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第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 等号两边都是关于未知数的 的方程，称为整式方程.
2. 只含有一个 的 方程，并且可以化成 ax2＋
bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a ≠0）的形式，这样的方程叫做
一元二次方程.
整式
未知数
整式
3. 一元二次方程的一般形式为 （ a ， b ， c
都是常数，且 a ≠0），其中 ax2， bx ， c 分别称为二次项、一次
项和 ， a ， b 分别称为 和一次项系
数.例如：2 x2－ x －4＝0中，二次项是2 x2， 是－
x ，常数项是－4，二次项系数是2，一次项系数是－ .
ax2＋ bx ＋ c ＝0
常数项
二次项系数
一次项
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0 2
典例讲练
（1）下列关于 x ， y 的方程中，属于一元二次方程的有
（填序号）.
① x2＝0；② x2－2 xy ＋3＝0；③ x2＋3＝ x （ x ＋1）；④ ＋
3 x ＝0；⑤ ＝ x －5；⑥ ＋3 x ＝1；⑦ ax2＋ bx ＋ c ＝0；⑧
（ m － n ） y2＋ my ＝0（ m ≠ n ）.
【思路导航】根据一元二次方程的定义进行判断即可.
①④
⑧
【解析】①④满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；②
含有 x ， y 两个未知数；③整理后得3＝ x ；⑤含有 ，不是整
式；⑥含有 ，不是整式；⑦若 a ＝0，则未知数 x 的最高次数不
为2；⑧中，∵ m ≠ n ，∴ m － n ≠0.∴未知数 y 的最高次数为
2，该方程是一元二次方程.综上所述，只有①④⑧是一元二次
方程.故答案为①④⑧.
【点拨】（1）一元二次方程的判定依据与基本步骤：①判定是
整式方程；②化简后只含有一个未知数；③化简后未知数的最
高次数为2；④化简后二次项系数不为0.这四个条件必须同时满
足，缺一不可.（2）一元二次方程是整式方程，这里的“整
式”是对未知数而言的.例如：在方程 x2＋ x ＋ ＝0（ a ， b ， c
为常数， a ≠0）和 x2－2 x ＝0中，虽然含有分母或根式，
但是分母和根式中都不含有未知数，因此它们都是一元二次方
程； 在方程 x2＋ ＝2和 x2－2 ＋1＝0中，因为分母或根式中
都含有未知数，所以都不是整式方程，也就不是一元二次方程.
（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的
二次项系数、一次项系数及常数项.
①4 x2－3 x ＝ x （ x －2）；
②3 x （ x －1）＝（ x ＋2）（ x －2）＋9.
【思路导航】先对方程进行去括号、移项、合并同类项等变
形，化为一般形式再指出方程中的二次项系数、一次项系数及
常数项.
解：①去括号，得4 x2－3 x ＝ x2－2 x .
移项、合并同类项，得3 x2－ x ＝0.
其中，二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0.
②去括号，得3 x2－3 x ＝ x2－4＋9.
移项、合并同类项，得2 x2－3 x －5＝0.
其中，二次项系数为2，一次项系数为－3，常数项为－5.
【点拨】求一元二次方程的各项及其系数或常数项时，其基本
步骤：①将原方程进行化简整理为一般形式 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a
≠0），习惯上，一般式中的二次项系数化为正数；②确定 a ，
b ， c 的值（特别注意要包含前面的符号）.
1. 下列方程：① x2＝16；② ＝5；③ x2－ ＝2；④2 x2＋ y
－1＝0；⑤（ x －1）（ x ＋3）＝ x2＋7；⑥ k2 x2＋2 kx －6＝0.其
中属于一元二次方程的有 （填序号）.
2. 把下列关于 x 的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它
的二次项系数、一次项系数和常数项.
①②
（1）3 x2＝－5；
解：（1）一般形式为3 x2＋5＝0，二次项系数为3，一次项系数
为0，常数项为5.
（2）6 x2＝3－7 x ；
解：（2）一般形式为6 x2＋7 x －3＝0，二次项系数为6，一次项
系数为7，常数项为－3.
（3）3 x （ x －1）＝2（ x ＋2）＋4；
解：（3）一般形式为3 x2－5 x －8＝0，二次项系数为3，一次项
系数为－5，常数项为－8.
（4）（ x － b ）2＋（ a ＋ x ）2＝ a2＋ b2.
解：（4）一般形式为 x2＋（ a － b ） x ＝0，二次项系数为1，一
次项系数为 a － b ，常数项为0.
某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，那么
平均每天可售出500 kg .经市场调查发现，在进货价不变的情况
下，销售价每上涨1元，日销售量将减少20 kg .现该商场要想使
这种水果的盈利平均每天达到6 000元，那么每千克水果应涨价
多少元？根据题意，列出方程，化为一元二次方程的一般形
式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
【思路导航】设每千克水果应涨价 x 元，先用含 x 的代数式分别
表示每千克水果的盈利和每天的平均销售量，再根据“每千克
水果盈利×销售量＝总盈利”列方程并化简即可.
解：设每千克水果涨价 x 元.
根据题意，得（10＋ x ）（500－20 x ）＝6 000.
一般形式为 x2－15 x ＋50＝0.
其中，二次项系数为1，一次项系数为－15，常数项为50.
【点拨】一元二次方程是刻画现实世界的一个常用的数学模
型，常见的列一元二次方程解决实际问题的类型为图形面积问
题、增长率问题、行程问题、工程问题等.解决问题的一般步
骤：①设未知数；②用未知数表示相关量；③根据相关量间的
等量关系列方程；④将方程化简.
1. （2023·广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会
发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收
入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可
支配收入的年平均增长率为 x ，依题意可列方程为（ B ）
A. 2（1－ x ）2＝3.7
B. 3.2（1＋ x ）2＝3.7
C. 3.7（1－ x ）2＝3.2
D. 3.7（1＋ x ）2＝3.2
B
2. 有一个面积是15 cm2的矩形，当长增加1 cm，宽增加3 cm
时，恰好变成一个正方形.设这个正方形的边长是 x cm，根据题
意，可列方程为 ，把它化为一元二
次方程的一般形式是 .
（ x －1）（ x －3）＝15
x2－4 x －12＝0
已知关于 x 的方程（ m2－1） x2＋（ m ＋1） x －2＝0.
（1）当 m 为何值时，此方程为一元一次方程？
（2）当 m 为何值时，此方程为一元二次方程？并写出方程的二
次项系数、一次项系数和常数项.
【思路导航】（1）要使该方程为一元一次方程，则二次项系数
等于0，且一次项系数不等于0即可；（2）要使该方程为一元二
次方程，则必须保证二次项系数不等于0，并写出各项系数和常
数项即可.
解：（1）若原方程为一元一次方程，则
解得 m ＝1.
∴当 m ＝1时，原方程为一元一次方程.
（2）若原方程为一元二次方程，则 m2－1≠0.
解得 m ≠±1.
∴当 m ≠±1时，原方程为一元二次方程.
此时，方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 m2－1，
m ＋1，－2.
【点拨】对于含有字母参数的关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0：①
当 a ＝0， b ≠0时，原方程是一元一次方程；②当 a ≠0时，原
方程是一元二次方程，字母 b ， c 可以取任意实数.一元一次方程
和一元二次方程的相同点是都是整式方程，且只含有一个未知
数，不同点是未知数的最高次数不同，分别为1和2.
已知关于 x 的方程（ k ＋1） ＋（ k －3） x －1＝0.
（1）当 k 取何值时，它是一元一次方程？
解：（1）当 k2＋1＝1，即 k ＝0时，原方程为 x －3 x －1＝0，即
－2 x －1＝0，是一元一次方程.
当 k2＋1≠1，即 k ≠0时，
∵关于 x 的方程（ k ＋ ＋（ k －3） x －1＝0是一元一次
方程，
∴解得 k ＝－1.
综上所述，当 k ＝－1或0时，原方程是一元一次方程.
（2）当 k 取何值时，它是一元二次方程？
解：（2）∵关于 x 的方程（ k ＋1） ＋（ k －3） x －1＝0
是一元二次方程，
∴
解得 k ＝1.
∴当 k ＝1时，原方程是一元二次方程.
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第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 一元二次方程的求根公式.
一般地，对于一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）.当
时，方程的根是 x ＝ ，这个公式称为一元二
次方程的求根公式.
注意：“ a ≠0”与“ b2－4 ac ≥0”是应用求根公式的前提，不
可忽视.
b2－
4 ac ≥0
2. 用公式法求解一元二次方程的基本步骤.
一般步骤 示例
[（ x －2）（3 x －5）＝1]
一
化 首先将原方程化为一般式 ax2＋
bx ＋ c ＝0（ a ≠0） 3 x2－11 x ＋9＝0
二
定 确定 a ， b ， c 的值，并计算 b2
－4 ac 的值 a ＝3， b ＝－11， c ＝9，
则 b2－4 ac ＝（－11）2－
4×3×9＝13
一般步骤 示例
[（ x －2）（3 x －5）＝1]
三
判 判断 b2－4 ac 的符号：若 b2－4
ac ≥0，方程有实数根；若 b2
－4 ac ＜0，方程没有实数根 b2－4 ac ＝13＞0，方程有
两个不相等的实数根
四
解 若方程有实数根，则将 a ，
b ， c 的值代入公式计算并化简 x ＝
＝
3. 根的判别式.
我们把 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）
的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示.
4. 一元二次方程解的个数问题.
对于一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）：
（1）Δ＝ b2－4 ac ＞0 方程有 的实数根；
（2）Δ＝ b2－4 ac ＝0 方程有 实数根；
（3）Δ＝ b2－4 ac ＜0 方程 实数根.
b2－4 ac
两个不相等
两个相等的
没有
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0 2
典例讲练
用公式法解下列方程：
（1） x2－3 x ＋1＝0；
解：（1）这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝1.
∵ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×1＝5＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
（2）3 x2－6 x ＝1；
解：（2）将原方程化为一般形式，得3 x2－6 x －1＝0.
这里 a ＝3， b ＝－6， c ＝－1.
∵ b2－4 ac ＝（－6）2－4×3×（－1）＝48＞0，
∴ x ＝ ＝ ＝ .
即 x1＝1＋ ， x2＝1－ .
（3） x2＋ x ＋1＝0；
解：（3）整理，得 x2＋2 x ＋2＝0.
这里 a ＝1， b ＝2 ， c ＝2.
∵ b2－4 ac ＝ －4×1×2＝0，
∴ x ＝ ＝ ＝－ ，
即 x1＝ x2＝－ .
（4）（ x ＋2）2＝2 x ＋1.
【思路导航】先把一元二次方程化为一般形式，然后准确找出
a ， b ， c 的值，再代入公式计算即可.
解：（4）将原方程化为一般形式，得 x2＋2 x ＋3＝0.
这里 a ＝1， b ＝2， c ＝3.
∵ b2－4 ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，
∴原方程无实数根.
【点拨】用公式法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一元
二次方程的一般形式；②准确找出 a ， b ， c 的值；③计算 b2－4
ac 的值，当 b2－4 ac ≥0时，代入求根公式求根；当 b2－4 ac ＜0
时，方程无实数根.用公式法解一元二次方程要注意：①为了方
便计算，我们常把方程作适当的变形，若二次项系数为负，则
通常将它化为正；若方程中的系数中有分数，则通常把它化为
整数系数；②找 a ， b ， c 的值时要注意带上符号；③当 b2－4 ac
＝0时，方程不是只有一个根，而是有两个相等的实数根，故表
示根时要记为 x1＝ x2＝－ .
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2 x2＋5＝7 x ；
解：将原程化为一般形式，得2 x2－7 x ＋5＝0.
这里 a ＝2， b ＝－7， c ＝5.
∵ b2－4 ac ＝（－7）2－4×2×5＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）4 x （ x －1）＋3＝0；
解：将原程化为一般形式，得4 x2－4 x ＋3＝0.
这里 a ＝4， b ＝－4， c ＝3.
∵ b2－4 ac ＝（－4）2－4×4×3＝－32＜0.
∴方程没有实数根.
（3）4（ y2＋0.09）＝2.4 y .
解：将原程化为一般形式，得4 y2－2.4 y ＋0.36＝0.
这里 a ＝4， b ＝－2.4， c ＝0.36.
∵ b2－4 ac ＝（－2.4）2－4×4×0.36＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
2. 用公式法解下列方程：
（1）9 x2＋6 x ＋1＝0；
解：这里 a ＝9， b ＝6， c ＝1.
∵ b2－4 ac ＝62－4×9×1＝0，
∴ x ＝ ＝－ ，
即 x1＝ x2＝－ .
（2）16 x2＋8 x ＝3.
解：将原程化为一般形式，得16 x2＋8 x －3＝0.
这里 a ＝16， b ＝8， c ＝－3.
∵ b2－4 ac ＝82－4×16×（－3）＝256＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝－ .
当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程（ m ＋1） x2－（2 m －
3） x ＋ m ＋1＝0分别满足下列条件？
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
【思路导航】先根据一元二次方程的定义，得到二次项系数不
为0，即 m ＋1≠0；再根据一元二次方程的根的情况，分别得到
Δ与0的大小关系，由此列不等式或方程求解.
解：∵此方程是关于 x 的一元二次方程，
∴ m ＋1≠0.
∴ m ≠－1.
∵ a ＝ m ＋1， b ＝－（2 m －3）， c ＝ m ＋1，
∴ b2－4 ac ＝[－（2 m －3）]2－4（ m ＋1）（ m ＋1）＝－20 m
＋5.
（1）当－20 m ＋5＞0时，解得 m ＜ .
故当 m ＜ 且 m ≠－1时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）当－20 m ＋5＝0时，解得 m ＝ .
故当 m ＝ 时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当－20 m ＋5＜0时，解得 m ＞ .
故当 m ＞ 时，原方程没有实数根.
【点拨】在含参数的一元二次方程中，需要考虑两点：①二次
项系数不为0；②根的情况.由根的情况，得到Δ与0的关系，再
列不等式或方程计算.需要注意的是，Δ与一元二次方程的根的
情况是可以相互转化的.若已知Δ＞0，则可得出一元二次方程有
两个不相等的实数根；反过来，若一元二次方程有两个不相等
的实数根，则可知Δ＞0.前者可以用来判断一元二次方程根的个
数，后者可用来求题目中参数所满足的不等式或等式.
已知关于 x 的方程 mx2－（2 m －1） x ＋ m －2＝0.
（1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：（1）根据题意，得
m ≠0，且Δ＝（2 m －1）2－4 m （ m －2）＞0.
解得 m ＞－ 且 m ≠0.
故当 m ＞－ 且 m ≠0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）若 m 为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根
x1， x2.
解：（2）根据题意，得 m ＝1，此时方程化为 x2－ x －1＝0.
∵Δ＝（－1）2－4×（－1）＝5＞0，
∴ x ＝ ，即 x1＝ ， x2＝ .
用公式法解方程：（2 x ＋1）2＋3（2 x ＋1）＋2＝0.
【思路导航】此题有两种解法.方法一：先化简，再用公式法.方
法二：把2 x ＋1看成一个整体，即设 t ＝2 x ＋1，得到关于 t 的方
程，先解出 t ，再解 x .
解：（方法一）整理，得2 x2＋5 x ＋3＝0.
这里 a ＝2， b ＝5， c ＝3.
∵ b2－4 ac ＝52－4×2×3＝1＞0，
∴ x ＝ ，即 x1＝－1， x2＝－ .
（方法二）设 t ＝2 x ＋1，解得 t2＋3 t ＋2＝0.
由公式法，可得 t1＝－1， t2＝－2.
则2 x ＋1＝－1，或2 x ＋1＝－2.
解得 x1＝－1， x2＝－ .
【点拨】此题中方法二涉及换元法，即设 t ＝2 x ＋1，用一个新
的字母 t 表示题目中比较复杂的一部分（2 x ＋1），由此达到简
化计算的目的，这是初中数学学习中技巧性比较强的一种方法.
用公式法解下列方程：
（1） －3 －4＝0；
解：设 t ＝2 x －3，则 t2－3 t －4＝0.
由公式法，解得 t1＝－1， t2＝4.
则2 x －3＝－1，或2 x －3＝4.
解得 x1＝1， x2＝ .
（2） － ＝1.
解：设 t ＝ ，则 t － ＝1.
整理，得 t2－ t －2＝0.
由公式法，解得 t1＝－1， t2＝2.
则 ＝－1，或 ＝2.
整理，得 x2＋ x ＋1＝0，① 或2 x2－ x －1＝0.②
方程①中，Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，该方程无实数根；
方程②中，由公式法可得， x1＝－ ， x2＝1.
经检验，均符合题意.
综上所述，原方程的解为 x1＝－ ， x2＝1.
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第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程（第一课时）
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典例讲练
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0 1
课前预习
1. 若 x2＝ k （ k ≥0），则 x ＝ .这种解一元二次方程的
方法叫做直接开平方法.
2. 把一元二次方程转化为（ x ＋ m ）2＝ n 的形式，即通过配
成 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元
二次方程的方法称为配方法.
±
完全平方式
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0 2
典例讲练
用直接开平方法解下列方程：
（1）5 x2－45＝0；
（2）9（ x ＋4）2－49＝0.
【思路导航】先将方程分别化成 x2＝ k 或（ x ＋ m ）2＝ n 的形
式，再开平方即可﹒
解：（1）移项，得5 x2＝45.
方程两边都除以5，得 x2＝9.
由平方根的定义，得 x ＝±3，即 x1＝3， x2＝－3.
（2）移项，得9（ x ＋4）2＝49.
方程两边都除以9，得（ x ＋4）2＝ .
由平方根的定义，得 x ＋4＝± ，
即 x ＋4＝ ，或 x ＋4＝－ .
所以 x1＝－ ， x2＝－ .
【点拨】对于 ax2＝ b （ a ≠0）型的一元二次方程，其特点为缺
一次项.若 ≥0，则 x ＝± ＝± .特别注意： ax2＝ b （ a
≠0）型中的 x 可以是一个含未知数的代数式﹒
用直接开平方法解下列方程：
（1）4 x2－25＝0；
解： x1＝ ， x2＝－ .
（2） （2 x －1）2＝27；
解： x1＝5， x2＝－4.
（3）6－2（ x －3）2＝0.
解： x1＝3－ ， x2＝3＋ .
用配方法解下列方程：
（1） x2－4 x －2＝0；
解：（1）移项，得 x2－4 x ＝2.
两边都加（－2）2，得 x2－4 x ＋ ＝2＋（－2）2，
即（ x －2）2＝6.
两边开平方，得 x －2＝± ，
即 x －2＝ ，或 x －2＝－ .
所以 x1＝2＋ ， x2＝2－ .
（2） x2＋ x ＋1＝0.
【思路导航】先移项，把常数项移到等号右边；然后在方程的
两边都加上“一次项系数一半的平方”，配方成（ x ＋ m ）2＝ n
的形式；最后用直接开平方法求解即可.
解：（2）移项，得 x2＋ x ＝－1.
两边都加 ，得 x2＋ x ＋ ＝－1＋ ，即 ＝ .
两边开平方，得 x ＋ ＝± ，
即 x ＋ ＝ ，或 x ＋ ＝－ .
所以 x1＝ ， x2＝ .
【点拨】利用配方法解 x2＋ Px ＋ Q ＝0型一元二次方程的步骤：
①移项，将常数项移至等号右边，其他项放在等号左边；②方
程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，将原方程化为（ x
＋ m ）2＝ n 的形式；③利用直接开平方的方法求解方程.注意：
①移项时要改变正负号；②原方程的一次项符号与完全平方式
里面常数的符号相同，如 x2－4 x －2＝0与（ x －2）2＝6中，一
次项符号与完全平方式里面常数的符号都是“－”.
用配方法解下列方程：
（1） x2－6 x ＋9＝2；
解： x1＝3＋ ， x2＝3－ .
（2） x2＋2 x －3＝0；
解： x1＝ － ， x2＝－ － .
（3） x2－ x － ＝0.
解： x1＝－ ， x2＝2.
某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操
表演队伍增加的行、列数相同.求增加了多少行、多少列.
【思路导航】设增加了 x 行，则增加的列数为 x ，用“增加后的
总人数－原队伍的总人数＝51”列出方程求解即可.
解：设增加了 x 行，则增加的列数为 x .
根据题意，得（6＋ x ）（8＋ x ）－6×8＝51.
整理，得 x2＋14 x －51＝0.
配方，得（ x ＋7）2＝100.
解得 x1＝3， x2＝－17（舍去）.
所以增加了3行、3列.
【点拨】解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，
同时能够利用配方法解一元二次方程.
如图，在一块长13 m、宽7 m的矩形空地上，修建两条同样宽的
互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余
部分栽种花草.若栽种花草的面积是55 m2，则道路的宽应设计为
多少米？
解：设道路的宽应设计为 x m，则0＜ x ＜7.
根据题意，得（13－ x ）（7－ x ）＝55.
整理，得 x2－20 x ＋36＝0.
配方，得（ x －10）2＝64.
解得 x1＝2， x2＝18（舍去）.
所以道路的宽应设计为2 m.
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第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程（第一课时）
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课前预习
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0 1
课前预习
1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
（1）审：审题，设未知数，找等量关系；
（2）列：列出符合题意的方程；
（3）解：解方程，检验解是否符合题意；
（4）答：书写答案.
2. 列一元二次方程解决图形类的应用题.
解决此类问题的关键是分析题意，根据几何图形的性质，寻求
问题中的等量关系，建立方程求解.根据常见几何图形的面积、
体积或周长公式，勾股定理等列方程是常见的应用题类型.
注：图形问题的数量关系常常隐含在图形中，当涉及的图形为
不规则图形时，将不规则图形分割或组合成规则图形，然后再
解决.
3. 列一元二次方程解决数字问题的应用题.
解答数字问题的关键是巧妙地设出未知数，一般采用间接设
元法.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位
数字与十位数字的平方和比这个两位数小4.若设个位数字为 a ，
则可列方程为 .
（ a ＋4）2＋ a2＝10（ a ＋4）＋ a －4
【思路导航】根据个位数字与十位数字的关系，可表示出十位
数字，再表示出这两个数字的平方和，最后根据平方和比两位
数小4即可得出答案.
【解析】根据题意，得十位数字为（ a ＋4），
则这个数可表示为[10（ a ＋4）＋ a ]，这两个数字的平方和为
[（ a ＋4）2＋ a2].
∵个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，
∴可列方程为（ a ＋4）2＋ a2＝10（ a ＋4）＋ a －4.
故答案为（ a ＋4）2＋ a2＝10（ a ＋4）＋ a －4.
【点拨】列一元二次方程解决数字类问题时，一定要正确表示
题中描述的数，并根据数之间的关系列出正确的方程.
（2）如图，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），
在墙角区域用40 m长的篱笆围成一个面积为384 m2的矩形花园.
设宽 AB ＝ x m，且 AB ＜ BC ，则可列方程为
.
【思路导航】根据矩形的面积公式列方程即可.
x （40－ x ）＝
384
【解析】∵篱笆一共长40 m， AB ＝ x m，
∴ BC ＝（40－ x ）m.
∴矩形花园的面积为 x （40－ x ）m2.
∴可得方程 x （40－ x ）＝384.
故答案为 x （40－ x ）＝384.
【点拨】常见几何体的面积公式： S矩形＝ ab （ a ， b 分别为矩形
的长和宽）， S正方形＝ a2（ a 为正方形的边长）， S圆＝ π R2（ R
为圆的半径）， S三角形＝ ah （ a 为三角形的底， h 为高）.常见
几何体的体积公式： V长方体＝ abc （ a ， b ， c 分别为长方体的
长、宽、高）， V正方体＝ a3（ a 为正方体的棱长）， V圆柱＝ π R2
h （ R 为圆柱的半径， h 为高）.
1. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3.若把
这个数的个位数字与十位数字交换，所得到的两位数比原来的
数小27，则原来的两位数是 .
63
2. 某剧院演出前，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长
26 m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300 m2的封
闭型矩形等候区（如图）.为了方便观众进出，在两边空出两
个宽各为1 m的进出口，共用去隔栏绳48 m（绳打结长度忽
略不计）.请问：工作人员围成的这个矩形等候区的相邻两边
长分别是多少米？
解：设封闭型矩形等候区的边 AB 为 x m.
由题意，得 x （48－2 x ＋2）＝300.
整理，得 x2－25 x ＋150＝0.
解得 x1＝10， x2＝15.
当 x ＝10时， BC ＝30＞26，不符合题意，舍去；
当 x ＝15时， BC ＝20＜26，符合题意.
所以工作人员围成的这个矩形等候区的边 AB 为15 m， BC 为
20 m.
如图，有一块矩形的土地，长是48m，宽是24m，要在它的中央
划一块矩形的草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地占
矩形面积的 ，求花砖路面的宽.
【思路导航】设花砖路面的宽为 x m，可以用含 x 的代数式表示
出草地的面积，从而得到等量关系.
解：设花砖路面的宽为 x m.
由题意，得（48－2 x ）（24－2 x ）＝ ×48×24.
整理，得 x2－36 x ＋128＝0.
解得 x1＝4， x2＝32（舍去）.
所以花砖路面的宽为4m.
【点拨】列代数式表达题中所表述的含义，并且找到等量关系
形成方程.在实际问题中，一般未知数是有范围的，因此解方程
后需要检验.
如图，在宽20 m、长30 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图
中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551
m2，则道路的宽为 m.
1
如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝16 cm， BC ＝6 cm.点 P 从点 A 出
发，沿 AB 向点 B 移动（不与点 A ， B 重合），到达点 B 时停
止；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 向点 D 移动（不与点 C ， D
重合），与点 P 同时结束运动.
（1）若点 P ， Q 均以3 cm/ S 的速度移动，经过多长时间，四边
形 BPDQ 为菱形？
（2）若点 P 以3 cm/ S 的速度移动，点 Q 以2 cm/ S 的速度移动，
经过多长时间，△ DPQ 为直角三角形？
【思路导航】（1）根据矩形的性质可得出 AB ∥ CD ，再由点
P ， Q 移动的速度相同及菱形的判定条件列出关于运动时间 t 的
一元二次方程，解方程即可得出结论.（2）由∠ PDQ ≠90°可知
△ DPQ 为直角三角形分两种情况：①∠ DPQ ＝90°；②∠ DQP
＝90°.根据已知条件列方程解决问题.
解：（1）由题可知 AB ∥ CD .
∵ P ， Q 两点速度大小相同，∴ AP ＝ CQ ， BP ＝ DQ .
∴四边形 BPDQ 是平行四边形.
∴当 BP ＝ DP 时，四边形 BPDQ 是菱形.
设经过 t S ，四边形 BPDQ 是菱形，则有
AP ＝3 t cm， BP ＝（16－3 t ）cm.
由勾股定理，得 DP2＝（3 t ）2＋62.
则 DP2＝（3 t ）2＋62＝（16－3 t ）2.
解得 t ＝ .故经过 S ，四边形 BPDQ 是菱形.
（2）∵点 P 不与点 A 重合，∴∠ PDQ ≠90°.
设经过 t S ，△ DPQ 为直角三角形.
①当∠ DPQ ＝90°时，△ DPQ 为直角三角形，
过点 Q 作 QM ⊥ AB 于点 M ，可知四边形 BCQM 为矩形，
如图所示.∵ AP ＝3 t cm， BM ＝ CQ ＝2 t cm，
∴ PM ＝（16－5 t ）cm， DQ ＝（16－2 t ）cm.
∵ PQ2＋ PD2＝ PQ2，
∴[（16－5 t ）2＋62]＋[（3 t ）2＋62]＝（16－2 t ）2.
整理，得5 t2－16 t ＋12＝0.解得 t1＝2， t2＝ .均符合题意.
②当∠ DQP ＝90°时， AP ＋ CQ ＝16 cm，
即3 t ＋2 t ＝16.解得 t ＝ .符合题意.
综上所述，经过 S ，2 S 或 S ，△ DPQ 为直角三角形.
【点拨】利用一元二次方程求解动态几何问题时，列方程有两
个方向：（1）利用几何图形的面积作为等量关系；（2）利用
点的运动路程表示线段的长.解动点问题时要注意验根，舍去不
符合实际意义的解，如果所解方程没有实根，就说明这个方程
所对应的运动过程不存在.
如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6cm， BC ＝12cm.点 P 从点 A 开
始，沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动；同时点 Q 从点 B 开
始，沿 BC 边向点 C 以2cm/s的速度移动.
（1）经过几秒，△ PBQ 的面积等于8cm2？
解：（1）设经过 tS ，△ PBQ 的面积等于8cm2.
∵ AB ＝6cm， BC ＝12cm，
∴ PB ＝（6－ t ）cm， BQ ＝2 t cm.
∴ S△ PBQ ＝ （6－ t ）·2 t ＝8.
整理，得 t2－6 t ＋8＝0.
解得 t1＝2， t2＝4，均符合题意.
故经过2 S 或4 S ，△ PBQ 的面积等于8cm2.
（2）在运动过程中，是否存在时间 t ，使△ PBQ 的面积等于矩
形 ABCD 面积的 ？若存在，求出运动的时间；若不存在，请说
明理由.
解：（2）不存在.理由如下：根据题意，
得 S△ PBQ ＝ S矩形 ABCD ，即 （6－ t ）·2 t ＝ ×6×12，
整理，得 t2－6 t ＋18＝0.∵Δ＝（－6）2－4×1×18＝－36＜0，∴原方程无解.∴不存在时间 t 使得△ PBQ 的面积等于矩形 ABCD 面积的 .
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第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
利用配方法解一元二次方程的一般步骤.
一般步骤 示例
（3 x2＋8 x －3＝0）
一化 首先将原方程化为一般式 ax2＋ bx
＋ c ＝0（ a ≠0），再将二次项系
数化为1 x2＋ x －1＝0
二移 将常数项移到等号的右边 x2＋ x ＝1
一般步骤 示例
（3 x2＋8 x －3＝0）
三配 等号两边同时加上一次项系
数一半的平方，此时等号左
边为一个完全平方式，右边
为一个常数，如（ x ＋ m ）2
＝ n x2＋ x ＋ ＝1＋ ，
即 ＝
一般步骤 示例
（3 x2＋8 x －3＝0）
四开 若 n ＜0，则方程无实数解；若 n ≥0，则直接开平方得 x ＋ m ＝± x ＋ ＝±
五解 方程的解为 x ＝－ m ± .另外，如果是实际问题，还要注意判断结果是否符合实际问题 x1＝－3， x2＝
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0 2
典例讲练
用配方法解下列方程：
（1）3 x2－6 x ＋2＝0；
解：（1）两边都除以3，得 x2－2 x ＋ ＝0.
移项，得 x2－2 x ＝－ .
配方，得 x2－2 x ＋（－1）2＝－ ＋（－1）2，
即（ x －1）2＝ .两边开平方，得 x －1＝± .
所以 x1＝1＋ ， x2＝1－ .
（2）－ x2＋ x － ＝0.
【思维导航】先把方程的二次项系数化为1，再继续配方解
决问题.
解：（2）两边都除以－ ，得 x2－5 x ＋ ＝0.
移项，得 x2－5 x ＝－ .
配方，得 x2－5 x ＋ ＝－ ＋ ，
即 ＝ .
两边开平方，得 x － ＝± .
所以 x1＝ ， x2＝ .
【点拨】在第（2）问中，也可以通过两边同时乘－2使得系
数化为1.解 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a ≠0且 a
≠1）型一元二次方程比 x2＋ Px ＋ Q ＝0型一元二次方程多
了一个步骤，即首先将二次项系数化为1.需注意，在配方后
的（ x ＋ m ）2＝ n 中，若 n ≥0，则原方程有实数根；若 n ＜
0，则原方程无实数根.
用配方法解下列方程：
（1）4 x2－8 x －3＝0；
解： x1＝1＋ ， x2＝1－ .
（2）3 x2－9 x ＋2＝0；
解： x1＝ ＋ ， x2＝ － .
（3）2 x2＋6＝7 x .
解： x1＝2， x2＝ .
某商店将进货价为8元的商品以10元/件的价格售出，每天可
销售200件.通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨
价0.5元，其每天销量就减少10件；每降价0.5元，其每天销
量就增加10件.你能帮助店主设计一种方案，使每天的利润达
到700元吗？
【思路导航】设每件商品涨价 x 元，用含 x 的代数式表示出每件
的利润和每天销量，由“每天利润＝每件利润×每天销量”建
立方程即可求解.
解：设每件商品涨价 x 元.
由题意，得（10＋ x －8） ＝700.
整理，得 x2－8 x ＋15＝0.
配方，得 x2－8 x ＋（－4）2＝（－4）2－15.
整理，得（ x －4）2＝1.
解得 x1＝3， x2＝5.
此时的售价为10＋3＝13（元）或10＋5＝15（元）.
所以把售价定为每件13元或15元时，能使每天的利润达到
700元.
【点拨】得到涨价后的销售量及把所给利润的关系式进行配方
是解决本题的难点.
商场购进一批儿童玩具，每件成本价为30元，每件玩具销售单
价 x （元）与每天的销量 y （件）之间的关系如下表所示：
x /元 … 35 40 45 50 …
y /件 … 750 700 650 600 …
若每天的销量 y （件）是销售单价 x （元）的一次函数.
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
解：（1）设函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .
由题意，得
解得
故 y ＝－10 x ＋1 100.
（2）当销售单价 x 为何值时，商场每天可获得利润16 000元？
解：（2）由题意，得（ x －30）（－10 x ＋1 100）＝16 000.
化简，得 x2－140 x ＋4 900＝0.解得 x ＝70.
所以当销售单价为70元时，商场每天可获得利润16 000元.
（1）已知实数 x ， y 满足 y2－6 y ＋ ＝－9，则 xy ＝
.
【思路导航】将 y2－6 y 配成完全平方式，从而将原式变形为几
个非负数的和为0的形式，再求解即可.
－ 4
【解析】左右两边都加9，得 y2－6 y ＋9＋ ＝0.∴（ y －
3）2＋ ＝0.∴ x ＝－ ， y ＝3.∴ xy ＝－4.故答案为－4.
【点拨】若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0. 配方法
有多种运用：①用配方法求最小值（或最大值）；②用配方法
解方程；③用配方法比较大小，如：若 A ＝ a2， B ＝2 a －1，则
A － B ＝（ a －1）2≥0，所以 A ≥ B .
（2）当 x 取何值时，代数式2 x2－4 x ＋1的值最小？并求出这个
最小值.
【思路导航】将二次三项式2 x2－4 x ＋1配方成 a （ x ＋ h ）2＋ k
的形式，根据完全平方式的非负性求代数式的最小值.
解：2 x2－4 x ＋1
＝2（ x2－2 x ）＋1
＝2（ x2－2 x ＋1）＋1－2
＝2（ x －1）2－1.
∵（ x －1）2≥0，
∴当 x ＝1时，代数式2 x2－4 x ＋1取到最小值－1.
【点拨】将代数式 ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）配方成 a （ x ＋ h ）2＋ k
的形式后，若 a ＞0，则当 x ＝－ h 时，代数式取到最小值 k ；若
a ＜0，则当 x ＝－ h 时，代数式取到最大值 k .同时，也要注意二
次三项式的配方与用配方法解一元二次方程的区别和联系.
1. 已知 x2＋ y2＋4 x －6 y ＋13＝0， x ， y 为实数，则 xy ＝
.
【解析】∵ x2＋ y2＋4 x －6 y ＋13＝（ x2＋4 x ＋4）＋（ y2－6 y
＋9）＝（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝0，∴ x ＝－2， y ＝3.∴ xy ＝
（－2）3＝－8.故答案为－8.
－ 8
2. 用配方法证明：无论 x 取何值，代数式 x2－4 x ＋12的值总不
小于8.
证明： x2－4 x ＋12＝（ x2－4 x ＋4）＋8＝（ x －2）2＋8.
∵（ x －2）2≥0，
∴（ x －2）2＋8≥8，即 x2－4 x ＋12≥8.
∴无论 x 取何值，代数式 x2－4 x ＋12的值总不小于8.
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第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的取值叫做一元
二次方程的 （或根），因此判定某个值是否为一元二次
方程的解的基本思路是：
解
2. 求一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a ≠0）
近似解的一般步骤.
（1）列表：根据实际问题确定解的大致范围，并据此合理列
表，计算出对应的 ax2＋ bx ＋ c 的值；
（2）寻找：找出表中相邻的两个自变量 x 的值，使 ax2＋ bx ＋ c
的对应值一个大于0，一个小于0，则 ax2＋ bx ＋ c ＝0 的一个解
就在这两个自变量之间；
（3）精确：在上面两个数之间进一步列表、计算、估计范围，
直到找出符合题目要求的精确度的 x 的值为止.
3. 规律.
对于关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）：
（1） a ＋ b ＋ c ＝0 方程有解 x ＝1；
（2） a － b ＋ c ＝0 方程有解 x ＝－1；
（3） c ＝0 方程有解 x ＝0.
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0 2
典例讲练
（1）已知关于 x 的方程 x2－6 x ＋3 m －4＝0的一个根是－1，则
m 的值为 .
【思路导航】根据一元二次方程根的定义，将 x ＝－1代入原方
程，得到关于 m 的一元一次方程，解方程即可.
－1
【解析】将 x ＝－1代入原方程，得（－1）2－6×（－1）＋3 m
－4＝0，即3＋3 m ＝0.解得 m ＝－1.故答案为－1.
【点拨】已知一元二次方程的根，求参数的值，直接把根代入
方程，得到关于参数的新的方程，再解方程即可得到参数的值.
（2）若 m 是方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，则6 m2－9 m ＋2 024
的值为 .
【思路导航】根据题意，把 x ＝ m 代入原方程，得到 m 满足的等
式，并变形.观察所求代数式，将2 m2－3 m 整体代入即可得解.
2 027
【解析】∵ m 是方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，∴2 m2－3 m －1
＝0.∴2 m2－3 m ＝1.∴6 m2 －9 m ＋2 024＝3（2 m2－3 m ）＋
2 024＝3×1＋2 024＝2 027.故答案为2 027.
【点拨】已知一个字母所满足的方程，求关于这个字母的代数
式的值，一般的解题步骤如下：①将字母代入方程；②化简，
并得到关于含该字母的代数式的值；③用②中的代数式表示所
求代数式，整体代入求值即可.此题中所涉及的“整体代入法”
是初中数学解题的常用方法.
1. 已知2＋ 是关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0的一个实
数根，则实数 m 的值是 .
2. 若 x ＝1是关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax ＋2 b ＝0的一个解，则
2 a ＋4 b 的值为 .
1
－2
根据下列表格的对应值，判断方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c
为常数， a ≠0）的一个解 x 的取值范围是 .
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋ bx ＋ c －0.06 －0.02 0.03 0.09
【思路导航】看0在哪两个代数式 ax2＋ bx ＋ c 的值之间，那么
原方程的一个解就在这两个代数式对应的 x 的值之间.
3.24＜ x ＜3.25
【解析】∵当 x ＝3.24时， ax2＋ bx ＋ c ＝－0.02＜0，当 x ＝3.25
时， ax2＋ bx ＋ c ＝0.03＞0，∴3.24＜ x ＜3.25时，存在 x 使得
ax2＋ bx ＋ c ＝0，即方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ， b ， c 为常数， a
≠0）的一个解 x 的范围是3.24＜ x ＜3.25.故答案为3.24＜ x ＜
3.25.
【点拨】用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法如
下：①估计解的大致范围；②在①的范围内，按规律给出一些
未知数的值；③求方程左边代数式的值；④当③中代数式的值
越接近0时，说明未知数的值越接近方程的解.
1. 根据下表确定关于 x 的方程 x2＋4 x ＋ c ＝0的解的取值范围
是 .
x －7 －6 －5 … 1 2 3
x2＋4 x ＋ c 12 3 －4 … －4 3 12
－6＜ x ＜－5或1＜ x ＜2
2. 观察下表：
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3
5 x2－24 x ＋28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1
从表中你能得出方程5 x2－24 x ＋28＝0的根是多少吗？如果能，
请写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围.
解：根据表格中的数据知，方程有一个根是 x ＝2，另一个根的
取值范围是2.5＜ x ＜3.
用木料做成如图所示的窗框，其中高比宽多1 m，且这个窗户的
面积为3 m2 ，则窗框的宽大约是多少米？（木条宽度忽略不
计，结果精确到0.1 m）
【思路导航】依据题意列出方程，再根据实际问题确定其解的
大致范围，然后列表观察，估算出方程的近似解.
解：设窗框的宽为 x m，则可列方程为 x （ x ＋1）＝3.整理成一
般形式为 x2＋ x －3＝0.
列表计算：
x 1 1.5 2
x2＋ x －3 －1 0.75 3
可以估计 x 的取值范围是1＜ x ＜1.5.
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2＋ x －3 －0.69 －0.36 －0.01 0.36
可以估计 x 的取值范围是1.3＜ x ＜1.4.
∵｜－0.01｜＜｜0.36｜，
∴ x ≈1.3.
故窗框的宽大约是1.3 m.
进一步列表计算：
【点拨】求一元二次方程近似解的一般步骤：①列表，根据实
际问题确定解的大致范围，并据此合理列表，计算出对应的 ax2
＋ bx ＋ c 的值；②寻找，找出相邻的两个自变量 x 的值，使 ax2
＋ bx ＋ c 的对应值一个大于0，一个小于0，则 ax2＋ bx ＋ c ＝0
的一个解就在这两个自变量之间；③精确，在上面两个数之间
进一步列表、计算、估计范围，直到找出符合题目要求的精确
度的 x 的值为止.
写出一个一元二次方程，使其二次项系数为1，一次项系数为－
2，常数项为－4，并求出该方程的近似解（精确到个位）.
解：这个一元二次方程是 x2－2 x －4＝0.
列表计算：
x －2 －1 0 1 2 3 4
x2－2 x －4 4 －1 －4 －5 －4 －1 4
可以估计 x 的取值范围是－2＜ x ＜－1或3＜ x ＜4.
进一步列表计算：
x －1.4 －1.3 －1.2 －1.1
x2－2 x －4 0.76 0.29 －0.16 －0.59
x 3.1 3.2 3.3 3.4
x2－2 x －4 －0.59 －0.16 0.29 0.76
可以估计 x 的取值范围是－1.3＜ x ＜－1.2或3.2＜ x ＜3.3.
所以该方程的近似解为 x1≈－1， x2≈3.
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第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
运用公式法解决几何实际问题：解答与几何图形有关的应
用问题，应把握几何图形的面积，找出未知量与已知量间的内
在联系，根据相关公式列出方程，再通过解方程求出问题的解.
注意：求得的解应符合题意和实际意义.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
如图，从一块长80 cm、宽60 cm的铁片中间截去一个小矩形，
使截去小矩形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的方框
四周的宽度一样，求这个宽度.设这个宽度为 x cm，则可列方程
为 .
（80－2 x ）（60－2 x ）＝ ×80×60
【思路导航】根据矩形的面积公式与截去小矩形的面积是原来
铁片面积的一半，列一元二次方程即可.
【解析】由剩下的方框的宽度为 x cm，得截去小矩形的长为
（80－2 x ）cm，宽为（60－2 x ）cm.依题意，得（80－2 x ）
（60－2 x ）＝ ×80×60.故答案为（80－2 x ）（60－2 x ）＝
×80×60.
【点拨】列一元二次方程解决实际问题时，关键是理解题意，
找出图中隐含的等量关系，利用等量关系列方程.解决本题的关
键是通过“截去小矩形的面积是原来铁片面积的一半”得出等
量关系.
1. 《九章算术》中有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅
相去适一丈.问户高、广各几何”.大意是：已知长方形门的高比
宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？高
是 尺，宽是 尺.（注：1尺＝10寸，1丈＝10尺）
9.6
2.8
解：设长方体木箱的宽为 x dm，则长为（ x ＋5）dm.根据题意，
得8 x （ x ＋5）＝528.
整理，得 x2＋5 x －66＝0.
解得 x1＝6， x2＝－11（不合题意，舍去）.
所以长方体木箱的长为11 dm，宽为6 dm.
2. 已知长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 dm3，求这个长方体木箱的长与宽.
如图，有一块长52 m、宽40 m的矩形场地，市政府准备在上面
修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，且
要使绿化面积为1 900 m2，求道路的宽度.
【思路导航】将纵向的小路向左平移，将横向的小路向下平
移，剩下的部分是矩形.根据绿化面积为1 900 m2，结合矩形面
积公式，即可列方程解答.
解：设道路的宽度为 x m.
由题意，得（52－ x ）（40－ x ）＝1 900.
整理，得 x2－92 x ＋180＝0.
解得 x1＝2， x2＝90（不符合题意，舍去）.
故道路的宽度为2 m.
【点拨】在与几何图形有关的应用题中，当数量关系不明显
时，需要作适当的变换，再列方程解答.常见的解决此类问题
的方法是将不规则的图形通过平移、分割或补全变成规则图
形，使问题简单明了.注意：方程有多个解时，要舍去不符合
题意的解.
为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，某单位准
备将院内一块长30 m、宽20 m的矩形空地建成一个矩形花园，
要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的
地方种植花草.如图，要使种植花草的面积为532 m2 ，则小道进
出口的宽度应为 m.（注：所有小道进出口的宽度相等，且
每段小道均为平行四边形）
1
如图，利用一面墙（墙长25 m），用总长度为49 m的栅栏（图
中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD ，且中间共留两个1 m宽
的小门.设栅栏 BC 的长为 x m.
（1）若矩形围栏 ABCD 的面积为210 m2，求栅栏 BC 的长.
（2）矩形围栏 ABCD 的面积能不能达到240 m2？若能，求出相
应 x 的值；若不能，请说明理由.
【思路导航】（1）用含 x 的代数式表示出线段 AB 的长，根据矩
形围栏 ABCD 的面积为210 m2，列关于 x 的一元二次方程，先解
出 x ，再得出栅栏 BC 的长；（2）假设矩形围栏 ABCD 的面积能
达到240 m2，同（1）列出关于 x 的一元二次方程，根据方程是
否有符合题意的解进行判断.
解：由 BC ＝ x m，得 AB ＝49＋1＋1－3 x ＝（51－3 x ）m.
（1）由题意，得 x （51－3 x ）＝210.
整理，得 x2－17 x ＋70＝0.
解得 x1＝7， x2＝10.
当 x ＝7时，51－3 x ＝51－3×7＝30＞25，不符合题意，舍去；
当 x ＝10时，51－3 x ＝51－3×10＝21＜25，符合题意.
所以栅栏 BC 的长为10 m.
（2）矩形围栏 ABCD 的面积不能达到240 m2.理由如下：
由题意，得 x （51－3 x ）＝240.
整理，得 x2－17 x ＋80＝0.
因为Δ＝（－17）2－4×1×80＝－31＜0，
所以原方程没有实数根.
所以矩形围栏 ABCD 的面积不可能达到240 m2.
【点拨】判断方案是否能实现，需要满足两个条件：①一元二
次方程有解；②一元二次方程的解符合实际且符合题意.
将一条长为40 cm的铁丝剪成两段，并将每一段铁丝围成一个正
方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和为52 cm2 ，那么这条长铁丝
剪成两段后的长度分别是多少？
解：（1）设剪成两段后其中一段长为 x cm，则另一段长为（40
－ x ）cm.
由题意，得 ＋ ＝52.
整理，得 x2－40 x ＋384＝0.
解得 x1＝16， x2＝24.
当 x ＝16时，40－ x ＝24；当 x ＝24时，40－ x ＝16.
∴两段铁丝的长度分别为16 cm和24 cm.
（2）两个正方形的面积之和能等于48 cm2吗？若能，求出两段
铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：
设剪成两段后其中一段长为 y cm，则另一段长为（40－ y ）cm.
由题意，得 ＋ ＝48.
整理，得 y2 －40 y ＋416＝0.
∵Δ＝402－4×1×416＝－64＜0，
∴此方程无实数解.
∴不能剪成两段使得两个正方形的面积之和为48 cm2.
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第二章 一元二次方程
回顾与思考
数学 九年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
要点回顾
1. 一元二次方程的相关定义.
（1）一元二次方程：只含有 未知数，且未知数的最高
次数为 的整式方程叫做一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式： ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），其
中 叫做二次项， 叫做二次项系数； bx 叫做
， 叫做一次项系数； 叫做常数项.
（3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
一个
2
ax2
a
一次
项
b
c
2. 一元二次方程的常见解法.
（1）直接开平方法.
（2）配方法：将一元二次方程配方，化为（ x ＋ m ）2＝ n 的形
式，再直接开平方求解.
（3）公式法：当 b2－4 ac ≥0时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）
的根是 x ＝ .
（4）因式分解法： 方程的左边可化成两个一次因式的乘积（ x
＋ P ）（ x ＋ Q ），右边为0，转化为两个一元一次方程求解.
3. 一元二次方程根的判别式.
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式是Δ＝
.
（1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ 0时，方程有实数根；
（4）当Δ 0时，方程没有实数根.
b2
－4 ac
＞
＝
≥
＜
4. 一元二次方程的根与系数的关系.
如果一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数根 x1，
x2，那么 x1＋ x2＝ － ， x1 x2＝ .
特别地，如果一元二次方程 x2＋ Px ＋ Q ＝0有两个实数根 x1，
x2，那么 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ .
5. 以两个实数 x1， x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）
是 .
－
－ P
Q
x2－（ x1＋ x2） x ＋ x1 x2＝0
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，设未知数，找等量关系；
（2）列：列出符合题意的方程；
（3）解：解方程，检验解是否符合题意；
（4）答：书写答案.
6. 实际问题与一元二次方程.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 一元二次方程的相关定义
已知关于 x 的方程（ m －2） x｜ m｜－3 x －4＝0是一元二次方
程，则 m 的值为 .
－2
【思路导航】利用一元二次方程的定义解决即可.
【解析】∵关于 x 的方程（ m －2） x｜ m｜－3 x －4＝0是一元二
次方程，∴解得 m ＝－2.故答案为－2.
【点拨】一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整式方
程（方程中如果有分母，那么分母中无未知数）；（2）只含有
一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.三者缺一不可.
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ C ）
A. 2 x ＋1＝0 B. y2＋ x ＝1
C. x2＋1＝0 D. ＋ x2＝1
2. 若关于 x 的一元二次方程（ a －1） x2＋ x ＋｜ a ｜－1＝0的一
个根是0，则实数 a 的值为 .
C
－1
要点二 解一元二次方程
用适当的方法解下列方程：
（1）（2 x －1）2＝9；
（2）（ x －1）（2 x ＋1）＝3 x －3；
（3） x2＋ x －8＝0；
（4）2 x2－ x －3＝0.
【思路导航】（1）可以直接开平方；（2）观察到等号右边可
以提公因式得到和等号左边相同的因式；（3）用公式法，注意
要先判断Δ的符号；（4）观察发现，可以用因式分解法.
解：（1）直接开平方，得2 x －1＝±3.
∴2 x －1＝3，或2 x －1＝－3.
∴ x1＝2， x2＝－1.
（2）方程可变形为（ x －1）（2 x ＋1）＝3（ x －1），
移项，得（ x －1）（2 x ＋1）－3（ x －1）＝0.
∴（ x －1）（2 x －2）＝0.
∴（ x －1）2＝0.
∴ x1＝ x2＝1.
（3）这里 a ＝1， b ＝1， c ＝－8.
∵ b2－4 ac ＝12－4×1×（－8）＝33＞0，
∴ x ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
（4）方程可变形为（ x ＋1）（2 x －3）＝0.
∴ x ＋1＝0，或2 x －3＝0.
∴ x1＝－1， x2＝ .
【点拨】解一元二次方程的一般顺序：先观察是否可以直接开
平方，然后考虑是否可以因式分解，再考虑配方法是否方便，
最后考虑公式法.
用适当的方法解下列方程：
（1）（ x －1）2－4＝0；
解： x1＝3， x2＝－1.
（2）（ x －1）（2 x －3）＝2 x －3；
解： x1＝ ， x2＝2.
（3） x2＋2 x －15＝0；
解： x1＝－5， x2＝3.
（4） x2－ x －3＝0.
解： x1＝ ， x2＝ .
要点三 根的判别式和根与系数的关系
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 m －3） x ＋ m2＝0有两
个实数根 x1， x2.
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 x1＋ x2＝6－ x1 x2，求 的值.
【思路导航】（1）用判别式求 m 的取值范围；（2）由根与系
数的关系，结合 x1＋ x2＝6－ x1 x2求出 m 的值，再由根与系数的
关系求代数式的值.
解：（1）由题意，得Δ≥0，即（2 m －3）2－4 m2≥0，
整理，得－12 m ＋9≥0.解得 m ≤ .
（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝3－2 m ， x1 x2＝ m2.
∵ x1＋ x2＝6－ x1 x2，
∴3－2 m ＝6－ m2，即 m2－2 m －3＝0.
∴（ m －3）（ m ＋1）＝0.∴ m1＝3， m2＝－1.
又∵ m ≤ ，∴ m ＝－1.
则原方程为 x2－5 x ＋1＝0，且 x1＋ x2＝5， x1 x2＝1.
∴（ x1－ x2）2＝ －2 x1 x2＋ ＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝52－
4×1＝21.
【点拨】求参数的值时，注意检验.求由两根构成的代数式的值
时，将待求值的代数式进行恒等变形，转化为含两根的和与积
的代数式，然后再整体代入求值.
与两根有关的几个代数式的变形：
（1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2；
（2）（ x1－ x2）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2；
（3）（ x1＋ a ）（ x2＋ a ）＝ x1 x2＋ a （ x1＋ x2）＋ a2；
（4） ＋ ＝ ；
（5） ＋ ＝ .
1. 若 a 满足不等式组且关于 x 的一元二次方程（ a
－2） x2－（2 a －1） x ＋ a ＋ ＝0有实数根，则满足条件的实
数 a 的所有整数值的和为 .
－3
2. 已知关于 x 的方程 x2＋ mx ＋ m －2＝0.
（1）求证：无论 m 取任何实数，该方程总有两个不相等的
实数根.
（1）证明：∵Δ＝ m2－4（ m －2）＝ m2－4 m ＋8＝（ m －2）2
＋4＞0，
∴无论 m 取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）设该方程有两个同号的实数根 x1， x2，试问：是否存在
m ，使得 ＋ ＋ m （ x1＋ x2）＝ m2＋1成立？若存在，求出 m
的值；若不存在，请说明理由.
（2）解：不存在.理由如下：
由根与系数的关系，可得 x1＋ x2＝－ m ， x1 x2＝ m －2.
∵ ＋ ＋ m （ x1＋ x2）＝ m2＋1，
∴ －2 x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＝ m2＋1.
∴ m2－2（ m －2）－ m2＝ m2＋1.
整理，得 m2＋2 m －3＝0.解得 m1＝－3， m2＝1.
由方程有两个同号的实数根，可得 x1 x2＞0，
即 m －2＞0.∴ m ＞2.
∴不存在 m 使 ＋ ＋ m （ x1＋ x2）＝ m2＋1成立.
要点四 一元二次方程的应用
直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40
元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可
卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日
销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件
售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5
元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行
打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少
需打几折销售？
【思路导航】（1）设每件售价定为 x 元，则可用含 x 的代数
式表示出每件的利润以及日销售量，从而得出关于 x 的一元
二次方程，解方程取其较小值即可得出结论；（2）设该商
品打 a 折销售，根据销售价格不超过（1）中的售价，列出不
等式求解即可.
解：（1）设每件商品售价定为 x 元，则每件商品的利润为（ x
－40）元，日销售量为20＋ ＝（140－2 x ）件.
由题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20.
整理，得 x2－110 x ＋3 000＝0.
解得 x1＝50， x2＝60（不符合题意，舍去）.
∴每件售价应定为50元.
（2）设该商品打 a 折销售.
由题意，得62.5× ≤50，解得 a ≤8.
∴该商品至少需打8折销售.
【点拨】列一元二次方程解应用题是中考的热点内容，解题的
关键是根据题目中的条件找出等量关系，列方程求解，求出方
程的根后要注意检验根是否符合题意.
1. 如图，在长为20 m、宽为12 m的矩形地面上修筑同样宽的道
路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积
为整个矩形面积的 ，则道路的宽为 m.
2
2. 某蛋鸡养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场
内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，使得蛋鸡
的产蛋率不断提高.三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与
3.6万千克.现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x .
根据题意，得2.5（1＋ x ）2＝3.6.
解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2（不符合题意，舍去）.
∴该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20％.
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个
销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成六月份的
鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上
至少再增加多少个销售点？
解：（2）设再增加 y （ y 为正整数）个销售点.
根据题意，得3.6＋0.32 y ≥3.6×（1＋20％）.
解得 y ≥ .
又∵ y 为正整数，∴ y 最小为3.
∴至少再增加3个销售点.
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第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 如果一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数根
x1， x2，那么 x1＋ x2＝ － ， x1 x2＝ .
特别地，如果一元二次方程 x2＋ Px ＋ Q ＝0有两个实数根 x1，
x2，那么 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ .
2. 以两个实数 m ， n 为根的二次项系数为1的一元二次方程是
（ x － m ）（ x － n ）＝0，即 x2－（ m ＋ n ） x ＋ mn ＝0.
－
－ p
q
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x － a ＝0的一个根是2，则
另一个根是 .
－3
【思路导航】把 x1＝2代入原方程，先求出 a 的值，再求另一个
根 x2.也可以直接根据根与系数的关系求出 x2.
【解析】（方法一）把 x ＝2代入原方程，得
4＋2－ a ＝0.解得 a ＝6.
则原方程为 x2＋ x －6＝0.
因式分解，得（ x －2）（ x ＋3）＝0.
解得 x1＝2， x2＝－3.
故答案为－3.
（方法二）设另一个根为 m .
由根与系数的关系，得 m ＋2＝－1.
∴ m ＝－3.故答案为－3.
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方
程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般
地，第二种方法更为简捷.
（2）已知方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根分别为3和 n ，则 m ＋ n 的
值为 .
【思路导航】根据根与系数的关系得到3＋ n ＝2，3 n ＝ m ，解
出 m 和 n 即可.
【解析】由根与系数的关系，得3＋ n ＝2，3 n ＝ m .
解得 n ＝－1， m ＝－3.
则 m ＋ n ＝－4.
故答案为－4.
－4
【点拨】若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数
根 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .要注意 x1＋ x2和 x1 x2的符
号.一般情况下，运用根与系数的关系可以减少计算量.
1. 若4和8是方程 x2＋ mx ＋ n ＝0的两个根，则 m － n 的值为
（ B ）
A. －20 B. －44 C. 20 D. 44
2. 若关于 x 的方程2 x2＋ mx －4＝0的一个根为1，则另一个根
为 .
B
－2
已知 x1， x2是方程 x2－3 x －2＝0的两个根，不解方程，求下列
代数式的值：
（1） ＋ ； （2）（ x1－3）（ x2－3）.
【思路导航】求与 x1， x2有关的代数式的值，即将代数式变形
为关于 x1＋ x2和 x1 x2的代数式，或结合根的意义来求解.
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
x1＋ x2＝3， x1 x2＝－2.
（1） ＋ ＝ ＋ ＋2 x1 x2－2 x1 x2＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝
32－2×（－2）＝13.
（2）（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3 x1－3 x2＋9＝ x1 x2－3（ x1＋
x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.
【点拨】小题中 x1， x2的地位是“对称的”，这样的式子一般
用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.
1. 已知关于 x 的方程 x2－（ k ＋4） x ＋4 k ＝0（ k ≠0）的两个实
数根为 x1， x2.若 ＋ ＝3，则 k ＝ .
2. 已知方程 x2－3 x －1＝0的两个实数根为α，β，求下列各
式的值：
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.
（1） ＋ ；
（1） ＋ ＝ ＝ ＝－3.
（2） ＋ ；
（2） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－11.
（3）∵α方程是 x2－3 x －1＝0的一个根，
∴α2－3α－1＝0.
∴α2＝3α＋1.
∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.
（3）α2－α＋2β.
已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m －1＝0有 x1， x2两个实
数根.
（1）若 x1＝1，求 x2及 m 的值.
（2）是否存在实数 m ，满足（ x1－1）（ x2－1）＝ ？若存
在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由.
【思路导航】（1）先利用判别式的意义得到Δ≥0，再利用根与
系数的关系依次求出 x2和 m 的值；（2）先由根与系数的关系，
及（ x1－1）（ x2－1）＝ ，得到关于 m 的方程，再根据 m 的
取值范围得出符合题意的值.
解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2 m －1）≥0.
解得 m ≤5.
由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6， x1 x2＝2 m －1.
∵ x1＝1，∴1＋ x2＝6， x2＝2 m －1.
∴ x2＝5， m ＝3.
（2）存在.
∵（ x1－1）（ x2－1）＝ ，
∴ x1 x2－（ x1＋ x2）＋1＝ ，
即2 m －1－6＋1＝ .整理，得 m2－8 m ＋12＝0.
解得 m1＝2， m2＝6.
经检验， m1＝2， m2＝6是原分式方程的解.
又∵ m ≤5且 m －5≠0，即 m ＜5，∴ m ＝2.
【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于 m
的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数
中有参数 m ，容易忽略由Δ≥0得出的参数的取值范围.
（2023·南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －3
m2＋ m ＝0.
（1）求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；
（1）证明：∵Δ＝ －4×1×（－3 m2＋ m ）＝16
m2－8 m ＋1＝ ≥0，
∴无论 m 为何值，方程总有实数根.
（2）解：∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －
3 m2＋ m ＝0的两个实数根，∴ x1＋ x2＝2 m －1，
x1 x2＝－3 m2＋ m .∵ ＋ ＝ ＝ －2＝－ ，
∴ －2＝－ .∴ ＝－ .整理，
得5 m2－7 m ＋2＝0.解得 m1＝ ， m2＝1，∴ m 的值为 或1.
（2）若 x1， x2是方程的两个实数根，且 ＋ ＝－ ，求 m
的值.
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第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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CONTENTS
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0 1
课前预习
1. 利用一元二次方程解决平均增长率与平均减少率的问题（ n
表示增减的次数）.
（1）原有量×（1＋增长率） n ＝现有量；
（2）原有量×（1－减少率） n ＝现有量.
2. 与销售利润相关的公式.
（1）利润＝售价－进价；
（2）利润率＝ ×100％；
（3）商品总利润＝单件商品利润×销售数量.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通
工具.某商城的自行车销售量自2021年起逐月增加.据统计，该商
城9月份销售自行车64辆，11月份销售了100辆.求该商城这两个
月自行车销售量的月平均增长率.
【思路导航】设该商城这两个月自行车销售量的月平均增长率
为 x .根据9月份销售量，用含 x 的代数式表示出11月份销售量，
再结合已知的11月份销售量列方程，最后解方程即可.
解：设该商城这两个月自行车销售量的月平均增长率为 x .由题
意，得64（1＋ x ）2＝100.解得 x1＝－2.25（不合题意，舍
去）， x2＝0.25＝25％.∴该商城这两个月自行车销售量的月平
均增长率为25％.
【点拨】关于平均增长率问题，可设变化前的量为 a ，变化后
的量为 b ，平均变化率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a
（1＋ x ）2＝ b .
（2023·大连）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一
部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用
为5 000元，2022年用于购买图书的费用为7 200元，求2020－
2022年买书资金的年平均增长率.
解：设2020－2022年买书资金的年平均增长率为 x .由题意，得
5 000（1＋ x ）2＝7 200.解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2（不合题
意，舍去）.∴2020－2022年买书资金的年平均增长率为20％.
某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件.
经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件.如
果商场计划每月赚得8 000元利润，那么售价应定为多少元？这
时每月应进多少件衬衫？
【思路导航】设每件涨价4 x 元，可用含 x 的代数式表示出销售
量和每件利润，再由每月赚8 000元利润可得方程，最后解方程
即可.
解：设每件涨价4 x 元，则销售量为（500－40 x ）件，每件利润
为（10＋4 x ）元.由题意，得（500－40 x ）（10＋4 x ）＝8 000.
整理，得4 x2－40 x ＋75＝0.解得 x1＝ ， x2＝ .当 x ＝ 时，即
涨价10元，销售量为400件；当 x ＝ 时，即涨价30元，销售量
为200件.故当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为
80元时，每月应进200件衬衫.
【点拨】利用一元二次方程求解销售利润问题的关键：一是用
售价表示销售量，二是挖掘题中的隐含条件进行取舍.题目给出
销售量有两种主要形式：（1）根据调节售价改变的销售量；
（2）通过售价和销售量之间的函数关系给出销售量.
某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55
元的价格销售.现因市场变化，药店决定降价销售.已知这种消毒
液销售量 y （桶）与每桶降价 x （元）（0＜ x ＜20）之间满足一
次函数关系，其图象如图所示.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝
kx ＋ b .将点（1，110），（3，130）代入函
数关系式，得解得
故 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝10 x ＋100.
（2）若该药店仅获利1 760元，则这种消毒液每桶实际售价为
多少元？
解：（2）由题意，得（10 x ＋100）（55－ x
－35）＝1 760.整理，得 x2－10 x －24＝0.解
得 x1＝12， x2＝－2（舍去）.∴实际售价为
55－12＝43（元）.∴这种消毒液每桶实际售
价为43元.
随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌
是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每公顷用水量分别
是漫灌时的30％和20％.去年，新丰收公司用各100公顷的三块
试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15 000 t .
（1）漫灌方式每公顷用水多少吨？去年每块试验田各用水
多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的
面积都增加了 m ％，漫灌试验田的面积减少了2 m ％.同时，该公
司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每公顷用水
量都进一步减少了 m ％. 经测算，今年的灌溉用水量比去年减少
m ％.求 m 的值.
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司
全部试验田在灌溉输水管道维修方面每公顷投入30元，在新增
的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每公顷100元.在
（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用
水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【思路导航】（1）设漫灌方式每公顷用水 x t ，根据题意列方程
可得结论；（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少 m ％”可
列出等式，进而求出 m 的值；（3）分别计算去年因用水量减少
所节省的水费和今年的两项投入之和，再进行比较即可.
解：（1）设漫灌方式每公顷用水 x t ，则
100 x ＋100×30％ x ＋100×20％ x ＝15 000.
解得 x ＝100.
则漫灌用水为100×100＝10 000（ t ），
喷灌用水为10 000×30％＝3 000（ t ），
滴灌用水为10 000×20％＝2 000（ t ）.
∴漫灌方式每公顷用水100 t ；去年漫灌试验田用水10 000 t ，喷
灌试验田用水3 000 t ，滴灌试验田用水2 000 t .
（2）由题意，可得100×（1－2 m ％）×100×（1－ m ％）＋
100×（1＋ m ％）×30×（1－ m ％）＋100×（1＋ m ％）
×20×（1－ m ％）＝15 000× .
整理，得 m2－20 m ＝0.
解得 m1＝0（不符合题意，舍去）， m2＝20.
∴ m ＝20.
（3）节省水费为 15 000× m ％×2.5＝ 13 500（元），
维修投入为300×30＝ 9 000（元），
新增设备投入为100×2 m ％×100＝ 4 000（元）.
∵13 500＞9 000＋4 000，
∴节省的水费大于两项投入之和.
【点拨】当题目给出的条件较复杂时，首先分析每一句话的内
容，理清题目中的逻辑关系，找到等量关系，再去设未知数解
应用题.
某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A 产品，乙车间生产 B 产
品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知 A 产品
的销售单价比 B 产品的销售单价高100元，1件 A 产品与1件 B 产
品售价和为500元.
（1） A ， B 两种产品的销售单价分别是多少元？
解：（1）设 B 产品的销售单价为 x 元，则 A 产品的销售单价为
（ x ＋100）元.
由题意，得 x ＋100＋ x ＝500.
解得 x ＝200.
∴ A 产品的销售单价为200＋100＝300（元）.
故 A 产品的销售单价为300元， B 产品的销售单价为200元.
（2）随着5 G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今
年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制
B 产品的生产车间.预计 A 产品在售价不变的情况下产量将在去
年的基础上增加 a ％； B 产品产量将在去年的基础上减少 a ％，
但 B 产品的销售单价将提高3 a ％.则今年 A ， B 两种产品全部售
出后总销售额将在去年的基础上增加 a ％.求 a 的值.
解：（2）设去年每个车间生产产品的数量为 t 件.
由题意，得300（1＋ a ％） t ＋200（1＋3 a ％）（1－ a ％） t ＝
500 t .
设 a ％＝ m ，则原方程可化简为5 m2－ m ＝0.
解得 m1＝0.2＝20％， m2＝0（不符合题意，舍去）.
∴ a ＝20.
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第二章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 因式分解法的定义.
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个
的乘积时，可把一元二次方程转化为两个一元一次方程，
这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，这种解一
元二次方程的方法称为因式分解法.
一次因
式
2. 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤.
一般步骤 示例
（3 x2＝8 x ＋3）
一整
理 首先将原方程化为一般形式
ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0） 3 x2－8 x －3＝0
二化
积 将 ax2＋ bx ＋ c 因式分解 （ x －3）（3 x ＋1）＝0
一般步骤 示例
（3 x2＝8 x ＋3）
三转化 令每一个因式为0，转化为两
个一元一次方程 x －3＝0，或3 x ＋1＝0
四求解 解每一个一元一次方程，它
们的解就是原一元二次方程
的解. x1＝3，或 x2＝－
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
用因式分解法解下列方程：
（1）3 x2＝2 x ；
（2）5 x （ x ＋1）＝6（ x ＋1）；
（3）2 x （ x －3）＝3 x －9；
（4）（ x －3）2＝（2 x ＋1）2.
【思路导航】先因式分解，再解方程：（1）变形后，提取公因
式 x ；（2）变形后，提取公因式（ x ＋1）；（3）变形后，提
取公因式（ x －3）；（4）运用平方差公式进行因式分解.
解：（1）原方程可变形为3 x2－2 x ＝0.
∴ x （3 x －2）＝0.
∴ x ＝0，或3 x －2＝0.
∴ x1＝0， x2＝ .
（2）原方程可变形为5 x （ x ＋1）－6（ x ＋1）＝0.
∴（ x ＋1）（5 x －6）＝0.
∴ x ＋1＝0，或5 x －6＝0.
∴ x1＝－1， x2＝ .
（3）原方程可变形为2 x （ x －3）＝3（ x －3）.
∴2 x （ x －3）－3（ x －3）＝0.
∴（ x －3）（2 x －3）＝0.
∴ x －3＝0，或2 x －3＝0.
∴ x1＝3， x2＝ .
（4）原方程可变形为（ x －3）2－（2 x ＋1）2＝0.
∴[（ x －3）＋（2 x ＋1）][（ x －3）－（2 x ＋1）]＝0.
∴（3 x －2）（－ x －4）＝0.
∴3 x －2＝0，或－ x －4＝0.
∴ x1＝ ， x2＝－4.
【点拨】因式分解法解一元二次方程的依据：若两个因式的积
为0，则这两个因式至少有一个因式等于0.因式分解的常用方法
有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十
字相乘法.这几种方法需要灵活并熟练运用.
用因式分解法解下列方程：
（1）（ x ＋8）（7 x －5）＝0；
解： x1＝－8， x2＝ .
（2）（6 x －1）2＝6 x －1；
解： x1＝ ， x2＝ .
（3） x （4 x ＋11）＝8 x ＋22；
解： x1＝－ ， x2＝2.
（4）2（ x －3）＝ x2－9.
解： x1＝3， x2＝－1.
用适当的方法解下列方程：
（1） x2＋ x －4＝0；
（2）（2 x －3）2＝9（2 x ＋3）2；
（3） x2－6 x ＋5＝0；
（4）（ x ＋4）2－4（ x ＋4）＋3＝0.
【思路导航】（1）用公式法；（2）移项后，用平方差公式进
行因式分解；（3）用“十字相乘法”进行因式分解；（4）把
（ x ＋4）看作一个整体，用“十字相乘法”进行因式分解，再
解方程.
解：（1）这里 a ＝1， b ＝ ， c ＝－4.
∵ b2－4 ac ＝2－4×（－4）＝18＞0，
∴ x ＝ ，即 x1＝ ， x2＝－2 .
（2）原方程可变形为（2 x －3）2－[3（2 x ＋3）]2＝0.
∴[（2 x －3）＋3（2 x ＋3）][（2 x －3）－3（2 x ＋3）]＝
0.
∴（2 x －3）＋3（2 x ＋3）＝0，
或（2 x －3）－3（2 x ＋3）＝0.
∴ x1＝－ ， x2＝－3.
（3）原方程可变形为（ x －1）（ x －5）＝0.
∴ x1＝1， x2＝5.
（4）原方程可变形为[（ x ＋4）－1][（ x ＋4）－3]＝0.
∴（ x ＋4）－1＝0，或（ x ＋4）－3＝0.
∴ x1＝－3， x2＝－1.
【点拨】通过对比此题中的各种解法，我们可以知道：①解一
元二次方程，优先选择因式分解法；②若无法进行因式分解，
再考虑公式法.其中，“十字相乘法”需要熟练掌握.同时需要注
意的是，公式法能处理所有一元二次方程，但是计算量较大，
可作为最后的解题手段.
用适当的方法解下列方程：
（1） x2－4 x ＋2＝0；
解： x1＝2 ＋ ， x2＝2 － .
（2）（3 x －4）2＝（4 x －3）2；
解： x1＝－1， x2＝1.
（3）3 x2＋2 x －5＝0；
解： x1＝－ ， x2＝1.
（4）（ x －3）（ x ＋1）＝5.
解： x1＝－2， x2＝4.
已知一元二次方程 x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.
（2）已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是这个方程的两个实数
根，且第三边 BC 的长为5.当△ ABC 是等腰三角形时，求 k 的值.
【思路导航】（1）先计算出Δ的值，然后根据判别式的大小即
可得到结论；（2）先用因式分解法求出方程的解，再进行分类
讨论，最后求出 k 的值.
（1）证明：∵Δ＝[－（2 k ＋1）]2－4（ k2＋ k ）＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0，
∴ x2－[ k ＋（ k ＋1）] x ＋ k （ k ＋1）＝0.
∴（ x － k ）[ x －（ k ＋1）]＝0.
∴ x1＝ k ， x2＝ k ＋1.
∵ k ＜ k ＋1，∴ AB ≠ AC .
①当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AB ＝ BC 时， k ＝5，三边长5，
5，6能组成三角形，符合题意.
②当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AC ＝ BC 时， k ＋1＝5.解得 k ＝4.
三边长4，5，5能组成三角形，符合题意.
综上所述， k 的值为4或5.
【点拨】对于含参数的一元二次方程，若题目中的条件涉及根
的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出
的根含有参数.对于一元二次方程与实际结合的问题，最后一定
要检查解是否符合题意.
已知关于 x 的方程 kx2－（4 k －3） x ＋3 k －3＝0.
（1）求证：无论 k 取何值，该方程都有实数根；
（1）证明：当 k ≠0时，Δ＝[－（4 k －3）]2－4 k （3 k －3）＝4
k2－12 k ＋9＝（2 k －3）2≥0.
∴无论 k 取何值（ k ≠0），原方程都有两个实数根.
当 k ＝0时，方程变为3 x －3＝0.解得 x ＝1. 此时，原方程有一个
实数根.
综上所述，无论 k 取何值，原方程都有实数根.
（2）若 x ＝－1是该方程的一个根，求 k 的值；
（2）解：把 x ＝－1代入方程，得 k ＋4 k －3＋3 k －3＝0，
解得 k ＝ .
（3）若该方程的两个实数根均为正整数，求整数 k 的值.
（3）解： kx2－（4 k －3） x ＋3 k －3＝0.
因式分解，得（ x －1）[ kx －（3 k －3）]＝0.
∵该方程有两个实数根，∴ k ≠0.
∴该方程的两个根分别为 x1＝1， x2＝3－ .
∵该方程的两个实数根均为正整数且 k 为整数，
∴ ＝1，或 ＝－1，或 ＝－3.∴ k1＝3， k2＝－3， k3＝－1.
∴整数 k 的值为－3，－1或3.
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