第6章 平行四边形单元测试（拔尖卷）（含解析）

第6章 平行四边形 单元测试（拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，中，，平分，，E为的中点，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．1．5 D．2．5
3．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，且，点C关于的对称点为F，连接、、，则的面积（ ）
A．24 B．25 C． D．
4．□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
5．如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
6．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
A．30 B．15 C．40 D．20
7．如图，在中，连接，作交延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，且，则的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知：中，，点为边上一点，于点，于点，将，分别沿，折叠．使点、分别落在边、上的点和处，下列结论错误的是（ ）

A．当时．
B．当为等边三角形，且点为中点时．四边形是菱形
C．当时，
D．当四边形为平行四边形时，的值为
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
10．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和为中点，连接、、，与交于点O，与交于点，连接，若，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积比为，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝ 时，四边形ADFE是平行四边形．
12．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3的度数等于 ．

13．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则 ．
14．如图，在平行四边形中，，，，点M在上，且，点N在上．若平分四边形的面积，则的长度为 ．

15．如图，中，，，，点为上一点（端点除外），连接、，点关于的对称点记为，当点恰好落在线段上时，此时 ， ．
16．如图，在中，E、F在边上，，连接交于G．，若，则线段的长为 ．

17．如图，在中，，点为边上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则 ．
18．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，，求 ABCD的周长．
20．（8分）如图，四边形ABCD中，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
21．（10分）已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．
（l）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：．
22．（10分）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：
（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；
（2）求出边A1C1所在直线的解析式；
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．
24．（12分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
解：解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得
解得：．
∵n为正整数，
∴必为180的倍数，
又∵，
∴．
解法2：∵．
∴，即．
又∵，
∴，
解之得．
∵边数n为正整数，
∴．
故选A．
2．A
【分析】延长交于点F，证，再由E为的中点，即可求解；
解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故选：A．

【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、中位线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
3．C
解：连接，，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
则：，
∵在平行四边形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点C关于的对称点为F，设交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值．
解：如图所示，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵□的面积为8，的长为整数，
∴，
即：，
∴整数为0或1或3．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．A
【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG＝∠DGA，进而得到AD＝DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．
解：过A作AM⊥CD于M，
根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAG，
∵，，
∴CD∥AB，AD＝BC＝6，，
∴∠DGA＝∠BAG，
∴∠DAG＝∠DGA，
∴AD＝DG＝BC＝6，
∵，
∴∠DGA＝30°，∠ADM＝60°，
∴在Rt△ADM中，，
∴，
∴在Rt△AGM中，，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
6．B
【分析】由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出，再证明BE＝AB＝25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥AE．设AF＝x，BF＝y，由∠ABF＜∠BAF可得x＜y，进而根据勾股定理以及△ABE的面积为300列出方程组并解出即可．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，
∴∠DAF＝∠E．
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴，
∴．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠DAF＝∠E，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝25，
∵AF＝FE，
∴BF⊥AE．
设AF＝x，BF＝y，
∵∠D为锐角，
∴∠DAB＝180°－∠D是钝角，
∴∠D＜∠DAB，
∴∠ABC＜∠DAB，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，x＜y．
则有，解得：或（舍去），
即AF＝15．
故选：B．
【点拨】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出以及BF⊥AE是解题的关键．
7．C
【分析】根据四边形是平行四边形得到，AB∥CD，利用证得四边形 是平行四边形，得到，再利用勾股定理即可求出EF的长．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥CD，
又∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
在中，．
故选：C．
【点拨】此题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理求边长．解题中由已知的条件证得四边形是平行四边形是解题的关键，由此得到DE＝1，即可利用勾股定理求所求线段的长度．
错因分析 中等题．失分的原因是：不熟悉平行四边形和直角三角形的基本性质．
8．C
【分析】对于选项A，可依据平角的定义、三角形内角和、折叠对称性进行判断；对于选项B，可结合P为中点的题设、折叠对称性，利用等边三角形的性质、菱形的判定定理进行判断；对于选项C，结合题干，查找是否存在所求角与已知角的联系即可判断；对于选项D，可依据平行四边形的性质、等边三角形的性质、相关三角函数的计算得出的值，判断是否正确．
解：当时，则，
由折叠可得：，，
，
，
，故正确，不符合题意；
如图，

为等边三角形，且点为中点，
，，
由折叠可得：，，，
△、△为等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．故正确，不符合题意；
当时，因为未知，所以无法求的度数，故错误，符合题意；
当四边形为平行四边形时，则，，
，，
由折叠可得：，，，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
在中，，
，故正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的对称性，等边三角形、菱形、平行四边形的性质，解直角三角形等多个知识点，解题的关键是熟知相关的性质和定理，并能灵活应用．
9．B
解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，即，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，
∵，，
设，则，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故选：B．
【点拨】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
10．B
【分析】利用等边三角形的性质，直角三角形的特征，等边三角形的三线合一性质，可判定①；利用直角三角形性质，斜边大于直角边，可判定②；利用全等三角形的性质，可判定③；利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，可判定④；利用三角形面积特点，可判定⑤．
本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点的综合运用．
解：设，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，F为中点，
∴，
，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
∵，，
∴，
故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故⑤错误，
故选B．
11．．
解：试题分析：当＝时，四边形ADFE是平行四边形．理由如下：
∵＝，∴∠CAB＝30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，∴∠FEA＝∠BAC，在△ABC和△EAF中，∵∠ACB＝∠EFA，∠BAC＝∠AEF，AB＝AE，∴△ABC≌△EAF（AAS），∵∠BAC＝30°，∠DAC＝60°，∴∠DAB＝90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF＝AC＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为．
考点：1．平行四边形的判定；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题．
12．10°
解：试题分析：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝10°．故答案为10°．
考点：1．多边形内角与外角；2．三角形内角和定理．
13．
【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意易得为的中位线，进而可得，的值，再证明四边形为平行线四边形，可得，的值，再解得的值，可求得，同理可得，…，即可获得答案．
解：如下图，过点作于点，过点作于点，
∵是边长为1的等边三角形，
∴，，
∵点为中点，且，
∴为的中位线，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行线四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
…，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了图形规律探索、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，准确找到图形变化规律是解题关键．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出平行四边形以及直角三角形的勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键．
解：如图，取中点O，连接并延长交于点N，过A作于点G，过M作于点H，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分四边形的面积，
∴经过平分四边形的中心O，
∵在平行四边形中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
15． 4
【分析】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定和性质，关键是由轴对称的性质，平行线的性质推出，由勾股定理求出的长，得到的长．过作于，过作于，由平行四边形的性质推出，判定四边形是矩形，得到，判定是等腰直角三角形，求出，得到，由轴对称的性质得到，由平行线的性质推出，得到，推出，由勾股定理求出，得到，因此，于是得到．
解：过作于，过作于，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由轴对称的性质得到：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4，．
16．
【分析】取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，作于点R，在上截取，连接，证明四边形、、都是平行四边形，得到，，利用面积法求得，再利用勾股定理求解即可．
解：取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
作于点R，在上截取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求得是解题的关键．
17．
【分析】延长，过点E作，交的延长线于点G，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出．
解：延长，过点E作，交的延长线于点G，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
即，
解得：或（舍去），
在中根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判断和性质，勾股定理，余角的性质，平行线的判断，平行四边形的判断和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形证明．
18．45
【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．
解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵D、T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【点拨】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．
19．14
【分析】先证明，得到，从而可求平行四边形的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
．
∴平行四边形ABCD的周长为．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化相等线段．
20．（1）见分析；（2）6或
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；
（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD＝BC，②BD＝CD，③BC＝CD，分别求四边形的面积．
解：（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AF∥BC．
∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE．
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE．
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
∴BE＝EF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）若△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC＝3 ．
在Rt△ABD中，AB＝．
∴四边形BDFC的面积为S＝×3＝6；
②若BC＝DC＝3，
过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG－AD＝3－1＝2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得， ，
∴四边形BDFC的面积为S＝．
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
21．（1）；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长．
（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG＝∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA＝GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH＝∠AGH，从而得证．
解：（1）∵CF＝2，点F为CE的中点，∴CE＝4．
∵CE＝CD，∴CD＝4．
∵四边ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4．
∵ AE⊥BC，AE＝3，∴．
（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG＝∠EGH．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，CE＝CD，
∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG＝CF．
∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点．
∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线．
∴GA＝GE．∴∠EGH＝∠AGH．
∴．
22．（1）等边三角形，理由见分析；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a＋b），最小值为（a﹣b）
【分析】（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG＝FH，再想办法证明∠GFH＝60°即可解决问题；、
（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH的周长＝3GF＝BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
（1）解：结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵EG＝GB，EF＝FD，
∴FG＝BD，GF∥BD，
∵DF＝EF，DH＝HC，
∴FH＝EC，FH∥EC，
∴FG＝FH，
∵∠ADB＋∠ADM＝180°，
∴∠AEC＋∠ADM＝180°，
∴∠DME＋∠DAE＝180°，
∴∠DME＝120°，
∴∠BMC＝60°
∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°，
∴△FGH是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2）解：如图2中，连接AF、EC．
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等边三角形，F为DE的中点，
∴AF⊥DE，
在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，
∴AF＝＝，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝，
∴BD＝CE＝BF﹣DF＝，
∵F、H分别为DE，CD的中点，
∴FH＝EC＝．
（3）解：存在．理由如下．
由（1）可知，△FGH是等边三角形，GF＝BD，
∴△FGH的周长＝3GF＝3FH＝，
在△ABD中，AB＝a，AD＝b，
∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a＋b，
∴△FGH的周长最大值为（a＋b），最小值为（a﹣b）．
【点拨】本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的三边关系、三角形的中位线、旋转性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
23．（1）A1（，3），在直线上；（2）；（3）P1（，3），P2（，﹣3），P3（﹣，3）．
试题分析：（1） 根据题意画出示意图，过点A1作x轴的垂线AD，在Rt△A1DB1中利用等边三角形的性质和勾股定理可以求得线段A1D和B1D的长，进而写出点A1的坐标． 将点A1的横坐标代入直线l的解析式，求得相应的纵坐标，通过对比求得的纵坐标和点A1的纵坐标可以判断点A1与直线l的位置关系．
（2） 根据等边三角形的边长容易得到点C1的坐标． 利用点A1和点C1的坐标，结合一次函数的一般形式，可以获得关于待定系数的方程，求解这些方程进而可以写出边A1C1所在直线的解析式．
（3） 由于利用△A1C1M的三个内角均可以构造出符合题意的平行四边形，所以本小题应对这三种情况分别进行讨论． 根据题意画出各种情况的示意图． 当以∠A1C1M为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以过点A1作y轴的垂线AE，利用Rt△A1B1E中的几何关系求得线段A1E和B1E的长． 利用点M的坐标和等边三角形的边长可以得到线段C1M的长，进而获得线段A1P的长，从而可以写出点P的坐标． 当以∠A1MC1为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，利用Rt△A1B1F中的几何关系和线段C1M的长，可以求得线段A1F和B1F的长，进而写出点P的坐标． 当以∠C1A1M为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以过点P作x轴的垂线PG，利用平行四边形的性质获得线段PM的长，利用Rt△PGM中的几何关系和线段B1M的长，可以求得线段PG和OG的长，进而写出点P的坐标．
解：（1）
如图，过点A1作A1D⊥OM，垂足为D．
∵△A1B1C1是等边三角形，A1D⊥OM，
∴∠B1A1D＝30°，
∴在Rt△A1DB1中，，
∵A1D＝3，
∴在Rt△A1DB1中，，
∴，．
∴点A1的坐标为（， 3）．
由直线l的解析式，得
当x＝时，，
∴点A1在直线l上．
（2） ∵△A1B1C1是等边三角形，，
∴．
∴点C1的坐标为（， 0）．
设直线A1C1的解析式为y＝kx＋b （k≠0）．
将点A1 （， 3），点C1 （， 0）的坐标分别代入直线A1C1的解析式，得
，
解之，得
，
∴直线A1C1的解析式为．
（3） 点P的坐标为（， 3），（， 3）或（， －3）． 求解过程如下．
根据题意，分别对下面三种情况进行讨论．
①若以∠A1C1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1MP．
如图①，过点A1作A1E⊥ON，垂足为E．
由直线l的解析式，得
当y＝0时，，
∴x＝．
∴点M的坐标为（， 0）．
∴OM＝．
∵，
∴，
∴．
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴∠A1B1C1＝60°，
∴∠A1B1E＝90°－∠A1B1C1＝90°－60°＝30°．
∴在Rt△A1EB1中，，．
∵A1P∥C1M，A1E⊥ON，
∴点E，A1，P在同一条直线上，
∴．
∴点P的坐标为（， 3）．
②若以∠A1MC1为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形PC1MA1．
∵A1P∥C1M，
∴A1F⊥ON，
∴在Rt△A1FB1中，，．
∵，
∴．
∴点P的坐标为（， 3）．
③若以∠C1A1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1PM．
如图③，过点P作PG⊥OM，垂足为G．
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴∠A1C1B1＝60°，
∴∠A1C1M＝180°－∠A1C1B1＝180°－60°＝120°，
∵A1C1∥PM，
∴∠PMC1＝∠A1C1M＝120°，
∴∠PMG＝180°－∠PMC1＝180°－120°＝60°，
∴在Rt△PMG中，∠MPG＝90°－∠PMG＝90°－60°＝30°．
∵，
∴在Rt△PGM中，，
．
∵OM＝，
∴．
∴点P的坐标为（， －3）．
综上所述，点P的坐标为（， 3），（， 3）或（， －3）．
24．（1）见分析；（2）12；探究：2或2．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE＝OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB＝90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE＝OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB＝S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE＝S△FOB，
∴S△AOD＝S△ABF，
∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2××4×3＝12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD＝S△BCD．
∴AD＝BD＝AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD＝A′D＝AB＝×4＝2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，
∴DO＝OB，A′O＝CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC＝A′D＝2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB＝4，∠BAC＝30°，
∴BM＝AB＝2＝BC，
即C和M重合，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝，
∴△ABC的面积是×BC×AC＝×2×2＝；
②如图2，
∵S△ACD＝S△BCD．
∴AD＝BD＝AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD＝A′D＝AB＝×4＝2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，
∴DO＝OA′，BO＝CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C＝BD＝2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C＝2，∠DA′C＝∠BAC＝30°，
∴CQ＝A′C＝1，
∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2××A′D×CQ＝2××2×1＝2；
即△ABC的面积是2或2．