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专题02 一元二次方程及其解法
知识点一 一元二次方程的有关概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
【典例1】（2023秋 连山县期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
【思路点拨】根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可．
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2﹣1＝2，，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
【变式训练】
1．（2024春 上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y2+2x＝x2﹣1 B．x2+2x＝7 C．x﹣2＝7x D．
【思路点拨】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，据此进行判断即可．
【解析】解：y2+2x＝x2﹣1中含有两个未知数，则A不符合题意；
x2+2x＝7符合一元二次方程的定义，则B符合题意；
x﹣2＝7x中未知数最高次数为1，则C不符合题意；
不是整式方程，则D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2024春 婺城区期中）一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣7
【思路点拨】根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【解析】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式．
3．（2024春 庐阳区校级期中）如果x＝2是方程﹣x2+x﹣k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【思路点拨】将x＝2代入﹣x2+x﹣k＝0，即可求得常数k的值．
【解析】解：把x＝2代入方程﹣x2+x﹣k＝0，得﹣4+2﹣k＝0，
解得：k＝﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程．
4．（2024春 道里区校级期中）若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．a
【思路点拨】把x＝﹣1代入一元二次方程得到即a+b+c＝0，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：当x＝﹣1时，a﹣（﹣b）+c＝0，
即a+b+c＝0，
所以一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2023秋 迁安市期末）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
【思路点拨】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解析】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2024＝3×1+2024＝2027，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．
6．（2024春 合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3
【思路点拨】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
【解析】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0，
即x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得：x1＝0或x2＝﹣3，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了方程解的定义，掌握直接开平方是关键．
知识点二 一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
【典例3】（2024春 蜀山区校级期中）（1）3x2﹣6x+1＝0；（用配方法）
（2）x（x﹣1）＝x．
【思路点拨】（1）先把一次项系数化为1，再利用配方法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【解析】解：（1）3x2﹣6x+1＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±＝±，
x＝1±，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝0，
x（x﹣1﹣1）＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 淮安期末）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【思路点拨】这个式子先移项，变成x2＝9，从而把问题转化为求9的平方根．
【解析】解：移项得x2＝9，∴x＝±3．故选C．
【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．（2023秋 常州期末）方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【思路点拨】首先直接开平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．
【解析】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±．
3．（2024 阳泉一模）将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．（x+3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18
【思路点拨】先把常数项移项，再配方．
【解析】解：∵x2﹣6x﹣9＝0，
∴x2﹣6x＝9．
∴x2﹣6x+9＝9+9．
∴（x﹣3）2＝18．
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，掌握解一元二次方程配方法的一般步骤是解决本题的关键．
4．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【思路点拨】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解析】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是﹣，两根之积为﹣．
5．（2023秋 孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3
【思路点拨】根据因式分解法，可得答案．
【解析】解：因式分解，得
（x﹣3）（2x﹣5）＝0
于是，得
2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
6．（2023秋 霸州市期末）小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解
C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
【思路点拨】观察小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤即可判断A；利用因式分解法解方程后即可判断B、C、D．
【解析】解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x＝2或x＝1；
故小李解方程的过程错误，x＝2也是该方程的一个解，小李解方程的方法不是配方法，解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
7．（2024春 泰山区期中）解方程：
（1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）．
【思路点拨】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解析】解：（1）原方程整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝+，
即（x﹣）2＝，
直接开平方得：x﹣＝±，
解得：x1＝，x2＝；
（2）原方程整理得：2x2﹣4x﹣9＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣9，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣9）＝88＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
8．（2024春 江干区校级期中）解下列方程：
（1）2x（x﹣3）＝x﹣4；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【思路点拨】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解析】解：（1）原方程化为2x2﹣7x+4＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝3，x2＝9．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
知识点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
【典例3】（2024春 安庆期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．
【思路点拨】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝16k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，再利用x1﹣x2＝4得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，则36k2﹣4×5k2＝16，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（﹣6k）2﹣4×5k2＝16k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，
∵x1﹣x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36k2﹣4×5k2＝16，
即k2＝1，
解得k1＝1，k2＝﹣1．
故k的值为1或﹣1．
【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2024春 郑州期中）下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+kx﹣1＝0 D．x2+x+2＝0
【思路点拨】根据根的判别式解答即可．
【解析】解：A．∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
B．∵Δ＝4﹣0＝4＞0，∴方程有2个相等的实数根，故不符合题意；
C．∵Δ＝k2+4＞0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；
D．∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣11＜0，∴方程没有实数根，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．
2．（2024 沂水县一模）对于任意实数m，关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【思路点拨】根据根的判别式求解即可．
【解析】解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根，是解决问题的关键．
3．（2024 顺德区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜，
∴实数m的值可以是2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
4．（2024 滁州二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据题意得到m≠0并且Δ＝0，即可求出m的值．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴m≠0并且Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4m （﹣1）＝1+4m＝0，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．（2024 金平区一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣4k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．k≥﹣ D．k＞﹣
【思路点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，
解得k≥﹣．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2024春 高安市期中）若关于x的一元二次方程ax2﹣3ax+a＝0有两个实数根x1，x2，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0 B．x1+x2＝﹣3 C．x1 x2＝﹣1 D．x1，x2都是正数
【思路点拨】直接利用根与系数的关系结合实数运算的性质分析得出答案．
【解析】解：关于x的一元二次方程ax2﹣3ax+a＝0有两个实数根x1，x2，则a≠0，故选项A不合题意；
x1+x2＝3，故此选项B不合题意；
x1 x2＝1，故此选项C不合题意；
由B，C可得：x1，x2都是正数，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解题关键．
7．（2024春 蜀山区校级期中）若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（ ）
A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解析】解：设方程的另一根为x＝p．
∵关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，
∴x＝﹣2满足关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0，
∴4+2m﹣6＝0，
解得m＝1，
又由根与系数的关系知：﹣2p＝﹣6，
解得p＝3，
故另一个根和m的值分别为3，1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
8．（2024春 瑶海区校级期中）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2026 B．2027 C．2024 D．2029
【思路点拨】由题意知，a2+2a﹣2026＝0，a+b＝﹣2，根据a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b），代值求解即可．
【解析】解：由题意知，a2+2a﹣2026＝0，a+b＝﹣2，
∴a2+2a＝2026，
∴a2+3a+b
＝（a2+2a）+（a+b）
＝2026﹣2
＝2024，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024 银川一模）关于x的方程x2+6x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为 k＞9 ．
【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝62﹣4k＝36﹣4k＜0，解之即可得出结论．
【解析】解：∵关于x的方程x2+6x+k＝0没有实数根，
∴Δ＝62﹣4k＝36﹣4k＜0，
解得：k＞9．
故答案为k＞9．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
10．（2024 邵东市一模）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝ ﹣2 ；
【思路点拨】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．
11．（2024春 浑南区期中）关于x的一元二次方程x2﹣4mx+8m﹣4＝0的两个根．
（1）求证：该方程始终有两个实数根；
（2）等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【思路点拨】（1）先计算出Δ＝（﹣4m）2﹣4（8m﹣4）＝16（m﹣1）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【解析】（1）证明：Δ＝（﹣4m）2﹣4（8m﹣4）＝16（m﹣1）2，
∵（m﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由x2﹣4mx+8m﹣4＝0，得：（x﹣2）（x﹣4m+2）＝0，
此方程的两根为x1＝4m﹣2，x2＝2．
若x1≠x2，则x1＝6，此等腰三角形的三边分别为6，6，2，周长为14．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，6，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为14．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
12．（2024 江海区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【思路点拨】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ＞0即可．
（2）因为＝，所以由根与系数的关系可得，解方程可得m的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+4m+1﹣4m+4＝4m2+5＞0，
∴不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）知方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0总有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1）＝﹣2m﹣1，x1x2＝m﹣1，
而，即，解得，
∵时，m﹣1≠0，
∴是原分式方程的解，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
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专题02 一元二次方程及其解法
知识点一 一元二次方程的有关概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
【典例1】（2023秋 连山县期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
【变式训练】
1．（2024春 上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y2+2x＝x2﹣1 B．x2+2x＝7 C．x﹣2＝7x D．
2．（2024春 婺城区期中）一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣7
3．（2024春 庐阳区校级期中）如果x＝2是方程﹣x2+x﹣k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（2024春 道里区校级期中）若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．a
5．（2023秋 迁安市期末）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
6．（2024春 合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3
知识点二 一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
【典例3】（2024春 蜀山区校级期中）（1）3x2﹣6x+1＝0；（用配方法）
（2）x（x﹣1）＝x．
【变式训练】
1．（2023秋 淮安期末）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
2．（2023秋 常州期末）方程（x+1）2＝4的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．（2024 阳泉一模）将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．（x+3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18
4．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
5．（2023秋 孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3
6．（2023秋 霸州市期末）小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解
C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
7．（2024春 泰山区期中）解方程：
（1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）．
8．（2024春 江干区校级期中）解下列方程：
（1）2x（x﹣3）＝x﹣4；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
知识点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
【典例3】（2024春 安庆期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．
【变式训练】
1．（2024春 郑州期中）下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+kx﹣1＝0 D．x2+x+2＝0
2．（2024 沂水县一模）对于任意实数m，关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．（2024 顺德区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024 滁州二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 金平区一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣4k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．k≥﹣ D．k＞﹣
6．（2024春 高安市期中）若关于x的一元二次方程ax2﹣3ax+a＝0有两个实数根x1，x2，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0 B．x1+x2＝﹣3 C．x1 x2＝﹣1 D．x1，x2都是正数
7．（2024春 蜀山区校级期中）若关于x的方程x2﹣mx﹣6＝0的一个根是﹣2，则另一个根和m的值分别为（ ）
A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
8．（2024春 瑶海区校级期中）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2026 B．2027 C．2024 D．2029
9．（2024 银川一模）关于x的方程x2+6x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为 ．
10．（2024 邵东市一模）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝ ；
11．（2024春 浑南区期中）关于x的一元二次方程x2﹣4mx+8m﹣4＝0的两个根．
（1）求证：该方程始终有两个实数根；
（2）等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
12．（2024 江海区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
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