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专题02 二元一次方程组及其解法
知识点一 有关概念及应用
1.二元一次方程
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.二元一次方程组
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【典例1】1．（2023秋 成都期末）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C．y+ D．2x﹣1＝5
【点拨】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解析】解：A选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；
B选项，x的次数是2，不符合题意；
C选项，不是整式方程，不符合题意；
D选项，不含两个未知数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．（2023秋 北碚区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论．
【解析】解：A．方程组中的第二个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
C．方程组中的第二个方程中含未知数的项的次数是2，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．方程组中的第二个方程中未知数的次数是2，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋 鸡泽县期末）已知方程ax+y＝3x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a≠3 D．a≠﹣3
【点拨】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解析】解：方程整理得（a﹣3）x+y+1＝0，
由题意得：a﹣3≠0，即a≠3，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练掌握含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程．
2．（2023秋 民乐县校级期末）若是方程mx﹣2y＝2的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣1
【点拨】将所给的解代入二元一次方程，得到关于m的一元一次方程，求解m即可．
【解析】解：∵是方程mx﹣2y＝2的一个解，
∴3m﹣10＝2，
解得m＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
3．（2023春 赫山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组进行分析即可．
【解析】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误；
B、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
C、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
4．（2023秋 于洪区期末）下列4组数值中，不是二元一次方程2x﹣y＝4的解的是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】分别将各选项中的解代入原方程，取方程左边≠方程右边的选项即可．
【解析】解：A．当时，方程左边＝2×0﹣4＝﹣4，方程右边＝4，
∵﹣4≠4，
∴方程左边≠方程右边，
∴不是二元一次方程2x﹣y＝4的解，选项A符合题意；
B．当时，方程左边＝2×2＝4，方程右边＝4，
∵4＝4，
∴方程左边＝方程右边，
∴是二元一次方程2x﹣y＝4的解，选项B不符合题意；
C．当时，方程左边＝2×4﹣4＝4，方程右边＝4，
∵4＝4，
∴方程左边＝方程右边，
∴是二元一次方程2x﹣y＝4的解，选项C不符合题意；
D．当时，方程左边＝2×（﹣2）﹣（﹣8）＝4，方程右边＝4，
∵4＝4，
∴方程左边＝方程右边，
∴是二元一次方程2x﹣y＝4的解，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5．（2023秋 渝北区期末）如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ 4 ．
【点拨】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．
【解析】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，
∴2m﹣3n＝2020．
∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握方程解的意义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
知识点二 二元一次方程组的解法
常用方法：代入消元法 、加减消元法
解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示；
用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
写出方程组的解
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
写出方程组的解
【典例2】（2023秋 泗县期末）解方程组：
（1）； （2）．
【点拨】（1）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；
（2）先把方程组中的方程去分母，再用加减消元法或代入消元法求解即可．
【解析】解：（1）方程组可化为，
①×2+②得，5x＝﹣5，
解得x＝﹣1；
把x＝﹣1代入①得，﹣2﹣y＝1，
解得y＝﹣3，
故方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
①+②得，2x＝10，
解得x＝5；
把x＝5代入②得，5﹣2y＝1，
解得y＝2，
故方程组的解为．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春 铜梁区期末）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x C．由②得 D．由②得
【点拨】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【解析】解：由①得y＝5﹣2x或，
故A、B正确，不符合题意；
由②得或，
故C不正确，符合题意；D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．
2．（2023秋 济南期末）用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（ ）
A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3
【点拨】观察两方程发现y的系数相等，故将两方程相减消去y即可得到关于x的一元一次方程．
【解析】解：解方程组，由②﹣①消去未知数y，
所得到的一元一次方程是2x＝9．
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元的思想是关键．
3．（2023春 惠阳区期末）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．2x﹣1+x＝5 B．x﹣1+x＝5 C．x﹣1﹣x＝5 D．2x﹣1﹣x＝5
【点拨】把②代入①得出2x﹣（1+x）＝5，再去掉括号即可．
【解析】解：，
把②代入①，得2x﹣（1+x）＝5，
2x﹣1﹣x＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
4．（2023春 海林市期末）已知是二元一次方程组的解，则4n﹣2m的算术平方根为（ ）
A．2 B． C．±2 D．
【点拨】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【解析】解：把代入方程组得：，
解得：，
则4n﹣2m＝8﹣6＝2，即2的算术平方根是，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023春 玉环市期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
【点拨】利用消元法一一判断即可．
【解析】解：要消去x，可以将①×5﹣②×2，
可得15y+4y＝30﹣18，
可得y＝．
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元法解方程组，属于中考常考题型．
6．（2023秋 紫金县期末）已知和是二元一次方程ax+by＝3的两个解，则a，b的值分别为（ ）
A．2，﹣1 B．﹣2，1 C．﹣1，2 D．1，﹣2
【点拨】把方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【解析】解：∵和是二元一次方程ax+by＝3的两个解，
∴，
①+②，得3a＝6，a＝2，
b＝a﹣3＝2﹣3＝﹣1，
故选：A．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解题关键是方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组．
7．（2023秋 邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（ ）
A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4
【点拨】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可．
【解析】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4，
解得：b＝4，
将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7，
解得：a＝﹣5，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，结合已知条件，将方程的解代入正确的方程是解题的关键．
8．（2023秋 钟山区期末）解方程组：
（1）； （2）．
【点拨】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解析】解：（1），
将②代入①得：2（y+1）+3y＝22，
整理得：5y+2＝22，
解得：y＝4，
将y＝4代入②得：x＝4+1＝5，
故原方程组的解为；
（2），
①×2+②得：8x＝18，
解得：x＝，
将x＝代入②得：﹣4y＝4，
解得：y＝，
故原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
9．（2023秋 碑林区校级期末）解下列二元一次方程组：
（1）； （2）．
【点拨】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）先整理方程组，再利用加减消元法进行求解即可．
【解析】解：，
①×4得：8x﹣4y＝﹣16③，
②+③得：13x＝﹣13，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣2﹣y＝﹣4，
解得：y＝2，
故原方程组的解是：；
（2），
整理得：，
①×2得：8x﹣2y＝10③，
②+③得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：8﹣y＝5，
解得：y＝3，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
10．（2023秋 吉州区期末）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”： y＝﹣x+4 ．
（2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值．
【点拨】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题；
（2）根据概率得出y＝3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
【解析】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4，
故答案为：y＝﹣x+4．
（2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3，
又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
∴，
解得，
∴m＝1，n＝8．
【点睛】本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算．
知识点三 二元一次方程（组）的特殊解
【典例3】（2023秋 临淄区期末）二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据已知方程，把y用含有x的式子表示出来，再根据x，y均为正整数，求出12﹣2x为3的倍数，从而列出关于x的方程，求出x，y，最后根据解为正整数进行判断即可．
【解析】解：2x+3y＝12，
3y＝12﹣2x，
，
∵x，y都是正整数，
∴12﹣2x为3的倍数，
∴12﹣2x＝3，解得：x＝4.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝6，解得：x＝3，则y＝2；
12﹣2x＝9，解得：x＝1.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝12，解得：x＝0（不合题意舍去）；
12﹣2x＝15，解得：x＝﹣1.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝18，解得：x＝﹣3（不合题意舍去）；
…，
∴二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有1组，为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的求法．
【变式训练】
1．（2023秋 信宜市期末）写出二元一次方程x+y＝5的一组整数解 （答案不唯一） ．
【点拨】用x表示出y，确定出整数解即可．
【解析】解：方程x+y＝5，
解得：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，
则二元一次方程的一组整数解为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022秋 文山州期末）若是关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的正整数解，则a+b的值为 6或5或4 ．
【点拨】求出方程组的正整数解，再计算a+b的值即可．
【解析】解：关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的正整数解有：或或，
所以a+b的值为：6或5或4，
故答案为：6或5或4．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解以及正整数解的意义是正确解答的关键．
3．（2023秋 邹平市期末）若关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则m＝ 2 ．
【点拨】先根据已知条件和互为相反数的和为0，求出x+y＝0，然后把已知方程组中的两个方程相加，得到关于m的方程，解方程即可．
【解析】解：∵关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，
∴x+y＝0，
，
①+②得：7x+7y＝2m﹣4，
7（x+y）＝2m﹣4，
∴2m﹣4＝0，
2m＝4，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握利用加减消元法求x+y．
4．（2023秋 太湖县期末）已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
【点拨】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即可．
【解析】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，
当3+2m＝0时，解得m＝﹣，
将m＝﹣代入方程得，0×x+（﹣﹣2）y＝﹣﹣9，
解得y＝3；
当m﹣2＝0时，解得m＝2，
将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，
解得x＝﹣1，
∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解．
5．（2023秋 潜山市期末）关于x、y的方程组无解，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．9 D．30
【点拨】由第二个方程可得y＝2x﹣1，将此式代入第一个方程可以得到一个关于x解的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得a的值．
【解析】解：原方程组，由（2）式得y＝2x﹣1，代入（1）式得：
ax+6x﹣3＝9，
解得x＝，当a+6＝0时原方程组无解，a＝﹣6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟知方程组无解的含义．
6．（2023春 安陆市期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
【点拨】由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．
【解析】解：由方程组，
有y﹣5＝m
∴将上式代入x+m＝4，
得到x+（y﹣5）＝4，
∴x+y＝9．
故选：C．
【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
7．（2023春 巴南区期末）对于x，y定义一种新运算F，规定F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：F（0，0）＝a×0+b×0＝0，若F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1）＝4，下列结论正确的个数为（ ）
①F（3，4）＝﹣5；
②若F（m，n）﹣2F（﹣m，n）＝27，则m，n有且仅有4组正整数解；
③若F（kx，y）＝F（x，ky）对任意实数x，y均成立，则k＝1．
A．3 B．2 C．1 D．0
【点拨】依据题意，首先根据F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1）＝4求出a，b的值，然后再对各个结论逐一判断即可得解．
【解析】解：由题意得，，
∴．
∴F（x，y）＝x﹣2y．
∴对于①，F（3，4）＝3﹣2×4＝﹣5．
∴①正确．
对于②，由题意得，m﹣2n﹣2（﹣m﹣2n）＝27，
∴3m+2n＝27．
∴3m+2n＝27正整数解为，，，，共4组．
∴②正确．
对于③，显然当k＝1时，有F（x，y）＝F（x，y）总成立，
∴③正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题时需要熟练掌握并理解．
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专题02 二元一次方程组及其解法
知识点一 有关概念及应用
1.二元一次方程
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.二元一次方程组
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【典例1】1．（2023秋 成都期末）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C．y+ D．2x﹣1＝5
2．（2023秋 北碚区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022秋 鸡泽县期末）已知方程ax+y＝3x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a≠3 D．a≠﹣3
2．（2023秋 民乐县校级期末）若是方程mx﹣2y＝2的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣1
3．（2023春 赫山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋 于洪区期末）下列4组数值中，不是二元一次方程2x﹣y＝4的解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋 渝北区期末）如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ ．
知识点二 二元一次方程组的解法
常用方法：代入消元法 、加减消元法
解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示；
用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
写出方程组的解
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
写出方程组的解
【典例2】（2023秋 泗县期末）解方程组：
（1）； （2）．
【变式训练】
1．（2023春 铜梁区期末）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x C．由②得 D．由②得
2．（2023秋 济南期末）用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（ ）
A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3
3．（2023春 惠阳区期末）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．2x﹣1+x＝5 B．x﹣1+x＝5 C．x﹣1﹣x＝5 D．2x﹣1﹣x＝5
4．（2023春 海林市期末）已知是二元一次方程组的解，则4n﹣2m的算术平方根为（ ）
A．2 B． C．±2 D．
5．（2023春 玉环市期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5﹣②×3
C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×2﹣②×3
6．（2023秋 紫金县期末）已知和是二元一次方程ax+by＝3的两个解，则a，b的值分别为（ ）
A．2，﹣1 B．﹣2，1 C．﹣1，2 D．1，﹣2
7．（2023秋 邹平市期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（ ）
A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4
8．（2023秋 钟山区期末）解方程组：
（1）； （2）．
9．（2023秋 碑林区校级期末）解下列二元一次方程组：
（1）； （2）．
10．（2023秋 吉州区期末）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值．
知识点三 二元一次方程（组）的特殊解
【典例3】（2023秋 临淄区期末）二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023秋 信宜市期末）写出二元一次方程x+y＝5的一组整数解 ．
2．（2022秋 文山州期末）若是关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的正整数解，则a+b的值为 ．
3．（2023秋 邹平市期末）若关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则m＝ ．
4．（2023秋 太湖县期末）已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
5．（2023秋 潜山市期末）关于x、y的方程组无解，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．9 D．30
6．（2023春 安陆市期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝9 D．x+y＝﹣9
7．（2023春 巴南区期末）对于x，y定义一种新运算F，规定F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：F（0，0）＝a×0+b×0＝0，若F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1）＝4，下列结论正确的个数为（ ）
①F（3，4）＝﹣5；
②若F（m，n）﹣2F（﹣m，n）＝27，则m，n有且仅有4组正整数解；
③若F（kx，y）＝F（x，ky）对任意实数x，y均成立，则k＝1．
A．3 B．2 C．1 D．0
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