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第五章 投影与视图
回顾与思考
数学 九年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
要点回顾
1. 投影.
（1）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看作是从
发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影.
（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线， 光线所
形成的投影称为平行投影.其中，平行光线与投影面 ，
这种投影称为正投影.
一
个点
平行
垂直
（3）平行投影与中心投影的联系与区别.
平行投影 中心投影
联 系 （1）都是物体在光线下形成的影子； （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的位置和方向，其
投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物
体的位置和方向，其投影也跟着发生变化
平行投影 中心投影
区 别 （1）光源是太阳，光线是
平行的； （2）同一时刻，不同物体
的影长与物高成正比例； （3）同一时刻，物体影子
的方向总相同 （1）光源是电灯等点光源，光
线是发散的；
（2）即使在同一时刻，影长与
物高也不一定成比例；
（3）中心投影下，物体的影子
可能在同一方向，也可能在不
同的方向，即物体影子随点光
源位置的变化而变化
2. 视图.
（1）主视图、左视图和俯视图：从三个不同方向观察一个物
体，分别得到这个物体的三个视图，通常把从 得到的
视图叫做主视图，从 得到的视图叫做左视图，从
得到的视图叫做俯视图.
（2）画三种视图的基本规则：
①在主视图的 面画出俯视图，在主视图的 面画出
左视图；
正面
左面
上
面
下
右
②主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要
宽相等；
③看得见部分的轮廓线要画成 线，看不见部分的轮廓线
要画成 线.
实
虚
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0 2
典例讲练
要点一 中心投影与平行投影的相关定义
直立在地面的四个字母广告牌在不同的情况下，地面上的
投影（阴影部分）效果如图所示，则字母L，K，C的投影中，
与字母N属于同一种投影的有（ A ）
A. L，K B. C
C. K D. L，K，C
A
【思路导航】首先找出字母N属于哪种投影，根据物体和投影
对应点连线可以确定投影类型，再利用中心投影和平行投影的
特点选出正确选项.
【解析】如图，由图可知，字母N，L，K的投影中，投影线交
于一点，则它们的投影属于中心投影；而字母C的投影中，投影
线互相平行，则它的投影属于平行投影.故选A.
【点拨】（1）根据影子判断投影类型：①连接物体上的点与影
子上的对应点，得出两条直线；②观察①中两条直线的关系，
若相交，则属于中心投影；若平行，则属于平行投影.（2）平
行投影的特点：一天中，在同一地点，物体在阳光下的投影先
变短，后变长.（3）中心投影的特点：①等高的物体垂直于地
面放置并左右运动，在灯光下，离光源越近的物体，它的影子
越短；离光源越远的物体，它的影子越长；②等长的物体平行
于地面放置并上下运动，在灯光下，离光源越远的物体，它的
影子越短，但不会比物体本身还短；离光源越近的物体，它的
影子越长.
下图中，属于太阳光下形成的影子是（ A ）
A
B
C
D
A
要点二 中心投影与平行投影中的计算
如图，小华在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD . 当他走到点 P
时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部；当他向
前再步行12 m到达点 Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到
路灯 BD 的底部. 已知小华的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是
9.6 m，且 AP ＝ QB .
（1）标出小华站在点 P 处时，在路灯 AC 下的影子；
（2）求两个路灯之间的距离；（3）当小华走到路灯 BD 的底部
时，他在路灯 AC 下的影长是多少？
【思路导航】（1）连接 CM 并延长与 AB 交于点 K ，从而可得答
案；（2）利用相似三角形的性质可得 AP ＝ AB ，即得 BQ ＝
AB ，再由 AP ＋ PQ ＋ BQ ＝ AB 即可得出答案；（3）利用相似
三角形的性质得出比例式，即可求出影长.
解：（1）如图1，连接 CM 并延长与 AB 交于点 K ，线段 PK 即为
小华站在点 P 处时，在路灯 AC 下的影子.
图1
（2）如图2，
∵ PM ∥ BD ，
∴△ APM ∽△ ABD ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴ AP ＝ AB .
∵ QB ＝ AP ，
图2
∴ BQ ＝ AB .
又∵ AP ＋ PQ ＋ BQ ＝ AB ，
∴ AB ＋12＋ AB ＝ AB .
∴ AB ＝18 m.
故两个路灯之间的距离为18 m.
图2
（3）如图3，此时小华在路灯 AC 下的影子为 BN .
∵ BM ∥ AC ，
∴△ NBM ∽△ NAC ，
∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴ BN ＝3.6 m.
故当小华走到路灯 BD 的底部时，他在路灯 AC 下的影长是3.6 m.
【点拨】解决投影中的计算问题的一般步骤：（1）找相似三角
形；（2）根据相似三角形的性质列方程；（3）解方程.注意：
题中可能要多次列方程.
小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对
面墙上有这栋楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方
案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自
己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好
相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度
CD ＝1.2 m， CE ＝0.8 m， CA ＝30 m（点 A ，
E ， C 在同一直线上）.已知小明的身高 EF 是
1.7 m，请你帮小明求出楼高 AB . （结果精确
到0.1 m）
解：如答图，过点 D 作 DG ⊥ AB ，分别交 AB ， EF 于点 G ， H .
∵ AB ∥ CD ， DG ⊥ AB ， AB ⊥ AC ，
易得四边形 ACDG 、四边形 AEHG 、四边形 ECDH 都是矩形.
∴ EH ＝ AG ＝ CD ＝1.2 m， DH ＝ CE ＝0.8 m，
DG ＝ CA ＝30 m.
∵ EF ∥ AB ，∴△ FHD ∽△ BGD .
∴ ＝ .
由题意，知 FH ＝ EF － EH ＝1.7－1.2＝0.5（m），
答图
∴ ＝ .∴ BG ＝18.75 m.
∴ AB ＝ BG ＋ AG ＝18.75＋1.2＝19.95（ m ）≈20.0（m）.
∴楼高 AB 约为20.0 m.
答图
答图
要点三 常见几何体的三种视图
如图，有一个铁制零件（正方体中间被挖去一个圆柱形
孔）.
（1）请画出它的三种视图；
（2）若正方体的棱长为6 cm，圆柱体底面直径为2 cm，求该零
件的体积.
【思路导航】（1）根据正方体、圆柱的三种视图，画出该零件
的三种视图，同时，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮
廓线用虚线表示；（2）根据割补法进行计算，即：零件的体积
＝正方体的体积－圆柱的体积.
解：（1）该几何体的三种视图如图所示：
（2） V ＝63－π× ×6＝（216－6π）cm3.
故该零件的体积为（216－6π）cm3.
【点拨】画几何体的三种视图需要熟悉常见简单几何体（长方
体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的三种视图，注意实线与虚
线合理使用，圆锥中单独的点也要画出.同时牢记各个基本几何
体的体积、表面积公式.
1. 画出下列几何体的三种视图：
（1） （2）
（1）
解：如图所示：
（2）
2. 根据图中的数据，画出下面几何体的主视图和俯视图，并标
上数据.
解：如图所示（单位：mm.俯视图中，从小到大，圆的直径分
别为10 mm，20 mm，25 mm，35 mm）.
要点四 由三种视图还原几何体
一个立体图形的三种视图如图所示，根据图中所标尺寸
（单位：mm），求这个立体图形的表面积.
【思路导航】首先根据都为矩形的组合，可以分析得出这是两
个长方体的组合体，再结合三种视图之间的关系，分别得到两
个长方体的长、宽、高，利用公式分别计算出每个长方体的表
面积，最后要去掉两个长方体的接触面面积.
解：由三种视图可知，该立体图形由上、下两个长方体组成，
上面长方体长4 mm，宽2 mm，高4 mm，下面长方体长6 mm，
宽8 mm，高2 mm，去掉重合部分，∴这个立体图形的表面积为
（6×8＋8×2＋6×2）×2＋（4×4＋4×2）×2＝200（mm2）.
【点拨】由三种视图还原组合几何体时，入手点为简单的、常
规的几何体的三种视图，先还原简单几何体，再组合成原几何
体，实现由平面图形到立体图形的转化.求表面积时，根据各个
几何体的表面积公式求得组合体的表面积，注意一定要减去接
触面面积.
已知一个几何体的三种视图如图所示，在△ PMN 中，∠ MPN ＝
90°， PN ＝4 mm， ＝ .
（1）求 BC 及 FG 的长；
解：（1）设Rt△ PMN 斜边上的高为
h mm.由图可知， BC ＝ MN ，
FG ＝ h mm.∵ ＝ ， PN ＝4 mm，
∠ MPN ＝90°，∴根据勾股定理，
得 BC ＝ MN ＝5 mm， PM ＝3 mm.
∵ S△ PMN ＝ PM · PN ＝ MN · h ，
∴ h ＝ .∴ FG ＝ mm.
（2）若主视图与左视图的两个矩形相似，求 AB 的长；
解：（2）由题意可知，矩形 ABCD ∽
矩形 FGHE ，且 AB ＝ HG ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ AB ＝2 mm.
（3）在（2）的情况下，求该几何体的表面积.
解：（3）由三种视图可知，该几何体
是一个直三棱柱，则该三棱柱的表面
积为 ×3×4×2＋ ×2
＝ mm2.
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第五章 投影与视图
2 视 图（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 在三种视图中，主视图反映物体的 和 ；俯视图
反映物体的 和 ；左视图反映物体的
和 .
2. 在画三种视图时，对应部分的长度要 ，通常把
画在主视图下面，把 画在主视图右面.
3. 在画三种视图时，看得见部分的轮廓线要画成 ，看
不见部分的轮廓线要画成 ，单独的一个点也要画上.
长
高
长
宽
高
宽
相等
俯
视图
左视图
实线
虚线
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0 2
典例讲练
请画出下面两个四棱柱的主视图、左视图和俯视图.
图1
图2
【思路导航】紧扣几何体的三种视图的定义入手，根据四棱
柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是四边形，结合
放置的位置，看得见的用实线，看不见的用虚线，从而画出
三种视图.
图1 图2
解：两个四棱柱的三种视图分别如图1、图2.
【点拨】画三种视图的方法：俯视图在主视图下面，左视图在
主视图右面；主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等；看得见
的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线.具体画三种视图
的过程中，可以分成几部分分别画出，最后注意检查.
有两个完全相同的长方体，按如图所示的方式摆放，请画出它
的三种视图.
解：该几何体的三种视图如图所示：
技术人员设计的六角螺母示意图如图所示，请你帮助技术人员
画出它的三种视图.
【思路导航】先把该螺母分成两部分——正六棱柱与圆柱，按
画三种视图的基本规则，主视图与俯视图等长，主视图与左视
图等高，左视图与俯视图等宽，在规定的位置画出几何体的三
种视图.
解：该螺母的三种视图如图所示：
【点拨】画物体的三种视图的要领和基本方法是“一定，二
画，三规则，四注意”，即：（1）确定主视图方向；（2）画
出能反映物体真实形状的一个视图；（3）运用“长对正，高平
齐，宽相等”的基本规则画出其他视图；（4）注意看得见的轮
廓线要画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线，实线和虚线的
重叠部分要画成实线.按照约定的位置，就能正确地画出物体的
三种视图.本例要注意的是左、俯视图中看不见的轮廓线，虚线
与实线重叠时不表达出来.
请画出如图所示的空心几何体的三种视图.
解：该几何体的三种视图如图所示：
一个几何体和它的两种视图如图所示：
视图
视图
（1）在横线上分别填写出两种视图的名称（填“主”“左”或
“俯”）；
主
俯
（2）根据两种视图中的尺寸（单位： cm），计算这个几何体
的表面积和体积.
【思路导航】（1）此几何体是由上方的圆柱与下方的长方体组
合而成，可以根据圆柱、长方体的三种视图，判断原几何体的
三种视图；（2）根据长方体和圆柱的表面积和体积公式先求解
各部分，再求组合体的表面积和体积.
（2）解： S表＝2×（8×5＋8×2＋5×2）＋π×4×6＝（132＋
24π）cm2.
V几何体＝ V长方体＋ V圆柱＝8×5×2＋π× ×6＝
cm3.
（1）【解析】由题可知，分别为主视图、俯视图.故答案为
主，俯.
【点拨】（1）解决此问的关键是把该几何体拆分为两个简单几
何体——圆柱与长方体，再结合这两个几何体的三种视图来确
定组合体的三种视图.（2）结合主视图反映物体的长和高，俯
视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，从而确定
几何体的相关数据，再根据表面积和体积公式求解.需要注意的
是，该几何体的表面积＝圆柱的表面积＋长方体的表面积－2个
圆的面积.
在某儿童游乐园门口需要建一个由正方体和圆柱组合而成的几
何体.如图所示，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相
等，都是1 m.
（1）请画出该几何体的三种视图；
解：（1）该几何体的三种视图如图所示：
（2）为了美观，需要在该几何体表面（不含底面）刷一层油
漆.已知每刷1 m2油漆需要300元，则刷油漆一共需要多少元？
（π取3.14）
解：（2）根据题意可得，该几何体表面需要刷油漆
的面积为1×1×5＋π×1×1＝（5＋π）m2.
300×（5＋π）≈300×（5＋3.14）＝2 442（元）.
故刷油漆大约需要2 442元.
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第五章 投影与视图
1 投 影（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 投影.
物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的
，这就是 现象.影子所在的平面称为 .
影
子
投影
投影面
2. 中心投影.
手电筒、路灯和台灯等的光线可以看成是从 发出
的，这样的光线所形成的投影称为 投影.中心投影的射
线交于一点，这一点称为投影中心.
注：（1）中心投影一定属于投影，但投影不一定是中心投影.
（2）在中心投影下，点光源、物体上的点及影子上的对应点在
同一条直线上.
一个点
中心
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0 2
典例讲练
（1）下列投影属于中心投影的是 （填序号）.
【思路导航】连接影子与物体对应的点，得到投影线（光
线），再观察是否有交点.如果几条投影线交于一点，那么就是
中心投影；否则就不是中心投影.
①②④
【解析】先连接影子与物体对应的点，得到光线，如图：
②影子在异侧，属于中心投影；①④影子在同侧，作投影线
（光线）时，交于一点，属于中心投影；③影子在同侧，作投
影线时，无法交于一点，所以不属于中心投影.故答案为①②④.
【点拨】判断投影是否是中心投影的关键是：看光线是否交于
一点，即投影中心.
①试确定路灯灯泡所在的位置；
②小丽在灯光下从点 A 走到点 C 时，影子的长度有什么变化？
【思路导航】①过物体上的点、影子上的对应点作射线，两条
射线的交点就是光源位置；②想要知道物体影子的变化情况，
只需要判断光源与物体的相对位置.
（2）在一盏路灯的照射下，小丽在 A ， C 两点的影长分别为
AB ， CD ，如图所示.
解：①如图，先过小丽在 A 处的头顶及其影子的顶端 B 画一条射
线，再过小丽在 C 处的头顶及其影子的顶端 D 画一条射线，两
条射线相交于点 O ，故点 O 就是路灯灯泡所在的位置.
②小丽在灯光下从点 A 走到点 C 时，
与路灯的距离越来越远，
因此她的影子的长度逐渐变大.
【点拨】中心投影常用的结论：（1）如图1，在中心投影下，
点光源、物体上的点及影子上的对应点在同一条直线上，所以
可以连接物体上的点和影子上的对应点来确定光源的位置；
（2）如图2，等高的物体垂直于地面放置时，在同一点光源的
照射下，水平方向离点光源越近的物体影子越短；（3）如图
3，等长的物体平行于地面放置时，在同一点光源的照射下，竖
直方向离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体
的影子越短，但不会比物体本身还短.
图1 图2 图3
如图，在路灯下，一墙墩（用线段 AB 表示）的影子是 BC ，小
明（用线段 DE 表示）的影子是 EF ，在 M 处有一棵大树，它的
影子是 MN ，在图中画出表示大树的线段 MP （不写画法）.
解：如图， MP 即表示大树.
如图，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段 AB 表示站在广场上的
小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯.
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（ P ）照射下的影子；
（2）如果灯杆高 PO ＝12m，小亮的身高 AB ＝1.6m，小亮与灯
杆的距离 BO ＝13m，请求出小亮影子的长度.
【思路导航】（1）由光源、物体上的点及影子上的对应点三点
共线，确定点 A 的对应点即可；（2）设点 A 的投影点为点 C ，
根据中心投影的特点，可以得到△ CAB ∽△ CPO ，然后利用相
似三角形的性质列方程即可求解.
解：（1）如图，连接PA并延长，交直线 OB 于点 C ，线段 BC 就
是小亮在照明灯（ P ）照射下的影子.
（2）∵ AB ∥ PO ，
∴△ CAB ∽△ CPO ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ BC ＝2 m.
∴小亮影子的长度为2 m.
【点拨】（1）解决与影长有关的问题时，常转化为相似三角形
中的相关问题求解.（2）利用相似三角形求与中心投影有关的
线段长的步骤：①找出或构造出“A型”相似三角形；②根据
已知条件写出恰当的比例方程；③求解未知线段.
如图，在路灯下，小明的身高如图中线段 AB 所示，他在地面上
的影子如图中线段 AC 所示，小亮的身高如图中线段 FG 所示，
路灯灯泡在线段 DE 上.
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成
的影子；
解：（1）如答图，点 O 为灯泡所在的位置，
线段 FN 为小亮在灯光下形成的影子.
答图
（2）若小明的身高 AB ＝1.6 m，他的影子长 AC ＝1.4 m，且他
到路灯的距离 AD ＝2.1 m，求灯泡距离地面的高度.
解：（2）∵ AB ∥ DO ，
∴△ ABC ∽△ DOC .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ DO ＝4 m.
故灯泡距离地面的高度为4 m.
夜晚，小明在路灯下散步.已知小明的身高为1.5米，路灯的灯柱
高4.5米.
（1）如图1，若小明在相距10米的两路灯 AB ， CD 之间行走
（不含两端），他在路灯 AB 下的影子为 FM ，在路灯 CD 下的
影子为 FN . 解答问题：
①若 BF ＝4米，求影子 FM 的长.
②猜想影子 FM 与 FN 的长的和为定值吗？并说明理由.
（2）有言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相
伴，无法分离.但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样
的.如图2，若小明在灯柱 PQ 前，朝着影子的方向（如图箭
头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端 N 在地面
上移动的速度.
【思路导航】（1）①易得△ ABM ∽△ EFM ，利用对应边成比
例可得 FM 的长；②同①中方法得到比例式，进行等量代换，利
用等比性质可得相关数值.（2）利用相似的性质表示出人走的
路程及影子移动的路程，根据时间相等可得相应速度.
解：（1）①∵ AB ∥ EF ，
∴△ EFM ∽△ ABM .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ FM ＝2米.
故影子 FM 的长为2米.
② FM 与 FN 的长的和为定值.理由如下：同理①可得， ＝ .
∵ AB ＝ CD ，∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ MN ＝5米.
故影子 FM 与 FN 的长的和为定值5米.
（2）如图，根据题意设小明由点 F 到点 B ，则影子的顶端是从
点 N 到点 C .
由（1）可知， ＝ ， ＝ .
∵ AB ＝ EF ，∴ ＝ ＝ .设 FN ＝ k ， BC ＝ b ，则 QN ＝3 k ， QC ＝3 b .∴ FB ＝2（ b － k ）， NC ＝3（ b － k ）.
设影子的移动速度为 y 米/秒，则 ＝ .
解得 y ＝1.2.
故他影子的顶端 N 在地面上移动的速度为1.2米/秒.
【点拨】解决与影长有关的问题，常转化为相似三角形问题解
决，有时需要利用多次相似建立方程。
如图，夜晚路灯下，小强在点 D 处测得自己影长 DE ＝4 m，在
点 G 处测得自己影长 DG ＝3 m，点 E ， D ， G ， B 在同一条直
线上，已知小强的身高为1.6 m，求灯杆 AB 的高度.
解：∵ CD ∥ AB ，
∴△ ECD ∽△ EAB .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∵ FG ∥ AB ，∴△ DFG ∽△ DAB .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ ＝ .∴ BG ＝9 m.
∴ ＝ .∴ AB ＝6.4 m.
故灯杆 AB 的高度为6.4 m.
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第五章 投影与视图
2 视 图（第三课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
由三种视图确定几何体的形状.
（1）根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和
左面的形状以及几何体的长、宽和高；
（2）根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线.
注意：（1）熟记常见几何体的三种视图有助于描述物体的形
状；（2）还原几何体后要检查是否符合题意.
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0 2
典例讲练
一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ D ）
A. 圆锥 B. 圆柱
C. 三棱锥 D. 三棱柱
D
【思路导航】紧扣“几何体的三种视图”进行识别.该几何体的
主视图和左视图都是矩形，所以可以初步判定这是一个柱体；
再结合俯视图是三角形，综合起来可以确定该几何体的形状.
【解析】 因为该几何体的主视图和左视图都是矩形，所以初步
判断该几何体可能是柱体.又因为俯视图是三角形，由此可准确
地判断出它是一个三棱柱.故选D.
【点拨】利用三种视图确定几何体，即“由图想物”.解答此类
题的关键是熟悉常见简单几何体的三种视图，并应用三种视图
“长对正，高平齐，宽相等”的性质，结合题目所给的三种视
图来确定几何体.常见的简单几何体的三种视图如下：
一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ C ）
A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 棱锥
C
【解析】 因为该几何体的主视图和左视图都是三角形，所以初
步判断是一个锥体.又因为它的俯视图是一个圆（含圆心），因
此准确判断为圆锥.故选C.
一个几何体的三种视图如图所示，你能画出这个几何体吗？并
求出它的表面积和体积.
【思路导航】根据三种视图可知，该几何体是一个上半部分去
掉了一半的圆柱，由此可先画出圆柱，再画出该几何体.根据圆
柱的表面积和体积公式，求出该几何体的表面积和体积即可.
解：画出的几何体如图所示.
几何体的表面积 S ＝π ×2＋π×8×（10－5）＋ ×π×8×5
＋8×5＝92π＋40.
几何体的体积 V ＝ S底×高＝ π× ×10＝120 π.
【点拨】此题中充分体现了割补法在立体图形中的应用.（1）
先把主视图“补”成一个长方形，根据三种视图是两个长方形
和一个圆形，判断“补”后几何体是一个圆柱，再把“补”的
部分去掉，就得到了所求几何体.（2）求该几何体的表面积和
体积，既可以先“割”成一个半圆柱和一个小圆柱，又可以先
“补”成一个大圆柱，再计算.
一个几何体的三种视图如图所示，根据图中的数据（单位：
cm），求该几何体的体积.
解：由三种视图可知，该几何体由一个长方体和一个圆柱组
成，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为3 cm.圆柱底面半径
为10÷2＝5（cm），高为7 cm，故该几何体的体积为15×10×3
＋π×52×7＝（450＋175π）cm3.
用小立方块搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示.这样
的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要
多少个小立方块？
【思路导航】观察主视图，先在俯视图对应的方格中填上该位
置小立方块的可能层数，再计数.
解：观察主视图，在俯视图方格中填数字，表示该位置小立方块的层数，每个方格里的数至少为1.观察主视图可知，俯视图第一列最少有1层，最多有3层，至少有一个3层；俯视图第二列最少有1层，最多有2层，至少有一个2层；俯视图第三列只
有1层.这样的几何体不只一种.故小
立方块最少时，如图1（图不唯一），、
有10个小立方块；小立方块最多时，
如图2，有16个小立方块.
图1 图2
【点拨】由三种视图确定小立方块个数，一般先在俯视图的方
格中填数表示该位置层数，再计数.具体方法如下：（1）画出
俯视图；（2）观察主视图，确定俯视图中每一纵列各位置小立
方块的层数——最少层数、最多层数等，并标记；（3）观察左
视图，确定俯视图中每一横行各位置小立方块的层数，并标
记；（4）根据题意要求，得出最少、最多小立方块的个数.注
意：在第（3）步标记完成后，需想象得出的组合体的三种视
图，检查其是否符合题意.
用10个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示.
（1）请在方格中画出它的三种视图；
（1）解：画出的三种视图如图所示：
（2）如果只看三种视图，这个几何体还有可能是用 个小
正方体搭成的.
9
（2）【解析】根据俯视图，在相应位置增加或减少小正方体的
个数，使三种视图不变，在俯视图上标注如图所示，左上角只
能有1层或2层，其他位置均不能变动，故还可能是用9个小正方
体搭成的.故答案为9.
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第五章 投影与视图
1 投 影（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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CONTENTS
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0 1
课前预习
1. 太阳光线可以看成 光线， 所形成的投
影称为 .
2. 平行光线与投影面垂直，这种投影称为 投影.
注：正投影是一种特殊而重要的平行投影.
3. 在平行投影中，物体与投影中对应点的连线是相互平行的，
反之也成立.而在中心投影中，物体与投影中对应点的连线交于
一点.
平行
平行光线
平行投影
正
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0 2
典例讲练
（1）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角
形木框在地面上的投影不可能是（ B ）
A
B
C
D
【思路导航】将等边三角形木框放在太阳光下，先分类——与
地面垂直放置、平行放置、倾斜放置等，再观察不同情况下其
影子的形状.
B
【解析】将等边三角形木框与地面垂直放置时可以得到A选
项；将等边三角形木框与地面倾斜放置时，可以得到C选项，也
可以得到D选项；无论如何放置也得不到B选项的点.故选B.
【点拨】线段、平面图形、几何体的正投影规律：
规律 图示
线段的正投影 平行：线段与其正投影的长相等 倾斜：线段与其正投影的长不相等 垂直：线段的正投影是一个点
规律 示
平面图形
规律
图示
平面图
形的正
投影
平行：正投影与原图形形状和大小一样
倾斜：正投影与原图形形状和大小都不一样
垂直：平面图形的正投影是一条线段
几何体
的正投
影
一个几何体在一个平面上的正投影是一个平
面图形
（2）如图，下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将
它们按时间先后顺序排列，正确的是 （填序号）.
③④①②
【思路导航】太阳东升西落，在不同时刻，建筑物在太阳下影
子的方向在变化.可以根据这一特点观察影子的方向及长短，判
断太阳的位置及时间的先后顺序.
【解析】观察影子的方向，①为东北，②为东，③为西，④为
西北，故将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故答案为③④
①②.
【点拨】本题考查了平行投影的特点和规律.在不同时刻，物体
在太阳光下的影子的大小在变化，方向也在变化.就北半球而
言，从早晨到傍晚，物体影子的方向是西—西北—北—东北—
东；影长由长变短，再变长（一早一晚影子最长，正午影子最
短）.
1. 如图所示的四张图片是我国北方某地一天中不同时刻直立的
灯杆在阳光下形成的影子，将各图按时间顺序排列，正确的是
（ B ）
A. ②④①③ B. ④①③②
C. ②④③① D. ①③②④
B
2. 把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，当太阳光由上而下
照射时，它在地面的投影是（ A ）
A
B
C
D
A
如图，已知 AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱， AB ＝5m.某
一时刻， AB 在阳光下的影子 BC ＝4m.
（1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的影子；
（2）在测量 AB 的影子长时，同时测出 DE 在阳光下的影子长
6m，请你计算 DE 的长.
【思路导航】（1）连接 AC ，过点 D 作 AC 的平行线，即可得出
DE 的影子；（2）利用相似三角形的性质，列比例式即可求出
DE 的长.
解：（1）作法：如图，连接 AC ，过点 D 作 DF ∥ AC ，交直线
BE 于点 F ，则线段 EF 就是 DE 在阳光下的影子.
（2）∵ AC ∥ DF ，∴∠ ACB ＝∠ DFE .
又∵∠ ABC ＝∠ DEF ＝90°，
∴△ ABC ∽△ DEF . ∴ ＝ .
∵ AB ＝5 m， BC ＝4 m， EF ＝6 m，
∴ ＝ .
∴ DE ＝7.5 m.
故 DE 的长为7.5 m.
【点拨】解决与平行投影有关的作图和计算问题，往往过不同
物体的顶端及其影子的顶端作直线（光线），这些直线互相平
行；画出图形后，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质
解题.
1. 如图，在同一时刻，身高1.6 m的小丽在阳光下的影长为2.5
m，一棵大树的影长为5 m，则这棵树的高度为 m.
3.2
2. 如图，平地上一棵树的高度为5m，两次观察地面上的影子，
第一次是当阳光与地面成45°角时，第二次是阳光与地面成30°
角时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？
解：如答图，由题可知， AB ⊥ BC ，∠ ACB ＝45°，∠ ADB ＝
30°， AB ＝5 m.
在Rt△ ABC 中，
∵∠ ABC ＝90°，∠ ACB ＝45°， AB ＝5 m，
∴ BC ＝ AB ＝5 m.
在Rt△ ABD 中，∵∠ ABD ＝90°，∠ ADB ＝30°，
AB ＝5 m，∴ AD ＝10 m.
∴ BD ＝5 m.
∴ CD ＝ BD － BC ＝（5 －5）m.
答图
故第二次观察到的影子比第一次长（5 －5）m.
如图，一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得一根
长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠
近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在了墙
壁上，所以，他先测得落在地面的影长为2.7m，又测得落在墙
壁上的影高为1.2m.请你和他一起算一下树高.
【思路导航】本题的投影面不是同一平面，想办法转化到同一
平面，此处可以将 CD 转化到直线 BD 上，也可以过点 C 作 CE ⊥
AB 于点 E ，利用物高 AE 与影长 CE 来解决问题.
解得 x ＝1.08.
∴树的影子完全落在地面上时，影长为1.08＋2.7＝3.78（m）.
∴ ＝ .
解：（方法一）如图，设墙上的影高 CD 落在地面上时（ DF ）
的长度为 x m，树高为 y m.
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿的影长为0.9 m，∴ ＝ .
解得 y ＝4.2.
故树高为4.2 m.
（方法二）如图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ，
则 BE ＝ CD ＝1.2 m， EC ＝ BD ＝2.7 m.
由题可知， ＝ .
∴ AE ＝3 m.
则 AB ＝ AE ＋ BE ＝3＋1.2＝4.2（m）.
故树高为4.2 m.
【点拨】利用物高与影长的关系求物高的关键是找准投影方式.
对于平行投影，在同一时刻，同一地点，太阳光下的物体高度
比等于其影长之比.然而，当物体的影子不在同一平面上时，不
能直接用这个结论，先通过添加辅助线转化到一个平面上，再
利用物高之比等于影长之比来解决.
如图，在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光
下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，测量树的影子除
落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，落在
地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶
上的影长为0.2米，求树的高度.
解：如答图， AB 为树高， EF 为树影在第一级台阶上的影长，
BD 为树影在地面上部分的长， ED 的长为台阶高.由光沿直线传
播的性质可知 BC 即为树影在地面上的全长.
延长 FE 交 AB 于点 G ，则Rt△ ABC ∽Rt△ AGF .
∴ ＝ ＝ .
∴ AG ＝1.25 GF .
又∵ GF ＝ GE ＋ EF ， BD ＝ GE ，
∴ GF ＝4.8＋0.2＝5（米）.
答图
∴ AG ＝6.25米.
∴ AB ＝ AG ＋ GB ＝6.25＋0.25＝6.5（米）.
故树的高度为6.5米.
答图
答图
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第五章 投影与视图
2 视 图（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 用 的方法绘制的物体在 面上的图形，称
为物体的 .
正投影
投影
视图
2. 三种视图：在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和
上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视
图.通常我们把从 得到的视图叫做主视图，从左面得到
的视图叫做 ，从 得到的视图叫做俯视
图. 、左视图、 统称为物体的三种视图.
正面
左视图
上面
主视图
俯视图
3. 圆柱、圆锥和球的三种视图.
几何体 主视图 左视图 俯视图
注：一个物体的三种视图包括看到的所有的棱和顶点，如圆锥
的俯视图是带圆心的圆.
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0 2
典例讲练
下面三幅图分别是这个圆柱的什么视图？请填在横线上.
① ② ③
【思路导航】根据主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左
面、上面看到的图形，观察圆柱即可.
俯视图
主视图
左视图
【解析】从正面看，得到一个圆，所以②是主视图；从左面
看，得到一个矩形，横长竖短，所以③是左视图；从上面看，
得到一个矩形，竖长横短，所以①是俯视图.故答案为俯视图，
主视图，左视图.
【点拨】分清三种视图的观察方向是解题的关键.对于常见几何
体，需要熟记它们三种视图的形状，圆柱的三种视图有两个矩
形、一个圆，圆锥的三种视图有两个三角形、一个带圆心的
圆，球的三种视图都是圆.
1. （2023·河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博
物院九大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图
所示，关于它的三种视图，下列说法正确的是（ A ）
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同
A
2. （2023·福建）下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何
体，它的俯视图是（ D ）
D
A B
C D
画出下列几何体的三种视图：
（1）
（2）
【思路导航】把这两个几何体分别看成是半球和圆柱的组合、
圆锥和圆柱的组合，分别画出每一部分的三种视图，再合并就
可以得到组合体的三种视图.
解：将半球和圆柱的三种视图组合，可以得到第一个几何体的
三种视图；将圆锥和圆柱的三种视图组合，可以得到第二个几
何体的三种视图.如图：
（1）
（2）
【点拨】三种视图中，看得见的线条、边缘、棱等要画成实线.
在画组合体的三种视图时，可以把组合体拆分成几个常见几何
体，把这几个常见几何体的三种视图组合即可得到组合体的三
种视图.关键是要熟记常见几何体的三种视图.
画出下列几何体的三种视图：
（1）
解：（1）
（2）
解：（2）
如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2 cm的小正方体堆成
一个几何体.
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积.
10
【思路导航】（1）先数出每一层小正方体的个数，再相加即
可；（2）画出三种视图，将三种视图的面积乘2，再加上中间4
个面的面积即可.
（1）【解析】由图可知，第一层有7个小正方体，第二层有2个
小正方体，第三层有1个小正方体，
∴共有7＋2＋1＝10（个）小正方体.
故答案为10.
（2）解：画出该几何体的三种视图如图所示.
∴主视图的面积为2×2×7＝28（cm2），
左视图的面积为2×2×5＝20（cm2），
俯视图的面积为2×2×7＝28（cm2）.
∴这个几何体的表面积为（28＋20＋28）
×2＋2×2×4＝168（cm2）.
【点拨】此题第（1）问还有一种数法：先数每一列，再相加，
3＋2＋3＋2＝10（个）.第（2）问根据三种视图可以快速求出
几何体的表面积，但是注意不要漏掉中间4个面.
如图是置于桌面上，用10块完全相同的小正方体搭成的几何体.
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图；
（1）解：该几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示：
（2）已知每个小正方体的棱长为1 cm，则该几何体露在外面的
表面积是 cm2；
（2）【解析】∵该几何体的主视图面积为6cm2，左视图面积为
6cm2，俯视图面积为6cm2，
∴该几何体露在外面的表面积为6×2＋（6×2＋2）＋6＝
32（cm2）.故答案为32.
32
（3）如果在这个几何体上拿掉一些小正方体，并保持这个
几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以拿掉 个
小正方体.
（3）【解析】∵要保持这个几何体的左视图和主视图不变，
∴可以在第一行第二列拿掉1个小正方体或第二行第二列拿掉1
个小正方体，如图所示：
1
∴最多可以拿掉1个小正方体.故答案为1.
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