21.2 二次函数y=ax?的图象和性质（第1课时） 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第一课时 二次函数y=ax 的图象和性质
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
情景导入
探究二次函数 y＝ax2 的图象和性质
课本例1.画出二次函数 y＝x2 的图象.
观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
9
4
1
0
1
9
4
1．列表
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
新知探究
2．描点
根据表中x，y的数值在坐标平面内描点 (x，y).
3．连线
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
1
4
-1
-3
O
1
x
y
-2
-4
3
2
2
3
4
5
6
当x= -2时，y=4；
当x= -1时，y=1.
当x=1时，y=1；
当x=2时，y=4.
y＝x2
当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
画出函数 y＝－x2 的图象.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
－9
－4
－1
0
－1
－9
－4
1．列表
(1) 二次函数 y＝－x2 的图象是什么形状？
(2) 它与二次函数 y＝x2的图象有什么关系？
新知探究
2．描点
根据表中x，y的数值在坐标平面内描点 (x，y).
3．连线
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y =－x2 的图象．
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
1
4
-1
-3
O
-5
x
y
-2
-4
3
2
-4
-3
-2
-1
-6
当x= -2时, y= -4；
当x= -1时, y= -1.
当x=1时, y= -1；
当x=2时, y= -4.
y＝－x2
当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而增大.
当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而减小.
抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
抛物线 y＝x2 y＝－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
(0，0)
(0，0)
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
概念归纳
例2.在同一直角坐标系中，画出函数 y＝ x2 ，y＝2x2 的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2 … …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
列表
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
课本例题
描点、连线
如图，即得这两个函数的图象.
-2
2
2
4
6
4
-4
8
O
x
y
y＝2x2
y＝ x2
y＝x2
如图可知，当 a>0 时，a 越大，开口越小.
1.在同一直角坐标系中，画出函数 y＝－ x2 ，y＝－2x2
的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= - x2 … …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y= -2x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
列表
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
练一练
描点、连线
如图，即得这两个函数的图象.
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
x
y
O
y＝－ x2
y＝－2x2
y＝－x2
如图可知，当a＜0时，a 越大，开口越大.
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
概念归纳
3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,
顶点是 ;顶点是抛物线的最 点
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 顶点是抛物线的最 点
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是___,顶点是 ;
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
练一练
例 3： 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
典例剖析
例 4 ：已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
典例剖析
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，
所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，
解得k=2
2
练一练
例 5. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形
ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的
图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积
之和．
<
典例剖析
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
总结归纳
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
练一练
3.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
练一练
4.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
练一练
课本练习
1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出画数的图象；
-2 -1 0 1 2
0
12 3 0 3 12
0
-12 -3 0 -3 -12
解：（1）描点、连线，即得函数图象，如图所示.
（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
解：（2）由图象可知，函数，的开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线，的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.
解：（3）由图象可知，函数，都有最低点，当x=0时， 0，所以最低点坐标为（0，0），函数，都有最高点，当x=0时， 0，所以最高点坐标为（0，0）.
解：（4）由图象可知，函数，的图象在x<0时，y随x的增大而减小，在x>0时，y随x的增大而增大，函数，的图象，在x<0时，y随x的增大而增大，在x>0时，y随x的增大而减小.
（4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况.
课本练习
2.在下列抛物线中，开口最大、最小的各是哪一个？
解：因为，所以抛物线的开口最大，抛物线 的开口最小.
课本练习
3，在同一平面直角坐标系中，下列各组中两个函数的图象有怎样的位置关系？
（1）与 y；（2）与；
（3）与.
解：（1）和的图象形状相同，顶点相同，对称轴相同，开口方向相反，两图象关于x轴对称.
（2）和的图象形状相同，顶点相同，对称轴相同，开口方向相反，两图象关于x轴对称.
（3）和的图象形状相同，顶点相同，对称轴相同，开口方向相反，两图象关于x轴对称.
课本练习
4.画出函数的图象，并根据图象求：
（1）当 x=2，-1.7 时的 y 值（精确到 0.1）；
（2）当y =2，5.8时的 x 值（精确到 0.1）；
（3）图象上最低点的坐标.
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接，得图象，如图所示.
由图象可知：
（1）当x=2时，y=4.0；当x=-1.7时，y=2.9.
（2）当y=2时，x=±1.4；当y=5.8时，x=±2.4.
（3）（0，0）.
课本练习
5.二次函数的图象经过点（2，-2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而增大？
解：（1）把点（2，-2）代人，解得，所以这个二次函数的表达式为.
（2）因为的顶点坐标是（0，0），开口向下，所以当x<0时，y随x的增大而增大.
y轴(或x＝0)
(0,0)
上
最小
下
最大
|a|
小
大
C
分层练习-基础
D
m＜2
不同
相同
相同
相同
x轴
y1＞y2＞y3
分层练习-基础
减小
增大
最小
0
增大
减小
最大
0
B
分层练习-基础
C
＞
m＞0
分层练习-基础
0
a＜－1
－4
±2
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
D
B
3
分层练习-巩固
2
③
②
①
④
分层练习-巩固
2π
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
C
B
分层练习-巩固
C
D
4
－4
0
0
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
－2
课堂反馈
课堂反馈
C
课堂反馈
0
0
4
8
课堂反馈
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结