2024年高考理科数学模拟测试题（含答案）

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷---理科数学试卷
命题人内师大数学民一中老师孙婕，张为涛，审核张世斌
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、座位号填写在答题卡上150分
本试卷
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．已知全集, 集合, , 则=( )
A. B. C. D.
2在复平面内，复数（i为虚数单位），则
A. z的实部为2 B. C. D. z对应的点位于第一象限
3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知抛物线C 与抛物线y =4x ,关于直线y=x 对称，则抛物线C的准线方程是( )
5．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有 ( )
A.GD⊥△SEF所在平面
B. SD⊥△EFG所在平面
C. GF⊥△SEF所在平面
D. SG⊥△EFG所在平面
7.人类大脑对事物的遗忘是有规律的，德国心理学家艾·宾浩斯研究发现实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t (小时)变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据： lg2≈0.30,lg3≈0.48) ( )
A. 2小时 B. 0.8小时 C. 0.5 小时 D. 0.2 小时
8.随机变量 X,Y分别服从正态分布和二项分布，即, ，则下列不正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10.函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0. 设f'(x)是f(x)的导函数，则关于x 的不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
11.关于正方体的截面可能是什么形状的图形正确的是 ．
①截面可以是三角形，等边三角形、等腰三角形、一般三角形，
②截面三角形是锐角三角形;截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形;
③截面可以是四边形，平行四边形、矩形、菱、正方形、梯形、等腰梯形;
④截面可以是六边形;
⑤截面可以是五边形;
A. ①②④ B. ①④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤
12．判断推理正确的个数
① 已知向量、向量为非零向量，那么
② 已知向量、向量为非零向量，，。那么
③ 已知向量、、满足条件，，那么为正三角形
④ 在中，若，那么点在的垂心。
四个结论正确选项的个数 ．
A.1 B.2 C.3 D.4
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数, (其中，)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为,与x轴在原点右侧的第一个交点为，求这个函数的解析式.____________
14.函数最值的和为_____________
15.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次____________
16.选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择。调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的，下星期一会有30%改选 A种菜。用和分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果=m, 求 =__________
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.(本小题12分)记的内角的对边分别为，
已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
19.(本小题12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
20.(本小题12分)
如果点在运动过程中，总满足关系式
(1)求点的轨迹C方程 ；
(2)设O为坐标原点，直线 L 是 圆x +y =1 的一条切线，且直线 L 与点的轨迹 C 交 于 M,N两点，若平行四边形 OMPN 的 顶 点P 恰好在点的轨迹 C上，求平行四边形OMPN的面积.
21.(本小题12分)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
（一）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做第一题计分。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
23.［选修4-5：不等式选讲］(10分）设，函数．
(1)求不等式的解集；
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(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求试卷第2页，共5页
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试卷第5页，共5页
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B C B D C D C D D D
13. 14. 15. 8 16.
17．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
18. （1）；（2）
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．
19. （1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
20.
21. 【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】
(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）
当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）
令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）
由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
22. 【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
23. (1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.