专题十　几何综合 课件(共35张PPT) 2024年中考数学专题突破

(共35张PPT)
专题十　
几何综合
思维指导
SI WEI ZHI DAO
PART ONE
01
SPORT
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
几何综合题型一般以基本图形(正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等)为载体，考查运用图形变换分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程.解决这类问题的思路是从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路.
题型突破
TI XING TU PO
PART TWO
02
SPORT
中考解读 解读中考
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
1.(2022·越秀一模)如图，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从点A出发，分别做匀速运动.其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位.当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t s.
(1)当点P，S分别为AB和CD的中点时(如图1)，连接PS，称PS为梯形的中位线.试判断PS与BC，AD的关系，并证明.
(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图2).
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明由.
(1)解：结论：PS∥AD∥BC，PS＝(AD＋BC).
理由：连接CP并延长，交DA的延长线于点E，∵CB∥DE，
∴∠B＝∠PAE.∵PS是梯形的中位线，∴CS＝SD，BP＝PA.
在△CBP和△EAP中，
∴△CBP ≌△EAP(ASA).∴CP＝PE，BC＝AE.
∴SP∥DE，SP＝(AD＋BC).
∴PS∥AD∥BC，PS＝(AD＋BC).
(2)证明：当0＜t＜2时，过点B作BE⊥AD，垂足为E.
∵在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，
AB＝4，BC＝6，AD＝8.∴AE＝AD－BC＝8－6＝2.
∴.
∵∠A＝∠A，∴△APQ ∽△ABE.∴∠PQA＝∠BEA＝90°.
∵PQ为直径，∴以PQ为直径的圆与AD相切.
(3)当0＜t＜2时，以PQ为直径的圆与CD不可能相切.当2≤t≤5时，
t＝时，以PQ为直径的圆与CD相切.
设以PQ为直径的☉O与CD相切于点K，如图.
则有PC＝10－2t，DQ＝8－t，OK⊥DC.
∵OK是梯形PCDQ的中位线，∴PQ＝2OK＝PC＋DQ＝18－3t.
在直角梯形PCDQ中，PQ2＝CD2＋(DQ－CP)2，解得t＝.
∵＜5，
因此，当t＝时，以PQ为直径的圆与CD相切.
2.四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，F是射线BC上一动点(不与点B重合)，连接AF，交DE于点G.
(1)如图1，当F是BC的中点时，求证：△ABF≌△DAE.
(2)如图2，当点F与点C重合时，求AG的长.
(3)在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAE＝90°，
AB＝AD＝BC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BC.∴AE＝BF.
在△ABF和△PAE中，
∴△ABF≌△DAE(SAS).
(2)解：∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，
AD＝CD＝2，
∴AC＝.∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD.
∴.
(3)解：当BF＝时，AG＝AE.理由如下：如图，设AF交CD于点M.
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠4.
又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠4.∴DM＝MG.
在Rt△ADM中，AM2－DM2＝AD2，即(DM＋1)2－DM2＝22，
解得DM＝∴.
∵AB∥CD，∴△ABF∽△MCF.
∴.
解得BF＝∴时，AG＝AE.
3.如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4. E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE. 将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°).
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由.
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长.
(2)如图3，延长CE交直线AG于点P.
①求证：AG⊥CP.
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
(1)解：①△AGD≌△CED. 理由如下：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°.
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC.
∴∠GDE－∠ADE＝∠ADC－∠ADE，即∠ADG＝∠CDE.
在△AGD和△CED中，　
∴△AGD≌△CED(SAS).
②如图1，过点A作AT⊥GD于点T.∵△AGD≌△CED，CD＝CE，
∴AD＝AG＝4.∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1.
∴AT＝.
∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT.∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG.
∴ ∴
∴.
(2)①证明：如图2，设AD交PC于点O.
∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE.
∵∠DCE＋∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，
∴∠AOP＋∠DAG＝90°.
∴∠APO＝90°.∴CP⊥AG.
②解：∵∠CPA＝90°，AC是定值，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大.
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与点P重合(如图3所示).
∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，
∴EC＝.
∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE＋EF＝2＋2.
∴PC的最大值为2＋2.
中考演练
ZHONG KAO YAN LIAN
PART THREE
03
SPORT
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
【例】(2022·南沙一模)如图1，在正方形ABCD中，E为AD边上的一点，连接CE，过点D作DF⊥CE于点G，DF交AB于点F.已知DG＝4，CG＝16.
(1)EG的长是 　1　；
(2)如图2，以点G为圆心，GD为半径的圆与线段DF，CE分别交于M，N两点.
①连接CM，BM，若P为BM的中点，连接CP，
求证：∠BCP＝∠MCP；
②连接BN，若Q为BN的中点，连接CQ，求线段CQ的长.
(2)①证明：连接CM，BM，CP.
∵G为DM的中点，CG⊥DM，∴CM＝CD.
∵CD＝CB，∴CB＝CM.
∵P为BM的中点，∴∠BCP＝∠MCP.
②解：过点Q作QH⊥CD于点H，
连接NH并延长交BC的延长线于点L，
过点N作NK⊥CD于点K.
在Rt△CGD中，DG＝4，CG＝16，
则CD＝.
∵CG＝16，GN＝4，∴CN＝16－4＝12.
∵∠CGD＝∠CKN＝90°，∠NCK＝∠DCG，
∴△CKN ∽△CGD.
∴.
解得CK＝.
∵QH⊥CD，∠DCB＝90°，
NK⊥CD，
∴NK∥QH∥BC.
∵NQ＝QB，
∴KH＝HC＝.
易证QH＝.
∴CQ＝.
模拟演练
MO NI YAN LIAN
PART FOUR
04
SPORT
2024
题型突破
中考演练
思维指导
模拟演练
1.如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，M，N，P分别为DE，BE，BC的中点.
(1)【观察猜想】
图1中，线段NM，NP的数量关系是　 　，∠MNP的度数为　 　；
　60°　
　NM＝NP　
(2)【探究证明】
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP，BD，CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值.
(2)解：△MNP是等边三角形.理由如下：
由旋转可得，∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵M，N，P分别为DE，BE，BC的中点.
∴MN＝CE，MN∥BD，PN∥CE.
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE.
∴∠ENP＝∠NBP＋∠NPB＝∠NBP＋∠ECB.
∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE＝∠ENM，
∴∠MNP＝∠ENP＋∠ENM＝(∠EBC＋∠ACE)＋(∠ABE＋∠ECB)＝180°－∠BAC＝60°.
∴△MNP是等边三角形.
(3)根据题意，得BD≤AB＋AD，即BD≤4.∴MN≤2.
∴△MNP的面积＝MN2.
∴△MNP的面积的最大值为.
2.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，
OB＝OD＋CD.
(1)过点A作AE∥DC交BD于点E，
①求证：△AOE≌△COD；
②求证：AE＝BE；
(2)如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，若AD'∥BC，
求证：CD2＝2OD·BD.
证明：(1)①∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO.
在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(AAS).
②∵△AOE≌△COD，∴CD＝AE，OD＝OE.
∵OB＝OE＋BE，OB＝OD＋CD，
∴BE＝CD. ∴AE＝BE.
(2)过点A作AF∥DC交BD于点E，交BC于点F.
∵AD'∥BC，∴∠D'AB＝∠ABC.
由翻折可知，∠D'AB＝∠DAB，∴∠ABC＝∠DAB.
∵AE＝BE，∴∠ABD＝∠EAB.
∴∠ABC－∠ABD＝∠DAB－∠EAB，
即∠DBC＝∠DAE.
∵AE∥DC，∴∠AED＝∠CDB. ∴△ADE∽△BCD.
∴.∴AE·CD＝DE·BD.
由②可知，AE＝CD，OD＝EO.
∴DE＝2OD.∴CD2＝2OD·BD.
3.(2022·南沙一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D.
(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，交边AC于点E；
(2)若AD∶BD＝3∶4，求sin C的值；
(3)已知BC＝10，BD＝6.若点P为平面内任意一动点，且保持∠BPC＝90°，求线段AP的最大值.
解：(1)如图1即为所求，
(2)设AD＝3x，BD＝4x.
∴AB＝＝5x.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＝90°.
∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°.
∴∠C＝∠ABD.
∴sin C＝sin∠ABD＝.
(3)如图2，以BC为直径作圆O，连接AO交圆于两点P1，P2，
当P与P2重合时，AP取最大值AP2.连接BP1，BP2.
∵sin∠ABD＝，
∴sin∠BAD＝
∴.
在Rt△ABO中，AO2＝AB2＋OB2.
∴AO＝.
∴线段AP的最大值是AP2＝＋5.