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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件（第四课时）
数学 九年级上册 BS版
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典例讲练
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0 1
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1. 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图），如
果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线
段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比，这个比值
为 ，约为0.618.
注意：一条线段有两个黄金分割点.
＝
2. 黄金分割的判定方法.
（1）定义法：长2＝短×全（或 ＝ ）.
（2）比值法： ＝ ＝ .
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0 2
典例讲练
（1）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP ＞ PB ，则有
（ B ）
A. AB2＝ AP · PB B. AP2＝ AB · PB
C. PB2＝ AP · AB D. AB ＝（ ＋1） AP
B
【思路导航】根据黄金分割和黄金比的定义逐项判断即可.
【解析】依据黄金分割和黄金比的定义可知，
＝ ，∴ AP2＝ AB · PB .
∵ ＝ ，∴ AB ＝ AP .
故选B.
【点拨】在黄金分割线段中，较长线段的平方等于较短线段与
原线段的乘积，一定要分清长线段和短线段.
（2）如图，已知 C ， D 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AD ＝
－1，则线段 CD 的长为 2 －4 .
【思路导航】由黄金分割的定义及黄金比求出 AB ，再由 CD ＝
AD ＋ BC － AB 进行计算即可.
2 －4
【解析】∵点 C ， D 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AD ＝
－1，
∴ ＝ ， BC ＝ AD ＝ －1.
∴ AB ＝2.
∴ CD ＝ AD ＋ BC － AB ＝ －1＋ －1－2＝2 －4.
故答案为2 －4.
【点拨】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线
段中只要知道其中一条线段的长，就可以求出另外两条线段的
长，其计算过程就是多次运用黄金比.
1. 下列说法正确的是（ B ）
A. 每条线段有且仅有一个黄金分割点
B. 黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这
条线段的0.618
C. 若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2＝ AB · BC
D. 以上说法都不对
B
2. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AC ＞ BC ， BC ＝2，则
AC ＝ .
＋1
宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.现将折叠黄金矩形的方
法归纳如下（如图所示）.
第一步：作一个正方形 ABCD ；
第二步：分别取 AD ， BC 的中点 M ， N ，连接 MN ；
第三步：以点 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于
点 E ；
第四步：过点 E 作 EF ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 F .
请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形.
【思路导航】把正方形的边长设为2 a ，然后利用作图和勾股
定理可以把 CE 的长计算出来，最后判断其比值是否为黄金
比即可.
证明：在正方形 ABCD 中，设 BC ＝ CD ＝2 a .
∵点 N 为 BC 的中点，
∴ NC ＝ BC ＝ a .
在Rt△ DNC 中，
ND ＝ ＝ ＝ a .
由作图可知， NE ＝ ND ＝ a ，
∴ CE ＝ NE － NC ＝（ －1） a .
∴ ＝ ＝ . ∴矩形 DCEF 为黄金矩形.
【点拨】解答本题的关键是掌握正方形的性质和黄金比的定义.
求线段比例问题中，常先设出基本线段的长（如设 BC ＝ CD ＝2
a ），再用其表示其他线段.
如图1，已知线段 AB ＝2，点 C 在线段 AB 上，且满足 ＝ .如
图2，以图1中的 AC ， BC 长为边构建矩形 AFBC ，以 CB 长为边
构建正方形 DBCE ，则矩形 AFDE 的面积为 .
图1
图2
10 －22
【解析】如图1，∵ ＝ ， AB ＝2，
∴ AC ＝ AB ＝ ×2＝ －1.
∴ BC ＝ AB － AC ＝2－（ －1）＝3－ .
如图2，∵四边形 DBCE 为正方形，∴ EC ＝ BC .
∴ AE ＝ AC － CE ＝ AC － BC ＝
（ －1）－（3－ ）＝2 －4.
图1
图2
∴矩形 AFDE 的面积＝ AF · AE ＝ BC · AE ＝（3－ ）×（2
－4）＝10 －22.
故答案为10 －22.
图1
图2
如图，以定线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接
PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF ＝ PD ，以 AF 为边作正方
形 AMEF ，点 M 在线段 AD 上（ AM ＞ MD ）.
（1）求证：点 M 是线段 AD 的黄金分割点.
（2）作 PN ⊥ PD 交 BC 于点 N ，连接 ND .
△ PDN 与△ BPN 是否相似？若相似，证明
你的结论；若不相似，请说明理由.
【思路导航】（1）设正方形 ABCD 的边长为2 a ，求出 AM 的长
（用含 a 的代数式表示），证明 ＝ ，即可得到点 M 是线
段 AD 的黄金分割点；（2）易得∠ DPN ＝∠ PBN ＝90°，要证
△ PDN ∽△ BPN ，只需证 ＝ 即可.
（1）证明：设正方形 ABCD 的边长为2 a ，则有 AD ＝2 a ， AP
＝ a ， PD ＝ ＝ a .
∴ PF ＝ PD ＝ a .
∴ AM ＝ AF ＝ PF － AP ＝（ －1） a .
∴ ＝ ＝ .
∴点 M 是线段 AD 的黄金分割点.
（2）解：△ PDN ∽△ BPN . 证明如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ DAP ＝∠ PBN ＝90°.
∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°.
∵ PN ⊥ PD ，
∴∠ DPN ＝90°.
∴∠ APD ＋∠ BPN ＝90°.
∴∠ ADP ＝∠ BPN .
∴△ DAP ∽△ PBN .
∴ ＝ .
∵点 P 是 AB 的中点，
∴ AP ＝ PB .
∴ ＝ ，
即 ＝ .
又∵∠ DPN ＝∠ PBN ＝90°，
∴△ PDN ∽△ BPN .
【点拨】本题主要考查正方形的性质、黄金分割点、相似三角
形的判定与性质等知识.把证明 ＝ 转化为证明 ＝ ，进
而转化为证明△ DAP ∽△ PBN 是解决第（2）小题的关键.
如图，用边长为 a 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形
ABDE 得折痕 MN ，连接 EN ，把边 AE 折到线段 EN 上，即使点 A
的对应点 H 落在 EN 上，得折痕 EC ，请证明：点 C 是线段 AB 的
黄金分割点.
证明：如答图，设 EC 与 MN 交于点 P .
由题可知， MN ∥ AB ，且点 M 为 EA 中点，
∴ ＝ ＝ .
过点 P 作 PQ ⊥ EN 于点 Q .
易知 EC 平分∠ AEN ，∴ PM ＝ PQ .
设 PM ＝ PQ ＝ AC ＝ x ，
则 PN ＝ MN － PM ＝ a － x .
在Rt△ NDE 中，根据勾股定理，得
答图
EN ＝ ＝ ＝ a .
易知△ PQN ∽△ EMN ，
∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴ ＝ .
答图
解得 x ＝ a .
∴ AC ＝2 x ＝ a .
∴ ＝ ＝ .
∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点.
答图
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第四章 图形的相似
3 相似多边形
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典例讲练
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0 1
课前预习
1. 相似多边形的相关定义.
（1）各角分别 、各边 的两个多边形叫做相
似多边形.用符号“ ”表示，该符号读作“ ”.
注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在
对应的位置上.
（2）相似多边形 叫做相似比.
2. 相似多边形的性质.
相似多边形对应角 ，对应边 ，对应边的比
都等于 .
相等
成比例
∽
相似于
对应边的比
相等
成比例
相似比
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0 2
典例讲练
（1）下列命题中，正确的是（ B ）
A. 所有的等腰三角形都相似
B. 所有的等边三角形都相似
C. 所有的菱形都相似
D. 所有的矩形都相似
B
【思路导航】根据相似多边形的定义，从角和边分别进行判定.
【解析】A. 等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确
定，所以A选项错误；B. 由于所有的等边三角形的各角都是
60°，三边相等，所以任意两个等边三角形三边的比都相等，选
项B正确；C. 由于菱形的角不能确定，所以所有的菱形不一定
相似，选项C错误；D. 由于矩形的四条边不能确定，所以所有
的矩形不一定相似，选项D错误.故选B.
【点拨】（1）两个多边形相似，必须同时满足：①各角分别相
等；②各边成比例.两个条件缺一不可.（2）常见的相似多边形
有：等腰直角三角形、等边三角形、正方形、正多边形等.
（2）如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ，求∠α，∠β 的
大小和 EH 的长度.
【思路导航】利用相似多边形的性质分别计算角和边.
解：∵四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ，
∴∠α＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°.
在四边形 ABCD 中，∠β＝360°－83°－78°－118°＝81°.
∵四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ，
∴ AD ∶ EH ＝ AB ∶ EF ，
即21∶ x ＝18∶24.
解得 x ＝28.
∴ EH ＝28 cm.
【点拨】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
1. 下列说法正确的是（ C ）
A. 任意两个直角三角形相似
B. 任意两个梯形相似
C. 任意两个等腰直角三角形相似
D. 任意两个平行四边形相似
C
2. 已知两个相似多边形的最长边分别为10 cm和20 cm ，其中一
个多边形的最短边为5 cm，则另一个多边形的最短边为
.
2.5 cm
或10 cm
如图，已知矩形 ABCD 的长 AB ＝30，宽 BC ＝20.
（1）如图1，若沿矩形 ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所
形成的矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似吗？请说明理由.
图1
（2）如图2，当 x 为多少时，图中的矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D
'相似？
图2
【思路导航】（1）两个矩形的角都相等（均为90°），只需要
判断它们的边是否成比例即可；（2）要使这两个矩形相似，它
们的边就要成比例，这两个矩形相似有两种情况，分别列比例
解答即可.
解：（1）不相似，理由如下：
∵ AB ＝30， BC ＝20，
∴ A ' B '＝28， B ' C '＝18.
又∵ ≠ ，
∴矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '不相似.
图1
（2）若矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似，
则有 ＝ 或 ＝ ，
即 ＝ 或 ＝ .
解得 x ＝1.5或 x ＝9.
∴当 x ＝1.5或 x ＝9时，矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '相似.
图2
【点拨】要使多边形相似，既要看角，又要看边.一般地，根据
对应边成比例，我们可以列比例解答.同时需要注意，若题干中
未明确给出矩形 ABCD ∽矩形 A ' B ' C ' D '，则存在两种情况：矩
形 ABCD ∽矩形 A ' B ' C ' D '或矩形 ABCD ∽矩形 B ' C ' D ' A '，它们
的对应边不同.
1. 如图，已知左边格点图中有一个四边形 ABCD ，请在右边的
格点图中画一个与该四边形相似的四边形 A ' B ' C ' D '.
解：如图所示.（答案不唯一）
2. 如图，已知点 G 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，作 GE
⊥ AD ， GF ⊥ AB ，垂足分别为 E ， F . 求证：四边形 AFGE 与四
边形 ABCD 相似.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ，∠ DAC ＝∠ BAC ＝45°.
∵ GE ⊥ AD ， GF ⊥ AB ，
∴ EG ＝ FG ，且 AE ＝ EG ， AF ＝ FG .
∴ AE ＝ EG ＝ FG ＝ AF .
∴四边形 AFGE 为正方形.
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠ EAF ＝∠ DAB ，∠ AFG ＝∠ ABC ，
∠ FGE ＝∠ BCD ，∠ AEG ＝∠ ADC .
∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似.
如图1，已知矩形 ODEF 的一边落在矩形 ABCO 的一边上，并且
矩形 ODEF ∽矩形 ABCO ，其相似比为1∶4，矩形 ABCO 的边
AB ＝4， BC ＝4 .
图1
（1）求矩形 ODEF 的面积；
（2）如图2，将图1中的矩形 ODEF 绕点 O 逆时针旋转一周，连
接 EC ， EA ， AC ，求旋转过程中△ ACE 面积的最小值.
图2
【思路导航】（1）根据相似多边形的性质求出 OD 和 DE 的
长，即可得到小矩形的面积；（2） AC 长是一个定值，求出点
E 到 AC 的距离的最小值即可求出△ ACE 的面积的最小值.
解：（1）∵矩形 ODEF ∽矩形 ABCO ，其相似比为1∶4，
∴ ＝ ＝ .
∵ AB ＝4， BC ＝4 ，
∴ OD ＝1， DE ＝ .
∴ ＝1× ＝ .
图1
（2）连接 OE ，根据勾股定理，得 OE ＝ ＝
＝2.
设点 O 到 AC 的距离为 H ，当点 E 在点 O 到 AC 的垂线段上时，
△ ACE 的面积取最小值.
∵ AC ＝ ＝ ＝8，
∴ ·8 H ＝ ×4×4 .
图2
解得 H ＝2 .
∴当点 E 到 AC 的距离为2 －2时，△ ACE 的面积最小，为
×8× ＝8 －8.
图2
【点拨】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、勾股定
理，理解点 E 在点 O 到 AC 的垂线段上时 AC 边上的高取最小值
是解本题的关键.
如图，已知点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，
以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG ，且菱形 AEFG ∽菱形
ABCD ，相似比为 ∶2，连接 EB ， GD .
（1）求证： EB ＝ GD ；
（1）证明：∵菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ，
∴∠ EAG ＝∠ BAD .
∴∠ EAG ＋∠ GAB ＝∠ BAD ＋∠ GAB .
∴∠ EAB ＝∠ GAD .
又∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是菱形，
∴ AE ＝ AG ， AB ＝ AD .
∴△ AEB ≌△ AGD （SAS）.
∴ EB ＝ GD .
（2）若∠ DAB ＝60°， AB ＝2，求 GD 的长.
（2）解：如图，连接 BD ，交 AC 于点
P ，则 BP ⊥ AC .
∵∠ DAB ＝60°，
∴∠PA B ＝30°.
∴ BP ＝ AB ＝1.
∴ AP ＝ ＝ .
∵菱形 AEFG ∽菱形 ABCD ，相似比为 ∶2， AB ＝2，
∴ AE ＝ .
∴ EP ＝2 .
∴ EB ＝ ＝ ＝ .
∴ GD ＝ .
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第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
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课前预习
三角形相似的判定定理.
（1）定理一： ；
（2）定理二： ；
（3）定理三： .
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
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0 2
典例讲练
如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E ， F 分别是三边上的
点，且 AE ＝ BF ＝ CD ，那么△ ABC 与△ DEF 相似吗？请说明
理由.
【思路导航】证明△ DEF 是等边三角形，可得∠ EDF ＝∠ A ＝
∠ B ＝∠ DEF ＝60°，这样就可以证明△ ABC ∽△ DEF .
解：△ ABC ∽△ DEF . 理由如下：
∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ BC ＝ AC ，
∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°.∵ AE ＝ BF ＝ CD ，∴ EB ＝ FC ＝ DA .
在△ AED 和△ BFE 中，
∴△ AED ≌△ BFE （SAS）.
同理可得，△ AED ≌△ CDF .
∴△ AED ≌△ BFE ≌△ CDF .
∴ ED ＝ EF ＝ DF . ∴△ EDF 是等边三角形.
∴∠ EDF ＝∠ A ＝∠ B ＝∠ DEF ＝60°.
∴△ ABC ∽△ DEF .
【点拨】在等边三角形三边上取三点，截取三条相等线段，无
论三截点怎么变化，截出的含顶角的三个小三角形都全等，中
间小三角形一定是等边三角形.特别地，若截点是各边中点，则
四个三角形都是等边三角形.
如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ，分
别以 AC ， BC 为边向三角形外部作等边三角形 ACE 和等边三角
形 BCF ，连接 DE ， DF . 证明：△ ADE ∽△ CDF .
证明：∵∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，
∴∠ CAD ＋∠ ACD ＝90°，∠ ACD ＋∠ BCD ＝90°.
又∵∠ ADC ＝∠ CDB ＝90°，∴∠ CAD ＝∠ BCD .
∴△ ACD ∽△ CBD .
∴ ＝ .
∵△ ACE 和△ BCF 都是等边三角形，
∴ AE ＝ AC ， CF ＝ CB ，∠ EAC ＝60°，
∠ FCB ＝60°.
∴ ＝ .
∵∠ EAD ＝∠ EAC ＋∠ CAD ＝60°＋∠ CAD ，
∠ FCD ＝∠ BCF ＋∠ BCD ＝60°＋∠ BCD ，
∴∠ EAD ＝∠ FCD .
∴△ ADE ∽△ CDF .
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别在边 AD ， AB 上，
且 AE ＝ AF ，连接 BE ，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G ，连接 CG ，
FG . 求证： ＝ .
【思路导航】先证明△ AGE ∽△ BGA ，则可得 ＝ ，再利
用 AE ＝ AF ， AB ＝ BC 进行等线段替换，从而可以证明 ＝ .
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ BC ，∠ DAB ＝90°.
∴∠ GBA ＋∠ AEG ＝90°.
∵ AG ⊥ BE ，∴∠ EGA ＝∠ AGB ＝90°.
∴∠ EAG ＋∠ AEG ＝90°.
∴∠ EAG ＝∠ GBA . ∴△ AGE ∽△ BGA .
∴ ＝ ，即 ＝ .
又∵ AE ＝ AF ， AB ＝ BC ，∴ ＝ .
【点拨】当无法证明“比例式”或“等积式”线段所在的两个
三角形相似时，可以考虑“等线段替换”或者“等比替换”，
将问题进行转化.
如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ ABC ＝60°，点 E 是射线 CB 上
一点，点 F 是线段 CD 上一点，且∠ EAF ＝120°，求证： AE · CF
＝ AF · BC .
证明：如答图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ BC ， AD ∥ BC .
∵∠ ABC ＝60°，
∴△ ABC 是等边三角形.
∴∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°， AC ＝ BC .
∵ AD ∥ BC ，∠ ABC ＝60°，
∴∠ BAD ＝120°，∠ CAD ＝∠ ACB ＝∠ ACF ＝60°.
又∵∠ EAF ＝120°，
答图
∴∠ EAB ＝∠ FAD .
设∠ EAB ＝∠ FAD ＝α，则∠ E ＝∠ ABC －α＝60°－α.
∵∠ CAF ＝∠ CAD －∠ FAD ＝60°－α，
∴∠ E ＝∠ CAF .
又∵∠ ACF ＝∠ ACB ＝60°，
∴△ ACF ∽△ ECA .
∴ ＝ .
∵ AC ＝ BC ，
答图
∴ ＝ .
∴ AE · CF ＝ AF · BC .
答图
已知点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AE ，过点 E 作 EF
⊥ AE 于点 E ，分别交 AC ， CD 于点 M ， F . 过点 B 作 BG ⊥ AC
于点 G ，交 AE 于点 H .
（1）如图1，求证：△ ABE ∽△ ECF ；
图1
（2）如图1，找出与△ ABH 相似的三角形，并证明；
图1
（3）如图2，若点 E 是 BC 的中点， BC ＝2 AB ， AB ＝2，求 EM
的长.
图2
【思路导航】（1）易知∠ ABE ＝∠ ECF ＝90°，要证明△ ABE
∽△ ECF ，只需要再找一组对应角相等即可；（2）找出图中与
∠ ABH ，∠ BAH 相等的角，进而可找出与△ ABH 相似的三角
形；（3）首先作 MR ⊥ BC ，垂足为 R ，由相似三角形，可求得
MR ， ER 的长，再由勾股定理即可求得 EM 的长.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝90°.
∵ EF ⊥ AE ，
∴∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°.
又∵∠ AEB ＋∠ BAE ＝90°，
∴∠ BAE ＝∠ CEF .
∴△ ABE ∽△ ECF .
图1
（2）解：△ ECM ∽△ ABH . 证明如下：
∵ BG ⊥ AC ，
∴∠ ABG ＋∠ BAG ＝90°.
∵∠ ACB ＋∠ BAC ＝90°，
∴∠ ECM ＝∠ ABH .
由（1）知，∠ CEM ＝∠ BAH ，
∴△ ECM ∽△ ABH .
图1
（3）解：如图，作 MR ⊥ BC ，垂足为 R .
∵ BC ＝2 AB ，点 E 是 BC 的中点，
∴ BE ＝ EC ＝ AB ＝2.
∴∠ AEB ＝45°.
∴∠ MER ＝45°.
∴ MR ＝ ER .
易知△ MRC ∽△ ABC ，
∴ ＝ .
图2
∴ MR ∶ RC ＝ AB ∶ BC ＝ .
∴ CR ＝2 MR .
∴ MR ＝ ER ＝ EC ＝ ×2＝ .
在Rt△ EMR 中，由勾股定理，得
EM ＝ ＝ ＝ .
【点拨】注意数形结合思想的应用，以及有两组角对应相等的
两个三角形相似的判定定理的应用.
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴
上，四边形 AOCB 为矩形， AB ＝16， BC ＝12，点 D 与点 A 关于
y 轴对称.点 E ， F 分别是线段 AD ， AC 上的动点（点 E 不与点
A ， D 重合），且∠ CEF ＝∠ ACB .
（1）求 AC 的长与点 D 的坐标；
解：（1）在Rt△ ABC 中，∵ BC ＝12，
AB ＝16，
∴ AC ＝ ＝20.
∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，
四边形 ABCO 为矩形，
∴ OD ＝ OA ＝ BC ＝12.∴ D （12，0）.
（2）说明△ AEF 与△ DCE 相似；
解：（2）∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，
∴∠ CDE ＝∠ CAO .
∵∠ CEF ＝∠ ACB ，∠ ACB ＝∠ CAO ，
∴∠ CDE ＝∠ CEF .
又∵∠ AEC ＝∠ AEF ＋∠ CEF ＝∠ CDE ＋∠ DCE ，
∴∠ AEF ＝∠ DCE .
∵∠ EAF ＝∠ CDE ，∠ AEF ＝∠ DCE ，
∴△ AEF ∽△ DCE .
（3）若△ EFC 为等腰三角形，且 EF ＝ FC ，求点 E 的坐标.
解：（3）如图，过点 F 作 FM ⊥ CE 于点 M ，
则点 M 为 CE 的中点.
∴ CE ＝2 ME .
∵∠ EMF ＝∠ CBA ＝90°，
∠ CEF ＝∠ ACB ，
∴△ EMF ∽△ CBA .
∴ ＝ ，
即 ＝ .∴ ME ＝ EF . ∴ CE ＝ EF .
∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称，
∴ CD ＝ AC ＝20.
∵△ AEF ∽△ DCE ，∴ ＝ .
∴ AE ＝ .
∴ OE ＝ AE － OA ＝ .
∴点 E 的坐标为 .
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第四章 图形的相似
8 图形的位似（第一课时）
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课前预习
1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线
都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个
点叫做 ，每对对应点与位似中心共线.
2. 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于
.
位似图形
位似中心
相
似比
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0 2
典例讲练
如图，已知 BC ∥ ED ，下列说法不正确的是（ D ）
D
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. 点 B 与点 D 、点 C 与点 E 是对应位似点
D. AC ∶ AB 是相似比
【思路导航】根据位似图形的定义、位似中心的定义判断即可.
【解析】A. ∵ BC ∥ DE ，∴△ ADE ∽△ ABC . 又∵两个三角形
对应点连线相交于一点，∴两个三角形是位似图形，本选项说
法正确，不符合题意.B. 点 A 是两个三角形的位似中心，本选项
说法正确，不符合题意.C. 点 B 与点 D 、点 C 与点 E 是对应位似
点，本选项说法正确，不符合题意.D. AD ∶ AB 是相似比，故本
选项说法不正确，符合题意.故选D.
【点拨】掌握位似的两个图形必须是相似图形、对应点的连线
都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键.
如图，将△ DEF 缩小为原来的一半.操作方法如下：任意取一点
P ，连接 DP ，取 DP 的中点 A ，再连接 EP ， FP ，取它们的中点
B ， C ，得到△ ABC . 下列说法错误的是（ D ）
D
A. △ ABC 与△ DEF 是位似图形
B. △ ABC 与△ DEF 是相似图形
C. △ ABC 与△ DEF 的周长比是1∶2
D. △ ABC 与△ DEF 的面积比是1∶2
如图，作出一个新图形，使新图形与原图形是位似多边形，且
它们的相似比为2∶1.
【思路导航】先任意确定一点作为位似中心，再确定关键点，
然后根据“对应点与位似中心共线”“对应点到位似中心的距
离比等于相似比”确定新图形的关键点，最后再顺次连接关键
点即可.
解：作法一：
①如图1，在原图上取关键点 A ， B ， C ， D ，在图外取一点
P ，作射线 AP ， BP ， CP ， DP ；
图1
图1
②在所作射线上依次取点 A '， B '， C '， D '，
使得PA'＝2PA， PB '＝2 PB ， PC '＝2 PC ，
PD '＝2 PD ；
③顺次连接点 A '， B '， C '， D '，
则四边形 A ' B ' C ' D '即为所求作的新图形.
作法二：
①如图2，在原图上取关键点 A ， B ， C ， D ，在图形外取一点
P ，作出射线PA， PB ， PC ， PD ；
图2
②在这些射线上依次取点 A '， B '， C '， D '，使PA'＝2PA， PB '＝2 PB ， PC '＝2 PC ， PD '＝2 PD ；
③顺次连接点 A '， B '， C '， D '，则四边形 A ' B ' C ' D '即为所求作的新图形.
作法三：
①如图3，在原图上取关键点 A ， B ， C ， D ，在图内取一点
P ，作射线PA， PB ， PC ， PD ；
②在这些射线上依次取点 A '， B '， C '， D '，使 AA '＝PA， BB '＝ PB ， CC '＝ PC ， DD '＝ PD ；
③顺次连接点 A '， B '， C '， D '，则四边形 A ' B ' C ' D '即为所求作的新图形.
图3
【点拨】位似多边形的画法：①确定位似中心；②确定原图形
的关键点，通常是多边形的顶点；③分别连接原图形中的关键
点和位似中心，并延长（或截取）；④根据已知的相似比，确
定所画位似图形中关键点的位置；⑤顺次连接画出的各关键
点，即可得到所求作的图形.本题符合要求的图形不唯一，因为
所作的图形与所确定的位似中心的位置有关.当位似中心在图形
外部时，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.同
时，位似中心还能在原图形边上或内部.
如图，在△ ABC 中，点 D 为 AB 边上的中点，在 AC 边上求作点
E ，使△ ADE 与△ ABC 位似.（要求：尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
解：如答图，过点 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于点 E ，点 E 即为所求.
答图
答图
如图，在平面直角坐标系中，正方形 A1 B1 C1 A2与正方形 A2 B2 C2
A3是以点 O 为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点 A1， A2，
A3在 x 轴上，延长 A3 C2交射线 OB1于点 B3，以 A3 B3为边作正方
形 A3 B3 C3 A4；延长 A4 C3，交射线 OB1于点 B4，
以 A4 B4为边作正方形 A4 B4 C4 A5……按照这样
的规律继续作下去.若 OA1＝1，则正方形
A2 024 B2 024 C2 024 A2 025的面积为 .
24 046
【思路导航】先证明△ OA1 B1∽△ OA2 B2，求出正方形 A1 B1 C1
A2和正方形 A2 B2 C2 A3的边长；同理可证明△ OA2 B2∽△ OA3
B3，求出正方形 A3 B3 C3 A4的边长……由此可归纳出正方形
AnBnCn An＋1的边长.即可求解.
【解析】∵正方形 A1 B1 C1 A2与正方形 A2 B2 C2 A3是以点 O 为位似
中心的位似图形，且位似比为 ，∴ ＝ .
∵ A1 B1⊥ x 轴， A2 B2⊥ x 轴，
∴ A1 B1∥ A2 B2.
∴△ OA1 B1∽△ OA2 B2.
∴ ＝ ＝ .
∴ A2 B2＝2 A1 B1.
∵ OA1＝1，∴ OA2＝2.
∴ A1 A2＝ OA2－ OA1＝1.
∴正方形 A1 B1 C1 A2的边长为1＝ 20.
∴ A1 B1＝1.∴ A2 B2＝2.
∴正方形 A2 B2 C2 A3的边长为2＝21.
同理可证△ OA2 B2∽△ OA3 B3，
∴ ＝ .
∵四边形 A2 B2 C2 A3是正方形，∴ A2 A3＝ A2 B2＝2.
∴ OA3＝ OA2＋ A2 A3＝4.
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .∴ A3 B3＝4.
∴正方形 A3 B3 C3 A4的边长为4＝22.
综上，可归纳出正方形 AnBnCnAn＋1的边长为2 n－1.
∴正方形 A2 024 B2 024 C2 024 A2 025的边长为22 023，
∴正方形 A2 024 B2 024 C2 024 A2 025的面积为 ＝24 046.
故答案为24 046.
【点拨】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性
质、正方形的性质和面积以及图形类找规律，正确找出规律是
解题的关键.
如图，在菱形 OABC 中，∠ AOC ＝60°， OA ＝2 ，以点 O 为
位似中心，相似比为 ，将菱形 OABC 缩小，得到菱形 OA1 B1
C1；再以点 O 为位似中心，相似比为 ，将菱形 OA1 B1 C1缩小，
得到菱形 OA2 B2 C2……以此类推，则菱形 OA2 023 B2 023 C2 023的面
积为 .
×
【解析】由题意可知，菱形 OABC 中 OC 边上的高为 ，
∴菱形 OABC 的面积为2 × ＝4 .
∵菱形 OA1 B1 C1与菱形 OABC 相似，相似比为 ，
∴菱形 OA1 B1 C1的面积为4 × .
同理，菱形 OA2 B2 C2的面积为4 × ……以此类推，
则菱形 OA2 023 B2 023 C2 023的面积为4 × ＝ × .
故答案为 × .
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第四章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 平行线分线段成比例的基本事实.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .
2. 推论.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的
成比例.
成比例
对应线
段
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0 2
典例讲练
如图，已知直线 a ∥ b ∥ c ，且直线 m ， n 与这三条平行线分别
交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F ，且 AB ∶ BC ＝5∶7， DF ＝9.
（1） ＝ ， ＝ ；
【解析】（1）∵ a ∥ b ∥ c ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
故答案为 ， .
（2） EF 的长为 .
【思路导航】由平行线分线段成比例的基本事实得出 ＝ ，
＝ ，进而可求出 EF 的长.
【解析】（2）当 DF ＝9时， ＝ .
解得 EF ＝ .
故答案为 .
【点拨】利用平行线分线段成比例解决问题时，注意分得的线段的对应关系，如 ＝ ， ＝ ，其基本图形大致有以下三种，分别是“A”型、“X”型、“日”型.
如图，在△ ABC 中，已知 DE ∥ BC ， AD ＝9， DB ＝3， CE ＝
2，则 AC 的长为 .
8
如图，在△ ABC 中， BE 平分∠ ABC ， DE ∥ BC . 若 DE ＝2
AD ， AE ＝2，求 EC 的长.
【思路导航】利用角平分线的性质和平行线的性质得出∠ ABE
＝∠ DEB ，进而推出 BD 与 AD 的数量关系，再利用平行线分线
段成比例的推论求出 EC 的长.
解：∵ DE ∥ BC ，∴∠ DEB ＝∠ CBE .
∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠ CBE .
∴∠ ABE ＝∠ DEB . ∴ BD ＝ DE .
∵ DE ＝2 AD ，
∴ BD ＝2 AD .
∵ DE ∥ BC ，
∴ AE ∶ EC ＝ AD ∶ DB ＝1∶2.
∴ EC ＝2 AE ＝2×2＝4.
【点拨】①角平分线＋平行→等腰三角形；②见比例，用平行
线分线段成比例.
如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 上
的点，且 DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， AE ∶ EC ＝3∶4， BC ＝21.
（1）求 BF 的长；
（1）解：∵ EF ∥ AB ，
∴ ＝ ＝ .
又∵ BC ＝21，
∴ BF ＝ BC ＝9.
（2）求证： ＝ .
（2）证明：∵ DE ∥ BC ，
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ .
∵ DE ∥ BC ， EF ∥ AB ，
∴四边形 BDEF 是平行四边形.
∴ BD ＝ EF .
∴ ＝ .
如图，在△ ABC 中，已知点 M 为边 AC 的中点，点 E 为 AB 上一
点，且 AB ＝4 AE ，连接 EM 并延长交 BC 的延长线于点 D . 求
证： BC ＝2 CD .
【思路导航】根据点 M 为边 AC 的中点，可作辅助线 CF ∥ DE ，
交 AB 于点 F ，再根据平行线分线段成比例的推论及 AB ＝4 AE
证明结论.
证明：如图，作 CF ∥ DE ，交 AB 于点 F .
∵ ME ∥ CF ，
∴ ＝ .
∵点 M 为 AC 边的中点，
∴ AM ＝ MC .
∴ AE ＝ EF .
∵ AB ＝4 AE ，
∴ BF ＝2 EF .
∵ CF ∥ DE ，
∴ ＝ ＝2.
∴ BC ＝2 CD .
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟
练运用基本知识，添加辅助线，构造平行线，即“见比例，构
平行”.
在△ ABC 中，点 M ， N 分别是 BC ， AC 边上一点，连接 AM ，
BN 交于点 P . 若 BM ∶ BC ＝1∶2， AN ∶ CN ＝1∶4，则 AP ∶
MP ＝ .
1∶2
【解析】如答图，过点 M 作 MQ ∥ BN ，交 AC 于点 Q . ∵ MQ ∥
BN ，
∴ ＝ .
∵ BM ∶ BC ＝1∶2，
∴ BM ∶CM＝1∶1.
∴ ＝ ＝1.
设 NQ ＝ CQ ＝ k ，则 CN ＝2 k .
答图
∵ AN ∶ CN ＝1∶4，
∴ ＝ .
∴ AN ＝ .
∵ MQ ∥ PN ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
即 AP ∶ MP ＝1∶2.
故答案为1∶2.
答图
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件（第二课时）
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CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
相似三角形的判定定理二.
两边 且夹角 的两个三角形相似.
注意：运用该定理证明相似时，一定要区分边与角的关系，角
一定是两组对应边的夹角，边一定是对应角的两组边，类似于
判定三角形全等的“ SAS ”方法.全等三角形是相似比为1的特殊
相似三角形.
成比例
相等
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
如图，在△ ABC 中，已知点 M 在边 BC 上，点 N 在 AM 上， CM
＝ CN ，且 ＝ .下列结论中正确的是（ B ）
B
A. △ ABM ∽△ ACB
B. △ ANC ∽△ AMB
C. △ ANC ∽△ ACM
D. △ CMN ∽△ BCA
【思路导航】先确定对应边与相等的角，再利用相似三角形的
判定定理进行判断即可.
【解析】∵ CM ＝ CN ，∴∠ CNM ＝∠ CMN . ∵∠ CNA ＝180°－
∠ CNM ，∠ AMB ＝180°－∠ CMN ，∴∠ CNA ＝∠ AMB .
又∵ AM ∶ AN ＝ BM ∶ CN ，∴△ ANC ∽△ AMB . 故选B.
【点拨】利用“两边对应成比例且夹角相等”证明两个三角形
相似，关键在于找两个三角形中相等的角，再去找这对等角的
两组对应边.此题有一个技巧，根据题干的比例式，可知对应角
的顶点为点 M ， N .
1. 在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上.若 AD ＝1， BD
＝3，则由下列条件能够判断 DE ∥ BC 的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
2. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，且 ＝
＝ .若 DE ＝6，则 BC ＝ .
10.5
如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 D 为 CB 延长线
上一点，点 E 为 BC 延长线上一点，且满足 AB2＝ DB · CE .
（1）求证：△ ADB ∽△ EAC ；
（2）若∠ BAC ＝40°，求∠ DAE 的度数.
【思路导航】（1）先寻找相等的夹角，再把 AB2＝ DB · CE 转化
成用△ ADB 和△ EAC 的边表示的比例即可证明；（2）先根据
相似三角形得到相等的角，再在等腰三角形 ABC 中求出底角，
最后由等量代换求出∠ DAE .
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB .
∴∠ ABD ＝∠ ACE .
∵ AB2＝ DB · CE ，∴ ＝ .
∵ AB ＝ AC ，∴ ＝ .
∴△ ADB ∽△ EAC .
（2）解：∵△ ADB ∽△ EAC ，
∴∠ BAD ＝∠ E ，∠ D ＝∠ CAE .
∵∠ DAE ＝∠ BAD ＋∠ BAC ＋∠ CAE ，
∴∠ DAE ＝∠ D ＋∠ BAD ＋∠ BAC .
∵∠ BAC ＝40°， AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝70°.
∴∠ D ＋∠ BAD ＝70°.
∴∠ DAE ＝∠ D ＋∠ BAD ＋∠ BAC ＝70°＋40°＝110°.
【点拨】找三角形相似的条件，一般先观察是否可以得到一组
角相等，再寻求另一组角相等或等角的两边成比例.利用两边成
比例且夹角相等判定两个三角形相似时，要找准相等的角一定
是成比例两边的“夹角”，否则结论不成立.为了方便，常在图
中用相同记号或字母表示相等的边或角.
1. 如图，在等边三角形 ABC 中，已知点 D ， E 分别在 AC ， AB
上，且 ＝ ， AE ＝ EB . 求证：△ AED ∽△ CBD .
证明：∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ A ＝∠ C ＝60°， BC ＝ AB .
∵ AE ＝ BE ，
∴ CB ＝2 AE .
∵ ＝ ，
∴ CD ＝2 AD . ∴ ＝ ＝ .
又∵∠ A ＝∠ C ，∴△ AED ∽△ CBD .
2. 如图，在4×4的正方形方格中，已知△ ABC 和△ DEF 的顶点
都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ ABC ＝ ， BC ＝ ；
（1）【解析】∠ ABC ＝90°＋45°＝135°， BC ＝
＝ ＝2 .故答案为135°，2 .
135°
2
（2）判断△ ABC 与△ DEF 是否相似，并证明你的结论.
（2）解：△ ABC ∽△ DEF . 证明如下：
∵在4×4的正方形方格中，∠ ABC ＝135°，
∠ DEF ＝90°＋45°＝135°，
∴∠ ABC ＝∠ DEF .
∵ AB ＝2， BC ＝2 ， EF ＝2， DE ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
∴ ＝ .∴△ ABC ∽△ DEF .
如图，在△ ABC 中， AB ＝8 cm， BC ＝16 cm，动点 P 从点 A 开
始沿 AB 边运动，速度为2 cm/ S ；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运
动，速度为4 cm/ S . 若 P ， Q 两动点同时运动，当△ QBP 与△
ABC 相似时，则运动的时间为 s.
2或0.8
【思路导航】设出时间，表示出 BP 和 BQ 的长，利用两组对
应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似进行分类讨论即
可求解.
【解析】设经过 t s时，△ QBP 与△ ABC 相似，则 AP ＝2 t cm，
BP ＝（8－2 t ） cm， BQ ＝4 t cm.∵∠ PBQ ＝∠ ABC ，∴①当
＝ 时，△ BPQ ∽△ BAC ，此时 ＝ ，解得 t ＝2；②
当 ＝ 时，△ BPQ ∽△ BCA ，此时 ＝ ，解得 t ＝0.8.
综上所述，经过2 s或0.8 s时，△ QBP 与△ ABC 相似.故答案为2
或0.8.
【点拨】“相似于（∽）”与“谁和谁相似”的区别：前者的
对应关系固定，后者的对应关系不固定.如果已知两个三角形相
似，当边的对应关系不明确时，从对应关系入手，相等的角或
公共角为对应角，则对应角的两边成比例，再根据对应关系分
情况讨论.
如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝90°， AB ＝8，
AD ＝3， BC ＝4，点 P 为 AB 边上一动点，当△PA D 与△ PBC 是
相似三角形时，求出此时 AP 的长.
解：易得∠PA D ＝∠ PBC ＝90°.
设 AP 的长为 x ，则 BP 的长为8－ x .
△PA D 与△ PBC 相似，则分两种情况：
①若△ APD ∽△ BPC ，
则 AP ∶ BP ＝ AD ∶ BC ，
即 x ∶（8－ x ）＝3∶4，解得 x ＝ ；
②若△ APD ∽△ BCP ，
则 AP ∶ BC ＝ AD ∶ BP ，
即 x ∶4＝3∶（8－ x ），
解得 x ＝2或 x ＝6.
综上所述， AP 的长为 ，2或6.
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件（第三课时）
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0 1
课前预习
1. 相似三角形的判定定理三.
三边 的两个三角形相似.
2. 利用三边成比例判定两个三角形相似的步骤.
（1）排序：将三角形的三边按长短顺序排列.
（2）计算：分别计算长、中、短三组边的比值.
（3）判定：若三个比值相等，则相似；否则，不相似.
成比例
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0 2
典例讲练
已知△ ABC 的三边长分别为8cm，10cm，12cm，△ DEF 的一边
长为4cm.若△ DEF 与△ ABC 相似，则△ DEF 的另外两边长可能
为（ C ）
A. 2cm，3cm B. 4cm，5cm
C. 5cm，6cm D. 6cm，7cm
【思路导航】两个三角形的三条边的长度都知道，就可以直接
使用“三边成比例的两个三角形相似”来进行判断求解.
C
【解析】A. ∵ ≠ ≠ ，∴A不符合题意；B. ∵ ≠ ≠
，∴B不符合题意；C. ∵ ＝ ＝ ，∴C符合题意；D. ∵
≠ ≠ ，∴D不符合题意.故选C.
【点拨】两个三角形的三边长都按大小排列，大比大、小比
小、中比中，看三个比值是否相等，若都相等，则两个三角形
相似；否则，不相似.
如图，已知 ＝ ，则添加一个条件：
后，可以判定△ ABC
∽△ ADE .
∠ BAC ＝∠ DAE
（或∠1＝∠2或 ＝ 或 ＝ ）
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AC ， BD 相交于点 F ，点 E 在线
段 BD 上，且 ＝ ＝ .
（1）∠ BAE 与∠ CAD 相等吗？为什么？
（2）若∠ BAE ＝25°，求∠ DBC 的度数；
（3）试判断△ ABE 与△ ACD 是否相似，并说明理由.
【思路导航】（1）证明△ ABC ∽△ AED 即可得出结论；（2）
根据△ ABC ∽△ AED 和等量代换即可求出∠ DBC ；（3）利用
“两边成比例且夹角相等”即可证明.
解：（1）∠ BAE ＝∠ CAD . 理由如下：
∵ ＝ ＝ ，
∴△ ABC ∽△ AED .
∴∠ BAC ＝∠ EAD .
∴∠ BAC －∠ EAC ＝∠ EAD －∠ EAC ，
即∠ BAE ＝∠ CAD .
（2）∵△ ABC ∽△ AED ，
∴∠ ABC ＝∠ AED .
又∵∠ ABC ＝∠ ABD ＋∠ DBC ，
∠ AED ＝∠ ABD ＋∠ BAE ，
∴∠ DBC ＝∠ BAE ＝25°.
（3）△ ABE ∽△ ACD . 理由如下：
∵ ＝ ，
∴ ＝ .
又∵∠ BAE ＝∠ CAD ，
∴△ ABE ∽△ ACD .
【点拨】当已知条件中（或经过探索后得到）两个三角形的某
两条边或三条边成比例时，可以考虑“三边成比例”或“两边
成比例且夹角相等”来判定这两个三角形相似.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝25， BC ＝40， AC ＝20.在△
ADE 中， AE ＝12， AD ＝15， DE ＝24.求证：△ ADB ∽△ AEC .
证明：在△ ABC 和△ ADE 中，
＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
∴△ ABC ∽△ ADE .
∴∠ BAC ＝∠ DAE .
∴∠ DAB ＝∠ EAC .
又∵ ＝ ＝ ，
∴△ ADB ∽△ AEC .
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ ABC 和△ DEF
的顶点都在格点上，点 P1， P2， P3， P4， P5是△ DEF 边上的5
个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ ABC 为直角三角形；
（2）判断△ DEF 和△ ABC 是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ ABC 相似的三角形，使它的三个顶点为
点 P1， P2， P3， P4， P5中的三个格点.
【思路导航】（1）先求出△ ABC 各边的长度，再根据勾股定理
的逆定理判断即可；（2）先求出△ ABC 与△ DEF 各边的长
度，再根据“三边成比例的两个三角形相似”即可得出结论；
（3）先求出各个边的长度，利用“三边成比例的两个三角形相
似”找到与△ ABC 相似的三角形.
（1）证明：由勾股定理，得
AB2＝22＋42＝20，
AC2＝22＋12＝5，
BC2＝32＋42＝25，
∴ AB2＋ AC2＝ BC2.
∴△ ABC 是直角三角形.
（2）解：△ DEF ∽△ ABC . 理由如下：
由勾股定理，得 DF ＝ ＝2 ， DE ＝ ＝4
， EF ＝ ＝2 .
由（1）知， AB ＝2 ， AC ＝ ， BC ＝5，
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴△ DEF ∽△ ABC .
（3）解：与△ ABC 相似的三角形是△ P2 P4 P5.
【点拨】判断格点中的三角形是否相似，关键是看两个格点三
角形的三条对应边是否成比例.注意“对应关系”：大对大，中
对中，小对小.
如图，已知四边形 ABGH ， BCFG ， CDEF 都是边长为1的正方
形，连接 BH ， CH ， DH ，求证：∠ ABH ＋∠ ACH ＋∠ ADH ＝
90°.
证明：∵四边形 ABGH ， BCFG ，
CDEF 都是边长为1的正方形，∴在△ HBC 中， BC ＝1，
BH ＝ ＝ ， HC ＝ ＝ ；在△ DBH 中， BH ＝ ， BD ＝2， HD ＝ ＝ .
∴ ＝ ＝ ＝ .∴△ HBC ∽△ DBH .
∴∠ ACH ＝∠ DHB .
∴∠ ACH ＋∠ ADH ＝∠ DHB ＋∠ ADH ＝∠ ABH .
又∵∠ ABH ＝45°，∴∠ ABH ＋∠ ACH ＋∠ ADH ＝90°.
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第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 相似三角形的定义.
分别相等、 成比例的两个三角形叫做相似三
角形.
2. 相似三角形的性质.
相似三角形的对应角 ，对应边 .
3. 相似三角形的判定定理一.
角分别相等的两个三角形相似.
三角
三边
相等
成比例
两
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0 2
典例讲练
（1）如图，在△ ABC 中， CE ⊥ AB ，垂足为 E ， BD ⊥ AC ，垂
足为 D ， CE 与 BD 交于点 F ，则图中与△ ABD 相似的三角形
有 .
△ FBE ，△ ACE ，△ FCD
【思路导航】根据两角分别相等的两个三角形相似，在图中先
找相等的角，再找与△ ABD 相似的三角形.
【解析】∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ，
∴∠ AEC ＝∠ ADB ＝90°，∠ BEF ＝∠ CDF ＝90°.
∵∠ ABD ＝∠ FBE ，∠ ADB ＝∠ FEB ，
∴△ ABD ∽△ FBE .
∵∠ A ＝∠ A ，∠ ADB ＝∠ AEC ，
∴△ ABD ∽△ ACE .
∵∠ ACE ＝∠ FCD ，∠ AEC ＝∠ FDC ，
∴△ ACE ∽△ FCD .
∴△ ABD ∽△ FBE ∽△ ACE ∽△ FCD .
故答案为△ FBE ，△ ACE ， △ FCD .
【点拨】利用两角判定两个三角形相似时，关键是在图中找相
等的角.同时，需要注意公共角这一隐含的条件，如此题中∠
ABD ＝∠ FBE . 常见的隐含条件还有直角相等，对顶角相等.
（2）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件：
（填一个即可），使△ ABC ∽△ ADE 成立.
∠ B ＝∠ D （或
∠ C ＝∠ AED ）
【思路导航】这是一个开放性的题目，只要添加一对角相等，
利用“两角分别相等的两个三角形相似”就可以得到两个三角
形相似.
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ BAE ＝∠2＋∠ BAE ，
即∠ BAC ＝∠ DAE .
由∠ B ＝∠ D ，∠ BAC ＝∠ DAE 可得，
△ ABC ∽△ ADE .
同理，由∠ C ＝∠ AED ，∠ BAC ＝∠ DAE ，
可得△ ABC ∽△ ADE .
故答案为∠ B ＝∠ D （或∠ C ＝∠ AED ）.
【点拨】对于此类开放性问题，先看结论，再找条件，关键是
根据结论去找两对等角.找相等角的技巧是“对应顶点的对应角
相等”，如：根据△ ABC ∽△ ADE ，“A”与“A”对应，那
么一定有∠ BAC ＝∠ DAE .
1. 如图，点 E 是 ABCD 的边 BC 的延长线上一点，连接 AE 交
CD 于点 F ，则图中共有相似三角形（ B ）
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
（第1题图）
B
2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 AC 上（点 D 不与 A ， C 两点
重合）.再添加一个条件：
（填一个即可），就可证出△ ABD ∽△ ACB .
（第2题图）
∠ ABD ＝∠ C （或∠ ADB ＝
∠ ABC ）
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 M 为 BC 上一点，点 F 是 AM
的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于点 E ，交 DC
于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；
（2）若 AB ＝12， BM ＝5，求 DE 的长.
【思路导航】（1）根据正方形的性质和已知条件得到两组相等
的角，再利用相似三角形的判定定理即可证明结论成立；（2）
利用相似三角形的性质求出 AE 的长，再求得 DE 的长.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ B ＝90°， AD ∥ BC .
∴∠ AMB ＝∠ EAF .
∵ EF ⊥ AM ，
∴∠ AFE ＝90°.
∴∠ B ＝∠ AFE ＝90°.
∴△ ABM ∽△ EFA .
（2）解：∵∠ B ＝90°， AB ＝12， BM ＝5，
∴ AM ＝13， AD ＝12.
∵点 F 是 AM 的中点，
∴ AF ＝ AM ＝6.5.
∵△ ABM ∽△ EFA ，
∴ ＝ ，
即 ＝ .
解得 AE ＝16.9.∴ DE ＝ AE － AD ＝4.9.
【点拨】在两个三角形中找两组相等的角，是证明两个三角形
相似的基本方法.
（1）∠ EAF ＝∠ B ；
如图，已知 AB ∥ CD ， AD ， BC 相交于点 E ，点 F 为 EC 上一
点，且∠ EAF ＝∠ C . 求证：
证明：（1）∵ AB ∥ CD ，
∴∠ B ＝∠ C .
又∵∠ EAF ＝∠ C ，
∴∠ EAF ＝∠ B .
（2） AF2＝ EF · FB .
（2）∵∠ EFA ＝∠ AFB ，∠ EAF ＝∠ B ，
∴△ EFA ∽△ AFB .
∴ ＝ .
∴ AF2＝ EF · FB .
如图， 在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D .
（1）求证： AD2＝ BD · CD ；
（2）若 BD ＝30， CD ＝20，求 AB 与 AC 的长.
【思路导航】（1）先证明△ ABD 与△ CAD 相似，再利用相似
三角形的对应边成比例即可证明；（2）分别证明△ ABD ∽△
CBA ，△ CAD ∽△ CBA ，再利用相似三角形的对应边成比例列
式即可求出 AB 和 AC 的长.
（1）证明：∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D ，
∴∠ B ＋∠ BAD ＝90°，∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°.
∴∠ B ＝∠ DAC .
又∵∠ BDA ＝∠ ADC ＝90°，
∴△ ABD ∽△ CAD . ∴ ＝ .
∴ AD2＝ BD · CD .
（2）解：∵∠ B ＝∠ B ，∠ ADB ＝∠ CAB ＝90°，
∴△ ABD ∽△ CBA . ∴ ＝ .
∴ AB2＝ BD · BC ＝ BD ·（ BD ＋ CD ）.
又∵ BD ＝30， CD ＝20，∴ AB2＝1 500.
∴ AB ＝10 .∵∠ C ＝∠ C ，
∠ ADC ＝∠ BAC ＝90°，∴△ CAD ∽△ CBA . ∴ ＝ .
∴ AC2＝ CD · BC ＝20×50＝1 000.
∴ AC ＝10 .
【点拨】（1）“三点定形法”找相似三角形：①先将等积式转
化为比例式，如 AD2＝ BD · CD 转化为 ＝ ；②横看：分子
AD ， CD 来源于△ ACD ，分母 BD ， AD 来源于△ ABD ，因此考
虑证明△ ACD 与△ ABD 相似（或竖看：定位△ ABD 与△
ACD ）.
（2）由本题的图形结构可以得到三个重要等积式（俗称射影定
理）：① AD2＝ BD · CD ；② AB2＝ BD · BC ；③ AC2＝ CD · BC .
在该图形中，只要知道其中两条线段的长度，就可以求出其他
线段的长度.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 P ， D 分别是 BC ， AC
边上的点，且∠ APD ＝∠ B .
（1）求证： AC · CD ＝ CP · BP ；
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C .
∵∠ APD ＝∠ B ，∴∠ APD ＝∠ B ＝∠ C .
∵∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ B ，
∠ APC ＝∠ APD ＋∠ DPC ，∴∠ BAP ＝∠ DPC .
∴△ ABP ∽△ PCD .
∴ ＝ .
∴ AB · CD ＝ CP · BP .
又∵ AB ＝ AC ，
∴ AC · CD ＝ CP · BP .
（2）若 AB ＝10， BC ＝12，当 PD ∥ AB 时，求 BP 的长.
（2）解：∵ PD ∥ AB ，∴∠ APD ＝∠ BAP .
∵∠ APD ＝∠ C ，∴∠ BAP ＝∠ C .
又∵∠ B ＝∠ B ，
∴△ BAP ∽△ BCA .
∴ ＝ .
∵ AB ＝10， BC ＝12，
∴ ＝ .∴ BP ＝ .
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第四章 图形的相似
1 成比例线段（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
比例的等比性质.
如果 ＝ ＝…＝ （ ），那么
＝ .
注：如果 ＝ ，那么 ＝ .（合比性质）
b ＋ d ＋…＋ n ≠0
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）已知 ＝ ，则 的值是 .
【思路导航】利用比例的合比性质直接进行计算即可.
【解析】∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
故答案为 .
【点拨】此题还可以根据 x ， y 的关系，用设参法进行求解.设 x
＝3 k ， y ＝2 k ，则 ＝ ＝ .
（2）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ ABC 与△ EDC
的周长之比为 .
【思路导航】分别求出各边的比，再利用等比性质进行计算
即可.
2∶1
【解析】 由图可知， ＝ ＝ ＝2，
∴ ＝ ＝2.
故答案为2∶1.
【点拨】根据等比性质，若两个三角形的三边长对应成比例，
则这两个三角形的周长比等于对应边长之比.
1. 已知 ＝ ＝ （ b ＋ d ＋5≠0），则 的值为 .
2. 已知 ＝ ，则 的值是 .
在△ ABC 和△ DEF 中，已知 ＝ ＝ ＝ ，且△ DEF 和△
ABC 的周长之差为15 cm，求△ ABC 和△ DEF 的周长.
【思路导航】设△ ABC 和△ DEF 的周长分别是 x cm和 y cm，构
建方程组即可解决问题.
解：设△ ABC 和△ DEF 的周长分别是 x cm和 y cm.
∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
即 x ＝ y .①
由题意，得 y － x ＝15.②
将①代入②，得 y － y ＝15.
解得 y ＝45.
将 y ＝45代入①，得 x ＝30.
故△ ABC 和△ DEF 的周长分别是30 cm和45 cm.
【点拨】利用等比性质将原三角形边长间的关系转化为周长间
的关系是解题的关键.
已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且 ＝ ＝ ，试判断
△ ABC 的形状，并说明理由.
解：△ ABC 为等边三角形.理由如下：
∵ a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，∴ a ＋ b ＋ c ≠0.
∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝0.
∴ a － b ＝0， b － c ＝0， c － a ＝0.∴ a ＝ b ＝ c .
∴△ ABC 为等边三角形.
已知 a ， b ， c 满足 ＝ ＝ ＝ k ，从点 ，
（2，1）， ，（1，－1）中任意取一点恰好在正比例函
数 y ＝ kx 的图象上的概率是多少？
【思路导航】根据条件先求出 k 的值，进而求得正比例函数的表
达式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判断四个
点，进而利用概率公式求解.
解：由题可知， ＝ ＝ ＝ k .
①当 a ＋ b ＋ c ＝0，即 a ＋ c ＝－ b 时，则 k ＝－1.
此时正比例函数的表达式为 y ＝－ x .
将四个点的坐标代入函数表达式，仅点（1，－1）在正比例函
数 y ＝－ x 的图象上，
∴ P （所取的点在 y ＝ kx 的图象上）＝ .
②当 a ＋ b ＋ c ≠0时，
则 k ＝ ＝ ＝ .
∴正比例函数的表达式为 y ＝ x .
将四个点的坐标代入函数表达式，点 和点（2，1）在正
比例函数 y ＝ x 的图象上，
∴ P （所取的点在 y ＝ kx 的图象上）＝ .
综上所述，任意取一点恰好在正比例函数 y ＝ kx 的图象上的概
率是 或 .
【点拨】本题涉及等比性质、正比例函数图象上点的坐标特
征、概率求解公式等内容，能分类求解 k 的值是解题的关键.注
意：运用等比性质前要讨论分母是否为0.
若 ＝ ＝ ＝ k 成立，则一次函数 y ＝ kx － k
的图象一定经过哪些象限？
解：①当 a ＋ b ＋ c ≠0时，
∵ ＝ ＝ ＝ k ，
∴ ＝ ＝1.∴ k ＝1.
∴一次函数 y ＝ kx － k 的图象经过第一、三、四象限.
②当 a ＋ b ＋ c ＝0时，则 a ＋ b ＝－ c .
∵ ＝ ＝ ＝ k ，
∴ k ＝－2.
∴一次函数 y ＝ kx － k 的图象经过第一、二、四象限.
综上所述，一次函数 y ＝ kx － k 的图象一定经过的象限是第一、
四象限.
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第四章 图形的相似
回顾与思考
数学 九年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
要点回顾
1. 成比例线段的相关定义.
（1）比例线段：在四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的
比 c 与 d 的比，即 ＝ ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d
叫做成比例线段，简称比例线段.
（2）比例的基本性质.
①如果 ＝ ，那么 .如果 （ a ， b ， c ，
d 都不等于0），那么 ＝ .
等于
ad ＝ bc
ad ＝ bc
②合比性质：如果 ＝ ，那么 ＝ ， ＝ （ a ± b
≠0， c ± d ≠0）.
③等比性质：如果 ＝ ＝…＝ （ b ＋ d ＋…＋ n ≠0），那么
＝ .
注意：在使用等比性质时，一定注意分为 b ＋ d ＋…＋ n ≠0和 b
＋ d ＋…＋ n ＝0两种情况.
（3）黄金分割：如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ AC ＞
BC ），那么 AC ∶ AB ＝ ∶ ＝ ≈0.618.
BC
AC
2. 平行线分线段成比例.
（1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例.
（2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的
对应线段成比例.
（3）基本图形：
3. 相似三角形的判定及性质.
（1）相似三角形的判定.
①定理一：两角分别 的两个三角形相似（最常用的判
定）.
②定理二：两边成比例且 相等的两个三角形相似.
③定理三：三边 的两个三角形相似.
相等
夹角
成比例
（2）相似多边形的判定：每个角对应相等、每条边对应成比例
的多边形相似.
（3）相似三角形（多边形）的性质.
①定理一：相似三角形 的比、 的
比和 的比都等于相似比.
②定理二：相似三角形（多边形）的周长比等于 ，
面积比等于 .
对应高
对应角平分线
对应中线
相似比
相似比的平方
4. 图形的位似.
（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P '所
在的直线都经过同一点 O ，且有 OP '＝ k · OP （ k ≠0），那么这
样的两个多边形叫做 ，这个点 O 叫做
， k 就是这两个相似多边形的相似比，每组位似对应点与位
似中心共线.
（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列
性质：①对应顶点的连线经过位似中心；②对应边平行或在同
一条直线上； ③对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.
位似多边形
位似中
心
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 成比例线段与黄金分割
（1）下面四组线段中，成比例的是（ B ）
A. a ＝2， b ＝3， c ＝4， d ＝5
B. a ＝1， b ＝2， c ＝2， d ＝4
C. a ＝4， b ＝6， c ＝5， d ＝10
D. a ＝ ， b ＝ ， c ＝3， d ＝
B
【思路导航】若其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘
积，则四条线段成比例线段.对选项进行一一分析，排除错误
答案.
【解析】A. 2×5＝10，3×4＝12，则这四条线段不成比例线
段；B. 1×4＝4，2×2＝4，则这四条线段成比例线段；C.
4×10＝40，5×6＝30，则这四条线段不成比例线段；D. ×3
＝3 ， × ＝ ，则这四条线段不成比例线段.故选B.
【点拨】根据成比例线段的定义，注意在相乘的时候，最长的
和最短的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.若线段带
单位，注意单位要统一.
（2）已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，当 MN ＝1时， PM 的
长是 .
【思路导航】分 PM ＞ PN 和 PM ＜ PN 两种情况，根据黄金
比计算.
或
【解析】当 PM ＞ PN 时，
PM ＝ MN ＝ ；
当 PM ＜ PN 时，
PM ＝ MN － MN ＝ .
故答案为 或 .
【点拨】掌握“黄金比为 ”是解题的关键.若题目中没有给
出分割后线段的长短，则需要进行分类讨论.
1. 已知线段 a ， b ， c ， d 是成比例线段，其中 b ＝3 cm， d ＝4
cm， c ＝6 cm，则线段 a 的长度可能为（ B ）
A. 5 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 1 cm
2. 若乐器上一根弦 AB ＝80 cm，两端点 A ， B 固定在乐器板面
上，期间支撑点 C 是 AB 的黄金分割点（ AC ＞ BC ），则 BC 的
长是（ C ）
A. （40 －40）cm B. （40 －80）cm
C. （120－40 ）cm D. （120＋40 ）cm
B
C
要点二 平行线分线段成比例
如图，已知直线 l1∥ l2∥ l3， AC 分别交 l1， l2， l3于点 A ，
B ， C ； DF 分别交 l1， l2， l3于点 D ， E ， F ， AC 与 DF 交于点
O ，且 DE ＝3， EF ＝6， AB ＝4.
（1）求 AC 的长；
（2）若 BE ∶ CF ＝1∶3，求 的值.
【思路导航】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式
解答；（2）利用相似三角形的性质，列出比例式解答.
解：（1）∵ l1∥ l2∥ l3，
∴ ＝ ，即 ＝ .解得 AC ＝12.
（2）∵ l2∥ l3，
∴△ BOE ∽△ COF .
∴ ＝ ＝ .
∵ AB ＝4， AC ＝12，
∴ BC ＝8.∴ OB ＝2.
∴ ＝ ＝ .
【点拨】此题考查了平行线分线段成比例与相似三角形的性
质，这两者有所区别.其中，第（2）问涉及 BE ， CF ，但 BE ，
CF 并不是被平行线截得的线段，考虑利用相似三角形的性质进
行解答.
如图，在△ ABC 中，已知 DE ∥ BC ， EF ∥ AB ，且 AD ∶ DB ＝
3∶2， BC ＝25，求 FC 的长.
解：∵ DE ∥ BC ，
∴ EC ∶ AE ＝ BD ∶ AD .
∵ EF ∥ AB ，∴ EC ∶ AE ＝ FC ∶ BF .
∴ FC ∶ BF ＝ BD ∶ AD .
∵ AD ∶ DB ＝3∶2，
∴ BD ∶ AD ＝2∶3.
∴ FC ∶ BF ＝2∶3.
∴ FC ∶ BC ＝2∶5，即 FC ∶25＝2∶5.
∴ FC ＝10.
要点三 相似多边形
如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 A1 B1 C1 D1，∠ A ＝80°，
∠ B ＝75°，∠ C ＝125°，求∠ D1的度数以及 x 的值.
【思路导航】根据四边形的内角和等于360°求出∠ D 的度数，
再根据相似多边形的对应角相等可得∠ D1＝∠ D ；根据相似多
边形对应边成比例列式即可求得 x 的值.
解：∵∠ A ＝80°，∠ B ＝75°，∠ C ＝125°，
∴∠ D ＝360°－80°－75°－125°＝80°.
∵四边形 ABCD ∽四边形 A1 B1 C1 D1，
∴∠ D1＝∠ D ＝80°， ＝ .
∴ x ＝10.
【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边
形对应角相等、对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键.
如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 A ' B ' C ' D '，求 x ， y 的值以及
∠ C '的度数.
解：∵四边形 ABCD ∽四边形 A ' B ' C ' D '，
∴ ＝ ＝ ，∠ C ＝∠ C '，∠ D ＝∠ D '＝140°.
∴ x ＝12， y ＝ ，∠ C '＝∠ C ＝360°－∠ A －∠ B －∠ D ＝
360°－62°－75°－140°＝83°.
要点四 相似三角形的性质与判定
（1）如图，点 P 是正方形 ABCD 的边 AB 上一点（不与点
A ， B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 按顺时针方向旋转
90°得到线段 PE ， PE 交边 BC 于点 F ，连接 BE ， DF .
①若∠ ADP ＝32°，求∠ FPB 的度数；
②若△ PFD ∽△ BFP ，求 的值.
【思路导航】①根据∠ ADP 与∠ EPB 都是∠ APD 的余角，即可
求出∠ FPB 的度数；②由△ PFD ∽△ BFP 可得 ＝ ，再判
定△ APD ∽△ BFP ，进而可得到 AP ＝ BP ，即可求得 的值.
解：①∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ A ＝∠ PBC ＝90°， AB ＝ AD .
∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°.
由题意可知，∠ DPE ＝90°，
∴∠ APD ＋∠ FPB ＝90°.
∴∠ FPB ＝∠ ADP ＝32°.
②∵△ PFD ∽△ BFP ，∴ ＝ .
∵∠ A ＝∠ PBC ，∠ ADP ＝∠ FPB ，
∴△ APD ∽△ BFP .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ ＝ .∴ AP ＝ BP . ∴ ＝ .
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判
定与性质，正确应用三角形相似的性质是解题的关键.
（2）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝10 cm， BC ＝8
cm.点 P 从点 C 出发，以2 cm/s的速度沿 CA 向点 A 匀速运动，同
时点 Q 从点 B 出发，以1 cm/s的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，当
一个点到达终点时，另一个点随之停止.经过几秒，△ PCQ 与△
ABC 相似？
【思路导航】根据相似三角形的判定分两种情况讨论，再求出
时间即可.
解：设经过 t s，△ PCQ 与△ ABC 相似.
∵∠ C ＝∠ C ，
∴分为两种情况：
① ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ ；
② ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ .
故经过 s或 s时，△ PCQ 与△ ABC 相似.
【点拨】本题考查相似三角形中的动点问题，解决此类问题时
一定要注意三角形相似时的对应边，若对应边不确定时，要注
意进行分类讨论.
1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任意一点，连接
AM 并将线段 AM 绕点 M 按顺时针方向旋转90°得到线段 NM ，与
CD 交于点 Q . 在 CD 边上取点 P 使 CP ＝ BM ，连接 NP ， BP ，
AQ .
（1）求证： BP ＝ MN ；
证明：（1）在正方形 ABCD 中，
AB ＝ BC ，∠ ABC ＝∠ C .
在△ ABM 和△ BCP 中，，
∴△ ABM ≌△ BCP （SAS）.∴ AM ＝ BP .
∵将线段 AM 绕点 M 按顺时针方向旋转90°
得到线段 NM ，
∴ MN ＝ AM . ∴ BP ＝ MN .
（2）若△ MCQ ∽△ AMQ ，求证： BM ＝ MC .
证明：（2）∵∠ BAM ＋∠ AMB ＝90°，
∠ AMB ＋∠ CMQ ＝90°，
∴∠ BAM ＝∠ CMQ .
又∵∠ ABM ＝∠ C ＝90°，
∴△ ABM ∽△ MCQ . ∴ ＝ .
∵△ MCQ ∽△ AMQ ，∴△ ABM ∽△ AMQ .
∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .∴ BM ＝ MC .
2. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝10 cm， BC ＝16
cm.点 D 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 匀速运动，同时点 E 从点 B
出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，连接
DE . 设运动时间为 t （s）（0＜ t ＜10）.解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，△ BDE 的面积为7.5 cm2？
解：（1）如图，分别过点 D ，
A 作 DF ⊥ BC ， AG ⊥ BC ，垂足分别为 F ， G .
∴ DF ∥ AG . ∴ ＝ .
∵ AB ＝ AC ＝10 cm， BC ＝16 cm，
∴ BG ＝8 cm.∴ AG ＝6 cm.
∵ AD ＝ BE ＝ t cm，∴ BD ＝（10－ t ）cm.
∴ ＝ .∴ DF ＝ （10－ t ）cm.
∵ ＝ BE ·
DF ＝7.5，
∴ t · （10－ t ）＝15.化简，
得 t2－10 t ＋25＝0，解得 t1＝ t2＝5.
即当 t ＝5时，△ BDE 的面积为7.5 cm2.
（2）在点 D ， E 的运动过程中，是否存在时间 t ，使得△ BDE
与△ ABC 相似？若存在，请求出对应的 t 的值；若不存在，请说
明理由.
解：（2）存在.理由如下：
①当 BE ＝ DE 时，△ BDE ∽△ BCA ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ ；
②当 BD ＝ DE 时，△ BDE ∽△ BAC ，∴ ＝ ，
即 ＝ ，解得 t ＝ .综上所述， t ＝ 或 时，
△ BDE 与△ ABC 相似.
要点五 相似三角形的实际应用
学习了相似三角形的相关知识后，小明和同学们想利用
“标杆”测量大楼的高度.如图1，小明站立在地面点 F 处，他的
同学在点 B 处竖立“标杆” AB ，使小明的头顶点 E 、杆顶点
A 、楼顶点 C 在一条直线上（点 F ， B ， D 也在一条直线上）.已
知小明的身高 EF ＝1.5 m，“标杆” AB ＝2.5 m， BD ＝23 m，
FB ＝2 m.
图1
（1）求大楼 CD 的高度（ CD 垂直于地面 BD ）；
图1
（2）如图2，小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可
以用同样的方法测得楼 CD 上点 G 的高度 GD ＝11.5 m，则相对
于第一次测量，标杆 AB 应该向大楼方向移动多少米？
图2
【思路导航】（1）过点 E 作 EH ⊥ CD 于点 H ，交 AB 于点 J ，则
四边形 EFBJ 和四边形 EFDH 都是矩形，利用相似三角形的性质
求出 CH ，即可得出结论；（2）过点 E 作 ET ⊥ CD 于点 T ，交
移动后的标杆于点 R ，利用相似三角形的性质求解即可.
解：（1）如图1，过点 E 作 EH ⊥ CD 于点 H ，交 AB 于点 J ，则
四边形 EFBJ 和四边形 EFDH 都是矩形.
∴ BJ ＝ DH ＝ EF ＝1.5 m， EJ ＝ FB ＝2 m， JH ＝ BD ＝23 m.
∵ AB ＝2.5 m，
图1
∴ AJ ＝ AB － BJ ＝2.5－1.5＝1（m）.
∵ AJ ∥ CH ，
∴△ EAJ ∽△ ECH .
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴ CH ＝12.5 m.
∴ CD ＝ CH ＋ DH ＝12.5＋1.5＝14（m）.
故大楼 CD 的高度为14 m.
（2）设标杆 AB 移动至 A1 B1处.如图2，过点 E 作 ET ⊥ CD 于点
T ，交 A1 B1于点 R . 设 B1 F ＝ x m.
∵ A1 R ∥ GT ，∴△ EA1 R ∽△ EGT .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ x ＝2.5.
∴标杆 AB 应该向大楼方向移动2.5－2＝0.5（m）.
图2
图2
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造相似三角形.属于中考常考题型.
如图，小丁家窗外有一堵围墙 AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳
光恰好从窗户的最高点 C 射进房间地面的 D 处，中午太阳光恰
好能从窗户的最低点 E 射进房间地面的 F 处， AB ⊥ BD 于点 B ，
CE ⊥ BD 于点 O ，小丁测得 OE ＝1 m， CE ＝1.5 m， OF ＝1.2
m， OD ＝12 m，求围墙 AB 的高度.
解：∵ EO ⊥ BF ，∴∠ FOE ＝90°.
∵ AB ⊥ BF ， CO ⊥ BF ，
∴ AB ∥ CO .
∴△ ABD ∽△ COD ，△ ABF ∽△ EOF .
∴ ＝ ， ＝ .
∵ OE ＝1 m， CE ＝1.5 m， OF ＝1.2 m， OD ＝12 m，
∴ ＝ ， ＝ . ∴ AB ＝3 m.
即围墙 AB 的高度是3 m.
要点六 图形的位似
如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 三个顶点的坐标
分别为 A （2，1）， B （1，4）， C （3，2）.请解答下列问
题：
（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1，并直接写出点 C1的
坐标；
（2）以原点 O 为位似中心，相似比为1∶2，在 y 轴的右侧，画
出△ ABC 放大后的△ A2 B2 C2，并直接写出点 C2的坐标；
（3）若点 D （ a ， b ）在线段 BC 上，请直接写出经过（2）的
变化后点 D 的对应点 D2的坐标.
【思路导航】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ ABC 关于 y
轴对称的△ A1 B1 C1，进而得出点 C1的坐标；（2）依据以原点 O
为位似中心，相似比为1∶2，即可得出△ ABC 放大后的△ A2 B2
C2，进而得到点 C2的坐标；（3）依据以原点 O 为位似中心，相
似比为1∶2，即可得出点 D 的对应点 D2的坐标.
解：（1）如图，△ A1 B1 C1即为所求作图形， C1（－3，2）.
（2）如图，△ A2 B2 C2即为所求作图形， C2（6，4）.
（3）∵原点 O 为位似中心，相似比为1∶2， D （ a ， b ），
∴点 D 的对应点 D2的坐标为（2 a ，2 b ）.
【点拨】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位
似的性质得出对应点的位置是解题的关键.
已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A ， B ， C
的坐标分别为（1，0），（4，－1），（3，2）.△ A1 B1 C1与△
ABC 是以点 P 为位似中心的位似图形.
（1）请在图中画出点 P 的位置，并写出点 P 的坐标；
解：（1）如图，点 P 即为所求作的
点，点 P 的坐标为（0，－2）.
（2）以点 O 为位似中心，在 y 轴左侧画出△ ABC 的位似图形△
A2 B2 C2，使相似比为1∶1.若点 M （ a ， b ）为△ ABC 内一点，
请直接写出点 M 在△ A2 B2 C2内的对应点 M2的坐标.
解：（2）如图，△ A2 B2 C2即为所求作
图形，点 M 的对应点 M2的坐标为（－
a ，－ b ）.
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第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质（第二课时）
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课前预习
典例讲练
目录
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0 1
课前预习
1. 相似三角形的周长比等于 .
2. 相似三角形的面积比等于 .
相似比
相似比的平方
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0 2
典例讲练
如图，在 ABCD 中，已知点 E 是边 AD 的中点，连接 BE 并延
长，交 CD 的延长线于点 F ，则△ EDF 与△ BCF 的周长之比
是 .
1∶2
【思路导航】根据平行四边形的性质得出 AD ＝ BC ， AD ∥
BC ，从而得出△ EDF ∽△ BCF ，再得出△ EDF 与△ BCF 的周
长之比为 .
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC . ∴△ EDF ∽△ BCF .
∴△ EDF 与△ BCF 的周长之比为 .
∵点 E 是边 AD 的中点，∴ AD ＝2 ED .
∵ AD ＝ BC ，∴ BC ＝2 ED .
∴△ EDF 与△ BCF 的周长之比是1∶2.
故答案为1∶2.
【点拨】本题考查了平行四边形的对边平行且相等，相似三角
形的周长之比等于相似比.
已知△ ABC ∽△ A ' B ' C '，且相似比为3∶2，且它们的周长之差
为40 cm，则△ A ' B ' C '的周长为 cm.
80
如图，在△ ABC 中，点 D ， F 在边 AB 上，点 E ， G 在边 AC 上，
且 DE ∥ FG ∥ BC . 若 AD ∶ DF ∶ FB ＝1∶2∶3，则 ∶
∶ ＝ .
1∶8∶27
【思路导航】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出
∶ ∶ ，再减掉公共部分即可求出结果.
【解析】∵ DE ∥ FG ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ AFG ∽△ ABC .
∵ AD ∶ DF ∶ FB ＝1∶2∶3，∴ AD ∶ AF ∶ AB ＝1∶3∶6.
∴ S△ ADE ∶ S△ AFG ∶ S△ ABC ＝1∶9∶36.
设△ ADE 的面积为 a ，
则△ AFG 和△ ABC 的面积分别为9 a ，36 a .
∴ 和 分别是8 a ，27 a .
∴ S△ ADE ∶ S四边形 DFGE ∶ S四边形 FBCG ＝1∶8∶27.
故答案为1∶8∶27.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角
形的面积比等于相似比的平方是关键.
如图，在△ ABC 中，已知点 D ， F 在边 AB 上，点 E ， G 在边 AC
上， DE ∥ FG ∥ BC ，且 S△ ADE ＝ S四边形 DFGE ＝ S四边形 FBCG .
（1）求 DE ∶ FG ∶ BC ；
解：（1）∵ DE ∥ FG ∥ BC ，
∴△ ADE ∽△ AFG ∽△ ABC .
∵ S△ ADE ＝ S四边形 DFGE ＝ S四边形 FBCG ，
∴ ＝ ， ＝ .
∵相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，
∴ DE ∶ FG ∶ BC ＝1∶ ∶ .
（2）若 AB ＝10， AC ＝15， BC ＝12，求四边形 DFGE 的周长.
解：（2）∵ ＝ ， BC ＝12，
∴ FG ＝ ＝4 .
∵ ＝ ，∴ DE ＝ ＝4 .
又∵ DE ∶ FG ∶ BC ＝1∶ ∶ ，
∴ AD ∶ AF ∶ AB ＝1∶ ∶ .
又∵ AB ＝10，
∴ AD ＝ ， AF ＝ .
∴ DF ＝ AF － AD ＝ .
同理，可得 GE ＝5 －5 .
∴四边形 DFGE 的周长为 DF ＋ FG ＋ GE ＋ DE ＝ ＋4
＋5 －5 ＋4 ＝ .
某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，
其中 BA ＝ CD ， BC ＝20 cm， BC ， EF 平行于地面 AD 且到地面
AD 的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端 A ， D 之间的
距离为50 cm，则横梁 EF 的长为多少？（材质及其厚度等忽略
不计）
【思路导航】过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H ，交 EF 于点 M ，过点 C
作 CG ⊥ AD 于点 G ，交 EF 于点 N ，根据等腰梯形的性质，先求
出 AH ， GD 的长度，再由△ BEM ∽△ BAH ，可得出 EM 的长
度，进而得出 EF 的长.
解：如图，过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H ，交 EF 于点 M ，过点 C 作
CG ⊥ AD 于点 G ，交 EF 于点 N .
由题意可得， MH ＝8 cm， BH ＝40 cm，则 BM ＝32 cm.
∵ BA ＝ CD ， BC ∥ AD ，
∴四边形 BADC 是等腰梯形.
∴ AH ＝ DG .
∵ BC ∥ AD ， EF ∥ AD ，
∴ BC ∥ EF .
∴四边形 BEFC 是等腰梯形.
∴ EM ＝ NF .
∵ AD ＝50 cm， BC ＝20 cm，
∴ AH ＝ （ AD － BC ）＝15 cm.
∵ EF ∥ AD ，
∴△ BEM ∽△ BAH .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ EM ＝12 cm.
故 EF ＝ EM ＋ MN ＋ NF ＝ EM ＋ BC ＋ NF ＝2 EM ＋ BC ＝44 cm.
故横梁 EF 的长44 cm.
【点拨】本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，在
求得 EM 的长后，切忌忽略横梁 EF 的长为 EM ， NF 与 MN 的长
度之和.
一个小风筝与一个大风筝形状完全相同，它们的形状如图所
示，其中对角线 AC ⊥ BD . 已知它们的对应边之比为1∶3，小风
筝两条对角线的长分别为12 cm和14 cm.
（1）小风筝的面积是多少？
解：（1）∵ AC ⊥ BD ，
∴小风筝的面积为 AC · BD ＝ ×12×14＝84（cm2）.
解：（2）∵小风筝与大风筝形状完全相同，
∴可假设大风筝的四个顶点为 A '， B '， C '， D '，
则有△ ABC ∽△ A ' B ' C '.
∵它们的对应边之比为1∶3，
∴ A ' C '＝3 AC ＝42 cm.
同理，得 B ' D '＝3 BD ＝36 cm.
∴至少需用42＋36＝78（cm）长的材料.
（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支
撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）
（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个
风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）上裁剪下来的，那么从
四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
解：（3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的
面积＝矩形的面积－大风筝的面积＝42×36－
9×84＝756（cm2）.
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第四章 图形的相似
1 成比例线段（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 两条线段的比.
如果选用 量得两条线段 AB ， CD 的长度分
别是 m ， n ，那么这两条线段的比就是 ，即
AB ∶ CD ＝ m ∶ n ，或写成 ＝ .其中，线段 AB ， CD 分别叫
做这个线段比的前项和后项.
注：在地图或工程图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的
比通常称为比例尺.比例尺是特殊的两条线段的比.
同一个长度单位
它们长度的比
2. 成比例线段.
四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，
即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做成比例线段，
简称比例线段.
注：若 a ∶ b ＝ b ∶ c ，则 b 叫做 a 和 c 的比例中项.
3. 比例的基本性质.
如果 ＝ ，那么 ；如果 ad ＝ bc （ a ， b ， c ， d 都
不等于0），那么 .
＝
ad ＝ bc
＝
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0 2
典例讲练
下列各组线段中，不能成比例的是（ C ）
A. a ＝4， b ＝8， c ＝5， d ＝10
B. a ＝2， b ＝2 ， c ＝ ， d ＝5
C. a ＝1， b ＝2， c ＝3， d ＝4
D. a ＝1， b ＝2， c ＝2， d ＝4
【思路导航】根据比例线段的定义及比例的基本性质，计算最
长和最短的两条线段之积与另外两条线段之积，看它们是否相
等即可得出答案.
C
【解析】A. 4×10＝8×5；B. 2×5＝2 × ；C.
1×4≠2×3；D. 1×4＝2×2.于是可以判定C选项中的四条线段
不能成比例.故选C.
【点拨】判定四条线段成比例的基本步骤：（1）化：将四条线
段长度的单位统一；（2）排：将四条线段的长度按从小到大
（或从大到小）的顺序排列；（3）算：计算最长和最短的两条
线段之积与另外两条线段之积；（4）判：若乘积相等，则四条
线段成比例.
1. 已知线段 a ＝2， b ＝4，线段 a ， c ， c ， b 是成比例线段，则
线段 c 的长为（ C ）
A. 3 B. ±2
C. 2 D.
C
2. 已知 P 是线段 AB 上的一点，且 AP ∶ PB ＝2∶3，则 BP ∶ AB
＝ .
3∶5
如图，有一块矩形绸布 ABCD ，按照图中所示的方式将长边三
等分，裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面矩形彩旗
的短边与长边的比等于原绸布的短边与长边的比.请问：原矩形
绸布的长边与短边有怎样的数量关系？
【思路导航】根据大、小两个矩形的短边与长边的比相等列出
比例，再利用比例的基本性质求解.
解：由题意，得 AE ＝ AB ， ＝ .
∴ ＝ ，
即3 AD2＝ AB2.
∴ AB ＝ AD .
∴原矩形绸布的长边是短边的 倍.
【点拨】利用比例的基本性质解决实际问题，关键在于根据题
意正确列出比例等式，将“比例式”（ ＝ ）转化为“等积
式”（ ad ＝ bc ）.
如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（ EF 为折痕），得到两
个全等的小矩形.如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边
与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？
解：根据题意，得 AE ＝ AB ， ＝ .
∴ AD2＝ AE · AB ＝ AB2.
∴ ＝2.
∴ ＝ （负值舍去）.
∴原来矩形的长边与短边的比是 ∶1.
已知三条线段的长度分别为1， ，3，请你再添加一条线段，
使它们能构成成比例线段.
【思路导航】按添加线段的长度分类讨论.根据成比例线段的定
义列出比例，即可求出添加的线段的长度.
解：（方法一）设所添加的线段的长度为 x .
①若 ＝ ，则 x ＝3 ；
②若 ＝ ，则 x ＝ ；
③若 ＝ ，则 x ＝ ；
④若 ＝ ，则 x ＝ .故添加的线段的长度为3 或 或 .
（方法二）设所添加的线段的长度为 x .
①若1· x ＝ ×3，则 x ＝3 ；
②若 · x ＝1×3，则 x ＝ ；
③若3· x ＝1× ，则 x ＝ .故添加的线段的长度为3 ，
或 .
【点拨】已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，
但成比例线段有顺序之分，因此要分情况讨论第四条线段的长
度，如方法二中，①中 x 最长，②中 x 长度中等，③中 x 最短.
已知三条线段的长度分别是3，4，6，试求另一条线段的长度，
使这四条线段是成比例线段.
解：设另一条线段的长度为 x .
根据题意，得 ＝ 或 ＝ 或 ＝ 或 ＝ .
解得 x ＝8或 x ＝ 或 x ＝2.
故另一条线段的长度为8或 或2.
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第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
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课前预习
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0 1
课前预习
1. 测量原理.
相似三角形对应边成比例.
2. 测量旗杆（或者路灯杆）高度的三种方法.
（1）利用阳光下的影子（同一时刻、同一地点物体的高度与影
长成比例，即 ＝ ）；
（2）利用标杆（利用“A”型图）；
（3）利用镜子反射（利用“X”型图）.
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0 2
典例讲练
如图， AB 表示一个窗户的高， AE 和 BD 表示射入室内的光线，
窗户的下端到地面的距离 BC ＝1.2 m.已知某一时刻 BC 在地面上
的影长 CD ＝1.8 m， AC 在地面上的影长 CE ＝4.8 m，求窗户的
高度（即 AB 的长）.
【思路导航】阳光可认为是一束平行光，则 BD 与 AE 平行，由
此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出 AC 的
长，从而求出 AB 的长，即窗户的高度.
解：∵ BD ∥ AE ，∴△ CBD ∽△ CAE .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ AC ＝3.2 m.
∴ AB ＝ AC － BC ＝2 m.
∴窗户的高度是2 m.
【点拨】解答此题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边
成比例，建立适当的数学模型.
1. 如图，小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 BA
为15 m，然后在点 A 处竖立一根高2 m的标杆，测得标杆的影长
AC 为3 m，则楼高为（ A ）
A. 10 m B. 12 m
C. 15 m D. 22.5 m
（第1题图）
A
2. 如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高1.5m，测
得 AB ＝2m， BC ＝14m，则楼高 CD 为 m.
（第2题图）
12
在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测
量方法是：拿一根高3.5 m的竹竿直立在离旗杆27 m的点 C 处
（如图），然后沿 BC 方向走到点 D 处，这时目测旗杆顶部 A 与
竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C ， D 两点的距离为3 m，小芳的目高为1.5 m，利用她所测数据，求旗杆的高.
【思路导航】过点 F 作 FG ⊥ AB 于点 G ，交 CE 于点 H ，利用相
似三角形的判定得出△ AGF ∽△ EHF ，再利用相似三角形的性
质即可求出旗杆的高.
解：设旗杆高 AB ＝ x m.如图，过点 F 作 FG ⊥ AB 于点 G ，交 CE
于点 H .
由题意可知， CE ∥ AB ，
∴△ AGF ∽△ EHF .
由题意可知， FD ＝1.5 m， HF ＝ CD ＝3 m，
∴ GF ＝27＋3＝30（m）， EH ＝3.5－1.5＝2（m）， AG ＝（ x
－1.5）m.
由△ AGF ∽△ EHF ，得 ＝ ，
∴ ＝ .解得 x ＝21.5.
故旗杆的高为21.5 m.
【点拨】解决此题的关键是在正确理解题意的基础上，建立数
学模型，利用相似三角形的对应边成比例解决问题.
如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹
竿竖直放置时影长为1.5 m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因
旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，
他测得落在地面上的影长为21 m，留在墙上的影高为2 m，求旗
杆的高度.
解：如答图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ，连接 AC .
∵ CD ⊥ BD ， AB ⊥ BD ，
∴∠ EBD ＝∠ CDB ＝∠ CEB ＝90°.
∴四边形 BDCE 为矩形.
∴ CE ＝ BD ＝21 m， BE ＝ CD ＝2 m.
设 AE ＝ x m.
则1∶1.5＝ x ∶21，解得 x ＝14.
∴ AB ＝ AE ＋ BE ＝14＋2＝16（m）.
故旗杆的高度为16 m.
答图
如图，为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上
点 C 处直立高3m的竹竿 CD ，然后退到点 E 处，此时恰好看到竹
竿顶端 D 与电线杆顶端 B 重合；小亮又在点 C1处直立高3m的竹
竿 C1 D1，然后退到点 E1处，此时恰好看到竹竿顶端 D1与电线杆
顶端 B 重合.小亮的眼睛离地面的高度 EF ＝1.5m，量得 CE ＝
2m， EC1＝6m， C1 E1＝3m.
（1）△ FDM ∽ ，
△ F1 D1 N ∽ ；
（2）求电线杆 AB 的高度.
△ FBG
△ F1 BG
【思路导航】（1）根据平行线可找相似三角形；（2）利用相
似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得 BG 的
长，即可求得 AB 的长.
（1）【解析】∵ DC ⊥ AE1， D1 C1⊥ AE1， BA ⊥ AE1，∴ DC ∥
D1 C1∥ BA . ∴△ FDM ∽△ FBG ，△ F1 D1 N ∽△ F1 BG . 故答案
为△ FBG ，△ F1 BG .
（2）解：由（1）知，△ F1 D1 N ∽△ F1 BG ，
△ FDM ∽△ FBG ，∴ ＝ ， ＝ .
又∵ D1 N ＝ DM ，∴ ＝ ，
即 ＝ .∴ GM ＝16m.
∵ ＝ ，∴ ＝ .
∴ BG ＝13.5m.∴ AB ＝ BG ＋ GA ＝15m.
故电线杆 AB 的高度为15m.
【点拨】解这类题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题
只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用对应边成比例列出
方程即可求解.
如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树 OE 的高度，先在
操场上点 A 处放一面平面镜，从点 A 处后退1 m到点 B 处，恰好
在平面镜中看到树的顶部 E 的像；再将平面镜向后移动4 m，放
在点 C 处（即 AC ＝4 m），从点 C 处向后退1.5 m到点 D 处，恰
好再次在平面镜中看到大树的顶部 E 的像，测得强强的眼睛距
地面的高度 FB ， GD 为1.5 m.已知点 O ， A ， B ， C ， D 在同一
水平线上，且 GD ⊥ OD ， FB ⊥ OD ， EO ⊥ OD . 求大树 OE 的
高度.（平面镜的厚度忽略不计）
解：由题意可知， AB ＝1 m，
CD ＝1.5 m， AC ＝4 m， FB ＝ GD ＝1.5 m，
∠ AOE ＝∠ ABF ＝∠ CDG ＝90°，∠ BAF ＝∠ OAE ，
∠ DCG ＝∠ OCE . ∵∠ BAF ＝∠ OAE ，
∠ ABF ＝∠ AOE ，∴△ BAF ∽△ OAE .
∴ ＝ ，即 ＝ .∴ EO ＝1.5 AO .
∵∠ DCG ＝∠ OCE ，∠ CDG ＝∠ COE ，
∴△ GDC ∽△ EOC .
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ EO ＝ AO ＋4.
∴1.5 AO ＝ AO ＋4.
∴ AO ＝8 m， EO ＝12 m.
即大树 OE 的高度为12 m.
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第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
◎要点归纳
相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线
的比都等于 .
相似比
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0 2
典例讲练
如图，已知△ ABC ∽△ A ' B ' C '，且△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似
比为 k .点 D ， E 在边 BC 上，点 D '， E '在边 B ' C '上.
（1）若∠ BAD ＝ ∠ BAC ，∠ B ' A ' D '＝ ∠ B ' A ' C '，求
的值；
（2）若 BE ＝ BC ， B ' E '＝ B ' C '，求 的值.
【思路导航】要求两条线段的比值，关键在于找到两条线段所
在的两个三角形是否相似，得到对应边之比等于相似比.
解：（1）∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '，∴∠ BAC ＝∠ B ' A ' C '，
∠ B ＝∠ B '.∵∠ BAD ＝ ∠ BAC ，∠ B ' A ' D '＝ ∠ B ' A ' C '，
∴∠ BAD ＝∠ B ' A ' D '.又∵∠ B ＝∠ B '，∴△ BAD ∽△ B ' A ' D '.
∴ ＝ ＝ k .
（2）∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '，∴∠ B ＝∠ B '， ＝ .
∵ BE ＝ BC ， B ' E '＝ B ' C '，∴ ＝ .又∵∠ B ＝∠ B '，∴△ BAE ∽△ B ' A ' E '.∴ ＝ ＝ k .
【点拨】解这类问题的关键在于根据原来的两个三角形相似得
到新的三角形相似.
已知△ ABC ∽ △ A ' B ' C '，求证：对应角平分线之比等于相
似比.
证明：设 △ ABC 中∠ BAC 的平分线交 BC 边于点 D ，△ A ' B ' C '
中∠ B ' A ' C '的平分线交 B ' C '边于点 D '.∵△ ABC ∽△ A ' B ' C '，
∴∠ B ＝∠ B '，∠ BAC ＝∠ B ' A ' C '.∴∠ BAD ＝∠ B ' A ' D '.∴△
ABD ∽ △ A ' B ' D '.∴ AD ∶ A ' D '＝ AB ∶ A ' B '，即对应角平分线
之比等于相似比.
一张锐角三角形的硬纸片如图所示， AD 是边 BC 上的高，
BC ＝40 cm， AD ＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG
是宽 HE 的2倍的矩形 EFGH ，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点
G ， H 分别在边 AC ， AB 上， AD 与 HG 的交点为点 M . 求矩
形 EFGH 的周长.
【思路导航】根据四边形 EFGH 为矩形，得 EF ∥ GH ，即可得
△ AHG ∽△ ABC ，再根据相似三角形的性质即可求得 HE ， HG
的长，进而求出矩形 EFGH 的周长.
解：∵四边形 EFGH 为矩形，∴ EF ∥ GH . ∴∠ AHG ＝∠ B ，
∠ AGH ＝∠ C . ∴△ AHG ∽△ ABC . ∵ AD 是边 BC 上的高，
即 AD ⊥ BC ，∴ ＝ .设 HE ＝ x cm，则 HG ＝2 x cm，
AM ＝ AD － DM ＝ AD － HE ＝（30－ x ）cm.∴ ＝ .
解得 x ＝12.则2 x ＝24.
∴矩形 EFGH 的周长为2×（12＋24）＝72（cm）.
【点拨】三角形中截取矩形或正方形问题是相似图形知识应用
的热点问题，解决它的方法一般是抽象为相似的数学模型，利
用相似三角形中对应高之比等于相似比来解答.
如图，矩形 EFGH 内接于△ ABC （矩形各顶点在三角形的边
上），点 E ， F 在 BC 上，点 H ， G 分别在 AB ， AC 上，且 AD ⊥
BC 于点 D ，交 HG 于点 N . 若 AD ＝3， BC ＝9，设 EH ＝ x ，矩
形 EFGH 的面积为 y ，求出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自
变量 x 的取值范围.
解：∵四边形 EFGH 是矩形，∴ HG ∥ BC . ∴△ AHG ∽△ ABC .
∵四边形 EFGH 是矩形，∴∠ HED ＝∠ EHN ＝90°.
又∵ AD ⊥ BC ，∴∠ END ＝90°.四边形 HEDN 是矩形.
∴ ND ＝ EH ＝ x .∵ AD ＝3，∴ AN ＝3－ x .∵△ AHG ∽△ ABC ，
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ HG ＝9－3 x .
∴ y ＝ x （9－3 x ）＝－3 x2＋9 x
.
已知一块直角三角形木板的直角边 AB 的长为1.5 m，面积为
1.5 m2.工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲同学设计方案如图1，乙同学
设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案中的正方形面积大？
试说明理由.
图1
图2
【思路导航】根据相似三角形的性质，分别计算出甲、乙两同
学设计的方案中的正方形边长及面积，再比较.
解：甲同学设计的方案中的正方形面积大.理由如下：
∵ AB ＝1.5 m，△ ABC 的面积为1.5 m2，∴ BC ＝2 m.
①在图1中，设正方形 BDEF 的边长为 x m.∵ DE ∥ AB ，
∴△ CDE ∽△ CBA . ∴ ＝ ，即 ＝ .解得 x ＝ .
图1
图2
②在图2中，过点 B 作 BH ⊥ AC 于点 H ，交 DE 于点 P ，如图所
示.设正方形 DGFE 的边长为 y m.由勾股定理，得 AC ＝2.5 m.由
等面积法，得 AC · BH ＝ AB · BC . ∴ BH ＝ ＝1.2（m）.
∵ DE ∥ AC ，∴△ BDE ∽△ BAC . ∴ ＝ ，即 ＝ .解
得 y ＝ .∵ ＞ ，∴甲同学设计的方案
中的正方形面积较大.
【点拨】解本题的关键点有两个：一是用等面积法求出斜边上
的高；二是运用相似三角形的对应高之比等于相似比进行计算.
如图，有一块锐角三角形卡纸余料 ABC ，它的边 BC ＝120 cm，
高 AD ＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一
个邻边之比为2∶5的矩形纸片 EFGH 和正方形纸片 PMNQ ，裁
剪时，矩形纸片的较长边在 BC 上，正方形纸片的一边在矩形纸
片的较长边 EH 上，其余顶点均分别在 AB ， AC 上， AD 分别交
PQ ， EH 于点 K ， R .
（1）求矩形纸片的较长边 EH 的长；
解：（1）设 EF ＝2 x cm，则 EH ＝5 x cm.
∵四边形 EFGH 是矩形，∴ EH ∥ BC .
∴△ AEH ∽△ ABC .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 x ＝15.
∴ EH ＝5 x ＝15×5＝75（cm）.
故矩形纸片的较长边 EH 的长为75 cm.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：
先沿着剩余料△ AEH 中与边 EH 平行的中位线剪一刀，再沿过
该中位线两端点向边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判
断小聪的剪法是否正确.
解：（2）小聪的剪法不正确.理由如下：
设正方形的边长为 a cm.
∵ AR ＝ AD － RD ＝80－2×15＝50（cm），
∴ AK ＝（50－ a ） cm.
由题意知，△ APQ ∽△ AEH ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 a ＝30.
又∵与边 EH 平行的中位线为 ×75＝37.5（cm），且37.5≠30，∴小聪的剪法不正确.
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第四章 图形的相似
8 图形的位似（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都
乘同一个数 k （ k ≠0），所对应的图形与原图形 ，位
似中心是 ，它们的相似比为 .
（1）当 k ＞0时，位似图形在原点同侧；当 k ＜0时，位似图形
在原点两侧；
（2）当｜ k ｜＞1时，原图形被放大；当0＜｜ k ｜＜1时，原图
形被缩小.
位似
坐标原点
｜ k ｜
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，把△ AOB
缩小到原来的 ，得到△ A ' OB '.若点 B 的对应点 B '的坐标是（－
2，1），则点 B 的坐标是 .
（4，－2）
【思路导航】根据位似变换的性质计算即可.
【解析】∵以点 O 为位似中心，把△ AOB 缩小到原来的 ，得
到△ A ' OB '，点 B 的对应点 B '的坐标是（－2，1），∴点 B 的横
坐标为（－2）×（－2）＝4，纵坐标为1×（－2）＝－2，即
点 B （4，－2）.故答案为（4，－2）.
【点拨】在平面直角坐标系中，若原图形中某点的坐标为（ x ，
y ），以原点为位似中心，相似比为 k 进行位似变换，则在位似
图形中对应点的坐标为（ kx ， ky ）或（－ kx ，－ ky ）.
1. 如图，△ OAB 与△ OCD 是以原点 O 为位似中心的位似图形，
相似比为1∶2，∠ OCD ＝90°， CO ＝ CD . 若 B （1，0），则点
C 的坐标为 .
（第1题图）
（1，1）
2. （2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 与△ A1 B1
C1位似，原点 O 是位似中心，且 ＝3.若 A ，则点 A1的
坐标是 .
（第2题图）
（3，1）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A ， B 两点的坐标分别
为（3，1），（2，－1）.
（1）在 y 轴的左侧以原点 O 为位似中心作△ OAB 的位似图形△
OCD ，使新图形与原图形的相似比为2∶1；
（2）分别写出点 A ， B 的对应点 C ， D 的坐标；
（3）求△ OCD 的面积.
【思路导航】（1）延长 AO 到点 C ，使得 OC ＝2 OA ，延长 BO
到点 D ，使得 OD ＝2 OB ，连接 CD ，△ OCD 即为所求；（2）
根据 C ， D 两点的位置直接写出坐标；（3）利用割补法即可求
出△ OCD 的面积.
解：（1）如图，△ OCD 即为所求.
（2）由图可知，点 C 的坐标为（－6，－2），点 D 的坐标为
（－4，2）.
（3）由图可知， S△ OCD ＝6×4－ ×4×2－ ×6×2－ ×2×4
＝10.
【点拨】本题考查位似变换的作图，解题的关键是熟练掌握位
似的相关知识，属于常考题型.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 三个顶点的坐标分别
为 A （0，4）， B （2，2）， C （4，6）.（正方形网格中，每
个小正方形的边长为1）
（1）画出△ ABC 向下平移5个单位长度得到
的△ A1 B1 C1，并写出点 B1的坐标；
解：（1）如答图，△ A1 B1 C1即为所求，点
B1的坐标为（2，－3）.
答图
（2）以原点 O 为位似中心，在第三象限中画出△ A2 B2 C2，使△
A2 B2 C2与△ ABC 位似，且相似比为1∶2，直接写出点 C2的坐标
和△ A2 B2 C2的面积.
解：（2）如答图，△ A2 B2 C2即为所求，
点 C2的坐标为（－2，－3）.
△ A2 B2 C2的面积为2×2－ ×1×1－
×1×2－ ×1×2＝1.5.
答图
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A ， B ， E ， D ， F 的坐标
分别是 A （4，3）， B （4，0）， E （5，0）， D （11，
4.5）， F （11，0），且△ DEF 是由△ AOB 经过位似变换得到
的，求位似中心的坐标.
【思路导航】连接 DA 并延长，其延长线与 x 轴的交点即为位似
中心，再根据相似三角形的性质，求出各线段的长度，即可得
位似中心的坐标.
解：如图，连接 DA 并延长，交 x 轴于点 P ，则点 P 为位似中心.
根据题意，得△ AOB 与△ DEF 的相似比为 ＝ ＝ .
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 PO ＝10.
故位似中心 P 的坐标为（－10，0）.
【点拨】在平面直角坐标系中，确定位似中心的坐标一般有两
种方法：①根据相似三角形的性质，求出关键线段的长度（如
PO ），再求位似中心的坐标；②根据位似中心在对应点的连线
上（如 DA ， FE 上），先求得两条直线（如 DA ， FB ）的函数
表达式，再联立方程组，解得位似中心的坐标.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 与△ DOE 是位似图
形， A （0，3）， B （－2，0）， C （1，0）， E （6，0），△
ABC 与△ DOE 的位似中心是点 M .
（1）在图中画出点 M ；
解：（1）如图，连接 DA ，并延长交 x
轴于点 M ，则点 M 即为△ ABC 与
△ DOE 的位似中心.
（2）求出点 M 的坐标.
解：（2）如图，过点 D 作 DH ⊥ OE 于点 H .
由题意，得 BC ＝3， OE ＝6，△ ABC ∽△ DOE ，
∴△ ABC 与△ DOE 的相似比为3∶6＝1∶2.
易得 OH ＝2 OB ＝4， DH ＝ 2 OA ＝6.
由 MO ∶ MH ＝1∶2， MH ＝ MO ＋4，得
MO ∶（ MO ＋4）＝1∶2，解得 MO ＝4.
∴点 M 的坐标为（－4，0）.
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