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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 画树状图法与列表法的优缺点.
优点 缺点
画树状 图法 画树状图可以直观、形象地表
示出事件发生的所有结果，能
有效避免重复与遗漏 当一次试验参与的元
素过多时，画树状图
就比较麻烦
优点 缺点
列表 法 列表法能清晰地表示某个事件
发生的所有可能结果，特别是
不放回时能明显的表示在表格
中，从而较为方便地求出事件
发生的概率 （1）列表格时容易
出现重复；
（2）当一次试验涉
及的步骤超过两步
时，就不能用列表法
求概率了
2. 画树状图和列表格能求一些简单事件的概率，概率能解决一
些简单的实际问题，概率还能对日常生活和生产实践进行指导.
（1）游戏是否公平，关键看游戏参与者获胜的概率是否相等，
若相等就表明游戏公平.
（2）把不公平游戏修改为公平游戏的方法：
①改变游戏规则，使游戏参与者获胜的概率相等；
②改变游戏得分，使得游戏参与者平分每次游戏所得的分数
相同；
③修改游戏工具，选择或设计使游戏参与者获胜的概率相等的
游戏工具.
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0 2
典例讲练
小明、小颖、小凡都想周末去看电影，但只有一张电影票，三
人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下：一个
不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个球，它们除编号外都
一样，小明第一个摸出一个小球，记下编号后不放回，摇匀后
小颖来摸出一个小球，记下编号后不放回，小凡最后摸，谁摸
出球的数字大，谁获胜.你认为这个游戏公平吗？
【思路导航】小明第一个摸球，摸到每个球的概率是一样的；
小颖第二个摸球，她摸到剩余球中每个球的概率也是一样的；
小凡最后摸球，摸到剩余球中每个球的概率也是一样的，所以
可以用画树状图或列表的方法求出他们三人获胜的概率，再来
判定游戏是否公平.
由图可知，共有6种等可能的结果，
其中小明获胜的结果有2种，
解：画树状图如下：
所以小明获胜的概率为 ＝ .
小颖获胜的结果有2种，
所以小颖获胜的概率为 ＝ .
小凡获胜的结果有2种，
所以小凡获胜的概率为 ＝ .
因为 ＝ ＝ ，
所以游戏是公平的.
【点拨】（1）判断游戏是否公平，就看事件发生的概率是否相
等.（2）试验步骤超过两步就无法用列表格的方式来得到所有
等可能的结果，所以该问题只能利用画树状图或其他方法来求
他们各自获胜的概率.
1. 连续抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币的正面朝上
的概率是（ D ）
A. B. C. D.
2. 小明、小颖、小华参加演讲比赛.原定出场顺序是小明第一个
出场，小颖第二个出场，小华第三个出场，为了比赛的公平
性，要求这三名选手用抽签的方式重新确定出场顺序，则抽签
后每名选手的出场顺序都发生变化的概率是 .
D
如图，小明和小红正在做一个游戏：每人轮流掷一枚骰子，骰
子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中相应物
品.现在轮到小明掷骰子，棋子在标有数字“2”的那一格.
（1）小明能一次就获得“汽车”吗？请说明理由.
（2）小红下一次掷骰子可能得到“汽车”吗？她下一次得到
“汽车”的概率是多少？
【思路导航】（1）确定棋子到“汽车”的位置需要几格，
即可判断；（2）只要小明和小红两人掷的骰子点数和为7，
小红即可得到“汽车”；通过列表可得所有等可能的结果
数，根据骰子点数和为7的结果数即可求出小红下一次得到
“汽车”的概率.
解：（1）小明不可能一次就得到“汽车”.理由：小明掷骰子
时棋子在有数字“2”的那一格，距离“汽车”所在的位置还有
7格，而骰子最大的数字为6，掷一次骰子不可能得到数字7，因
此小明不可能一次就得到“汽车”.
（2）只要小明和小红两人掷的骰子点数和为7，小红即可得到
“汽车”，因此小红下一次掷骰子可能得到“汽车”.
列表格如下：
小红 小明 1 2 3 4 5 6
1 （1，
1） （1，
2） （1，
3） （1，
4） （1，
5） （1，
6）
2 （2，
1） （2，
2） （2，
3） （2，
4） （2，
5） （2，
6）
小红 小明 1 2 3 4 5 6
3 （3，
1） （3，
2） （3，
3） （3，
4） （3，
5） （3，
6）
4 （4，
1） （4，
2） （4，
3） （4，
4） （4，
5） （4，
6）
小红 小明 1 2 3 4 5 6
5 （5，
1） （5，
2） （5，
3） （5，
4） （5，
5） （5，
6）
6 （6，
1） （6，
2） （6，
3） （6，
4） （6，
5） （6，
6）
由表可知，共有36种等可能的结果，其中骰子点数和为7的结果
有6种，所以小红下一次得到“汽车”的概率为 ＝ .
【点拨】（1）列表的优点是能清晰地表示出某个事件发生的所
有等可能的结果.在试验参与的元素较多时，选择列表更有优势.
（2）把生活语言“小红下一次得到‘汽车’的概率”转换为
“小明和小红两人掷的骰子点数和为7”是解决本题的关键.
如图，有两个可以自由转动的转盘 A ， B ，每个转盘都被分成了
3等份，并在每份内标有数字.现进行如下操作：①分别转动转
盘 A ， B ；②两个转盘都停止后，将两个指针所指份内的数字相
乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一
份为止）.
（1）用列表或画树状图的方法分别求出数字之积为3的倍数和
数字之积为5的倍数的概率.
解：（1）列表如下：
B 盘 A 盘 4 5 6
1 （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，4） （3，5） （3，6）
由表可知，共有9种等可能的结果，
其中数字之积为3的倍数的结果有5种，所以数字之积为3的倍数
的概率为 ；
数字之积为5的倍数的结果有3种，所以数字之积为5的倍数的概
率为 ＝ .
（2）小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积
为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分.
这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不
公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平.
解：（2）这个游戏不公平，理由如下：
因为小明平均每次的得分为2× ＝ （分），
小亮平均每次得分为3× ＝1（分），
所以游戏对双方不公平.
修改得分规定为：数字之积为3的倍数，则小明得3分；数字之
积为5的倍数时，小亮得5分.此时小明平均每次的得分为3× ＝
（分），小亮平均每次的得分为5× ＝ （分），游戏对双方
公平.（得分规定不唯一，合理即可）
小丽和小华两人一起玩掷骰子游戏.游戏的规则如下：每人从
1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均
匀的骰子，谁选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜.如
果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述
游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？说
明你的理由.
【思路导航】由题意可知，问题等同于：两人各掷一枚质地均
匀的骰子，将两人掷得的点数相加，骰子点数之和为几的概率
最大.
解：列表如下：
小华 小丽 1 2 3 4 5 6
1 （1，
1） （1，
2） （1，
3） （1，
4） （1，
5） （1，
6）
2 （2，
1） （2，
2） （2，
3） （2，
4） （2，
5） （2，
6）
小华 小丽 1 2 3 4 5 6
3 （3，1） （3，
2） （3，
3） （3，
4） （3，
5） （3，
6）
4 （4，1） （4，
2） （4，
3） （4，
4） （4，
5） （4，
6）
小华 小丽 1 2 3 4 5 6
5 （5，1） （5，
2） （5，
3） （5，
4） （5，
5） （5，
6）
6 （6，1） （6，
2） （6，
3） （6，
4） （6，
5） （6，
6）
由表可知，共有36种等可能结果，其中
骰子点数和为12的结果有1种， P （点数和为12）＝ ；
骰子点数和为11的结果有2种， P （点数和为11）＝ ＝ ；
骰子点数和为10的结果有3种， P （点数和为10）＝ ＝ ；
骰子点数和为9的结果有4种， P （点数和为9）＝ ＝ ；
骰子点数和为8的结果有5种， P （点数和为8）＝ ；
骰子点数和为7的结果有6种， P （点数和为7）＝ ＝ ；
骰子点数和为6的结果有5种， P （点数和为6）＝ ；
骰子点数和为5的结果有4种， P （点数和为5）＝ ＝ ；
骰子点数和为4的结果有3种， P （点数和为4）＝ ＝ ；
骰子点数和为3的结果有2种， P （点数和为3）＝ ＝ ；
骰子点数和为2的结果有1种， P （点数和为2）＝ .
由此可知，掷得点数和为7的概率最大.
所以，一般来说，选择7这个数获胜的可能性最大.
【点拨】在不确定的情境中，概率可以为我们的决策提供依据.
一般来说，掷得的点数之和是哪个数的概率大，选择这个数获
胜的概率就大.尽管概率并不提供确切无误的结论，也可能选择
概率大的数反而输了，但在掷骰子之前，选择概率大的数7显然
是明智的.
将36个球放入标有1，2，…，12这12个号码的12个盒子中，然
后掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几，就从几号盒
子中摸出一个球.为了尽快将球摸完，你觉得应该怎样放球？
解：列表如下：
第二次 第一次 1 2 3 4 5 6
1 （1，
1） （1，
2） （1，
3） （1，
4） （1，
5） （1，
6）
2 （2，
1） （2，
2） （2，
3） （2，
4） （2，
5） （2，
6）
第二次 第一次 1 2 3 4 5 6
3 （3，
1） （3，
2） （3，
3） （3，
4） （3，
5） （3，
6）
4 （4，
1） （4，
2） （4，
3） （4，
4） （4，
5） （4，
6）
第二次 第一次 1 2 3 4 5 6
5 （5，
1） （5，
2） （5，
3） （5，
4） （5，
5） （5，
6）
6 （6，
1） （6，
2） （6，
3） （6，
4） （6，
5） （6，
6）
由表可知，共有36种等可能结果，掷两枚质地均匀的骰子，点
数之和为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的概率分别
为0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .因此理
论上，在标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个
号码的12个盒子中分别放0，1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，
1个球是最好的放法.
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第三章 概率的进一步认识
2 用频率估计概率
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 在实际生活中，当试验的结果有无限多个，或各种可能出现
的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过 来估计
概率，即在相同的条件下，用 试验所得到的随机
事件发生的 来估计这个事件发生的概率.
2. 一般地，大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率稳定于某
个常数 P ，那么事件 A 发生的概率为 .
频率
大量重复
频率的稳定值
P （ A ）＝ P
频率 概率
区别 实验值或使用时的统计值 理论值
随着试验次数的变化而变化 确定的值
联系 试验次数越多，频率越稳定于概率 3. 频率与概率的区别和联系.
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0 2
典例讲练
某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）.规定：顾客
购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止
时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个
扇形的交线时，当作指向右边的扇形）.下表是活动进行中的
一组统计数据：
转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔”的次
数 m 68 111 136 345 544 701
落在“铅笔”的频
率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
（1）转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为 （结
果保留小数点后一位）；
0.3
（2）经统计该商场每天约有5 000名顾客参加抽奖活动，一瓶
饮料和一支铅笔单价和为4元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用
是8 000元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制
在6 000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整
为 度.
36
【思路导航】（1）由表格得知，当落在“铅笔”的次数增多
时，落在“铅笔”的频率逐渐稳定，由频率估计概率可知落在
“铅笔”的概率，从而可得获得一瓶饮料的概率；（2）根据获
得一瓶饮料的概率和获得一支铅笔的概率，以及总费用列出方
程求解；（3）设出圆心角，就可以得到获得一瓶饮料的概率和
获得一支铅笔的概率，然后根据总费用是6 000元列出方程求解.
（1）【解析】根据表格可知，转动该转盘一次，获得铅笔的概
率约为0.7，
∴转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为1－0.7＝0.3.
故答案为0.3.
（2）解：设每支铅笔 x 元，则每瓶饮料 元.
由题意，得5 000×0.7 x ＋5 000×0.3（4－ x ）＝8 000.
解得 x ＝1，则4－ x ＝4－1＝3.
∴该商场每支铅笔1元，每瓶饮料3元.
（3）【解析】设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整
为 n 度.根据题意，
得5 000×3× ＋5 000×1×（1－ ）＝6 000.
解得 n ＝36.
即转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度.
故答案为36.
【点拨】利用频率估计概率时，切忌使用少量的某次试验的频
率来估计，一定是用大量重复试验后的频率的稳定值来估计.
1. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8个黑球、4个白球
和若干个红球.每次搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回
袋中.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于
0.4.由此可估计袋中有红球 个.
8
2. 二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备
援性大，成本便宜等特性.现今，手机二维码已经被各大手机厂
商使用开发.如图是一张边长为5 cm的正方形二维码的示意图，
在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑
色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分
的总面积为 cm2.
17.5
【解析】∵通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳
定在0.7左右，∴估计点落在黑色部分的概率为0.7.∴估计该二
维码黑色部分的总面积为5×5×0.7＝17.5（cm2）.故答案为
17.5.
在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的黑、白两种球共
40个.小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出
一个球并记下颜色，然后把它放回盒子中.不断重复上述过程，
下表是试验中的统计数据：
摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1 000
摸到白球 的次数 m 65 124 178 302 481 599
摸到白球 的频率 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599
（1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定于
（精确到0.1）；假如你从中随机摸出一个球，你摸到白球的概
率约为 （精确到0.1）.
0.6
0.6
（2）试估算盒子里黑、白两种球的个数.
（3）在（2）的条件下，若要使摸到白球的频率为0.8，则需要
往盒子里再放入多少个白球？
【思路导航】（1）利用频率估计概率的方法，随着试验次数的
增多，值越来越精确，根据表中的数据便可得出结论；（2）白
球的个数＝球的总数×摸到白球的概率，再由“球的总数－白
球的个数＝黑球的个数”计算；（3）设需要往盒子里再放入 x
个白球，利用频率与概率的关系建立方程求解即可.
（1）【解析】由统计表可知，摸到白球的频率在0.6上下波
动，所以当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定于0.6.根据“用
频率估计概率”可知，随机摸一个球，摸到白球的概率约为0.6.
故答案为0.6，0，6.
（2）解：盒子里白球约有40×0.6＝24（个），黑球约有40－
24＝16（个）.
（3）解：设需要往盒子里再放入 x 个白球.
根据题意，得24＋ x ＝0.8（40＋ x ）.
解得 x ＝40.故需要往盒子里再放入40个白球.
【点拨】解这类利用试验后的频率值估计球的个数的基本方
法：通常先设出所求物体的数量，然后再根据频率与概率的关
系建立方程求解.解答时容易由于没有正确理解概率与频率之间
的关系，不能正确地列出方程求解.
为奖励同学们在数学测试中取得优异成绩，九（1）班举行抽奖
活动.班主任在箱子中放了3个红球和若干个白球，每个球除颜
色不同外，其质地大小无区别.让同学们在暗箱中摸两次球，摸
到2次白球则可获得一份奖品.同学们随机摸出一个小球，记下
颜色后重新放回箱中，发现摸到红球的频率稳定在 左右.
解：（1）设箱子中白球有 x 个.
由题意，得 ＝ .
解得 x ＝1.
经检验 x ＝1是原分式方程的解，且符合题意.
故估计箱中白球有1个.
（1）估计箱中白球的个数；
（2）小高同学从箱中摸出一个球，记下颜色后放回箱中，摇匀
后再次伸手摸出一个球，求他获得奖品的概率.
（2）（方法一）列表如下：
第二次 第一次 红1 红2 红3 白
红1 （红1，红
1） （红1，红
2） （红1，红
3） （红1，
白）
红2 （红2，红
1） （红2，红
2） （红2，红
3） （红2，
白）
第二次 第一次 红1 红2 红3 白
红3 （红3，红
1） （红3，红
2） （红3，红
3） （红3，
白）
白 （白，红
1） （白，红
2） （白，红
3） （白，白）
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都
是白球的结果有1种，∴ P （获得奖品）＝ .
（方法二）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球恰
好都是白球的结果有1种.
∴ P ＝ .
如图，有一个质地均匀、每个面都是等边三角形的正四面体骰
子，四个面上依次标有数字1，2，3，4.小华想通过试验的方法
了解抛一次该骰子朝下一面的数字是3的概率有多大.于是他开
始做试验，连续抛骰子，并记录得到下表中的数据：
（1）请根据表中提供的数据，将表格补充完整（结果精确到
0.001）；
抛骰子次数 朝下一面的数字是3的
频数 朝下一面的数字是3的
频率
40 8 0.200
80 22 0.275
120 29 0.242
160 41 0.256
200 52 0.260
0.200
0.275
0.242
0.256
0.260
抛骰子次数 朝下一面的数字是3的
频数 朝下一面的数字是3的
频率
240 60 0.250
280 69 0.246
320 80 0.250
0.250
0.246
0.250
（2）根据统计表在图中画出折线统计图；
（3）从统计图中你发现了什么？
（4）小华认为正四面体骰子难找，想用别的替代物进行模拟试
验，请你说出一种方法.
【思路导航】（1）利用频率的计算公式，用朝下一面的数字是
3的频数除以抛骰子的次数，即可得到朝下一面是3的频率；
（2）根据表中的数据，由画折线统计图的步骤画出图形；
（3）观察折线统计图就会发现，随着试验次数越多，所得到的
频率越来越趋于稳定，也就能反映这一事件的概率的大小；
（4）确保替代物与被替代物所产生的所有结果数相同，对应事
件概率相等即可.
（3）从折线统计图中可以看出，随着试验次数增加，频率在
0.25上下波动，所以可以把0.25作为朝下一面的数字是3的概率
的大小.
解：（2）画出的折线统计图如图所示：
（4）用标有1，2，3，4点的四张扑克牌作为替代物进行模拟试
验.（答案不唯一）
【点拨】（1）试验的次数越多，所得的频率就越能反映事件概
率的大小.（2）频数分布表、折线统计图、条形统计图、直方
图都能较好地反映频数、频率的分布情况，可以利用它们提供
的信息估计某一事件的概率.（3）利用替代物进行模拟试验
时，首先要求替代物与被替代物所产生的所有可能的结果数相
同，且所有结果中的每一对对应事件的概率相等；其次所选择
的替代物不能比被替代物进行试验更困难，替代物通常选用扑
克牌、转盘、小球、骰子等.
在不透明的口袋中装有1个红球和若干个白球，它们除颜色外其
余完全相同.已知从中任意摸出一个球，摸得红球的概率为 .
（1）口袋中白球有 个；
（1）【解析】设布袋中白球有 a 个.由题意，得 ＝ ，解得 a
＝2，经检验 a ＝2是分式方程的解，且符合题意，∴口袋中白
球有2个.故答案为2.
2
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一
球，试用树状图或表格表示出所有等可能的结果，并求摸出的
球恰好是两个白球的概率；
（2）解：（方法一）画树状图（略图）如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球恰好是两个白
球的结果有2种，
∴ P （摸出的球恰好是两个白球）＝ ＝ .
（方法二）列表如下：
第二次 第一次 红 白1 白2
红 （红，白1） （红，白2）
白1 （白1，红） （白1，白2）
白2 （白2，红） （白2，白1）
由表可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球恰好是两个白
球的结果有2种，
∴ P （摸出的球恰好是两个白球）＝ ＝ .
（3）若在口袋中再添加 x 个红球，充分搅匀，从中随机摸出一
个球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共
试验2 000次，其中有1 200次摸到红球，则 x 的值为 .
（3）【解析】由题意，得 ＝ ，解得 x ＝2，经检验 x ＝2
是分式方程的解，且符合题意，即 x 的值为2.故答案为2.
2
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第三章 概率的进一步认识
回顾与思考
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要点回顾
典例讲练
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0 1
要点回顾
1. 求简单事件概率的计算方法.
（1）求概率的两种基本方法： 和 .
画树状图法
列表法
（2）画树状图法和列表法的优缺点.
分类 优点 缺点
画树状
图法 树状图可以直观、形象地分
析问题，能够避免重复和遗
漏 当一次试验参与的元素
过多时，用画树状图法
就比较麻烦
列表法 可以清晰地表示出某个事件
发生的所有可能出现的结
果，从而较方便地求出事件
发生的概率 易出现重复；当一次试
验涉及的分步过多（一
般超过两步）时，就不
能用列表法
注意：①试验的两个步骤之间必须具有随机性；②在每一步，
各种情况出现的可能性都相同；③弄清元素是“有放回”还是
“无放回”，以免出错.
2. 用频率估计概率.
（1）当试验次数很多时，试验的频率就 在理论概率附
近，所以对于一些难于求理论概率或不存在理论概率的问题，
就可以通过试验的方法用频率来估计概率.
稳定
（2）频率与概率的联系与区别.
联系：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在某个常数附近，
这个常数可以作为概率的估计值.
区别：事件的概率是一个确定的值，而频率是一个变化的值.当
试验次数较少时，频率的波动较大；当试验次数足够多时，频
率会稳定在某个常数 .
附近
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 用频率估计概率
一个不透明口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许
将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用
了如下的方法：先从口袋中摸出10个球，求出其中红球的个数
与10的比值，然后再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程
50次，得到红球的个数与10的比值的平均数为0.4.根据上述数
据，估计口袋中有 个黄球.
15
【思路导航】根据在同样的条件下，大量反复试验时，随机事
件发生的频率逐渐稳定在概率附近，于是从这个比例关系入
手，利用得到红球的频率（概率近似值）后可求得总球数，也
就可以得到黄球的个数.
【解析】在50次随机试验摸出的10个球中，红球的个数所占比
值的平均数近似等于袋中红球总个数与袋中球总个数的比值，
所以红球总数与袋中总数的比值约为0.4，即10∶袋中总球数
≈0.4，可得袋中总球数约为25个，所以黄球约有25－10＝15
（个）.故答案为15.
【点拨】本例属于用频率估计概率类型题目，是本章主要题型
之一.样本中各部分个体所占百分比近似等于总体中各部分个体
所占的百分比.对于具有破坏性或总体数量大的试验，可用样本
情况来估计总体情况.
在一个不透明的袋子里装有24个白球和若干个黄球，它们除颜
色不同外，其余均相同.为了估计袋子里黄球的个数，小聪将10
个黄球放入袋子里，这些黄球与袋子里的球除颜色外其余都相
同，从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重
新摸.经过大量的摸球试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6附
近.则袋子里原来的黄球个数约为（ C ）
A. 0 B. 2 C. 6 D. 16
C
要点二 用列表法或画树状图法求概率
某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌.小静想唱
《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊！故乡》，她们想通过做
游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏.下
面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几
个扇形.同时转动两个转盘，若两根指针指向的数字之积小于
4，则合唱《红旗飘飘》；否则，合唱
《大海啊！故乡》（若指针刚好落在
分割线上，则需要重新转动转盘）.请
用列表或画树状图的方法求合唱《红
旗飘飘》的概率，并说明这个游戏是
否公平.
【思路导航】首先根据题意用画树状图或列表的方法求出所有
等可能的结果，然后求数字之积小于4的结果，再利用概率公式
求出合唱《红旗飘飘》的概率和《大海啊！故乡》的概率，两
者进行比较，即可判断游戏是否公平.
解：根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的
有5种结果，
∴合唱《红旗飘飘》的概率为 ，合唱《大海啊！故乡》的概
率为1－ ＝ .
∵ ＜ ，∴该游戏不公平.
【点拨】判断游戏是否公平就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平.
小明从家到学校上学，沿途需过三个人行道路口，每个路口都
设有红、绿两种颜色的信号灯，两种信号灯的时间相同，在信
号灯正常的情况下：
（1）请用画树状图法列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
解：（1）根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果.
（2）小明至少两次遇到绿色信号灯的概率有多大？
解：（2）至少两次遇到绿色信号灯的结果有4种，
所以 P （至少两次遇到绿色信号灯）＝ ＝ .
（3）红、绿两种颜色的信号灯小明都遇到的概率有多大？
解：（3）红、绿两种颜色的信号灯都遇到的结果有6种，所以
P （红、绿两种颜色的信号灯都遇到）＝ ＝ .
要点三 概率与统计的综合问题
某校为了了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分
学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了如下不完整的条形
统计图和扇形统计图.请回答下列问题：
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数
是 ；
108°
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1 200人，则估计该校体能测试
“良好”的人数是 ；
（4）已知体能测试“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女
生，如果从中随机抽取两名学生进行体能加试，请用列表或画
树状图的方法，求抽到两名男生的概率.
510
【思路导航】（1）（3）利用统计知识求解即可；（2）先求出
随机抽取的总人数，即可计算出体能测试“及格”的人数，再
补全条形统计图；（4）用列表或画树状图的方法表示出所有等
可能的结果，再利用概率公式求解即可.
（1）【解析】∵360°×30％＝108°，∴“优秀”所在扇形的圆
心角的度数为108°. 故答案为108°.
（2）解：∵随机抽取的学生有12÷30％＝40（人），
∴体能测试“及格”的学生有40－3－17－12＝8（人）.
补全条形统计图如图所示：
（3）【解析】∵12÷30％＝40（人），1 200× ＝510（人），∴估计该校体能测试“良好”的人数为510.故答案为510.
（4）解：根据题意，列表如下：
第二名 第一名 男1 男2 女
男1 （男1，男2） （男1，女）
男2 （男2，男1） （男2，女）
女 （女，男1） （女，男2）
由表可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有
2种，故抽到两名男生的概率为 ＝ .
【点拨】此题从统计图表中获取信息后，再用列表法或画树状
图法求概率，是本章中十分重要的题型.
目前“微信”“支付宝”“网购”和“共享单车”给我们的生
活带来了很多便利.九年级数学兴趣小组在校内就“你最认可的
新生事物”进行了调查，随机调查了 m 人（每名学生必选一种
且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完
整的统计图.
（1） m ＝ ， n ＝ ；
（1）【解析】被调查的总人数 m ＝10÷10％＝100，所以最认
可“支付宝”的人数所占百分比为 ×100％＝35％，即 n ＝
35.故答案为100，35.
100
35
（2）请你帮助他们将这两幅统计图补全；
（2）解：最认可“网购”的人数为100×15％＝15，最认可
“微信”的人数所占百分比为 ×100％＝40％.
补全统计图如下：
（3）已知A，B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支
付宝”， D 同学最认可“网购”，从这四位同学中抽取两位同
学，请用画树状图或列表的方法，求出这两位同学最认可的新
生事物一样的概率.
（3）解：分别用“微”“支”“网”代表“微信”“支付
宝”“网购”.根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两位同学最认
可的新生事物一样的结果有2种，故这两位同学最认可的新生事
物一样的概率为 ＝ .
要点四 概率与代数知识的综合问题
如图，有A，B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等
份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数.小明和小红同时
各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为
无效，重转），将A转盘指针指向的数记作一次函数表达式 y ＝
kx ＋ b 中的 k ，将B转盘指针指向的数记作一次函数表达式中的
b .
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有等可能的结果；
（2）求一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过第一、二、四象限的
概率.
【思路导航】（1）通过列表或画树状图的方法即可得出所有等
可能的结果；（2）根据一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象性质可知，
当 k ＜0， b ＞0时，其图象经过第一、二、四象限，故只需找出
k ＜0， b ＞0的结果，就可以得到所求的概率.
解：（1）根据题意，列表如下：
b k －1 －2 3 4
－1 （－1，－
1） （－1，－
2） （－1，3） （－1，4）
－2 （－2，－
1） （－2，－
2） （－2，3） （－2，4）
3 （3，－1） （3，－2） （3，3） （3，4）
由表可知，共有12种等可能的结果.
（2）∵一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过第一、二、四象限时，
∴ k ＜0， b ＞0.
由（1）知， k ＜0， b ＞0的情况有4种.
∴一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过第一、二、四象限的概率为
＝ .
【点拨】利用画树状图法或列表法求概率是本章最主要的考
点，在利用画树状图法或列表法求概率时要注意两点：（1）对
于参与元素过多的试验，用画树状图的方法求概率比较麻烦；
对于三步或三步以上的试验，就不能用列表的方法求概率，只
能通过画树状图或其他方法求概率.（2）用画树状图法或列表
法求两步试验的概率时，要注意“放回型试验”与“不放回型
试验”的区别，以免出错.
有四张卡片（背面完全相同），正面分别写有数1，2，－1，－
2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数后放回
洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数，用字母 b ， c 分别
表示甲、乙两位同学抽出的数.
（1）用列表法求关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有实数解的概率；
解：（1）根据题意，列表如下：
乙 甲 1 2 －1 －2
1 （1，1） （1，2） （1，－1） （1，－2）
2 （2，1） （2，2） （2，－1） （2，－2）
－1 （－1，1） （－1，2） （－1，－1） （－1，－2）
－2 （－2，1） （－2，2） （－2，－
1） （－2，－
2）
由表可知，共有16种等可能的结果.
∵关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有实数解，
即Δ＝ b2－4 c ≥0，
∴关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有实数解的 b ， c 有（1，－1），
（1，－2），（2，1），（2，－1），（2，－2），（－1，－
1），（－1，－2），（－2，1），（－2，－1），（－2，－
2），共10种结果.
∴关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有实数解的概率为 ＝ .
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率.
解：（2）∵关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有两个相等实数解 b ，
c 只有（－2，1），（2，1）这2种结果，
∴关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0有两个相等实数解的概率为 ＝
.
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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
利用树状图或列表格求简单问题的概率时，前提是出现的结果
数 且结果出现的可能性 .若一个问题的各种结
果出现的可能性不同，则需要化“非等可能”事件为“等可
能”事件，才能再用画树状图或列表格的方式求事件的概率.例
如：“配紫色”游戏中，如图1所示的转盘红色区域的圆心角为
240°，而蓝色区域的圆心角为120°，就应该将红色部分均分成
两个圆心角为120°的扇形，并标注上如
“红1”“红2”，使3份扇形大小相同，
如图2所示，这样指针指向每一份的可
能性就相同了.
有限
相同
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
一个不透明的盒子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都
相同，从中随机摸出两个球，求摸到两个相同颜色的球的概率.
【思路导航】在利用画树状图或列表格的方法求概率时，各种
结果出现的可能性必须相同.问题中的红球有3个，分别记为
“红1”“红2”“红3”，白球有2个，分别记为“白1”“白
2”，这样摸到每个球的可能性就相同了.同时该问题中还要特
别注意的是“不放回”.
解：将三个红球分别记为“红1”“红2”“红3”，两个白球分
别记为“白1”“白2”，列表如下：
第二次 第一次 红1 红2 红3 白1 白2
红1 （红1，
红2） （红1，
红3） （红1，
白1） （红1，
白2）
红2 （红2，
红1） （红2，
红3） （红2，
白1） （红2，
白2）
第二次 第一次 红1 红2 红3 白1 白2
红3 （红3，
红1） （红3，
红2） （红3，
白1） （红3，
白2）
白1 （白1，
红1） （白1，
红2） （白1，
红3） （白1，
白2）
白2 （白2，
红1） （白2，
红2） （白2，
红3） （白2，
白1）
由表可知，共有20种等可能的结果，其中摸到两个相同颜色的
球的结果有8种，所以摸到两个相同颜色的球的概率为 ＝ .
【点拨】将“非等可能”事件转化为“等可能”事件才能用画
树状图或列表格来求概率.这个问题中转化的方法是将红球或白
球分别编号.
一个不透明的袋子中装有2个红球和4个白球，这些小球除颜色
外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率
是 .
如图，分别转动转盘 A ， B 各一次（转盘 A 被平均分成三个扇
形），转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分界线
上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止.求两
个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于5的概率.
【思路导航】题目所给转盘 B 被分割成两个大小不同的扇形并
标上数字，显然指针指向不同扇形的可能性是不同的，必须将
“非等可能”事件转化为“等可能”事件才能求概率.根据题
意，将转盘 B 平均分成“4”“4”“4”“3”四部分，然后利
用画树状图法或列表法求概率即可.
转盘 B
解：如图，将转盘 B 中数字“4”所在的扇形平均分成三份，则
转盘 B 被平均分成了四份，分别标上数字3，4，4，4.根据题
意，列表如下：
转盘 B 转盘 A 3 4 4 4
0 （0，3） （0，4） （0，4） （0，4）
1 （1，3） （1，4） （1，4） （1，4）
2 （2，3） （2，4） （2，4） （2，4）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中和小于5的结果有5
种，所以所求的概率为 .
【点拨】利用等可能事件的概率公式计算事件的概率，需建立
在所有的结果都是等可能的基础上，利用画树状图法或列表法
求解.当转盘被分割成面积不等的扇形时，通常需要将其转化成
等面积的扇形，否则就会出错.
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图所示，三
个可以自由转动的转盘， B 盘被分成面积相等的三个扇形.游戏
者同时转动两个转盘（或转动同一个转盘两次），如果其中一
个（次）转盘转出了红色，另一个（次）转盘转出了蓝色，那
么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
（1）若游戏者转动 B 盘两次，请利用画树状图或列表的方法，
求他获胜的概率；
解：（1）根据题意，列表如下：
第二次 第一次 黄 蓝 红
黄 （黄，黄） （黄，蓝） （黄，红）
蓝 （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，红）
红 （红，黄） （红，蓝） （红，红）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果
有2种，∴他获胜的概率为 .
（2）若游戏者同时转动 A 盘和 C 盘，求他获胜的概率.
解：（2）将 A 盘分成红、蓝、蓝、蓝四等份，将 C 盘分成红、
蓝、蓝三等份.根据题意，列表如下：
C 盘 A 盘 红 蓝 蓝
红 （红，红） （红，蓝） （红，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果有5
种，∴他获胜的概率为 .
某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、
足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一
项）参加训练.为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，
现以八（2）班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行
统计，并绘制了下面的扇形统计图和统计表（均不完整）：
项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球
人数 a 6 7 6 5
根据提供的信息，解答下列问题：
（1） a ＝ ， b ＝ ；
（2）该校八年级学生共有600人，则估计该年级参加足球活动
的学生有 人；
（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（用 A ，
B ， C 表示）和2位女同学（用 D ， E 表示），现准备从中随机
选取2位同学组成双打组合，用画树状图或列表的方法求恰好选
出1男1女组成混合双打组合的概率.
16
17.5
90
【思路导航】（1）先求得总人数，便能求出参加篮球活动的人
数，并根据百分比的定义求出 b 的值；（2）用总人数乘对应的
百分比即可求得；（3）用列表法得到所有等可能的结果，找出
其中是1男1女的结果数，根据概率公式即可求得所求的概率.
（1）【解析】 a ＝5÷12.5％×40％＝16， b ＝7÷（5÷12.5％）×100＝17.5.故答案为16，17.5.
（2）【解析】估计该年级参加足球活动的学生有600×[6÷
（5÷12.5％）]＝90（人）.故答案为90.
（3）解：根据题意，列表如下：
第二位 第一位 A B C D E
A （ A ，
B ） （ A ，
C ） （ A ，
D ） （ A ，
E ）
B （ B ，
A ） （ B ，
C ） （ B ，
D ） （ B ，
E ）
第二位 第一位 A B C D E
C （ C ，
A ） （ C ，
B ） （ C ，
D ） （ C ，
E ）
D （ D ，
A ） （ D ，
B ） （ D ，
C ） （ D ，
E ）
E （ E ，
A ） （ E ，
B ） （ E ，
C ） （ E ，
D ）
由表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好选出1男1女的结
果有12种，则 P （选出1男1女）＝ ＝ .
【点拨】概率问题经常与统计图、统计表相结合，解决这类问
题的基本方法是从相关的统计图、统计表中获取信息，提取相
关数据进行分析，结合概率公式进行计算.
中华文化，源远流长.在古典文学方面，《西游记》《三国演
义》《水浒传》《红楼梦》（分别记作 A ， B ， C ， D ）是我国
古代长篇小说中的典型代表，被称为四大名著.我校为了了解学
生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读过几部？”的问
题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所
示的不完整的统计图.请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次一共抽取了 名学生；
（1）【解析】本次一共抽取的学生人数为10÷25％＝40.故答
案为40.
40
（2）请补全条形统计图；
（2）解：只读过1部的学生人数为40－2－10－8－6＝14.补全
统计图如图所示：
（3）若没有读过四大名著的两名学生准备从四大名著中各自随
机选一部来阅读，请你用列表法或画树状图法求他们选中同一
部名著的概率.
（3）解：画树状图（略图）如图所示：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一部名著的结
果有4种，故 P （两人选中同一部名著）＝ ＝ .
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第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率（第一课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 用 或 是计算涉及两步及两步以上试
验的 事件的两种基本方法，它们的使用前提是出现
等可能结果的数目为 个.
2. 利用树状图求概率的基本步骤.
（1）将试验中第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第
二层，以此类推（如图）；
画树状图
列表格
等可能
有限
（2）在最后一层写出所有出现的等可能结果（注意结果的写
法），确定等可能的结果数 n 和事件 A 发生的结果数 m ；
（3）利用概率公式 计算出事件 A 发生的概率.
P （ A ）＝
3. 利用表格求概率的步骤.
（1）将试验中第一步的结果作为列，第二步的结果作为行，列
出表格；
（2）在表格内写出所有可能出现的结果，注意结果的写法（如
下表），确定等可能的结果数 n 和事件 A 发生的结果数 m ；
第二枚硬币 第一枚硬币 正 反
正 （正，正） （正，反）
反 （反，正） （反，反）
（3）利用概率公式 计算出事件 A 发生的概率.
P （ A ）＝
4. 利用树状图或表格，可以 、 地列出所
有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
不重复
不遗漏
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
现有两个不透明的盒子，其中 A 盒里装有标号分别为1，2，3的
三张卡片， B 盒里装有标号分别为1，2，3，4的四张卡片，卡
片除标号外均相同.从 A ， B 两个盒子中各随机抽取一张卡片.
（1）请用画树状图或列表的方法表示出抽取的两张卡片标号所
有可能的结果；
（2）求抽取的两张卡片标号恰好相同的概率.
【思路导航】（1）用画树状图或列表的方法表示出所有等可能
的结果，要注意的是两张卡片是从 A ， B 两盒随机抽取的；
（2）先在列出的所有等可能的结果中找出抽取的两张卡片标号
恰好相同的结果，再根据概率公式求解.
解：（1）（方法一）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果.
（方法二）列表如下：
B 盒 A 盒 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
由表可知，共有12种等可能的结果.
（2）由（1）可知，两张卡片标号恰好相同的结果有3种，∴两
张卡片标号恰好相同的概率为 ＝ .
【点拨】树状图的优点是能直观、清晰地反映出每种等可能的
结果形成的路径；缺点是当试验参与的元素过多时，画树状图
比较麻烦.而列表的优点是能清晰地表示出某个事件发生的所有
可能出现的结果；缺点是当试验步骤超过两次时，无法列出表
格.一般地，三步或三步以上选用树状图更方便；每一步的结果
较多时，选表格更方便.
在 m2□6 m □9的“□”中任意填上“＋”或“－”，则所得的
代数式为完全平方式的概率为 .
在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3的3个质地均
匀、大小相同的球，从中随机取出一个球记下编号后，放回袋
中搅匀，再从袋中随机取出一个球，则两次所取球的编号相同
的概率为 .
【思路导航】根据题意，先用列表法或画树状图法列举出所有
等可能出现的结果，再根据概率公式即可求出该事件的概率.
【解析】画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次所取球的编号相同
的结果有3种，故两次所取球的编号相同的概率为 ＝ .故答案
为 .
【点拨】（1）利用画树状图法求概率时需要注意：①确认完成
事件连续的两步；②由开始起画树状图；③在最后写出事件的
等可能的结果.（2）利用列表法求概率时需要注意：①绘制合
适的表格；②弄清行与列的意义及行与列中量的区别.
在一个不透明的布袋中装有5个除标有的数字外都相同的小球，
标有的数字分别为0，1，2，－1，－2.从布袋中随机抽取一个
小球，记下标有的数字为 x ；放回后搅匀，再从袋中随机抽取一
个小球，记下标有的数字为 y .记点 M 的坐标为（ x ， y ），则点
M 恰好落在第二象限的概率为 .
在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3的3个质地均
匀、大小相同的球.
（1）小颖从中随机取出一个球记下编号后，放回袋中搅匀，再
从袋中随机取出一球，则小颖两次所取球的编号之和等于3的概
率是多少？
【解析】（1）（方法一）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 .
（方法二）列表如下：
第二次 第一次 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 .
（2）小明从中随机取出一个球记下编号后，不放回袋中，再从
袋中随机取出一个球，则小明两次所取球的编号之和等于3的概
率是多少？
【解析】（2）（方法一）画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 ＝ .
（方法二）列表如下：
第二次 第一次 1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
由表可知，共有6种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 ＝ .
（3）小亮一次从袋中随机取出两个球并记下它们的编号，则小
亮所取球的编号之和等于3的概率是多少？
【思路导航】根据题意，这都是等可能的有限试验，可以用树
状图或表格列举出所有等可能出现的结果，然后根据概率计算
公式即可求出事件的概率.
【解析】（3）小亮一次从袋中随机取出两个球，等同于“第一
次随机取出一个球，记下编号后不放回，摇匀再次随机取出一
个球”.
（方法一）画树状图如下：
（方法一）画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 ＝ .
（方法二）列表如下：
第二次 第一次 1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
由表可知，共有6种等可能的结果，其中所取球的编号之和等于
3的结果有2种，所以编号之和等于3的概率为 ＝ .
【点拨】（1）画树状图或列表格时必须按规定的顺序与方式正
确写出每种等可能结果，同时要知道（1，2）与（2，1）具有
不同的含义，是不同的结果.（2）审题时要注意区分“放回”
与“不放回”，因为“放回”与“不放回”直接影响第二次等
可能事件的结果数.（3）“一次性取两个”与“分两步，不放
回取”本质上是相同的.
“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象
界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮
票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的
两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背
面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中
随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立
夏”的概率是多少？
解：将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”的图片分别记为
A ， B ， C ， D . 根据题意，列表如下：
第二次 第一次 A B C D
A （ A ，
B ） （ A ，
C ） （ A ，
D ）
B （ B ，
A ） （ B ，
C ） （ B ，
D ）
C （ C ，
A ） （ C ，
B ） （ C ， D ）
D （ D ，
A ） （ D ，
B ） （ D ，
C ）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好
是“立春”和“立夏”的结果有2种，故小乐抽到的两张邮票恰
好是“立春”和“立夏”的概率是 ＝ .
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