专题二　动态问题 课件 (共39张PPT)2024年中考数学专题突破

(共39张PPT)
专题二　
动态问题
思维指导
SI WEI ZHI DAO
PART ONE
01
SPORT
中考解读 解读中考
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
点动、线动、形动构成的问题称为动态几何问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集各种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它全面地考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力.动态几何的特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系.分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).动点问题一直是考试热点.
题型突破
TI XING TU PO
PART TWO
02
SPORT
中考解读 解读中考
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
1.(2021·广州)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE相交于点G.
(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
(2)当CG＝2时，求AE的长；
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.
(1)证明：连接DF，CE.
∵E为AB中点，∴AE＝AF＝AB.
∴EF＝AB＝CD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD.∴EF∥CD.
∴四边形DFEC是平行四边形.
(2)解：作CH⊥AB交AB延长线于点H.设AE＝FA＝m.
∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥EF.
∴△CDG∽△FEG.∴
∴
∴，
FH＝3＋m，CF2＝CH2＋FH2，即(2＋2m)2＝(
∴.
(3)解：如图1，连接AG并延长，交CD于点P.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF∥CD.∴△DPG∽△EAG，△PGC∽△AGF.
∴.
∴.
∵AE＝AF，∴DP＝CP＝1.
∴点G在直线AP上运动.
当点E与点A重合时，点G与点A重合；
如图2，当点E与点B重合时，点G在BD上，
点G运动路径长度为AG.过点G作GH⊥AB于点H.
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2.
∴△CDG∽△FBG.∴
.
在Rt△GHB中，BG＝
，
∴AG2＝AH2＋GH2＝.
2.(2021·海南)已知抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，3).
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；
(3)如图2，有两动点D，E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t s，请解答下列问题：
①当t为何值时，△BDE的面积等于 ；
②在点D，E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD，DF，FE，EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两点，
∴
∴该抛物线的函数解析式为y＝x＋3 .
(2)∵抛物线y＝
∴
＝5.∴0＜t≤5.
当运动时间为t s时，BE＝t，如图2－1，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，则△BEN∽△BCO.
∴
.
下面分两种情形讨论：i.当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3.
此时CD＝t，点D的坐标为(0，3－t).
∴S△BDE＝S△BOC－S△CDE－S△BOD＝OB·OD
＝t2.
当S△BDE＝
.
ii.如图2－2，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD＝7－t，
∴S△BDE＝
.
综上，当t＝
.
②点F的坐标为 或(3，3).提示：如图2－3，
当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3；
∵A(－1，0)，D(0，3－t)，
ExF＋3).
由平行四边形的对角线互相平分，有
(舍去).
∴xF＝.
如图2－4，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，A(－1，0)，D(t－3，0)，
ExF＋3).
由平行四边形的对角线相互平分，有
解得t3＝5，t4＝－30(舍去).∴xF＝3.∴F(3，3).
综上，点F的坐标为或(3，3).
A. B.
C. D.
3.如图，P是双曲线y＝(x＜0)上一动点，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A，B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，F是AE的中点，FO的延长线交过点B与AB垂直的直线于点Q，若点O到AB的距离等于OP的最小值，则 的值是( )
C
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以3 cm/s的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以2 cm/s的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H三点，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t s(t＞0).当t为何值时，∠EPF＝90°？
解：以BC边所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，
点D为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
则点B(－5，0)，点P(3t－5，0)，
点H(0，2t)，点A(0，8)，
∴AH＝8－2t，BD＝5，AD＝8.
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD.
∴(4－t).
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
由两点的间的距离公式，得EF＝(4－t)，
PE＝，
PF＝，
∵∠EPF＝90°，∴EF2＝PE2＋PF2，
即[
(4－t)]2＋(2t)2，
解得t1＝0(舍去)，t2＝.
∴当t为 时，∠EPF＝90°.
5.Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，点D为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边三角形ODE.
(1)如图①，当点E恰好落在线段AB上，求点E坐标；
(2)在(1)问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移得到△O'DE，DE交AB于点F，如图②，图中是否存在一条与线段OO'始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：(1)作EH⊥OB于点H.
∵△OED是等边三角形，∴∠EOD＝60°.
又∵∠ABO＝30°，∴∠OEB＝90°.
∵BO＝4，∴OE＝OB＝2.
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH＝30°，
∴OH＝1，EH＝).
(2)存在线段EF＝OO'.证明如下：
∵∠ABO＝30°，∠EDO＝60°，
∴∠ABO＝∠DFB＝30°.∴DF＝DB.
∴OO'＝4－2－DB＝2－DB＝2－DF＝ED－FD＝EF.
(3)所求函数关系式为：
y＝
(提示：当0＜x≤2时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为△ODE面积；当2＜x＜4时，设OE，DE分别与AB交于点G，F，△ODE与△AOB重叠部分的面积为四边形DOGF面积；当x≥4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为定值.)
中考演练
ZHONG KAO YAN LIAN
PART THREE
03
SPORT
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2024
题型突破
中考演练
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模拟演练
【例】(2020·广州)如图，☉O为等边三角形ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC.
(1)求证：DC是∠ADB的平分线.
(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由.
(3)若点M，N分别在线段CA，CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.
(1)证明略
(2)解：四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，理由如下：
如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC.
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC＋∠DBC＝180°.
∴∠DBC＋∠HBC＝180°.∴D，B，H三点共线.
∵DC＝CH，∠CDH＝∠CAB＝60°，∴△DCH是等边三角形.
∵S四边形ADBC＝S△ADC＋S△BDC＝S△BCH＋S△BCD＝S△CDH＝
∴＜x≤4).
图1　　
(3)解：如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F.
∵点D，E关于直线AC对称，∴EM＝DM.同理DN＝NF.
∵△DMN的周长＝DM＋DN＋MN＝FN＋EM＋MN，
∴当E，M，N，F四点共线时，△DMN的周长有最小值.
则连接EF，交AC于点M，交BC于点N，此时△DMN的周长有最小值.
连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于点P.∴△DMN的周长最小值为EF＝t.
∵点D，E关于直线AC对称，∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD.
∵点D，F关于直线BC对称，∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB.
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE＋∠ACD＋∠DCB＋∠FCB＝2∠ACB＝120°.
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，∴EP＝PF，∠CEP＝30°.
∴PC＝CD＝t.
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值.
∵CD为☉O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4.∴t的最大值为4.
图2
分析：（2）将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，可证△DCH是等边三角形，可得四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH=CD2，即可求解；
（3）作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，由轴对称的性质可得EM=DM，DN=NF，可得△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，则当E，M，N，F四点共线时，△DMN的周长有最小值.
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MO NI YAN LIAN
PART FOUR
04
SPORT
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1.如图，在 ABCD中，AB＝5，∠ADB＝90°，tan∠DAB＝2，O为 ABCD对角线AC，BD的交点，l是一条过点O且绕点O旋转的动直线，过点B作BE⊥l于点E.则点E到直线CD的距离的最小值为 　.
2.已知，△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移，如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上.
(1)利用图1证明：EF＝2BC；
(2)如图2，在三角板的平移过程中，AB，AC与DF的交点分别为G，H，线段BE＝AH是否始终成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC.
∵∠F＝30°， ∴∠CAF＝60°－30°＝30°.
∴∠CAF＝∠F.
∴CF＝AC＝BC.
∴EF＝2BC.
(2)解：成立.证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC.
∵∠F＝30°， ∴∠CHF＝60°－30°＝30°.
∴∠CHF＝∠F.∴CH＝CF.
∵EF＝2BC， ∴BE＋CF＝BC.
又∵AH＋CH＝AC，AC＝BC，
∴AH＋CH＝BE＋CF
∴AH＝BE.
3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，交y轴于点N，M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)抛物线的解析式为
y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋2ax－3a，
代入(0，3)，得－3a＝3.解得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)如图1，连接AM，E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D.P是y轴上一动点，连接PD，PC，当EF取最大值时：
①求PD＋PC的最小值；
②如图2，Q为y轴上一动点，请直接写出DQ＋OQ的最小值.
(2)由抛物线的解析式，得M(－1，4)，N(0，3).设直线AM的解析式为y＝kx＋b.
把A(－3，0)，M(－1，4)代入，得
故直线AM的解析式为y＝2x＋6.
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF.
∵AM＝∴.
∴cos∠DEF＝.
设点E(x，－x2－2x＋3)，则点D(x，2x＋6).
则FE＝ED·cos∠DEF＝(－x2－2x＋3－2x－6)×(x2＋4x＋3).
∵＜0，故EF有最大值，此时x＝－2，故点D(－2，2)；
①点C(－1，0)关于y轴的对称点为B(1，0)，连接BD交y轴于点P，
如图，此时点P为所求点，使PD＋PC＝PD＋PB＝DB为最小，
则BD＝，
即PD＋PC的最小值为.
②