1 ,b 1, t ，若2a b 与a 2b 共线，则实数 t .
13．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将
底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如
图所示的堑堵 ABC A1B1C1中， AA1 AC 5, AB 3, BC 4，
则阳马C1 ABB1A1的外接球的体积与表面积之比是 .
3b a
14．记锐角 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若2cosC ，则 B 的取值范
a b
围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
设复数 z1 1 ai a R , z2 3 4i．
(1)在复平面内，复数 z1 z2 对应的点在第二象限，求 a 的取值范围；
z2
(2)若 是纯虚数，求 z1 .
z1
16．（15 分）
如图，四棱锥P ABCD中， AB // CD， AB 2CD，E 为 PB 的中点．
(1)求证：CE //平面 PAD；
(2)过 D 点是否存在一个与 PA，AB 相交，且与平面 PBC 平行
的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存
在，请说明理由．
17．（15 分）
在 ABC中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，其外接圆的半径为 2 3 ，且bcosC
3
a csinB．
3
(1)求角 B ；
(2)若 B的角平分线交 AC 于点D,BD 3 ，点 E 在线段 AC 上，EC 2EA，求 BDE 的
面积．
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18．（17 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， AB 2， BAD 60 ，PA PC ，
BD∥平面 AMHN，点 M，N，H 分别在棱 PB，PD，PC 上，且MN PC ．
(1)证明：MN // BD；
(2)连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OP.求证：OP 平面 ABCD；
(3)若 H 为 PC 的中点，PA 与平面 PBD 所成角为 60°，四棱锥P ABCD被平面 AMHN 截
V1
为两部分，记四棱锥P AMHN 体积为V1，另一部分体积为V2 ，求 . V2
19．（17 分）
如图，点P,Q分别是矩形 ABCD的边DC, BC上的两点， AB 3， AD 2 .
(1)若 P 是线段DC 靠近D的三等分点、Q是BC的中点，求cos PAQ；
(2)若DP DC,CQ CB,0 1，求 AP AQ的范围；
(3)若DP 2PC ，连接 AP 交BC的延长线于点T ,Q为BC的中点，试探究线段 AB 上是否
存在一点H ，使得 THQ最大.若存在，求BH 的长；若不存在，说明理由.
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