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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定（第一课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
课前预习
0 1
1. 菱形的定义.
有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
相等
2. 菱形的性质定理.
（1）菱形的四条边 ；
（2）菱形的对角线 ；
（3）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角
线 一组对角；
（4）菱形是 ，它的 是它
的对称轴；菱形也是 ，对称中心是
.
注：菱形具有一般平行四边形的所有性质.
相等
互相垂直
垂直平分
平分
轴对称图形
对角线所在的直线
中心对称图形
对角线
的交点
数学 九年级上册 BS版
典例讲练
0 2
（1）如图，在菱形 ABC D中，对角线 AC ， B D相交于点O. 下列
说法：① A D∥ BC ；②O A ＝O C ；③ AC ⊥ B D；④ AC ＝ B D.
其中正确的是 （填序号）.
①②③
【思路导航】利用菱形的性质依次判断即可.
【解析】∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ AD ∥ BC ， OA ＝ OC ， AC ⊥ BD .
∴①②③的说法正确，④的说法错误.
故答案为①②③.
【点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边
形的一切特征.具体特征如下：①边：对边平行且四条边相等；
②角：对角相等，邻角互补；③对角线：互相垂直，互相平
分，每一条对角线都平分一组对角；④对称性：菱形既是中心
对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点，
它的对称轴是对角线所在的直线.（2）菱形的周长等于边长的4
倍.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么这个菱形的两边与较
短的对角线可构成等边三角形.
（2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三
角形.
【思路导航】设四边形 ABC D为菱形，由菱形的性质结合全等
三角形的判定方法证明△ A O B ≌△ C O B ≌△ C OD≌△ A OD，
即可得出结论.
四
直角
【解析】如图，设四边形 ABCD 为菱形.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ⊥ BD .
∴∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COD ＝∠ DOA ＝90°.
在△ AOB 和△ COB 中，
∴△ AOB ≌△ COB （SSS）.
同理，得△ COB ≌△ COD ，△ COD ≌△ AOD .
∴△ AOB ≌△ COB ≌△ COD ≌△ AOD .
故答案为四，直角.
【点拨】菱形是特殊的平行四边形，它的“特殊”主要体现在
它的“轴对称性”.
1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
（ C ）
A. 对边平行且相等
B. 对角线互相平分
C. 每条对角线平分一组对角
D. 对角互补
C
2. 如图，在菱形 ABC D中，已知∠D＝130°，则∠1的度数
为 .
25°
如图，已知四边形 ABC D是菱形，周长为20 cm ，点O是两条对
角线的交点， A O＝3 cm ，求菱形两条对角线的长.
【思路导航】由菱形对角线互相垂直平分和勾股定理可以计算
出 B O的长，继而得到对角线 B D的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，周长为20 cm ， AO ＝3 cm ，
∴ AC ⊥ BD ， AC ＝2 AO ＝6 cm ， AB ＝5 cm .
∴∠ AOB ＝90°.
∴ BO ＝ ＝ ＝4（ cm ）.
∴ BD ＝2 BO ＝8 cm .
∴菱形两条对角线的长分别为6 cm 和8 cm .
【点拨】菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角
形，通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中
相关线段的长，再利用勾股定理计算.
如图，在菱形 ABC D中，已知点E是 AB 的中点，且DE⊥ AB 于点
E， AB ＝4 cm ，求对角线 AC 的长.
解：如答图，连接 BD ，与 AC 交于点 O .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD ＝ AB ， BD ⊥ AC ， AO ＝ CO ， DO ＝ BO .
∵点 E 是 AB 的中点，
∴ AE ＝ BE .
又∵ DE ⊥ AB ，
∴ AD ＝ BD .
∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝4 cm .
答图
∴ BO ＝ DO ＝ BD ＝2 cm .
在Rt△ AOB 中，由勾股定理，得
AO ＝ ＝ ＝2 （ cm ）.
∴ AC ＝2 AO ＝4 cm .
答图
答图
如图，已知菱形 ABC D的边长为6，∠ B ＝60°，点E，F分别是
边 BC ， C D上的动点（不与端点重合），且∠E A F＝60°.
（1）求证：△ A EF是等边三角形.
（2）在点E，F的运动过程中，四边形 A E C F的面积是否变
化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出四边形 A E C
F的面积.
【思路导航】（1）连接 AC ，证明△ BA E≌△ CA F（ ASA ），
推出 A E＝ A F，即可得出结论；（2）根据△ BA E≌△ CA F，将
四边形 A E C F的面积转化为△ ABC 的面积，从而计算出面积为
定值.
（1）证明：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ D ＝∠ B ＝60°， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD .
∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形.
∴ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ BAC ＝∠ ACD ＝∠ EAF ＝60°.
∴∠ BAE ＝∠ CAF .
∴△ BAE ≌△ CAF （ A S A ）.
∴ AE ＝ AF .
又∵∠ EAF ＝60°，
∴△ AEF 是等边三角形.
（2）解：四边形 AECF 的面积不发生变化.理由如下：由（1）
知，△ BAE ≌△ CAF ，
∴ ＝ .
如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H .
∵菱形 ABCD 的边长为6，∠ B ＝60°，
∴ BH ＝3.
∴ AH ＝ ＝3 .
∴ S四边形 AECF ＝ S△ ABC ＝ BC · AH ＝ ×6×3 ＝9 .∴四边形
AECF 的面积不发生变化，为9 .
【点拨】（1）菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三角
形.当菱形中出现60°或120°的角时，常常需要连接较短的对角线
构造等边三角形，进而利用全等三角形的性质解决问题.（2）
对于动态非特殊四边形 AECF 的面积，常常连接对角线，利用
等面积法转化为固定图形的面积求解.
已知四边形 ABC D是菱形， AB ＝4，∠ ABC ＝60°，∠ MAN 的两
边分别与射线 CB ，D C 相交于点E，F，且∠ MAN ＝60°.
（1）如图1，当点E是线段 CB 的中点时，则 A E与EF之间的数
量关系为 .
AE ＝ EF
（2）如图2，将图1中的∠ MAN 绕点 A 按顺时针方向旋转α
，（1）中的结论还成立吗？说明理由.
（2）解：成立，理由如下：
如图1，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ D ＝∠ ABC ＝60°.
∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形.
∴∠ ACD ＝∠ ABC ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ AC .
∵∠ MAN ＝60°，
∴∠ BAE ＝60°－∠ CAE ，∠ CAF ＝60°－∠ CAE .
∴∠ BAE ＝∠ CAF .
在△ ABE 和△ ACF 中，
图1
∴△ ABE ≌△ ACF .
∴ AE ＝ AF .
又∵∠ MAN ＝60°，
∴△ AEF 是等边三角形.
∴ AE ＝ EF .
图1
（3）如图3，将图2中的∠ MAN 绕点 A 继续顺时针旋转，当α＝
45°时，求点F到 BC 的距离.
（3）解：如图2，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G ，过点 F 作 FH ⊥ EC
于点 H ，连接 AC .
易知当α＝45°时，∠ EAG ＝45°.
∴∠ AEB ＝45°.
在Rt△ AGB 中，
∵∠ ABC ＝60°， AB ＝4，
∴ BG ＝2， AG ＝2 .
在Rt△ AEG 中，∵∠ AEG ＝∠ EAG ＝45°，
∴ EG ＝ AG ＝2 .
∴ BE ＝ EG － BG ＝2 －2.
图2
由（2）可得 AB ＝ AC ，∠ EAB ＝60°－∠ BAF ＝∠ FAC ，∠
ABE ＝180°－∠ ABC ＝120°＝180°－∠ ACD ＝∠ ACF .
在△ AEB 和△ AFC 中，
∴△ AEB ≌△ AFC .
∴ CF ＝ BE ＝2 －2.
∵∠ FCE ＝60°，∴∠ CFH ＝30°.
∴ CH ＝ CF ＝ －1.
∴ FH ＝ ＝3－ .
∴点 F 到 BC 的距离为3－ .
图2
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第一章 特殊平行四边形
回顾与思考
数学 九年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
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数学 九年级上册 BS版
0 1
要点回顾
1. 菱形的性质.
（1）边：菱形的四条边 .
（2）对角线：菱形的对角线互相 ，并且平分每一
组 .
（3）对称性：
①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；
②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
相等
垂直
对角
2. 菱形的判定.
（1）定义法：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
（2）对角线互相 的平行四边形是菱形.
（3）四条边 的四边形是菱形.
3. 矩形的性质.
（1）角：矩形的四个角都是 .
（2）对角线：矩形的对角线 ，且互相 .
（3）对称性：
①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；
②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
相等
垂直
相等
直角
相等
平分
4. 矩形的判定.
（1）定义法：有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
（2）对角线 的平行四边形是矩形.
（3）有三个角都是 的四边形是矩形.
5. 正方形的性质.
（1）角：正方形的四个角都是 .
（2）边：正方形的四条边 .
（3）对角线：正方形的对角线 .
直角
相等
直角
直角
相等
相等且互相垂直平分
（4）对称性：
①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；
②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
6. 正方形的判定.
（1）定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四
边形叫做正方形.
（2）有一组邻边相等的 是正方形.
（3）对角线互相 的矩形是正方形.
（4）有一个角是 的菱形是正方形.
（5）对角线 的菱形是正方形.
矩形
垂直
直角
相等
7. 特殊平行四边形的面积公式.
S菱形＝ ah （其中 a 是边长， h 是高）＝ mn （其中 m ， n 分别
是 ）；
S矩形＝ ab （其中 a ， b 分别是矩形的 ）；
S正方形＝ a2（其中 a 是正方形的 ）＝ m2（其中 m 是正
方形的 ）.
8. 直角三角形斜边中线定理.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
两条对角线长
长与宽
边长
对角线长
一半
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 菱形的性质与判定
如图，在 ABCD 中， DB ＝ DA ，点 F 是 AB 的中点，连接
DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E ，连接 AE ， CF .
（1）求证：四边形 AEBD 是菱形；
（2）若 DC ＝ ， DB ＝5，求 CF 的长.
【思路导航】（1）先证得△ AFD ≌△ BFE ，推出 AD ＝ BE ，
得到四边形 AEBD 是平行四边形，再根据 DB ＝ DA 可得结论；
（2）先证得∠ EDC ＝90°，再利用勾股定理求出 DE 的长，进
而可求出 CF 的长.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC . ∴∠ ADE ＝∠ DEB .
∵点 F 是 AB 的中点，∴ AF ＝ BF .
∴在△ AFD 与△ BFE 中，
∴△ AFD ≌△ BFE （AAS）.∴ AD ＝ BE .
又∵ AD ∥ BC ，
∴四边形 AEBD 是平行四边形.
又∵ DB ＝ DA ，
∴ AEBD 是菱形.
（2）解：∵四边形 AEBD 是菱形，
四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DA ＝ DB ＝ BE ＝ BC .
∴∠ ADE ＝∠ BDE ，∠ BDC ＝∠ BCD . ∵ AD ∥ BC ，
∴∠ ADE ＋∠ BDE ＋∠ BDC ＋∠ BCD ＝180°.
∴∠ BDE ＋∠ BDC ＝90°，
即∠ EDC ＝90°.
由题意知， CE ＝2 BC ＝2 DB ＝10，
DC ＝ ，
在Rt△ CDE 中，根据勾股定理，得
DE ＝ ＝ ＝3 ，
∴ DF ＝ DE ＝ .
∴ CF ＝ ＝ ＝ .
【点拨】熟练掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性
质、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键，求线段长
度常用勾股定理来解决，这些都属于中考常考题型.
如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 H 为对角线 AC 的中点，点
E 在 AB 的延长线上， CE ⊥ AB ，垂足为 E ，点 F 在 AD 的延长线
上， CF ⊥ AD ，垂足为 F .
（1）若∠ BAD ＝60°，求证：四边形 CEHF 是菱形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∠ BAD ＝60°，∴∠ BAC ＝30°.
∵ CE ⊥ AB ，∴ CE ＝ AC .
又∵点 H 为 AC 的中点，∴ EH ＝ AC .
同理可得， CF ＝ FH ＝ AC .
∴ EH ＝ CE ＝ CF ＝ FH .
∴四边形 CEHF 是菱形.
（2）若 CE ＝4，△ ACE 的面积为16，求菱形 ABCD 的面积.
（2）解：∵ S△ ACE ＝ AE · CE ，∴ AE ·4＝16.
∴ AE ＝8.
在菱形 ABCD 中，设 AB ＝ x ，
则 BE ＝ AE － AB ＝8－ x ， BC ＝ x .
在Rt△ BCE 中， CE2＋ BE2＝ BC2，
即42＋ ＝ x2.解得 x ＝5，
∴菱形 ABCD 的面积＝ AB · CE ＝5×4＝20.
要点二 矩形的性质与判定
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，∠ ABC ＝∠
ADC ，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， OA ＝ OB ， DE 平分∠
ADC 交 BC 于点 E ，连接 OE .
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AB ＝1，求△ OEC 的面积.
【思路导航】（1）先证四边形 ABCD 是平行四边形，得出
OA ＝ OC ＝ AC ， OB ＝ OD ＝ BD ，再证出 AC ＝ BD ，
即可得出结论；（2）作 OF ⊥ BC 于点 F ，求出 EC ， OF 的
长即可解决问题.
（1）证明：∵ AD ∥ BC ，
∴∠ ABC ＋∠ BAD ＝180°.
∵∠ ABC ＝∠ ADC ，
∴∠ ADC ＋∠ BAD ＝180°.
∴ AB ∥ DC .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ OA ＝ OC ＝ AC ， OB ＝ OD ＝ BD .
∵ OA ＝ OB ，∴ AC ＝ BD .
∴ ABCD 是矩形.
（2）解：作 OF ⊥ BC 于点 F ，如图所示.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ CD ＝ AB ＝1，∠ BCD ＝90°，
OA ＝ CO ， OB ＝ DO ， AC ＝ BD .
∴ OA ＝ OB ＝ CO ＝ DO .
∴ BF ＝ FC .
∴ OF ＝ CD ＝ .
∵ DE 平分∠ ADC ，∠ ADC ＝90°，
∴∠ EDC ＝45°.
在Rt△ EDC 中， EC ＝ CD ＝1，
∴△ OEC 的面积＝ EC · OF ＝ ×1× ＝ .
【点拨】本题考查矩形的判定与性质、三角形的面积、平行四
边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判
定与性质等知识，解题的关键是熟练运用矩形的判定与性质，
属于常考题型.
1. 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 G 为
点 C 的对应点.
（1）若∠ AEB ＝40°，则∠ BFE 的度数为 ；
【解析】（1）∵∠ AEB ＝40°，∴∠ BED ＝
180°－∠ AEB ＝140°.∵将矩形 ABCD 沿 EF 折
叠，使点 D 与点 B 重合，∴∠ BEF ＝∠ DEF
＝ ∠ BED ＝70°.∵ AD ∥ BC ，∴∠ BFE ＝
∠ DEF ＝70°.故答案为70°.
（第1题图）
70°
（2）若 AB ＝6， AD ＝18，则 CF 的长为 .
【解析】（2）设 BE ＝ x ，则 DE ＝ BE ＝ x .
∴ AE ＝ AD － DE ＝18－ x .在Rt△ ABE 中，
AB2＋ AE2＝ BE2，则62＋（18－ x ）2＝ x2.解
得 x ＝10.∴ BE 的长为10.∵ AD ∥ BC ，
∴∠ DEF ＝∠ BFE . ∵∠ BEF ＝∠ DEF ，
∴∠ BEF ＝∠ BFE . ∴ BF ＝ BE ＝10.
∴ CF ＝ BC － BF ＝18－10＝8.故答案为8.
（第1题图）
8
2. 如图，在矩形 ABCD 中，有以下结论：① AC ＝ BD ；② AC ⊥
BD ；③△ AOB 是等腰三角形；④ ＝ ；⑤∠ ABD
＝45°；⑥ AB ＝ AD 能使矩形 ABCD 变成正方形.其中结论正确
有 （填序号）.
（第2题图）
①③④⑥
【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AC ＝ BD . ①正确. AC 不一
定与 BD 垂直.②不正确.∵ AC ＝ BD ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，
∴ OA ＝ OB . ∴△ AOB 为等腰三角形.③正确.∵四边形 ABCD 为
矩形，∴ OB ＝ OD . ∴ S△ ABO ＝ S△ ADO . ④正确.∵四边形 ABCD
为矩形，∴ BD 不一定平分∠ ABC . ∴∠ ABD 不一定为45°.⑤不
正确.∵四边形 ABCD 为矩形，∴当 AB ＝ AD 时，矩形 ABCD 为
正方形.⑥正确.故答案为①③④⑥.
要点三 正方形的性质与判定
如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，先把△ ABC 绕点 B 按
顺时针方向旋转90°至△ DBE 后，再把△ ABC 沿射线 BE 平移至
△ FEG ， DE 与 FG 相交于点 H .
（1）试判断线段 DE 与 FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连接 CG ，求证：四边形 CBEG 是正方形.
【思路导航】（1）由旋转及平移的性质可得到∠ DEB ＋∠
GFE ＝90°，进而得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得 BE
＝ CB ＝ CG ＝ GE ，∠ CBE ＝90°，从而可证明四边形 CBEG 是
正方形.
（1）解： FG ⊥ DE . 理由如下：
∵△ ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转90°至△ DBE ，
∴∠ DEB ＝∠ ACB .
∵△ ABC 沿射线 BE 平移至△ FEG ，
∴∠ GFE ＝∠ A .
∵∠ ABC ＝90°，∴∠ A ＋∠ ACB ＝90°.
∴∠ DEB ＋∠ GFE ＝90°.
∴∠ FHE ＝90°.
∴ FG ⊥ DE .
（2）证明：根据旋转和平移，可得∠ GEF ＝90°，∠ CBE ＝
90°， CG ＝ BE ， CB ＝ BE ， CB ＝ GE ，
∴ CG ＝ BE ＝ CB ＝ GE .
∴四边形 CBEG 为菱形.
又∵∠ CBE ＝90°，
∴菱形 CBEG 是正方形.
【点拨】掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移
前后，对应角、对应边都相等.
如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ，
EF ⊥ AD 于点 F ， DG ⊥ AE 于点 G ， DG 与 EF 交于点 O .
（1）求证：四边形 ABEF 是正方形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAF
＝∠ ABE ＝90°.
∵ EF ⊥ AD ，
∴∠ EFA ＝90°.
∴四边形 ABEF 是矩形.
∵ AE 平分∠ BAD ，
∴ EF ＝ EB .
∴矩形 ABEF 是正方形.
（2）若 AD ＝ AE ，求证： AB ＝ AG ；
（2）证明：∵ AE 平分∠ BAD ，
∴∠ DAG ＝∠ BAE .
在△ AGD 和△ ABE 中，
∴△ AGD ≌△ ABE .
∴ AB ＝ AG .
（3）在（2）的条件下，已知 AB ＝1，求 OF 的长.
（3）解：由（1）知，四边形 ABEF 是正方
形，∴ AB ＝ AF ＝ BE ＝1.
由（2）知，△ AGD ≌△ ABE ，
∴ DG ＝ BE ＝ AB ＝ AF ＝ AG ＝1.
∴ AD ＝ AE ＝ ＝ .∴ DF ＝ －1.
∵ EF ⊥ AD ，∠ DAG ＝∠ ADG ＝45°.
∴∠ FDO ＝∠ FOD ＝45°，
∴ OF ＝ DF ＝ －1.
要点四 直角三角形斜边中线定理
如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ DAB ＝∠ DCB ＝90°，点
E ， F 分别是 BD ， AC 的中点.若 AC ＝6， BD ＝10，则 EF 的长
为 .
4
【思路导航】连接 AE ， CE . 在直角三角形中，斜边上的中线等
于斜边的一半，可证明 AE ＝ CE ，进而可证明△ AEC 是等腰三
角形，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出 EF 的长.
【解析】如图，连接 AE ， CE . ∵∠ DAB ＝
∠ DCB ＝90°，点 E 是 BD 的中点，∴ AE ＝ BD ，
CE ＝ BD . ∴ AE ＝ CE . ∵点 F 是 AC 的中点，
∴ EF ⊥ AC . ∵ AC ＝6， BD ＝10，∴ AE ＝5，
AF ＝3，∴ EF ＝ ＝4.故答案为4.
【点拨】当存在直角三角形斜边上的中点时，构造斜边上的中
线是第一思路.此题属于共斜边两直角三角形问题.
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DH
⊥ AB 于点 H ，连接 OH . 若 OH ＝2，菱形的面积为24，则 AO 的
长为 .
6
【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ CO ， DO
＝ OB . ∵ DH ⊥ AB ，∴ DB ＝2 OH ＝4.∵菱形的面积为24，
∴ ＝24.∴ AC ＝12.∴ AO ＝6.故答案为6.
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
课前预习
0 1
1. 矩形的周长与面积.
若矩形相邻两边长分别为 a ， b ，则矩形的周长＝
，矩形的面积＝ .
2. 矩形中的综合问题.
（1）判定矩形的几种方法；
（2）由矩形的性质，得出边角关系，再计算.
注：矩形的定义既可作为矩形的判定方法，又可作为其性质.
2（ a ＋
b ）
ab
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典例讲练
0 2
如图，在矩形 ABC D中， AB ＝3， BC ＝6，对角线 AC 的垂直平
分线分别交 A D， AC 于点 M ， N ，连接 CM ，则 CM 的长
为 .
【思路导航】先由线段垂直平分线的性质得出 AM ＝ CM ，再在
Rt △D MC 中，由勾股定理，列方程后求出 CM 的长即可.
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ D ＝∠ B ＝90°， AD ＝
BC ＝6， DC ＝ AB ＝3.∵ MN 是 AC 的垂直平分线，∴ AM ＝ CM .
∴ DM ＝ AD － AM ＝ AD － CM ＝6－ CM . 在Rt△ DMC 中，由勾
股定理，得 DM2＋ DC2＝ CM2，即（6－ CM ）2＋32＝ CM2.解得
CM ＝ .故答案为 .
【点拨】熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出关于 CM 的方
程是解此题的关键.
如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝60°， B D⊥ AC ，垂足为D，
C E⊥ AB ，垂足为E，点O为 BC 的中点，连接OD，OE，则
∠DOE的度数为 .
60°
如图，在 ABC D中，对角线 AC 与 B D交于点O， B D＝2 AB ，
点 M ， N 分别为O A ，O C 的中点，延长 BM 至点E，使E M ＝
BM ，连接DE.
（1）求证：四边形DE MN 是矩形；
（2）若 AB ＝5，D N ＝4，求四边形DE MN 的面积.
【思路导航】（1）先证明△O BM ≌OD N ，可得 BM ＝D N ，从
而得出四边形DE MN 为平行四边形，再证明其为矩形；（2）由
勾股定理可以求得 AM 的长，进而得到 MN 的长，由矩形面积公
式可以求出结果.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BD ＝2 BO . 又∵ BD ＝2 AB ，∴ BO ＝ AB .
∴△ ABO 为等腰三角形.又∵点 M 为 AO 的中点，
∴ BM ⊥ AO . ∴∠ BMO ＝∠ EMO ＝90°.
同理可证△ DOC 也为等腰三角形.
又∵点 N 是 OC 的中点，∴ DN ⊥ CO .
∴∠ DNO ＝90°.
∵∠ EMO ＋∠ DNO ＝90°＋90°＝180°，
∴ EM ∥ DN .
在△ OBM 和△ ODN 中，
∴△ OMB ≌△ OND （ AA S）.
∴ BM ＝ DN .
又∵ EM ＝ BM ，∴ EM ＝ DN .
∴ DEMN 为平行四边形.
又∵∠ EMO ＝90°，
∴四边形 DEMN 为矩形.
（2）解：由（1）知 BM ＝ DN ＝4.
在Rt△ ABM 中，由勾股定理，得
AM ＝ ＝ ＝3，
∴ CN ＝ AM ＝3.
∴ MN ＝ MO ＋ ON ＝ AM ＋ CN ＝3＋3＝6，
∴ S矩形 DEMN ＝ MN · EM ＝ MN · BM ＝6×4＝24.
【点拨】熟练掌握平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩
形的面积公式等是解决此类题目的关键.
（2022·云南）如图，在 ABC D中，连接 B D，点E为线段 A D
的中点，延长 B E与 C D的延长线交于点F，连接 A F，∠ B DF＝
90°.
（1）求证：四边形 AB DF是矩形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ，即 AB ∥ CF . ∴∠ BAE ＝∠ FDE .
∵点 E 为线段 AD 的中点，∴ AE ＝ DE . 又∵∠ AEB ＝∠ DEF ，
∴△ ABE ≌△ DFE （ A S A ）.∴ AB ＝ DF .
又∵ AB ∥ DF ，
∴四边形 ABDF 是平行四边形.
又∵∠ BDF ＝90°，
∴ ABDF 是矩形.
（2）若 A D＝5，DF＝3，求四边形 ABC F的面积S.
（2）解：由（1）知，四边形 ABDF 是矩形，
∴ AB ＝ DF ＝3，∠ AFD ＝90°.
在Rt△ ADF 中，
AF ＝ ＝ ＝4.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD ＝ AB ＝3.
∴ CF ＝ CD ＋ DF ＝3＋3＝6.
∴ S ＝ · AF ＝ × ×4＝18.
如图，将一张矩形纸片 ABC D（ A D＞ AB ）折叠一次，使点 A
与点 C 重合，再展开，折痕EF交 A D边于点E，交 BC 边于点F，
连接 A F， C E.
（1）求证： A O平分∠D A F；
（2）若 A E＝8 cm ，△ AB F的面积为20 cm2，求△ AB F的周长.
【思路导航】（1）由折叠及 A D∥ BC 可得∠ A FE＝∠ A EF，由
等腰三角形的性质可得出结论；（2）在 Rt △ AB F中，可得 AB2
＋ B F2的值，又根据△ AB F的面积，可得 AB · B F的值，进而求
得 AB ＋ B F的值，从而可得△ AB F的周长.
（1）证明：由折叠可知，∠ AFE ＝∠ CFE ， AF ＝ CF ， EF ⊥
AC .
∵ AD ∥ BC ，∴∠ AEF ＝∠ CFE .
∴∠ AFE ＝∠ AEF .
∴ AE ＝ AF .
∴△ AEF 为等腰三角形.
又∵ AO ⊥ EF ，
∴ AO 平分∠ DAF .
（2）解：由（1）可得， AF ＝ AE ，
∴ AF ＝ AE ＝8 cm .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ B ＝90°.
在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得
AB2＋ BF2＝ AF2，
∴ AB2＋ BF2＝82＝64.
∴（ AB ＋ BF ）2－2 AB · BF ＝64. ①
∵△ ABF 的面积为20 cm2，
∴ AB · BF ＝20.
∴ AB · BF ＝40. ②
把②代入①，得（ AB ＋ BF ）2－2×40＝64.
∴ AB ＋ BF ＝12（ cm ）或 AB ＋ BF ＝－12（舍去）.
∴ AB ＋ BF ＋ AF ＝20（ cm ）.
∴△ ABF 的周长为20 cm .
【点拨】折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相
等，且对应点的连线被折痕垂直平分.矩形折叠产生菱形时，常
常会借助勾股定理建立方程.
如图，将矩形纸片 ABC D折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为EF.
若 AB ＝4， BC ＝8，求D'F的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ B ＝∠ D ＝90°， CD ＝ AB ＝4， AD ∥ BC .
∴∠ AFE ＝∠ CEF .
由折叠的性质，得∠ AEF ＝
∠ CEF ， AE ＝ CE ，∠D'＝∠ D ＝
90°， A D'＝ CD ＝4.
∴∠ AFE ＝∠ AEF .
∴ AF ＝ AE ＝ CE .
设 AF ＝ AE ＝ CE ＝ x ，则 BE ＝8－ x .
在Rt△ ABE 中，由勾股定理，得 AB2＋ BE2＝ AE2，
即42＋（8－ x ）2＝ x2.解得 x ＝5.
∴ AF ＝5.
∴D'F＝ DF ＝8－ AF ＝3.
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
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典例讲练
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CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
课前预习
0 1
矩形的判定定理.
（1）对角线 的平行四边形是矩形；
（2）有 个角是直角的四边形是矩形.
相等
三
数学 九年级上册 BS版
典例讲练
0 2
如图，在 ABC D中，添加下列条件后，不能得出四边形 ABC D
是矩形的是（ D ）
D
A. ∠D AB ＋∠D CB ＝180°
B. AB2＋ BC2＝ AC2
C. AC ＝ B D
D. AC ⊥ B D
【思路导航】利用矩形的判定定理进行推理，即可求解.
【解析】 A . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ DAB ＝∠
DCB . ∵∠ DAB ＋∠ DCB ＝180°，∴∠ DAB ＝90°.∴ ABCD 是
矩形.选项 A 正确. B . ∵ AB2＋ BC2＝ AC2，∴∠ ABC ＝90°.∴
ABCD 是矩形.选项 B 正确. C . ∵ AC ＝ BD ，∴ ABCD 是矩形.选
项 C 正确.D. ∵ AC ⊥ BD ，∴ ABCD 是菱形.选项D错误.故选D.
【点拨】矩形是特殊的平行四边形，特殊在：①四个角都为
直角；②对角线相等.在平行四边形的基础上满足其中一条即
为矩形.
1. 如图，在△ ABC 中，已知点D，E，F分别在 BC ， AB ， AC
上，且DE∥ AC ，DF∥ AB . 连接 A D.
（1）若∠ BAC ＝90°，则四边形 A EDF是 形；
矩
（2）若 A D是△ ABC 的角平分线，则四边形 A EDF是 形.
（第1题图）
菱
2. 如图，在矩形 ABC D中，点 M 为 A D边的中点，点 P 为 BC 上
一点， P E⊥ MC ， P F⊥ MB . 当 AB ， BC 满足条件 时，则四边形 P E M F为矩形.
（第2题图）
AB ＝ BC
（2022·巴中）如图，在 ABC D中，点E为 BC 边的中点，连接
A E并延长交D C 的延长线于点F，延长E C 至点G，使 C G＝ C
E，连接DG，DE，FG.
（1）求证：△ AB E≌△F C E；
（2）若 A D＝2 AB ，求证：四边形DEFG是矩形.
【思路导航】（1）推出 AB ∥ C D，从而得出∠E AB ＝∠EF
C ，利用“AAS”即可判定△ AB E≌△F C E；（2）先证明四边
形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG即可得到结论.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD .
∴∠ EAB ＝∠ EFC .
又∵点 E 为 BC 的中点，
∴ EC ＝ EB .
在△ ABE 和△ FCE 中，
∴△ ABE ≌△ FCE （ AA S）.
（2）∵△ ABE ≌△ FCE ，∴ AB ＝ CF .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝ DC . ∴ DC ＝ CF .
又∵ CE ＝ CG ，
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
∵点 E 为 BC 的中点， CG ＝ CE ，
∴ BC ＝ EG .
又∵ AD ＝ BC ＝ EG ＝2 AB ，且 DF ＝ CD ＋ CF ＝2 CD ＝2 AB ，
∴ DF ＝ EG . ∴ DEFG 是矩形.
【点拨】矩形判定的常见思路有两种：（1）利用角证明：平行
四边形＋一个内角是直角（定义）；三个角是直角；（2）利用
对角线证明：平行四边形＋对角线相等.
（2022·十堰）如图，在 ABC D中， AC ， B D相交于点O，点
E，F分别是O A ，O C 的中点.
（1）求证： B E＝DF；
（1）证明：如答图，连接 DE ， BF .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD .
∵点 E ， F 分别是 OA ， OC 的中点，
∴ OE ＝ OA ＝ OC ＝ OF .
∴四边形 DEBF 是平行四边形.∴ BE ＝ DF .
答图
（2）设 ＝ k ，当 k 为何值时，四边形DE B F是矩形？请说明
理由.
（2）解：当 k ＝2时，四边形 DEBF 是矩形.理
由如下：
由（1）已证四边形 DEBF 是平行四边形，
要使 DEBF 是矩形，则 BD ＝ EF .
∵ OE ＝ OA ＝ OC ＝ OF ，
∴ EF ＝ OE ＋ OF ＝ OA ＋ OC ＝ OA ＝ AC ，
即 AC ＝2 EF .
∴ k ＝ ＝ ＝2.
故当 k ＝2时，四边形 DEBF 是矩形.
如图，在△ ABC 中，已知点O是 AC 边上一点，过点O作 BC 的平
行线，交∠ BCA 的平分线于点E，交外角∠ AC D的平分线于点F.
（1）求证：EO＝FO；
（2）连接 A E， A F. 当点O沿 AC 移动时，四边形 A E C F是否能
成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.
【思路导航】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠O
C E＝∠OE C ，∠O C F＝∠OF C ，从而得出EO＝ C O，FO＝ C
O，即可得出结论；（2）先证明四边形 A E C F是平行四边形，
再由对角线相等，即可得出结论.
（1）证明：∵ EF ∥ BC ，
∴∠ OEC ＝∠ BCE ，∠ OFC ＝∠ DCF .
又∵ CE 平分∠ BCO ， CF 平分∠ DCO ，
∴∠ OCE ＝∠ BCE ，∠ OCF ＝∠ DCF .
∴∠ OCE ＝∠ OEC ，∠ OCF ＝∠ OFC .
∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO .
∴ EO ＝ FO .
（2）解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.理
由如下：
当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO .
又∵ EO ＝ FO ，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∵ FO ＝ CO ，
∴ AO ＝ CO ＝ EO ＝ FO .
∴ AO ＋ CO ＝ EO ＋ FO ，即 AC ＝ EF .
∴ AECF 是矩形.
【点拨】（2）小题也可根据互为邻补角的角平分线所成的角为
直角，结合角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，易得△
ECF 恒为直角三角形，在此基础上，得到平行四边形特征即可.
如图，在 ABC D中，点E，F分别在边 A D和 BC 上，且 A E＝F
C ，连接 A F， C E并延长，分别交D C ， BA 的延长线于点H，G.
（1）求证：△ AB F≌△ C DE；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝ CD ，∠ B ＝∠ D ， AD ＝ BC .
∵ AE ＝ FC ，∴ AD － AE ＝ BC － CF ，
即 DE ＝ BF . 在△ ABF 与△ CDE 中，
∴△ ABF ≌△ CDE （S A S）.
（2）当△ AB F满足什么条件时，四边形 A H C G是矩形？请说
明理由.
（2）解：当△ ABF 满足∠ BAF ＝90°时，四
边形 AHCG 是矩形.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD . ∴∠ DEC ＝∠ ECB .
∵△ ABF ≌△ CDE ，∴∠ DEC ＝∠ BFA .
∴∠ BFA ＝∠ ECB . ∴ AH ∥ CG .
又∵ AB ∥ CD ，即 AG ∥ CH ，
∴四边形 AHCG 是平行四边形.∵∠ BAF ＝90°，∴∠ GAH ＝90°.∴ AHCG 是矩形.
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第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定（第一课时）
数学 九年级上册 BS版
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典例讲练
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CONTENTS
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课前预习
0 1
1. 矩形的定义.
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2. 矩形的性质定理.
（1）矩形的四个角都是 ；
（2）矩形的对角线 .
注：①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所
有性质；②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
直角
直角
相等
一半
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典例讲练
0 2
（1）如图，在矩形 ABC D中，已知 AC 交 B D于点O，∠ A O B ＝
120°， A D＝3，则 B D的长为 .
【思路导航】根据矩形的对角线相等且互相平分可得O A ＝
OD，再根据∠ A O B ＝120°，判断出△ A OD是等边三角形，根
据等边三角形的性质求出OD，即可得出 B D的长.
6
【解析】在矩形 ABCD 中， OA ＝ OC ＝ AC ， OB ＝ OD ＝
BD ， AC ＝ BD ，∴ OA ＝ OD . ∵∠ AOB ＝120°，∴∠ AOD ＝
180°－120°＝60°.∴△ AOD 是等边三角形.∴ OD ＝ AD ＝3.∴ BD
＝2 OD ＝6.故答案为6.
【点拨】矩形的性质如下：（1）各角相等，均为90°；（2）对
边平行且相等，邻边互相垂直；（3）对角线互相平分且相等；
（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴
（分别是对边中点所在的直线）.
（2）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝90°，点D为 AC 的中点.
若∠ C ＝55°，则∠ AB D＝ .
【思路导航】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△ BC D为
等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余即可求得答案.
35°
【解析】在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，点 D 为 AC 的中点，
∴ BD 是Rt△ ABC 斜边上的中线.∴ AD ＝ BD ＝ CD . ∴∠ DBC ＝
∠ C ＝55°.∴∠ ABD ＝90°－55°＝35°.故答案为35°.
【点拨】直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰
三角形，可利用这一特征求边角关系.
1. 矩形的两邻边长度之比为3∶4，对角线的长为10 cm ，则周长
为 cm .
2. 如图，矩形 ABC D的对角线 AC 和 B D相交于点O，过点O的直
线EF分别交 A D和 BC 于点E，F. 若 AB ＝2， BC ＝4，则图中阴
影部分的面积为 .
28
4
如图，在矩形 ABC D中，点E，F分别是边 AB ， C D上的点， A E
＝ C F，连接EF， B F，EF与对角线 AC 交于点O，且 B E＝ B F，
∠ B EF＝2∠ BAC .
（1）求证：OE＝OF；
（2）若 BC ＝2 ，求 AB 的长.
【思路导航】（1）可以证明△ A EO和△ C FO全等，从而得到
OE＝OF；也可以证明四边形 A E C F是平行四边形来说明OE＝
OF. （2）连接O B ，求出∠ BAC 的度数，结合勾股定理求出 AB
的长.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ∥ CD .
∴∠ OAE ＝∠ OCF ，∠ OEA ＝∠ OFC .
在△ AEO 和△ CFO 中，
∴△ AEO ≌△ CFO （ A S A ）.
∴ OE ＝ OF .
（2）解：如图，连接 OB .
∵ OE ＝ OF ， BE ＝ BF ，
∴ BO ⊥ EF .
∴∠ BOE ＝90°.
∴∠ OEB ＋∠ OBE ＝90°.
由（1），得 OA ＝ OC .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ ABC ＝90，∴ OB ＝ OA .
∴∠ OAB ＝∠ OBA .
∵∠ BEO ＝2∠ BAC ，∴∠ BEO ＝2∠ OBE .
∴2∠ OBE ＋∠ OBE ＝90°.
∴∠ OBE ＝30°.∴∠ BAC ＝30°.
∴ AC ＝2 BC ＝4 .
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AB ＝ ＝6.
【点拨】矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有对角线
相等，可以得到四个等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半是计算或证明题中较为常用的一个性质.
如图，已知矩形 ABC D的对角线 AC ， B D相交于点O，∠ B O C
＝120°， AB ＝2.
（1）求矩形对角线的长；
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC ＝ BD ， OA ＝ OC ＝ AC ， OB ＝ OD ＝ BD .
∴ OA ＝ OC ＝ OB ＝ OD . ∵∠ BOC ＝120°，∴∠ AOB ＝60°.
∴△ AOB 是等边三角形.∴ OB ＝ AB ＝2.
∴ AC ＝ BD ＝2 OB ＝4.
（2）过点O作OE⊥ A D于点E，连接 B E，求 B E的长.
解：（2）在矩形 ABCD 中，∠ BAD ＝90°，
∴ AD ＝ ＝ ＝2 .
由（1），得 OA ＝ OD .
又∵ OE ⊥ AD ，
∴ AE ＝ AD ＝ .
在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得
BE ＝ ＝ ＝ .
如图，已知四边形 ABC D是矩形，E为边 A D上一点，且∠ CB D
＝∠E B D，点 P 为对角线 B D上一点， PN ⊥ B E于点 N ， PM ⊥
A D于点 M .
（1）求证： B E＝DE；
（2）试判断 AB 和 PM ， PN 的数量关系，并说明理由.
【思路导航】（1）由矩形的性质得出∠ A D B ＝∠ CB D，由已
知条件∠ CB D＝∠E B D，证出∠ A D B ＝∠E B D，即可得出结
论；（2）延长 MP 交 BC 于点Q，先由角平分线的性质得出 P Q
＝ PN ，再由 AB ＝ M Q即可得出结论.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ∥ BC .
∴∠ ADB ＝∠ CBD .
∵∠ CBD ＝∠ EBD ，
∴∠ ADB ＝∠ EBD .
∴ BE ＝ DE .
（2）解： PM ＋ PN ＝ AB . 理由如下：
延长 MP 交 BC 于点 Q ，如图所示.
∵ AD ∥ BC ， PM ⊥ AD ，
∴ PQ ⊥ BC .
又∵∠ CBD ＝∠ EBD ， PN ⊥ BE ，
∴ PQ ＝ PN .
∴ AB ＝ MQ ＝ PM ＋ PQ ＝ PM ＋ PN .
【点拨】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰
上的高，这一结论在选择填空题中可直接使用，在解答题中需
要用等面积法或截长补短法证明.
如图，在矩形 ABC D中，已知 AB ＝6， A D＝8，点 P 是 A D上的
一个动点（不与点 A 和点D重合），过点 P 分别作 AC 和 B D的垂
线，垂足为E，F，求 P E＋ P F的值.
解：如答图，连接 OP .
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90°，
AC ＝ BD . ∴ OA ＝ OC ＝ OD ＝ OB .
∵ AB ＝6， AD ＝8，
∴ BD ＝ ＝ ＝10.
∴ OA ＝ OD ＝ ×10＝5.∵ ＝ ＋ ，
∴ × ×6×8＝ ×5· PE ＋ ×5· PF . ∴ PE ＋ PF ＝4.8.
答图
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定（第二课时）
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课前预习
0 1
菱形的判定.
（1）定义法：有一组 相等的平行四边形是菱形.
（2）判定定理：①对角线 的平行四边形是菱形；
②四条边 的四边形是菱形.
（3）其他：对角线 的四边形是菱形.
邻边
互相垂直
相等
互相垂直平分
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典例讲练
0 2
已知四边形 ABC D为平行四边形，有下列条件：① AC ⊥ B D；
②∠ BA D＝90°；③ AB ＝ BC ；④ AC ＝ B D. 其中能使 ABC D
为菱形的有 （填序号）.
【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断
即可.
①③
【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行
四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知①
③符合，②④不符合.故答案为①③.
【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边
形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相
等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四
边形的基础上加上菱形独有的条件.
1. 下列说法中，正确的是（ B ）
A. 两组邻边相等的四边形是菱形
B. 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B
2. 如图，在四边形 ABC D中，已知点E，F分别是线段 A D， BC
的中点，点G，H分别是线段 B D， AC 的中点.当四边形 ABC D的
边满足 时，则四边形EGFH是菱形.
AB ＝ CD
如图，在 ABC D中， BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，分别在边 BC ， A
D上的点E与点F关于 AC 对称，连接EF， A E， C F，DE.
（1）试判断四边形 A E C F的形状，并说明理由；
（2）求证： A E⊥DE.
【思路导航】（1）由对角线互相垂直平分可得到四边形 A E C F
的形状；（2）先求得∠ A E C 的度数，进而可求得∠ C ED的度
数，即可得到∠ A ED的度数.
（1）解：四边形 AECF 为菱形.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC ，
∴∠ CAF ＝∠ ACE .
如图，设 AC 与 EF 相交于点 O .
∵点 E 与点 F 关于 AC 对称，
∴ OE ＝ OF 且 EF ⊥ AC .
在△ AOF 和△ COE 中，
∴△ AOF ≌△ COE （ AA S）.
∴ OA ＝ OC .
又∵ OE ＝ OF ， EF ⊥ AC ，
∴四边形 AECF 为菱形.
（2）证明：∵ BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，
∴∠ ACB ＝30°.
∴∠ B ＝60°.
∵四边形 AECF 为菱形，
∴ AE ＝ CE .
∴∠ EAC ＝∠ ACB ＝30°.
∴∠ BAE ＝60°＝∠ B .
∴ AE ＝ BE ＝ AB ，∠ AEB ＝60°.
∴∠ AEC ＝120°.
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD .
∴∠ DCE ＝180°－∠ B ＝120°.
又∵ CE ＝ AE ，
∴ CE ＝ BE ＝ BC ＝ AB ＝ CD .
∴∠ CED ＝∠ CDE ＝30°.
∴∠ AED ＝120°－30°＝90°.
∴ AE ⊥ DE .
【点拨】菱形的判定方法可以从边和对角线两个方面去探寻，
若已知对角线互相垂直，则可以考虑证明四边形是平行四边
形，解决问题的关键是要熟悉菱形的各种判定方法.
1. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°， BC ＝
6，点D为斜边 AB 上一点，以 C D， CB 为边作 C DE B . 当 A D
＝ 时，则 C DE B 为菱形.
6
2. （2023·张家界）如图，已知点 A ，D， C ， B 在同一条直线
上，且 A D＝ BC ， A E＝ B F， C E＝DF.
（1）求证： A E∥ B F；
证明：（1）∵ AD ＝ BC ，
∴ AD ＋ DC ＝ BC ＋ DC ，即 AC ＝ BD .
在△ AEC 和△ BFD 中，
∴△ AEC ≌△ BFD . ∴∠ A ＝∠ B . ∴ AE ∥ BF .
（2）若DF＝F C ，求证：四边形DE C F是菱形.
证明：（2）由（1）知，△ AEC ≌△
BFD ，
∴∠ ECA ＝∠ FDB .
∴ CE ∥ DF .
又∵ CE ＝ DF ，
∴四边形 DECF 是平行四边形.
又∵ DF ＝ FC ，
∴ DECF 是菱形.
已知△ ABC 是等边三角形，点D是射线 BC 上的一个动点（点D
不与点 B ， C 重合），△ A DE是以 A D为边的等边三角形，过点
E作 BC 的平行线，分别交射线 AB ， AC 于点F，G，连接 B E.
（1）如图1，当点D在线段 BC 上时，求证：△ A E B ≌△ A D C .
图1
（2）如图2，当点D在 BC 的延长线上时，探究四边形 BC GE是
怎样特殊的四边形，并说明理由.
图2
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形 BC
GE是菱形？并说明理由.
【思路导航】（1）根据△ ABC ，△ A DE都为等边三角形寻找
等量关系，利用“SAS”证明全等即可；（2）利用（1）中的
方法得到△ A E B ≌△ A D C ，再判断出∠DEG＝∠ B DE，进而
求出∠ B EG的度数，即可得出结论；（3）由菱形的性质得出 B
E＝ BC ，进而得出 BC ＝ C D，即可得出结论.
（1）证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°.
∵△ ADE 是等边三角形，
∴ AE ＝ AD ，∠ DAE ＝60°.
∴∠ BAC ＝∠ DAE .
∴∠ BAC －∠ BAD ＝∠ DAE －∠ BAD ，
即∠ DAC ＝∠ EAB .
∴△ AEB ≌△ ADC （S A S）.
图1
（2）解：四边形 BCGE 是平行四边形.理由如下：
∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ACB ＝60°.
∴∠ BCG ＝180°－∠ ACB ＝120°.
∵△ ADE 是等边三角形，
∴∠ AED ＝∠ ADE ＝60°.
∵ FG ∥ BC ，
∴∠ EGC ＝∠ ACB ＝60°，∠ DEG ＝∠ BDE .
同（1）的方法，得△ AEB ≌△ ADC （S A S），
图2
∴∠ AEB ＝∠ ADC .
∴∠ AEB ＋∠ DEG ＝∠ ADC ＋∠ BDE ＝∠ ADE ＝60°.
∴∠ BEG ＝∠ AEB ＋∠ DEG ＋∠ AED ＝60°＋60°＝120°.
∴∠ BEG ＋∠ EGC ＝180°.
∴ BE ∥ CG .
又∵ FG ∥ BC ，
∴四边形 BCGE 是平行四边形.
图2
（3）解：当 CD ＝ BC 时，四边形 BCGE 是菱形.理由如下：
由（2）知，四边形 BCGE 是平行四边形，
△ AEB ≌△ ADC （S A S），
∴ BE ＝ CD .
又∵ CD ＝ BC ，
∴ BE ＝ BC .
∴ BCGE 是菱形.
【点拨】动态过程的探究问题，只需抓住变化过程中的不变
量，如图形的形状、点的运动轨迹等.在本题中只需抓住共顶点
的三角形旋转前后全等，即变化中永远相等的量.
图2
如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝20，∠ A ＝60°.点 P 从
点 B 出发沿 BA 方向以每秒2个单位长度的速度向点 A 匀速运动，
同时点Q从点 A 出发沿 AC 方向以每秒1个单位长度的速度向点 C
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动.设点 P ，Q运动的时间是t s .过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，连接
P Q，Q M .
（1）请用含有t的式子填空： A Q＝ ， AP ＝ ，
PM ＝ ；
t
40－2 t
t
（1）【解析】∵点 Q 从点 A 出发沿 AC 方向以每秒1
个单位长度的速度向点 C 匀速运动，
∴ AQ ＝ t .
∵∠ C ＝90°， AC ＝20，∠ A ＝60°，
∴∠ B ＝30°.∴ AB ＝2 AC ＝40.
∴ AP ＝ AB － BP ＝40－2 t .
∵ PM ⊥ BC ，∴∠ PMB ＝90°.
∴ PM ＝ PB ＝ t .
故答案为 t ，40－2 t ， t .
（2）是否存在某一时刻使四边形 A Q MP 为菱形？如果存在，
求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.
（2）解：存在.理由如下：
由（1）知， AQ ＝ PM .
∵ AC ⊥ BC ， PM ⊥ BC ，∴ AQ ∥ PM .
∴四边形 AQMP 是平行四边形.
当 AP ＝ AQ 时， AQMP 是菱形，即40－2 t ＝ t .
解得 t ＝ .则存在 t ＝ ，使得四边形 AQMP 为菱形.
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第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定（第二课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
判定正方形的基本思路.
已知 先证明 再证明 最后证明
四边形 平行 四边形 邻边相等 一个直角
矩形 一组邻边相等
对角线互相垂直
菱形 一个直角
对角线相等
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
在四边形 ABCD 中，已知 AC 与 BD 相交于点 O ，那么下列条件
中能判定这个四边形是正方形的是（ C ）
A. AC ＝ BD ， AB ∥ CD ， AB ＝ CD
B. AD ∥ BC ，∠ A ＝∠ C
C. AO ＝ BO ＝ CO ＝ DO ， AC ⊥ BD
D. AO ＝ CO ， BO ＝ DO ， AB ＝ BC
【思路导航】根据正方形的判定定理进行分析从而得到答案.
C
【解析】A. 不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四边
形是矩形；B. 不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四
边形是平行四边形；C. 能判定这个四边形是正方形；D. 不能判
定这个四边形是正方形，只能判定这个四边形是菱形.故选C.
【点拨】判定一个四边形为正方形的途径有三种：①先说明它
是平行四边形，再说明有一组邻边相等，且有一个角是直角；
②先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等，或说明对角线互
相垂直；③先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角，或说
明对角线相等.
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下
列条件中的一个，则能使菱形 ABCD 成为正方形的是（ A ）
A
A. ∠ ABC ＝90°
B. AC ＝ AD
C. BD ＝ AB
D. OD ＝ AC
如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 边上且 AD ＝
BD ，连接 CD ，点 E 是 CD 的中点，过点 C 作 CF ∥ AB ，交 AE
的延长线于点 F ，连接 BF .
（1）求证： AE ＝ EF ；
（2）判断四边形 BDCF 的形状，并说明理由；
（3）当∠ ABC ＝45°时，直接判断四边形 BDCF 的形状.
【思路导航】（1）由 CF ∥ AB ，得∠ DAE ＝∠ CFE ，证明△
ADE ≌△ FCE ，从而得到结论成立；（2）先证明四边形 BDCF
是平行四边形，再由直角三角形中斜边上的中线性质证明四边
形 BDCF 是菱形；（3）通过证得∠ BDC ＝90°得到问题的答案.
（1）证明：∵ CF ∥ AB ，∴∠ DAE ＝∠ CFE .
∵点 E 是 CD 的中点，∴ DE ＝ CE .
在△ ADE 和△ FCE 中，
∴△ ADE ≌△ FCE .
∴ AE ＝ EF .
（2）解：四边形 BDCF 是菱形.理由如下：
由（1）知，△ ADE ≌△ FCE ，
∴ AD ＝ FC .
∵ AD ＝ BD ，∴ FC ＝ BD .
∵ CF ∥ BD ，
∴四边形 BDCF 是平行四边形，
∵∠ ACB ＝90°， AD ＝ BD ，
∴ CD ＝ BD .
∴ BDCF 是菱形.
（3）解：四边形 BDCF 是正方形.
由（2）知， CD ＝ BD ，且∠ ABC ＝45°，
∴∠ DCB ＝∠ DBC ＝45°.
∴∠ BDC ＝90°.
又∵四边形 BDCF 是菱形，
∴菱形 BDCF 是正方形.
【点拨】正方形的判定思路通常有三个途径：（1）从定义去判
定，先证明平行四边形，再证明一组邻边相等和一个角是直
角；（2）先证明矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂
直；（3）先证明菱形，再证明一个角是直角或对角线相等.另
外还要灵活运用全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质
和等腰三角形的性质等.
如图，在△ ABC 中，已知 BD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 作
DE ∥ BC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 BC 于点 F .
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（1）证明：∵ DE ∥ BC ， DF ∥ AB ，
∴四边形 BEDF 是平行四边形，∠ EDB ＝∠ DBF .
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ EBD ＝∠ DBF .
∴∠ EBD ＝∠ EDB . ∴ EB ＝ ED .
∴ BEDF 是菱形.
（2）若 AB ＝ BC 且 AC ＝2 BD ，试判断四边形 BEDF 的形状并
说明理由.
（2）解：四边形 BEDF 是正方形.理由如下：
由（1）知，四边形 BEDF 是菱形.
∵ AB ＝ BC ， BD 平分∠ ABC ，
∴ BD 是△ ABC 的中线.
∴ AD ＝ CD ＝ AC .
又∵ AC ＝2 BD ，∴ AD ＝ CD ＝ BD .
∴∠ BAC ＝∠ ABD ，∠ BCA ＝∠ CBD .
∵∠ BAC ＋∠ ABD ＋∠ BCA ＋∠ CBD ＝180°，
即2∠ ABD ＋2∠ CBD ＝180°.
∴∠ ABD ＋∠ CBD ＝90°，
即∠ ABC ＝90°.
∴菱形 BEDF 是正方形.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°，点 D 为边
BC 的中点，在 AC 上取一点 E ，使得∠ EDC ＝∠ ADB ，连接 BE
交 AD 于点 O . 求证： BE ⊥ AD .
【思路导航】根据点 D 为边 BC 的中点及∠ EDC ＝∠ ADB 可作
FC ⊥ BC ，构建△ ABD ≌△ FCD ，从而得到四边形 ABCF 为正
方形.再根据△ ABD ≌△ FCD 得到∠ CBE ＋∠ ADB ＝90°，从而
证得结论.
证明：如图，过点 C 作 BC 的垂线交 DE 的延长线于点 F ，连接
AF .
∵点 D 为边 BC 的中点，
∴ BD ＝ CD .
又∵∠ EDC ＝∠ ADB ，∠ ABD ＝∠ FCD ＝90°，
∴△ ABD ≌△ FCD （ASA）.
∴ AB ＝ FC .
∵∠ ABD ＝∠ FCD ＝90°，
∴∠ ABC ＋∠ FCD ＝180°.
∴ AB ∥ CF .
∴四边形 ABCF 是平行四边形.
又∵∠ FCB ＝90°，
∴ ABCF 是矩形.
又∵ AB ＝ BC ，
∴矩形 ABCF 是正方形.
∴ BC ＝ CF ，∠ ACB ＝∠ ACF ＝45°.
又∵ EC ＝ EC ，
∴△ BCE ≌△ FCE （SAS）.
∴∠ CFE ＝∠ CBE .
又∵△ ABD ≌△ FCD ，
∴∠ BAD ＝∠ CFD . ∴∠ BAD ＝∠ CBE .
∵∠ BAD ＋∠ ADB ＝90°，
∴∠ CBE ＋∠ ADB ＝90°.
∴∠ BOD ＝90°.
∴ BE ⊥ AD .
【点拨】解决本题的关键是构建正方形 ABCF .
如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，点 D 是 BC 的中点，点 E
是 AD 的中点.过点 A 作 AF ∥ BC 交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF .
（1）求证：△ AEF ≌△ DEB ；
（1）证明：∵ AF ∥ BC ，∴∠ AFE ＝∠ DBE .
∵点 E 是 AD 的中点，∴ AE ＝ DE .
在△ AEF 和△ DEB 中，
∴△ AEF ≌△ DEB （AAS）.
（2）当△ ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说
明理由.
（2）解：当 AB ＝ AC 时，四边形 ADCF 是
正方形.理由如下：
由（1）知，△ AEF ≌△ DEB ，
∴ AF ＝ DB .
∵点 D 是 BC 的中点，
∴ DB ＝ DC . ∴ AF ＝ DC .
又∵ AF ∥ BC ，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∵∠ BAC ＝90°， D 是 BC 的中点，
∴ AD ＝ DC ＝ BC .
∴ ADCF 是菱形.
∵ AB ＝ AC ，点 D 是 BC 的中点，
∴ AD ⊥ BC .
∴菱形 ADCF 是正方形.
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第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定（第一课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 正方形的定义.
有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形
叫做正方形.
2. 正方形的性质定理.
（1）正方形的四个角都是 ，四条边 ；
（2）正方形的两条对角线 且互相 .
注：正方形具有一般平行四边形、菱形、矩形的一切性质.
邻边
直角
直角
相等
相等
垂直平分
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
下列关于正方形的说法中，正确的是 （填序号）.
①它的四条边相等，四个角相等；②两条对角线把正方形分成
四个全等的等腰直角三角形；③是轴对称图形，但不是中心对
称图形；④它的对称轴有4条.
【思路导航】根据正方形具有菱形和矩形的所有性质，以及正
方形的特有性质判断即可.
①②④
【解析】正方形的四条边相等，四个角都是直角，故①正确；
根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可得出两条对角线
把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，故②正确；正方形
既是中心对称图形，又是轴对称图形，故③错误；正方形有4条
对称轴，故④正确.故答案为①②④.
【点拨】（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性
质.（2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰
直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三
角形.（3）正方形既是中心对称图形，它的对称中心是对角线
的交点；又是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对角线所
在的直线和对边中点连线所在的直线.
1. 下列描述中，错误的是（ C ）
A. 正方形的四个角都是直角
B. 正方形的对角线相等且互相垂直
C. 菱形、矩形的对角线都相等
D. 正方形、矩形、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C
2. 如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD ，点 O 是 BD 的中点.点
M ， N 是边 AD 上的两点，连接 MO ， NO ，并分别延长交边 BC
于点 M '， N '，则图中的全等三角形共有（ C ）
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
C
（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段
AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF
＝ BE ＋ EF .
【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ，
CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°.
∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°.
∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ，
∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°.
∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°.
∴∠ CBE ＝∠ DCF .
在△ BCE 和△ CDF 中，
∴△ BCE ≌△ CDF （AAS）.
∴ BE ＝ CF ， CE ＝ DF .
∴ CE ＝ CF ＋ EF ＝ BE ＋ EF .
∴ DF ＝ BE ＋ EF .
【点拨】利用正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识
点，正确找出两个全等三角形是解题的关键.
如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝1，点 E ， F 分
别是正方形的边 BC ， DC 上的一点，且∠ EAF ＝45°.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；
（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方
向旋转90°，得到△ ABF '，
则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ，
AF '＝ AF ， BF '＝ DF .
∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
∴∠ D ＝∠ ABC ＝90°.∴∠ ABF '＝90°.∴∠ F ' BC ＝180°.
∴点 F '， B ， E 在同一直线上.
∵ AF ＝ AF '，∠ F ' AE ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－∠ EAF ＝
90°－45°＝45°＝∠ EAF ， AE ＝ AE ，
∴△ AF ' E ≌△ AFE .
∴ EF '＝ EF .
∵ EF '＝ BE ＋ BF '，
∴ EF ＝ BE ＋ DF .
答图
（2）求△ CEF 的周长.
（2）解：由（1）可知， EF ＝ BE ＋ DF .
∵ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ EF ，
∴ C△ CEF ＝ EC ＋ FC ＋ BE ＋ DF ＝ BC ＋ CD .
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ CD ＝ BC ＝ AB ＝1.
∴ C△ CEF ＝1＋1＝2.
如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 F 是线段 AD 上的一个动
点，连接 CF ，以 CF 为对角线作正方形 CGFE （点 C ， G ， F ，
E 按逆时针方向排列），连接 BE ， DG . 求证：
（1） BE ＝ DG ；
（2） CD － FD ＝ BE .
【思路导航】（1）判定△ BCE 和△ DCG 全等，从而根据三角
形全等的性质推断出 BE ＝ DG ；（2）在线段 CD 上截取 CH ＝
FD ，连接 HG ，判定△ FDG 和△ CHG 全等，从而得到∠ DGH
＝90°，再利用勾股定理得出 DH ＝ DG ＝ BE ，从而可以
证明结论成立.
证明：（1）∵四边形 ABCD ，四边形 CGFE 都是正方形，
∴∠ BCD ＝∠ ECG ＝90°， CB ＝ CD ， CE ＝ CG .
∴∠ BCD －∠ ECD ＝∠ ECG －∠ ECD ，
即∠ BCE ＝∠ DCG .
在△ BCE 和△ DCG 中，
∴△ BCE △ DCG .
∴ BE ＝ DG .
（2）如图，在线段 CD 上截取 CH ＝ FD ，连接 HG ，设 FG 与
CD 相交于点 M .
∵四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形，
∴∠ ADC ＝∠ CGF ＝90°， GC ＝ GF .
∴∠ MFD ＋∠ FMD ＝90°，
∠ MCG ＋∠ CMG ＝90°.
∵∠ FMD ＝∠ CMG ，
∴∠ MFD ＝∠ MCG .
在△ FDG 和△ CHG 中，
∴△ FDG ≌△ CHG .
∴ DG ＝ HG ，∠ DGF ＝∠ HGC .
∴∠ DGF ＋∠ FGH ＝∠ HGC ＋∠ FGH ＝90°，
即∠ DGH ＝90°.
在Rt△ DGH 中，∵ DH2＝ DG2＋ HG2＝2 DG2，
∴ DH ＝ DG ＝ BE .
∵ CD － FD ＝ CD － HC ＝ DH ，
∴ CD － FD ＝ BE .
【点拨】解与正方形有关的问题时，要充分利用正方形的四边
相等、四个角为直角和对角线互相垂直平分且相等的性质，再
结合全等三角形的性质和判定、勾股定理进行综合运用.
如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 E 是 BC 边上一动点（不
与点 B ， C 重合），连接 AE ，以 AE 为边，在 AE 右侧作正方形
AEFG ，连接 CF . 当点 E 运动时，∠ ECF 的大小会不会发生变
化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出∠ ECF
的度数.
解：∠ ECF 的大小不会变化.理由如下：
如答图，过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H .
∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，
∴∠ H ＝∠ ABC ＝∠ AEF ＝90°， AE ＝ EF .
∴∠ EAB ＋∠ AEB ＝90°＝∠ AEB ＋∠ FEH .
∴∠ EAB ＝∠ FEH .
在△ ABE 和△ EHF 中，
答图
∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）.
∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF .
∴ EH ＝ BC .
∴ BE ＝ CH .
∴ CH ＝ FH .
∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°.
∴∠ ECF ＝135°.
答图
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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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课前预习
0 1
菱形的两个面积公式.
（1）S＝ ；
（2）S＝ .
注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成
有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边
形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相
垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.
底×高
数学 九年级上册 BS版
典例讲练
0 2
如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边
缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积
为 .
2
【思路导航】过点 A 作 A E⊥ BC 于点E， A F⊥ C D于点F，则可
得到 A E， A F的长，再证 ABC D是菱形，得到 A D＝ C D，利
用30°角求得 C D的长，最后由菱形的面积公式即可求解.
【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ，则
AE ＝ AF ＝1.∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四
边形.∴ ABCD 的面积＝ BC · AE ＝ CD · AF . ∴ BC ＝ CD . ∴
ABCD 是菱形.∴ AD ＝ CD . ∵∠ ADC ＝α＝
30°，∠ AFD ＝90°，∴ CD ＝ AD ＝2 AF ＝2.
∴菱形 ABCD 的面积＝ CD · AF ＝2×1＝2.
故答案为2.
【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性
质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形 ABCD 为
菱形是解决本题的关键.
如图，已知菱形 ABC D的周长为20， AC ∶ B D＝1∶2，则菱形
ABC D的面积是 .
20
如图，在四边形 ABC D中，已知 A D∥ BC ，点E为 BC 的中点，
BC ＝2 A D，E A ＝ED＝2， AC 与ED相交于点F.
（1）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 A E C D是菱形？
（2）在（1）的条件下求出此时菱形 A E C D的面积.
【思路导航】（1）先得到 AB ∥DE，当四边形 A E C D为菱形
时，对角线 AC ⊥DE，因此只要 AB ⊥ AC ，就可以得到菱形 A E
C D；（2）利用菱形的面积公式计算即可.
解：（1）当 AB ⊥ AC 时，四边形 AECD 是菱形.理由如下：
∵点 E 为 BC 的中点， BC ＝2 AD ，
∴ BE ＝ EC ＝ AD .
又∵ AD ∥ BC ，
∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形.
∴ AB ∥ ED .
∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC .
∴四边形 AECD 是菱形.
（2）如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G .
由（1）知 EA ＝ AD ＝ EC ＝ BE ， AB ＝ ED .
∵ EA ＝ ED ＝2，
∴ AE ＝ BE ＝ AB ＝ EC ＝2.
∴△ ABE 是等边三角形.
∴∠ AEB ＝60°.
∴ AG ＝ .
∴ ＝ EC · AG ＝2× ＝2 .
【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关
键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上
的高是关键，用底乘高得到菱形的面积.
如图，在 ABC D中， A E⊥ BC ， A F⊥ C D，垂足分别为E，
F，且 B E＝DF.
（1）求证： ABC D是菱形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，
∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.在△ AEB 和△ AFD 中，
∴△ AEB ≌△ AFD （ A S A ）.
∴ AB ＝ AD . ∴ ABCD 是菱形.
（2）若 AB ＝5， AC ＝6，求四边形 ABC D的面积.
（2）解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O .
∵四边形 ABCD 是菱形， AC ＝6，
∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ CO ＝ AC ＝ ×6＝3.
∵ AB ＝5， AO ＝3，
∴ BO ＝ ＝ ＝4.
∴ BD ＝2 BO ＝8.
∴ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×8＝24.
如图，在四边形 ABC D中， AC ⊥ B D于点O， A O＝ C O＝4， B
O＝DO＝3，点 P 为线段 AC 上的一个动点.过点 P 分别作 PM ⊥ A
D于点 M ，作 PN ⊥D C 于点 N ，连接 PB . 在点 P 运动的过程中，
求 PM ＋ PN ＋ PB 的最小值.
【思路导航】先判断出四边形 ABC D的形状，从而得到 C D， A
D的长度，连接 P D，由三角形面积关系求出 PM ＋ PN 的值，则
当 PB 最短时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值，则当 PB ⊥ AC 时， PB
最短.
解：∵ AO ＝ CO ＝4， BO ＝ DO ＝3，
∴ AC ＝8，四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AC ⊥ BD 于点 O ，
∴ ABCD 是菱形，
AD ＝ ＝ ＝5.
∴ CD ＝ AD ＝5.
如图，连接 PD .
∵ ＋ ＝ ，
∴ AD · PM ＋ DC · PN ＝ AC · DO ，
即 ×5· PM ＋ ×5· PN ＝ ×8×3.
∴5×（ PM ＋ PN ）＝8×3.
∴ PM ＋ PN ＝4.8.
∴当 PB 最短时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值.
由垂线段最短可知，当 PB ⊥ AC 时， PB 最短.
∴当点 P 与点 O 重合时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值，最小值＝4.8
＋3＝7.8.
【点拨】根据菱形的性质，知 PM ＋ PN 在点 P 的整个运动过程
中是定值，最终转化为点到直线的距离问题，运用垂线段最短
来解决.
已知菱形O BC D在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点
B （2，0），∠DO B ＝60°，点 P 是对角线O C 上一个动点，
E（0，－ ）.当E P ＋ BP 最小时，求E P ＋ BP 的值和点 P
的坐标.
解：连接 ED ，如答图所示.
∵点 B 关于 OC 的对称点是点 D ，
∴ DP ＝ BP .
当点 D ， P ， E 共线时， EP ＋ BP 最小，
ED 的长即为 EP ＋ BP 的最小值.
∵四边形 OBCD 是菱形，顶点 B （2，0），∠ DOB ＝60°，
∴点 D 的坐标为（1， ），点 C 的坐标为（3， ）.
∵点 E 的坐标为 ，∴由勾股定理，
答图
得 ED ＝ ＝ .
∴当 EP ＋ BP 最小时， EP ＋ BP 的值为 .
∵点 C 的坐标为（3， ），
∴直线 OC 的函数表达式为 y ＝ x .
∵点 E 的坐标为 ，点 D 的坐标为（1， ），
答图
∴直线 DE 的函数表达式为 y ＝ x － .
联立解得
∴点 P 的坐标为 .
答图
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