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第四章 图形的相似
专题7 相似三角形中常作的辅助线
数学 九年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
◎问题综述
在几何图形的研究中，常常需要添加辅助线来帮助解决问
题.在相似三角形的有关问题中，常用的辅助线有：（1）过一
点作平行线来构造“A”型或“X”型；（2）过一点作垂线来
构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否能
够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、
等线段，从而为证明三角形相似或进行相关的计算与证明创造
条件.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 作平行线构造“A”型或“X”型
三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.
如图，点 G 是△ ABC 的重心，求证： AD ＝3 GD .
【思路导航】过点 D 作 DH ∥ AB ，交 CE 于点 H ，即可证明△
AEG ∽△ DHG ，进而求得 AG ＝2 GD ，即可得出结论.
证明：如图，过点 D 作 DH ∥ AB ，交 CE 于点 H .
∵ AD 是△ ABC 的中线，
∴点 D 是 BC 的中点.
∴ DH 是△ BCE 的中位线.
∴ BE ＝2 DH .
∵ CE 是△ ABC 的中线，
∴ AE ＝ BE . ∴ AE ＝2 DH .
∵ DH ∥ AB ，∴△ AEG ∽△ DHG .
∴ ＝ ＝2.
∴ AG ＝2 GD .
∴ AD ＝3 GD .
【点拨】解答本题的关键是通过作平行线构造相似三角形.一般
是过已知比例线段（或求证比例线段）的端点或分点构造
“A”型或“X”型相似.
如图，在△ ABC 中，已知点 D 为线段 AC 上一点，点 E 为 CB 延
长线上一点，且 BE ＝ AD ， ED 和 AB 相交于点 F . 求证： ＝
.
证明：如答图，过点 D 作 DG ∥ BC ，交 AB 于点 G ，
则△ ADG ∽△ ACB ，△ EBF ∽△ DGF .
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ .
∵ BE ＝ AD ，
∴ ＝ .
∴ ＝ .
答图
类型二 作垂线构造“垂直”型
如图，从 ABCD 的顶点 C 分别向 AB 和 AD 的延长线引垂线
CE 和 CF ，垂足分别为 E ， F . 求证： AB · AE ＋ AD · AF ＝ AC2.
【思路导航】过点 B 作 BM ⊥ AC 于点 M ，过点 D 作 DN ⊥ AC 于
点 N ，通过构造相似三角形，利用其性质，即可证明.
证明：如图，过点 B 作 BM ⊥ AC 于点 M ，
过点 D 作 DN ⊥ AC 于点 N .
∵∠ BAM ＝∠ CAE ，∠ AMB ＝∠ AEC ＝90°，
∴△ ABM ∽△ ACE .
∴ ＝ .
∴ AB · AE ＝ AC · AM . ①
同理可得，△ ADN ∽△ ACF .∴ ＝ .
∴ AD · AF ＝ AC · AN . ②
由①＋②，
得 AB · AE ＋ AD · AF ＝ AC · AM ＋ AC · AN ＝
AC .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC .
∴∠ DAN ＝∠ BCM .
在△ ADN 和△ CBM 中，
∴△ ADN ≌△ CBM （AAS）.
∴ AN ＝ CM .
∴ AB · AE ＋ AD · AF ＝ AC ＝ AC2.
【点拨】熟练掌握辅助线的作法并能根据题意构造出相似三角
形，利用全等三角形的性质进行线段的转化是解此题的关键.题
中若有直角，则可考虑作垂线.
如图，已知 BD 为△ ABC 的高，点 E 在边 AB 上，∠ BEC ＝60°，
BE ＝2 CD ， CE 与 BD 相交于点 F ，求 的值.
解：如答图，过点 B 作 BH ⊥ CE 于点 H .
∵∠ BEC ＝60°，∴∠ EBH ＝30°.
∴ BE ＝2 EH ， BH ＝ EH .
∵ BE ＝2 CD ，∴ EH ＝ CD .
∵∠ BHF ＝∠ BDC ＝90°，∠ BFH ＝∠ CFD ，
∴△ BHF ∽△ CDF .
∴ ＝ ＝ ＝ .
答图
类型三 作延长线构造相似三角形
如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，∠ BCD 的平分线
CH ⊥ AB 于点 H ， BH ＝3 AH ，且四边形 AHCD 的面积为21，求
△ HBC 的面积.
【思路导航】因为问题涉及四边形 AHCD ，所以可延长 BA ，
CD 相交于点 P ，构造相似三角形（△PA D ∽△ PBC ），把问题
转化为相似三角形的面积比进行解决.
解：如图，延长 BA ， CD 交于点 P .
∵ CH ⊥ AB ， CH 平分∠ BCD ，
∴ CB ＝ CP ，且 BH ＝ PH .
∵ BH ＝3 AH ，
∴PA∶ AB ＝1∶2.
∴PA∶ PB ＝1∶3.
∵ AD ∥ BC ，∴△PA D ∽△ PBC .
∴ S△PA D ∶ S△ PBC ＝1∶9.
∵ S△ PCH ＝ S△ PBC ，
∴ S△PA D ∶ S△ PCH ＝2∶9.
∴ S△PA D ∶ S四边形 AHCD ＝2∶7.
∵ S四边形 AHCD ＝21，
∴ S△PA D ＝6.
∴ S△ PBC ＝54.
∴ S△ HBC ＝ S△ PBC ＝27.
【点拨】对于一些梯形问题，若题目中的条件难以统一起来使
用，可考虑延长对边，构造三角形，运用相似三角形的知识来
解决.
如图，在Rt△ ABC 中，已知 CD 为斜边 AB 上的高，点 E 为 CD 的
中点， AE 的延长线交 BC 于点 F ， FG ⊥ AB 于点 G . 求证： FG2
＝ CF · BF .
证明：如答图，延长 GF ，与 AC 的延长线交于点 H .
∵ CD ⊥ AB ， FG ⊥ AB ，∴ CD ∥ FG .
∴△ ACE ∽△ AHF ，△ ADE ∽△ AGF .
∴ ＝ ＝ .
又∵点 E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC .
∴ FG ＝ FH .
由题意知，∠ FCH ＝∠ FGB ＝90°，∠ CFH ＝∠ GFB ，
∴△ CFH ∽△ GFB . ∴ ＝ .
答图
∴ FG · FH ＝ CF · BF .
∵ FG ＝ FH ，
∴ FG2＝ CF · BF .
答图
答图
类型四 坐标系中构造平行线（或垂线）化斜为直
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 上有 A ， B
两点，点 C 是 y 轴上的一个定点，点 D 是线段
AB 上一点，连接 CA ， CB ， CD . 若 S△ CAD ∶ S△ CBD ＝2∶3，则
点 D 的坐标为 .
【思路导航】由 S△ CAD ∶ S△ CBD ＝2∶3可得 AD ∶ BD ＝2∶3，再
分别过点 A ， D 作 y 轴的平行线，将线段关系转化为坐标关系，
问题可解.
【解析】如图，分别过点 A ， D 作 y 轴的平行线，过点 B 作这两
条平行线的垂线，垂足分别为 E ， F .
∵ S△ CAD ∶ S△ CBD ＝2∶3，
∴ AD ∶ BD ＝2∶3.
∴ BD ∶ AB ＝3∶5.
∵ AE ∥ DF ，∴△ DFB ∽△ AEB .
∴ ＝ ＝ ＝ .
又∵ A ， B ，
∴ BE ＝8－2＝6， AE ＝4－1＝3.
∴ DF ＝ AE ＝ ， BF ＝ BE ＝ .
∴点 D 的横坐标为8－ ＝ ，
点 D 的纵坐标为1＋ ＝ .
∴ D .
故答案为 .
【点拨】在解决与平面直角坐标系有关的问题（或函数问题）
中，常常将面积关系或其他已知关系转化为线段关系，然后将
线段关系转化为坐标关系，达到化斜为直的目的.
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1上有 A ， B
两点，连接 OA ， OB ，过原点的直线 l2与线段 AB 交于点
P . 点 Q 为 l2上一点，且点 P ， Q 关于原点对称，连接 QA ， QB .
若 S△ AOQ ∶ S△ BOQ ＝5∶4，则点 Q 的坐标为 .
【解析】如答图，分别过点 A ， P 作 y 轴的平行线，过点 B 作这
两条平行线的垂线，垂足分别为 E ， F .
∵点 P ， Q 关于原点对称，
∴ O 为 PQ 的中点.
∴ S△ AOQ ＝ S△ AOP ， S△ BOQ ＝ S△ BOP .
∵ S△ AOQ ∶ S△ BOQ ＝5∶4，
∴ S△ AOP ∶ S△ BOP ＝5∶4.
∴ AP ∶ BP ＝5∶4.
∴ BP ∶ AB ＝4∶9.
答图
∵ AE ∥ PF ，
∴△ PFB ∽△ AEB .
∴ ＝ ＝ ＝ .
∵点 A （1，4）， B （4，1），
∴ BE ＝4－1＝3， AE ＝4－1＝3.
∴ BF ＝ BE ＝ ， PF ＝ AE ＝ .
∴点 P 的横坐标为4－ ＝ ，点 P 的纵坐标为1＋ ＝ .
答图
∴ P .
∴ Q .
故答案为 .
答图
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第四章 图形的相似
专题6 相似三角形的基本模型
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专题解读
典例讲练
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0 1
专题解读
◎问题综述
相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其他知识点
结合，以综合题的形式呈现，其变化较多，是中考的常考内容.
在学习中要注重解题方法和基本解题模型，以便使相似三角形
的问题迎刃而解.相似三角形的常见基本模型有平行线型、斜交
型、垂直型、旋转型等.
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0 2
典例讲练
类型一 平行线型
基本图形：如图， DE ∥ BC . 主要结论：
（1）△ ADE ∽△ ABC ；
（2） ＝ ＝ ；
（3） ＝ .
如图，在△ ABC 中，已知点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且
＝ .
（1）求证：△ AEF ∽△ ABC ；
（2）若点 D 在 BC 上， AD 与 EF 交于点 G ，求证： ＝ .
【思路导航】（1）直接利用“两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似”即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行
线的判定方法可得 EF ∥ BC ，于是可得△ AEG ∽△ ABD ，△
AGF ∽△ ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论.
证明：（1）∵ ＝ ，
∴ ＝ .
在△ AEF 和△ ABC 中，
∵∠ EAF ＝∠ BAC ， ＝ ，
∴△ AEF ∽△ ABC .
（2）∵△ AEF ∽△ ABC ，
∴∠ AEF ＝∠ ABC .
∴ EF ∥ BC .
∴△ AEG ∽△ ABD ，△ AGF ∽△ ADC .
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ .
【点拨】熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.熟悉
“A”型和“X”型模型，能快速找到解题突破口.
如图，在 ABCD 中，连接对角线 AC ，延长 AB 至点 E ，使 BE
＝ AB ，连接 DE ，分别交 BC ， AC 于点 F ， G .
（1）求证： BF ＝ CF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD . ∴∠ E ＝∠ EDC .
∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD . 在△ EBF 和△ DCF 中，
∴△ EBF ≌△ DCF （AAS）.∴ BF ＝ CF .
（2）若 BC ＝6， DG ＝4，求 FG 的长.
（2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边
形，
∴ AD ∥ BC . ∴△ CFG ∽△ ADG .
∴ CF ∶ AD ＝ FG ∶ DG .
∵ BF ＝ CF ＝ BC ＝ AD ， DG ＝4，
∴ ＝ .解得 FG ＝2.
类型二 斜交型
基本图形如下：
如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 AB ＝
9， AC ＝6， AD ＝3.要使△ ADE 与△ ABC 相似，则 AE 的长
为 .
2或
【思路导航】要使△ ADE 与△ ABC 相似，应分△ ADE ∽△ ABC
和△ AED ∽△ ABC 讨论.
【解析】①当∠ ADE ＝∠ B 时， ＝ ，即 ＝ .解得
AE ＝2；
②当∠ AED ＝∠ B 时， ＝ ，即 ＝ .解得 AE ＝ .
故答案为2或 .
【点拨】对于两个三角形相似，若无明确给出相似符号
（∽），则一般有三种情形.而此题中，由于有公共角，故只
有两种情形.解题的关键是明确分类，并熟练运用相似三角形
的判定.
1. 如图，点 D 为△ ABC 的边 AC 上一点，连接 BD ，且△ ABC
∽△ ADB . 若 AB ＝2 AD ＝2，则 CD 的长为 .
（第1题图）
3
2. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， AF 平分
∠ BAC ，交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F . 若∠ AED ＝∠ B ，且
AG ∶ GF ＝2∶1，则 DE ∶ BC ＝ .
（第2题图）
2∶3
【解析】∵ AF 平分∠ BAC ，
∴∠ CAF ＝∠ BAF .
又∵∠ AED ＝∠ B ，
∴△ AGE ∽△ AFB .
∴ ＝ .
∵∠ AED ＝∠ B ，∠ DAE ＝∠ CAB ，
∴△ ADE ∽△ ACB .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
∵ AG ∶ GF ＝2∶1，
∴ ＝ ＝ .
故答案为2∶3.
类型三 垂直型
基本图如下：
如图，折叠矩形 ABCD ，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折
痕为 AE .
（1）求证：△ ABF ∽△ FCE ；
（2）若 CF ＝4， EC ＝3，求矩形 ABCD 的面积.
【思路导航】（1）已知∠ B ＝∠ C ＝90°，要证明△ ABF ∽△
FCE ，只需再找一组对应角相等即可；（2）根据△ ABF ∽△
FCE ，得出 ＝ ，进而可以解决问题.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°.
∴∠ BAF ＋∠ AFB ＝90°.
由折叠可知，∠ AFE ＝∠ D ＝90°.
∴∠ AFB ＋∠ CFE ＝90°.
∴∠ BAF ＝∠ CFE .
∴△ ABF ∽△ FCE .
（2）解：∵ CF ＝4， EC ＝3，∠ C ＝90°，
∴ EF ＝5，∴ DE ＝ FE ＝5.
∴ AB ＝ CD ＝3＋5＝8.∵△ ABF ∽△ FCE ，
∴ ＝ .∴ ＝ .
解得 BF ＝6.
∴ BC ＝ BF ＋ FC ＝6＋4＝10.
∴矩形 ABCD 的面积＝ AB · BC ＝8×10＝80.
【点拨】（1）翻折前后图形对应全等，对应角相等、对应边相
等.（2）本题中，∠ B ＝∠ AFE ＝∠ C ＝90°，称△ ABF ∽△
FCE 这样的相似为“一线三垂直相似”（或“K”型相似），
注意“横纵对应”，即 AB 与 FC 是对应边， BF 与 CE 是对应边.
如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， BD ⊥ AC ，点 E 为 BD 的中
点，连接 AE 并延长交 BC 于点 F ，且 AF ＝ CF ，过点 F 作 FH ⊥
AC 于点 H . 求证：
（1）△ ADE ∽△ CDB ；
证明：（1）∵ BD ⊥ AC ， FH ⊥ AC ，
∴∠ ADE ＝∠ CDB ＝90°， BD ∥ FH .
又∵ AF ＝ CF ，∴∠ DAE ＝∠ DCB .
∴△ ADE ∽△ CDB .
（2） AE ＝2 EF .
证明：（2）∵点 E 为 BD 的中点，
∴ DE ＝ BE ＝ BD .
由（1）知，△ ADE ∽△ CDB ，
∴ ＝ ＝ .
设 AD ＝ a （ a ＞0），则 CD ＝2 a ， AC ＝ AD ＋
CD ＝3 a .
∵ FH ⊥ AC ， AF ＝ CF ，
∴ AH ＝ CH ＝ AC ＝ a .
∴ DH ＝ AH － AD ＝ a .
又∵ BD ∥ FH ，
∴ ＝ ＝ ＝2.
∴ AE ＝2 EF .
类型四 旋转型
基本图形如下：
如图，在△ ABC 与△ ADE 中，∠ ACB ＝∠ AED ＝90°，
∠ ABC ＝∠ ADE ，连接 BD ， CE . 若 AC ∶ BC ＝3∶4， CE ＝6，
求 BD 的长.
【思路导航】根据相似三角形的判定得出△ ABC 与△ ADE 相
似，得出∠ BAC ＝∠ DAE ，进而证明△ ACE 与△ ABD 相似，利
用相似三角形的性质求解.
解：∵∠ ACB ＝∠ AED ＝90°，∠ ABC ＝∠ ADE ，
∴△ ABC ∽△ ADE .
∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ＝ .
∴∠ BAC ＋∠ BAE ＝∠ DAE ＋∠ BAE ， ＝ ，
即∠ CAE ＝∠ BAD ， ＝ .
∴△ ACE ∽△ ABD .
∴ ＝ .
∵ AC ∶ BC ＝3∶4，∠ ACB ＝90°，
∴ AC ∶ BC ∶ AB ＝3∶4∶5.
∴ CE ∶ BD ＝3∶5.
∵ CE ＝6，
∴ BD ＝10.
【点拨】解答本题的关键是根据相似三角形的判定得出△ ABC
与△ ADE 相似.此类题中，容易被复杂的边角关系扰乱思路，从
而出错，故转化过程中应仔细，并检查.
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 F 是 BC 边上一点，连接 AF ，
以 AF 为对角线作正方形 AEFG ，边 FG 与正方形 ABCD 的对角线
AC 相交于点 H ，连接 DG .
（1）证明：△ AFC ∽△ AGD ；
（1）证明：∵四边形 ABCD ，
AEFG 都是正方形，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ .
∵∠ CAF ＋∠ GAC ＝∠ DAG ＋∠ GAC ＝45°，
∴∠ CAF ＝∠ DAG .
∴△ AFC ∽△ AGD .
（2）若 ＝ ，求 的值.
（2）解：∵ ＝ ，
∴可设 BF ＝ k ，则 CF ＝2 k ， AB ＝ BC ＝3 k .
∴ AF ＝ ＝ ＝ k ，
AC ＝ AB ＝3 k .
∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形，
∴∠ AFH ＝∠ ACF .
又∵∠ FAH ＝∠ CAF ，
∴△ AFH ∽△ ACF .
∴ ＝ .
∴ ＝ ＝ ＝ .
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第一章 特殊平行四边形
专题1 矩形、正方形中的四个常考模型
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专题解读
典例讲练
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0 1
专题解读
◎问题综述
几何变换主要是平移、翻折、旋转三大变换，它们最大的
特征都是只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.四边
形作为初中阶段最核心的内容之一，逐渐被用来作为呈现知识
和能力的载体.
常见模型如下：
1. 折叠中的“十字架”模型.
如图，在正方形 ABCD 中， EG ⊥ FH ，则有 EG ＝ FH .
2. 旋转中的“手拉手”模型.
如图，将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转90°，可得到△ BP ' A ，则△
BPP '为等腰直角三角形.
3. 旋转中的“K”模型.
如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，直角 EOF 绕
点 O 旋转.若 OE ， OF 分别与射线 DA ， AB 交于点 G ， H ，则△
AGO ≌△ BHO ，△ OGH 是等腰直角三角形.
4. 正方形中的半角模型.
从正方形的一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的
一半，并且与正方形的边（或其延长线）相交.
（1）如图1，在正方形 ABCD 中，若∠ EAF ＝45°，则：
① EF ＝ BE ＋ DF ；
②△ CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的2倍；
③ FA 平分∠ DFE ， EA 平分∠ BEF ；
④ MN2＝ BM2＋ DN2.
图1
（2）如图2，在正方形 ABCD 中，若∠ EAF ＝45°， FA 平分∠
DFE ，则 EF ＝ DF － BE .
图2
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0 2
典例讲练
类型一 折叠中的“十字架”模型
如图， ABCD 是一张矩形纸片， AB ＝3， BC ＝9.在边 AD 上
取一点 E ，在 BC 上取一点 F ，将纸片沿 EF 折叠，点 C 恰好落在
点 A 处，点 D 落在点 D '处，则线段 EF 的长度为 .
【思路导航】连接 AC ，交 EF 于点 O . 首先根据勾股定理求出
AF ， AC 的长，再根据勾股定理求出 OF 的长，即可解决问题.
【解析】如图，连接 AC 交 EF 于点 O . 由题意，得 AO ＝ CO ，
EF ⊥ AC . 令 AF ＝ CF ＝ x ，则 BF ＝9－ x .∵四边形 ABCD 是矩
形，∴∠ B ＝90°.在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得 x2＝32＋（9
－ x ）2.解得 x ＝5.∴ AF ＝5.在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 AC2
＝32＋92＝90.∴ AC ＝3 .∵矩形 ABCD 是中心对称图形，
∴ AE ＝ CF ， AO ＝ ＝ .又∵ AF ＝
CF ，∴ AE ＝ AF . ∵ AO ⊥ EF ，∴ OE ＝ OF .
在Rt△ AOF 中，由勾股定理，得 OF2＝ AF2－ AO2＝25－
＝ .∴ OF ＝ .∴ EF ＝ .故答案为 .
【点拨】矩形的翻折变换其本质就是“十字架”模型，关键是
根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用勾
股定理来解决线段长度问题.
如图，在矩形 OABC 中， OA ＝4， AB ＝3，点 D 在边 BC 上，且
CD ＝3 DB ，点 E 是边 OA 上一点，连接 DE ，将四边形 ABDE 沿
DE 折叠.若点 A 的对应点 A '恰好落在边 OC 上，点 B 为点 B '的对
应点，则 OE 的长为 .
【解析】如图，连接 A ' D ， AD .
∵四边形 OABC 是矩形，∴ BC ＝ OA ＝4， OC ＝ AB ＝3，∠ C
＝∠ B ＝∠ O ＝90°.∵ CD ＝3 DB ，∴ CD ＝3， BD ＝1.∴ CD ＝
AB . ∵将四边形 ABDE 沿 DE 折叠，点 A 的对应点 A '恰好落在边
OC 上，∴ A ' D ＝ AD ， A ' E ＝ AE . 在Rt△ A ' CD 和Rt△ DBA 中，
∴Rt△ A ' CD ≌Rt△ DBA （HL）.
∴ A ' C ＝ DB ＝1.∴ A ' O ＝2.在Rt△ A ' OE 中，
∵ A ' O2＋ OE2＝ A ' E2，∴22＋ OE2＝（4－ OE ）2，
解得 OE ＝ .故答案为 .
类型二 旋转中的“手拉手”模型
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 P 是
正方形 ABCD 内一点，PA＝1， PB ＝2， PC ＝3.你能求出∠ APB
的度数吗？
图1
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△ BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转90°，得到△ BP '
A ，连接 PP '，求出∠ APB 的度数；
思路二：将△ APB 绕点 B 按顺时针方向旋转90°，得到△ CP '
B ，连接 PP '，求出∠ APB 的度数.
（1）请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；
（2）类比探究：如图2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA＝
3， PB ＝1， PC ＝ ，求∠ APB 的度数.
图2
【思路导航】（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形
的判定，即可解决问题；（2）先利用旋转求出∠ PBP '， P ' B ，
P ' A ，利用勾股定理求出 PP '，进而判断出△ APP '是直角三角
形，得出∠ APP '＝90°，即可得出结果.
解：（1）思路一：如图1，将△ BPC 绕点 B 按逆时方向针旋转
90°，得到△ BP ' A ，连接 PP '，则△ ABP '≌△ CBP ，
∠ PBP '＝90°， P ' B ＝ PB ＝2， P ' A ＝ PC ＝3.
在Rt△ PBP '中， PB ＝ P ' B ＝2，∴∠ BPP '＝45°.
图1
根据勾股定理，得 PP '＝ PB ＝2 .
∵PA＝1，
∴PA2＋ PP '2＝1＋8＝9.
又∵ P ' A2＝32＝9，
∴PA2＋ PP '2＝ P ' A2.
∴△ APP '是直角三角形，且∠ APP '＝90°.
∴∠ APB ＝∠ APP '＋∠ BPP '＝90°＋45°＝135°.
（两个思路任选其一进行证明，合理即可）
图1
（2）如图2，将△ BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转90°，得到△
BP ' A ，连接 PP '，则△ ABP '≌△ CBP ，∠ PBP '＝90°， P ' B ＝
PB ＝1， P ' A ＝ PC ＝ .
在Rt△ PBP '中， PB ＝ P ' B ＝1，∴∠ BPP '＝45°.
根据勾股定理，得 PP '＝ PB ＝ .
∵PA＝3，∴PA2＋ PP '2＝9＋2＝11.
又∵ P ' A2＝（ ）2＝11，
∴PA2＋ PP '2＝ P ' A2.
图2
∴△ APP '是直角三角形，且∠ APP '＝90°.
∴∠ APB ＝∠ APP '－∠ BPP '＝90°－45°＝45°.
图2
【点拨】正方形两邻边相等且垂直，联想到构造“手拉手”全
等三角形解决问题.
图2
如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 DB 的延长线上任意一点，以
线段 BG 为边作一个正方形 BEFG ，线段 CE 和 AG 相交于点 H .
（1）求证： CE ＝ AG ， CE ⊥ AG ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG
都是正方形，
∴∠ ABC ＝∠ EBG ＝90°，
AB ＝ BC ， BE ＝ BG .
∴∠ ABC ＋∠ ABE ＝∠ EBG ＋∠ ABE ，
即∠ CBE ＝∠ ABG .
在△ ABG 和△ CBE 中，
∴△ ABG ≌△ CBE .
∴ AG ＝ CE ，∠ BAG ＝∠ BCE .
如图，设 AB 与 CE 交于点 O .
∵∠ COB ＝∠ AOH ，∴∠ AHO ＝∠ CBO ＝90°.
∴ CE ⊥ AG .
（2）若 AB ＝2， BG ＝1，求 CE 的长.
（2）解：如图，连接 AC ，与 BD 交于点 M .
∵ AB ＝ BC ＝2，
∴在Rt△ ABC 中， AC ＝
＝ ＝2 .
∴ AM ＝ BM ＝ AC ＝ .
∴ MG ＝ BG ＋ BM ＝1＋ .
∴ CE ＝ AG ＝ ＝
＝ .
类型三 旋转中的“K”模型
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ， O 又
是正方形 A1 B1 C1 O 的一个顶点， OA1交 AB 于点 E ， OC1交 BC 于
点 F .
（1）求证：△ AOE ≌△ BOF .
（2）若两个正方形的边长都为 a ，则正方形 A1 B1 C1 O 绕点 O 转
动时，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？若变化，请
说明理由；若不变，请求出面积.
【思路导航】（1）根据正方形中的特殊性，找相等的边与角，
可由“ASA”证明两个三角形全等；（2）运用割补法，把求四
边形 OEBF 的面积，转化成求△ AOB 的面积.
（1）证明：在正方形 ABCD 中， AO ＝ BO ，∠ AOB ＝90°，
∠ OAB ＝∠ OBC ＝45°.∵∠ AOE ＋∠ EOB ＝90°，
∠ BOF ＋∠ EOB ＝90°，∴∠ AOE ＝∠ BOF .
在△ AOE 和△ BOF 中，
∴△ AOE ≌△ BOF （ASA）.
（2）解：不变，两个正方形重叠部分的面积等于 a2.理由如
下：
∵△ AOE ≌△ BOF ，
∴ S四边形 OEBF ＝ ＋ ＝
＋ ＝
＝ S正方形 ABCD ＝ a2.
【点拨】计算正方形中不规则图形的面积时，可利用割补法，
将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是直线 AD 上的一点，连接
CE ，以 CE 为一边作正方形 CEFG （点 C ， E ， F ， G 按逆时针
方向排列），直线 BE 与直线 GD 交于点 H . 若 AE ＝2， AB ＝4，
则点 F 到 GH 的距离为 .
【解析】∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均为正方形，
∴ CD ＝ CB ， CG ＝ CE ＝ FG ，∠ GCE ＝∠ DCB ＝90°.
∴∠ GCD ＝∠ ECB . ∴△ GCD ≌△ ECB （SAS）.如答图，
过点 F 作 FN ⊥ GH 于点 N ，过点 C 作 CM ⊥ GH 于点 M .
∵ AE ＝2， AB ＝4，∴ AD ＝ CD ＝ AB ＝4， DE ＝ AD － AE ＝2.
∴ BE ＝ ＝2 ，
CE ＝ ＝2 .
∴ CG ＝ CE ＝2 .∵△ GCD
≌△ ECB ，∴ DG ＝ BE ＝2 .
∵∠ FGC ＝90°，∴∠ FGD ＋∠ DGC ＝90°.
答图
∵∠ FGD ＋∠ GFD ＝90°，∴∠ GFN ＝∠ DGC .
在△ FGN 和△ GCM 中，∴△ FGN ≌△ GCM
（AAS）.∴ FN ＝ GM . ∵ CM2＝ CG2－ GM2，
CM2＝ CD2－ MD2，
∴20－ GM2＝16－ ，
解得 GM ＝ .
∴ FN ＝ GM ＝ .
∴点 F 到 GH 的距离为 .故答案为 .
答图
类型四 正方形中的半角模型
如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 上一点，点 F 是 AD 延
长线上一点，且 DF ＝ BE .
（1）求证： CE ＝ CF .
（2）若点 G 在线段 AD 上，且∠ GCE ＝45°，则 GE ＝ BE ＋ GD
成立吗？为什么？
【思路导航】（1）证明△ CBE ≌△ CDF （SAS），即可求解；
（2）证明△ ECG ≌△ FCG （SAS），根据三角形全等的性质
即可求解.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ CB ＝ CD ，∠ B ＝∠ CDF ＝90°.
在△ CBE 和△ CDF 中，
∴△ CBE ≌△ CDF （SAS）.
∴ CE ＝ CF .
（2）解： GE ＝ BE ＋ GD 成立.理由如下：
由（1）知，△ CBE ≌△ CDF ，∴∠ BCE ＝∠ DCF .
∴∠ BCE ＋∠ ECD ＝∠ DCF ＋∠ ECD ，
即∠ BCD ＝∠ ECF ＝90°.又∵∠ GCE ＝45°，
∴∠ GCF ＝∠ GCE ＝45°.在△ ECG 和△ FCG 中，
∴△ ECG ≌△ FCG （SAS）.
∴ GE ＝ GF .
∴ GE ＝ DF ＋ GD ＝ BE ＋ GD .
【点拨】解决半角模型问题的方法有两种.方法一：把半角一侧
的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利
用全等三角形的对应边相等、对应角相等来转化边和角，进而
可以探究新的边边关系或角角关系；方法二：截长补短.
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别为 BC ， CD 上一
点，点 M 为 EF 上一点，点 D ， M 关于直线 AF 对称.
（1）求证：点 B ， M 关于直线 AE 对称；
证明：（1）如图，连接 DM ， BM .
∵点 D ， M 关于直线 AF 对称，
∴ AF 垂直平分 DM .
∴ AD ＝ AM ， FD ＝ FM .
又∵ AF ＝ AF ，
答图
∴△ DAF ≌△ MAF （SSS）.
∴∠ AMF ＝∠ ADF ＝90°.
∴∠ AME ＝90°.
又∵ AE ＝ AE ， AB ＝ AM ，
∴Rt△ BAE ≌Rt△ MAE （HL）.
∴ EB ＝ EM .
∴ AE 垂直平分 BM .
∴点 B ， M 关于直线 AE 对称.
答图
证明：（2）由（1）知，△ DAF ≌△ MAF ，
△ BAE ≌△ MAE ，
∴ AF 平分∠ DAM ， AE 平分∠ BAM .
∴∠ EAF ＝ ∠ BAD ＝45°.
易得 AF 平分∠ DFE .
又∵ FG 平分∠ EFC ，
∴∠ AFG ＝90°.
∴△ AFG 为等腰直角三角形，
∴ AG ＝ AF .
答图
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第一章 特殊平行四边形
专题2 特殊平行四边形中的最值问题
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专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
◎问题综述
四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出
不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很
强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段
最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系
定理”等来解决.
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0 2
典例讲练
类型一 “将军饮马”模型
如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ＝12，面积为24，△
ABE 是等边三角形.若点 P 在对角线 AC 上移动，求 PD ＋ PE 的最
小值.
【思路导航】连接 BD . 连接 PB . 推出 PD ＝ PB ，从而推出 PE ＋
PD ＝ PE ＋ PB ，由 PE ＋ PB ≥ BE ，推出当 E ， P ， B 三点共线
时， PE ＋ PD 的值最小，最小值为 BE 的长，求出 BE 即可解决
问题.
解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 PB .
∵ ＝ AC · BD ，
∴24＝ ×12· BD .
∴ BD ＝4.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OA ＝ AC ＝6， OB ＝ BD ＝2， AC ⊥ BD .
∴ AB ＝ ＝2 .
∵ AC 与 BD 互相垂直平分，
∴ PD ＝ PB . ∴ PE ＋ PD ＝ PE ＋ PB .
∵ PE ＋ PB ≥ BE ，
∴当 E ， P ， B 三点共线时， PE ＋ PD 的
值最小，最小值为 BE 的长.
∵△ ABE 是等边三角形，
∴ BE ＝ AB ＝2 .
∴ PD ＋ PE 的最小值为2 .
【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮
马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题.
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是
AC 边上的一个动点，连接 BP ， EP ，则 BP ＋ EP 的最小值
为 .
【解析】如图，连接 BD . ∵正方形的对角线互相垂直平分，
∴无论点 P 在什么位置，都有 PD ＝ PB . ∴ BP ＋ EP ＝ PD ＋ PE .
连接 DE ， DE 与 AC 的交点即为 PE ＋ PD 取最小值时动点 P 的位
置（如图所示）.此时 PE ＋ PD ＝ DE . ∵正方形 ABCD 的边长为
2，∴ DC ＝ BC ＝2.∵点 E 是 BC 的中点，
∴ EC ＝1.在Rt△ DEC 中，
DE ＝ ＝ ＝ .
故答案为 .
2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8， E 为 CD 边的中
点，点 P ， Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ ＝2，当四边形 APQE
的周长最小时，则 BP 的长为 .
4
【解析】由题知 PQ ， AE 的长均为定值，∴当四边形 APQE 的
周长最小时， AP ＋ QE 最小.如图，在 AD 上截取线段 AF ＝ PQ
＝2，作点 F 关于 BC 的对称点 G ，连接 EG 与 BC 交于一点即为
点 Q ，过点 A 作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为点 P ，此时 AP
＋ QE 最小.过点 G 作 BC 的平行线交 DC 的延
长线于点 H . 则四边形 FGHD 为矩形.
∴ CH ＝ AB ＝4.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝8，∠ D ＝90°，
∠ QCE ＝90°.∵ PQ ＝2，∴ DF ＝ AD － AF ＝6.∴ GH ＝6.
∵点 E 是 CD 的中点，∴ CE ＝2.∴ EH ＝2＋4＝6.∴ EH ＝ GH . ∴∠ GEH ＝45°.设 BP ＝ x ，则 CQ ＝ BC － BP － PQ ＝8－ x －2
＝6－ x ，在△ CQE 中，∵∠ QCE ＝90°，
∠ CEQ ＝45°，∴ CQ ＝ CE . ∴6－ x ＝2，
解得 x ＝4.∴ BP 的长为4.故答案为4.
类型二 垂线段最短
如图，在Rt△ ABC 中，已知 AC ＝2， BC ＝4，点 P 为斜边
AB 上一动点， PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ，求线段 EF 长的最小值.
【思路导航】连接 CP ，判定四边形 ECFP 是矩形，再根据当 CP
最小时， EF 也最小，同时根据垂线段最短即可求解.
解：如图，连接 CP .
∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ，
∴∠ PEC ＝∠ PFC ＝∠ ACB ＝90°.
∴四边形 ECFP 是矩形.
∴ EF ＝ PC .
∴当 CP 最小时， EF 也最小.
∵垂线段最短，
∴当 CP ⊥ AB 时， CP 最小.
在Rt△ ABC 中， AB ＝ ＝ ＝2 .
当 CP ⊥ AB 时， AC · BC ＝ AB · CP .
∴此时 CP ＝ ＝ ＝ .
∴线段 EF 长的最小值为 .
【点拨】“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一
动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将 EF 长的最值转
化为 CP 长的最值是解决问题的关键.
1. 如图，过边长为1的正方形的中心点 O 引两条相互垂直的射
线，分别与正方形的边交于点 A ， B ，则线段 AB 长的最小值
是 .
【解析】如图，设点 A ， B 分别是正方形 MNPQ 的边 MN 和 NP
上的点.∵点 O 是正方形 MNPQ 的中心，∴ OM ＝ ON ，∠ OMN
＝∠ ONP ＝45°，∠ MON ＝90°.∴∠ AOM ＋∠ AON ＝90°.∵ OA
⊥ OB ，∴∠ AOB ＝90°.∴∠ BON ＋∠ AON ＝90°.∴∠ AOM ＝
∠ BON . 在△ AOM 和△ BON 中，
∴△ AOM ≌△ BON （ASA）.
∴ OA ＝ OB . ∴△ AOB 是等腰直角三角形.
∴ AB ＝ OA . ∵正方形 MNPQ 的边长是1，
∴点 O 到 MN 的距离等于 （点 O 到 MN 的垂线段的长度）.
∴ OA 长的最小值为 .
∴ AB 长的最小值是 .故答案为 .
2. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 P 为 AB
边上一动点（不与点 A ， B 重合）， PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB
于点 F . 若 AC ＝20， BD ＝10，求 EF 的最小值.
解：如答图，连接 OP .
∵四边形 ABCD 是菱形， AC ＝20， BD ＝10，
∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ＝10， BO ＝ BD ＝5.
∴∠ AOB ＝90°.
在Rt△ ABO 中，由勾股定理，得
AB ＝ ＝ ＝5 .
∵ PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F ，
∴∠ OEP ＝∠ OFP ＝90°.
答图
∴四边形 OEPF 是矩形.
∴ EF ＝ OP . 则当 OP 取最小值时， EF 的值最小.
∴当 OP ⊥ AB 时， OP 最小，此时， S△ ABO ＝ AO · BO ＝
AB · OP ，
∴ OP ＝ ＝ ＝2 .
∴ EF 的最小值为2 .
答图
类型三 利用三点共线取最值
如图，点 M ， N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满
足 AM ＝ BN ，连接 AC ，交 BN 于点 E ，连接 DE ，交 AM 于点
F ，连接 CF . 若正方形的边长为6，求线段 CF 长度的最小值.
【思路导航】先判断出Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL），得出∠
DAM ＝∠ CBN ；判断出△ DCE ≌△ BCE （SAS），得出∠
CDE ＝∠ CBE ，即可判断出∠ AFD ＝90°；根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，可得点 F 到 AD 的中点 O 的距离不
变；利用勾股定理列式求出 OC 的长，再根据三角形的三边关系
可知当 O ， F ， C 三点共线时， CF 的长度最小.
解：在正方形 ABCD 中， AD ＝ BC ＝ CD ，∠ ADC ＝∠ BCD ，
∠ DCE ＝∠ BCE . 在Rt△ ADM 和Rt△ BCN 中，
∴Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL）.
∴∠ DAM ＝∠ CBN .
在△ DCE 和△ BCE 中，
∴△ DCE ≌△ BCE （SAS）.
∴∠ CDE ＝∠ CBE .
∴∠ DAM ＝∠ CDE .
∵∠ ADF ＋∠ CDE ＝∠ ADC ＝90°，
∴∠ DAM ＋∠ ADF ＝90°.
∴∠ AFD ＝180°－90°＝90°.
如图，取 AD 的中点 O ，连接 OF ， OC ，
则 OF ＝ DO ＝ AD ＝3.
在Rt△ ODC 中，
OC ＝ ＝3 .
∵ OF ＋ CF ≥ OC ，
∴当 O ， F ， C 三点共线时， CF 的长度最小，最小值＝ OC －
OF ＝3 －3.
【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或
者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利
用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定
出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键.
如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别为 AD ， CD
边上的动点（不与端点重合），连接 BE ， BF ，点 E ， F 在运动
过程中，始终保持∠ EBF ＝45°，连接 EF . 过点 B 作 BH ⊥ EF ，
垂足为 H ，连接 DH ，则 DH 的最小值为 .
4 －4
【解析】如答图，延长 DC 至点 G ，使 CG ＝ AE ，连接 BG ，
BD .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ CB ，∠ A ＝∠ BCD ＝∠ BCG ＝90°.
∴△ ABE ≌△ CBG .
∴ BE ＝ BG ，∠ ABE ＝∠ CBG .
∴∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝∠ EBC ＋
∠ ABE ＝90°.
∵∠ EBF ＝45°，
∴∠ GBF ＝∠ EBF ＝45°.
答图
易证得△ EBF ≌△ GBF .
∵ BH ⊥ EF ， BC ⊥ CD ，
∴ BH ＝ BC ＝4.
则当 B ， H ， D 三点共线时， DH 有最小值，
最小值为 BD － BH ＝4 －4.
故答案为4 －4.
答图
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第六章 反比例函数
专题8 反比例函数y＝kx（k≠0）中k的几何意义
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专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
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0 1
专题解读
◎问题综述
反比例函数中 k 的几何意义是反比例函数的核心知识，是对
数与形理解的升华. 对反比例函数中 k 的几何意义的运用与考
查，能很好地锻炼学生的思维能力，体现学生的思维水平和数
学核心素养，是历年中考数学的热点命题方向.
◎要点归纳
1. 常见图形一： S阴影＝｜ k ｜.
2. 常见图形二： S阴影＝ .
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0 2
典例讲练
类型一 利用几何意义求 k 的值
（2022·日照）如图，矩形 OABC 与反比例函数 y1＝ （ k1
是非零常数， x ＞0）的图象交于点 M ， N ，与反比例函数 y2＝
（ k2是非零常数， x ＞0）的图象交于点 B ，连接 OM ， ON .
若四边形 OMBN 的面积为3，则 k1－ k2＝（ B ）
B
A. 3
B. －3
C.
D. －
【思路导航】根据矩形的性质以及反比例函数系数中 k 的几何意
义即可得出结论.
【解析】∵点 M ， N 在反比例函数 y1＝ （ k1是非零常数， x ＞
0）的图象上，∴ S△ OAM ＝ S△ OCN ＝ k1.∵矩形 OABC 的顶点 B 在
反比例函数 y2＝ （ k2是非零常数， x ＞0）的图象上，∴ S矩形
OABC ＝ k2.∴ S四边形 OMBN ＝ S矩形 OABC － S△ OAM － S△ OCN ＝3，∴ k2－
k1＝3.∴ k1－ k2＝－3.故选B.
【点拨】反比例函数系数中 k 的几何意义：在反比例函数 y ＝
图象上任取一点，过这点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围
成的矩形的面积是定值｜ k ｜.
（2022·荆门）如图，点 A ， C 是函数 y ＝ （ k ≠0， x ＜0）图
象上的两点，过点 A ， C 分别作 AB ⊥ x 轴， CD ⊥ x 轴，垂足分
别为 B ， D ，连接 OA ， AC ， OC ，线段 OC 交 AB 于点 E ，且点
E 恰好为 OC 的中点.当△ AEC 的面积为 时， k 的值为 .
－2
类型二 利用设坐标法求 k 的值
如图，在△ ABO 中，点 C 是 AB 的中点，反比例函数 y ＝
（ k ＞0）在第一象限的图象经过 A ， C 两点.若△ ABO 的面积为
6，则 k 的值为（ B ）
B
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【思路导航】过点 A 作 AE ⊥ x 轴于点 E ，设 A ， B
（ n ，0），由中点坐标公式可表示出点 C 的坐标，再由点 A ，
C 在反比例函数图象上建立方程，求出 n 与 m 的关系，进而求出
S△ AOE 与 S△ AOB 的数量关系，从而求得 k 的值.
【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ x 轴于点 E . 设 A （ m ， ）， B
（ n ，0）.∵点 C 为线段 AB 的中点，∴由中点坐标公式，可得 C
. ∵点 C 在反比例函数的图象上，∴ · ＝
k ，∴ n ＝3 m .∴ OE ＝ OB .
∴ S△ AOE ＝ ＝ S△ AOB ＝ ×6＝2.
∴ k ＝4.故选B.
【点拨】两点在同一双曲线上，则其横、纵坐标之积相等，这
是求反比例函数 k 值的常用方法，平时学习时要多加应用.
1. 如图，已知反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象经过Rt△ OAB 的
斜边 OA 的中点 D ，且与直角边 AB 相交于点 C . 若△ AOC 的面积
为12，则 k 的值为 .
－8
（第1题图）
【解析】设 D .∵点 D 为 OA 的中点，∴ A .
∵ AB ⊥ x 轴，∴点 C 的横坐标为2 t .∴ C .
∴ S△ OAC ＝ ·（－2 t ）＝12.∴ k ＝－8.故答案为－8.
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OAPB 的顶点 A ， B 分别在
y 轴、 x 轴上，顶点 P 在反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象上，点
Q 是矩形 OAPB 内的一点，连接 QO ， QA ， QP ， QB . 若△
QOA ，△ QPB 的面积之和是5，则 k ＝ .
10
（第2题图）
【解析】设 Q （ m ， n ）， m ＜0， n ＜0.∴ S△ QOA ＝ OA ·（－
m ）， S△ QPB ＝ OA ·（ OB ＋ m ）.∵△ QOA ，△ QPB 的面积之
和是5，∴ OA ·（－ m ）＋ OA ·（ OB ＋ m ）＝ OA · OB ＝5.
∴ OA · OB ＝10.∵ k ＞0，∴ k ＝10.故答案为10.
类型三 利用 k 值求图形的面积
如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝ BC ＝5， AB ＝8， AB ⊥ x
轴，垂足为 A ，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 C ，交
AB 于点 D .
（1）若 OA ＝ AB ，求 k 的值；
（2）若 BC ＝ BD ，连接 OC ，求△ OAC 的面积.
【思路导航】（1）过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ OA 于点
F ，则 CF ＝ AE ，进而求得点 C 的坐标，即可求出 k 的值；
（2）设点 A 的坐标为（ m ，0），由点 C ， D 是反比例函数 y ＝
（ x ＞0）的图象上的点，可求得 m 的值，即可求出点 A ， C 的
坐标，进而求得△ OAC 的面积.
∴ BE ＝ AE ＝ CF ＝4.
∵ AC ＝ BC ＝5，
∴ CE ＝3.
∵ OA ＝ AB ＝8，∴ OF ＝5.
∴点 C （5，4）.
∵点 C 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
∴ k ＝5×4＝20.
解：（1）如图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ OA 于点 F ，
则 CF ＝ AE .
∵ AB ＝8， AC ＝ BC ， CE ⊥ AB ，
（2）∵ BC ＝ BD ＝5， AB ＝8，∴ AD ＝3.
设点 A 的坐标为（ m ，0），
则 C ， D 两点的坐标分别为（ m －3，4），（ m ，3）.
∵点 C ， D 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
∴4（ m －3）＝3 m .
∴ m ＝12.
∴ A （12，0）， C （9，4）.
∴ S△ OAC ＝ ×12×4＝24.
【点拨】在反比例函数中，求系数 k ，一般有两种方法：（1）
根据题意列方程解答；（2）根据系数 k 的几何意义，由对应面
积求得.在平时的练习中，需要熟练运用 k 的几何意义，并多尝
试作辅助线.
1. （2023·绍兴）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝
（ k 为大于0的常数， x ＞0）图象上的两点 A ， B
满足 x2＝2 x1.△ ABC 的边 AC ∥ x 轴，边 BC ∥ y 轴.若△ OAB
的面积为6，则△ ABC 的面积为 .
2
【解析】如答图，过点 A ， B 作 AF ⊥ y 轴于点 F ，
AD ⊥ x 轴于点 D ， BE ⊥ x 轴于点 E .
∵ S五边形 AFOEB ＝ S△ AFO ＋ S△ ABO ＋ S△ BOE ＝ k ＋6，
S五边形 AFOEB ＝ S矩形 AFOD ＋ S梯形 ADEB ＝ k ＋ S梯形 ADEB ，
∴ S梯形 ADEB ＝6.∴ ＝6.
∵ x2＝2 x1，∴ y2＝ y1.
答图
∴ ＝ ＝ x1 y1＝6.
∴ x1 y1＝8.
∴ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ （ x2－ x1）·（ y1－ y2）＝ x1· y1＝ x1 y1
＝ ×8＝2.故答案为2.
答图
答图
2. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，矩形 OABC 的边
OA ， OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA ＝6， OC ＝3.已知反比例
函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过 BC 边的中点 D ，交 AB 于点 E .
（1） k 的值为 ；
9
（1）【解析】∵ OA ＝6， OC ＝3，
点 D 为 BC 的中点，∴ D （3，3）.
∵反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点D ，
∴ k ＝3×3＝9.
故答案为9.
（2）猜想△ OCD 的面积与△ OBE 的面积之间的关系，并说明
理由.
（2）解： ＝ .理由如下：
∵点 D ， E 在函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
∴ ＝ ＝ .∵点 D 为 BC 的中点，
∴ ＝ . ∴ ＝3×6－3× ＝ .
∴ ＝ .
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第六章 反比例函数
专题9 反比例函数与一次函数的综合问题
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专题解读
典例讲练
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CONTENTS
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0 1
专题阶段
◎问题综述
反比例函数与一次函数的综合运用是初中函数知识中最基
础、最核心的内容，是考查数学思想方法、基础知识和基本技
能的重要知识点.这两类函数的综合运用呈现形式丰富，求解方
式灵活，能很好地锻炼和考查思维能力，是历年中考命题的热
点.常见的反比例函数与一次函数分为以下六种类型：图象的共
存问题，图象交点坐标问题，图象交点个数问题，不等式解集
问题，基础面积问题及综合应用问题.
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0 2
典例讲练
类型一 图象共存问题
一次函数 y ＝ ax ＋ a （ a 为常数， a ≠0）与反比例函数 y ＝
（ a 为常数， a ≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为
（ C ）
A
B
C
C
D
【思路导航】先由反比例函数图象所在象限确定 a 的取值范
围，再确定一次函数的增减性及与 y 轴交点位置是否正确.
【解析】在A，B选项中，由反比例函数图象可知， a ＜0，则一
次函数 y ＝ ax ＋ a 的图象应经过第二、三、四象限，故 A ， B 选
项均错误；在C，D选项中，由反比例函数图象可知， a ＞0，则
一次函数 y ＝ ax ＋ a 应经过第一、二、三象限，故C选项正确，
D选项错误.故选C.
【点拨】解答双函数在同一平面直角坐标系中的象限性问题，
宜采用相对判断法.
在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ kx － k 与 y ＝ （ k
≠0）的大致图象是（ B ）
①
②
B
③
④
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
类型二 图象交点坐标问题
已知点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比例函数 y
＝ 图象的一个交点，则代数式 a2＋ b2的值为 .
【思路导航】根据点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比
例函数 y ＝ 图象的一个交点，求出 a ， b 的值，从而求得代数
式 a2＋ b2的值.
14
【解析】联立解得或
∵点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比例函数 y ＝ 图象
的一个交点，∴ A （2＋ ，2－ ）或 A （2－ ，2＋
）.当 A （2＋ ，2－ ）时， a ＝2＋ ， b ＝2－ ，则
a2＋ b2＝（2＋ ）2＋（2－ ）2＝14；当 A （2－ ，2＋
）时， a ＝2－ ， b ＝2＋ ，则 a2＋ b2＝（2－ ）2＋
（2＋ ）2＝14.综上所述，代数式 a2＋ b2的值为14.故答案为
14.
【点拨】求两函数的交点坐标，把两个函数看成两个方程，则
交点的横、纵坐标就是这个方程组的公共解，所以只需要联立
方程组求解即可.
1. 已知反比例函数 y ＝ 的图象与一次函数 y ＝2 x ＋1的图象的
一个交点是（1， k ），则反比例函数的表达式是 .
y ＝
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴
上，其中∠ OAB ＝90°， AO ＝ AB ，点 C 为斜边 OB 的中点，反
比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象过点 C 且交线段 AB 于点
D ，连接 CD ， OD . 若 S△ OCD ＝ ，则 k 的值为 .
2
【解析】设 B （ m ， m ），则 A （ m ，0）.∵点 C 为斜边 OB 的
中点，∴ C . ∵反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图
象过点 C ，∴ k ＝ × ＝ .∵∠ OAB ＝90°，∴点 D 的横坐标
为 m .∵反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图
象过点 D ，∴点 D 的纵坐标为 .如答图，
作 CE ⊥ x 轴于点 E .
答图
∵ S△ COD ＝ S△ COE ＋ S梯形 ADCE － S△ AOD ＝ S梯形 ADCE ， S△ OCD ＝ ，
∴ （ AD ＋ CE ）· AE ＝ ，即 · ＝ .∴
＝1.∴ k ＝ ＝2.故答案为2.
答图
答图
类型三 不等式解集问题
如图，一次函数 y1＝－ x ＋4与反比例函数 y2＝ 的图象交于
A ， B 两点.若 y1＜ y2，则自变量 x 的取值范围是
.
0＜ x ＜1或 x ＞
3
【思路导航】先求出两个函数的图象的交点坐标，再根据图
象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的 x 的取值范
围即可.
【解析】联立方程组解得或
∴ A （1，3）， B （3，1）.根据图象可知，
当0＜ x ＜1或 x ＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下
方，此时 y1＜ y2.故答案为0＜ x ＜1或 x ＞3.
【点拨】解答本题的关键是联立两个函数构建方程组，求出交
点的坐标，然后利用数形结合法确定自变量的取值范围.
1. 已知一次函数 y1＝ kx ＋ b （ k ＜0）与反比例函数 y2＝ （ m
≠0）的图象相交于 A ， B 两点，其横坐标分别是－1和3.当 y1＞
y2时，则 x 的取值范围是（ A ）
A. x ＜－1或0＜ x ＜3
B. －1＜ x ＜0或0＜ x ＜3
C. －1＜ x ＜0或 x ＞3
D. 0＜ x ＜3
A
2. 如图，一次函数 y ＝ kx ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图
象交于 A （ m ，6）， B （3， n ）两点.根据图象可知，当 kx ＋ b
－ ＜0时，则 x 的取值范围是 .
0＜ x ＜1或 x ＞3
类型四 基础面积问题
如图，已知一次函数 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0）的图象分别与 x
轴、 y 轴交于点 A （－1，0）， B ，且 OB ＝2 OA . 直线 AB 与反
比例函数 y ＝ （ k ≠0， x ＜0）的图象交于点 C （－3， n ）.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在该反比例函数图象上存在点 D ，且点 D 到 x 轴的距离为
2，连接 AD ，直线 CD 交 x 轴于点 E ，求△ ACD 的面积.
【思路导航】（1）先求得点 B 的坐标，然后求得直线 AB 的函
数表达式，进而求得点 C 的坐标，代入 y ＝ 中，即可求得反比
例函数的表达式；（2）求得点 D 的坐标，从而求得直线 CD 的
表达式，进一步求得点 E 的坐标，然后根据 ＝ S△ ACE －
S△ ADE 求解.
解：（1）∵ A （－1，0），∴ OA ＝1.又∵ OB ＝2 OA ＝2，
∴ B （0，－2）.将点 A （－1，0），
B （0，－2）分别代入 y ＝ ax ＋ b 中，得
解得∴一次函数的表达式为 y ＝－2 x －2.
将 C （－3， n ）代入 y ＝－2 x －2中，
得 n ＝－2×（－3）－2＝4.∴ C （－3，4）.
将 C （－3，4）代入 y ＝ 中，得4＝ .
∴ k ＝－12.∴该反比例函数的表达式为 y ＝－ .
（2）∵点 D 到 x 轴的距离为2，∴ yD ＝2.
∵点 D 在函数 y ＝－ 的图象上，∴ xD ＝－ ＝－6.
∴ D （－6，2）.可得直线 CD 的函数表达式为 y ＝ x ＋6.
∵直线 CD 交 x 轴于点 E ，∴ E （－9，0）.
∴ AE ＝8. ∴ S△ ACD ＝ S△ ACE － S△ ADE ＝
AE · yC － AE · yD ＝ ×8×4－ ×8×2＝8.
【点拨】本题是反比例函数和一次函数的综合问题，在求解三
角形面积时，利用割补思想将其转化为两个三角形的面积差是
解题的关键.
如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，Rt△ OAB 的直
角边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（6，4），斜边 OA 的
中点 D 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上， AB 交该图象于
点 C ，连接 OC .
（1）求 k 的值；
解：（1）∵点 A 的坐标为（6，4），点 D 为
OA 的中点，
∴点 D 的坐标为（3，2）.
∵点 D 在反比例函数 y ＝ 的图象上，
∴ k ＝3×2＝6.
（2）求△ OAC 的面积.
解：（2）由题意，得点 C 的横坐标为6，
∴点 C 的纵坐标为 ＝1.
∴ AC ＝4－1＝3.
∴△ OAC 的面积＝ ×3×6＝9.
类型五 综合应用问题
如图，在平面直角坐标系中，已知点 M 为 x 轴正半轴上一
点，过点 M 的直线 l ∥ y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 y ＝ （ x
＞0）和 y ＝ （ x ＞0）的图象交于 P ， Q 两点， S△ POQ ＝14.
（1）求 k 的值；
（2）当∠ QOM ＝45°时，求直线 OQ 的函数表
达式；
（3）在（2）的条件下，若 x 轴上有一点 N ，使
得△ NOQ 为等腰三角形，请直接写出所有满足
条件的点 N 的坐标.
【思路导航】（1）由 S△ POQ ＝ S△ POM ＋ S△ MOQ ，结合反比例函
数中 k 的几何意义列式即可求得 k 的值；（2）由题意可得 MO ＝
MQ ，设点 Q （ a ，－ a ），再利用待定系数法即可解答；（3）
先求出点 Q 的坐标和 OQ 的长，然后分三种情况：① OQ ＝
ON ，② QO ＝ QN ，③ NO ＝ NQ 进行解答.
解：（1）∵ S△ POQ ＝ S△ POM ＋ S△ QOM ＝14， S△ POM ＝ ×8＝4，
S△ QOM ＝ ｜ k ｜，
∴4＋ ｜ k ｜＝14.
解得｜ k ｜＝20.
又∵ k ＜0，∴ k ＝－20.
（2）∵∠ QOM ＝45°， l ∥ y 轴，
∴∠ QOM ＝∠ OQM ＝45°.∴ MO ＝ MQ .
设点 Q （ a ，－ a ），直线 OQ 的函数表达式为 y ＝ mx .
把点 Q 的坐标代入，得－ a ＝ ma .
解得 m ＝－1.
∴直线 OQ 的函数表达式为 y ＝－ x .
（3）∵点 Q （ a ，－ a ）在反比例函数 y ＝－ 的图象上，
∴－ a2＝－20.解得 a ＝2 （负值舍去）.
∴点 Q 的坐标为（2 ，－2 ），
则 OQ ＝ ＝2 .
若△ NOQ 为等腰三角形，可分以下三种情况：
①若 OQ ＝ ON ＝2 ，则点 N 的坐标为（2 ，0）或（－2 ，0）；②若 QO ＝ QN ，则点 N 在 x 轴的正半轴上，
且 NO ＝2 OM ＝4 ，∴点 N 的坐标为（4 ，0）；
③若 NO ＝ NQ ，此时点 N 与点 M 重合.
∴点 N 的坐标为（2 ，0）.
综上所述，满足条件的点 N 的坐标为
（2 ，0）或（2 ，0）或（－2 ，0）
或（4 ，0）.
【点拨】本题主要考查反比例函数中系数 k 的几何意义、等腰三
角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的
综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键.
如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形， AD
＝6.若 OA ， OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－7 x ＋12＝0的
两个根，且 OA ＞ OB .
（1）求 OA ， OB 的长.
解：（1）解方程 x2－7 x ＋12
＝0，得 x1＝3， x2＝4.
∵ OA ， OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－
7 x ＋12＝0的两个根，且 OA ＞ OB ，
∴ OA ＝4， OB ＝3.
（2）若点 E 为 x 轴正半轴上的点，且 S△ AOE ＝ ，求经过 D ， E
两点的直线的函数表达式及经过点 D 的反比例函数的表达式，
并判断△ AOD 与△ AOE 是否相似.
解：（2）如图1，设 E （ x ＞0），
则 S△ AOE ＝ OA · x ＝ ×4 x ＝ ，解得 x ＝ .
∴ E .∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AD ＝6， OA ＝4，∴点 D 的坐标是 .
设经过 D ，
E 两点的直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .
把点 E ， D 的坐标代入，得解得
图1
∴经过 D ， E 两点的直线的函数表达式为 y ＝
x － .
设经过点 D 的反比例函数的表达式为 y ＝ .
把点 D 代入，得 m ＝24.
∴经过点 D 的反比例函数的表达式为 y ＝ .
在△ DAO 与△ AOE 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ .又∵∠ OAD ＝∠ AOE ＝90°，
∴△ DAO ∽△ AOE .
图1
（3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点
F ，使得以 A ， C ， F ， M 为顶点且 AC ， AF 为邻边的四边形为
菱形？若存在，写出点 F 的坐标；若不存在，说明理由.
解：（3）存在.如图2，连接 AC ，易知 OB ＝
OC ＝3.
∵ OA ＝4，∴ AC ＝5.
∵ AO ⊥ BC ，
易知 AO 平分∠ BAC .
分两种情况考虑：
① AC ， AF 是邻边，点 F 在射线 AB 上时， AF
＝ AC ＝5，∴点 F 与点 B 重合，此时点 F 的坐
标为 ；
图2
② AC ， AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时，
AF ＝ AC ＝5，点 M 应在直线 AD 上，
且 FC 垂直平分 AM . 又∵ A ，
D ， C ，∴ FC ＝8，
xF ＝ xC ＝3.∴此时点 F 的坐标为 .
综上所述，满足条件的点 F 存在，
点 F 的坐标为（－3，0）或 .
图2
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第二章 一元二次方程
专题3 一元二次方程的解法
数学 九年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
◎问题综述
一元二次方程常与几何图形及实际应用问题等结合考查，
在考试中出现得比较频繁，所以如何在考试中提高解题效率就
非常重要.在解一元二次方程时，关键在于灵活选择解法，以提
高计算能力.有时可能需要将几种解法综合起来使用，而选择最
合适解法的依据是善于观察方程的具体结构特征.
◎要点归纳
一元二次方程各种解法的关键.
（1）直接开平方法：将方程化为（ mx ＋ n ）2＝ a （ a ≥0）的
形式；
（2）配方法：先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上
一次项系数 的平方；
（3）公式法：把一元二次方程化为 ，正确写出
a ， b ， c 的值；
（4）因式分解法：使方程的右边为 ；
一半
一般形式
0
（5）换元法：把某一部分看作一个整体，用一个新的未知
数代替.
其中配方法与公式法是通法.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 用配方法、公式法解一元二次方程
（1）用配方法解下列方程：
① x2＋2 x －143＝0； ②3 x2＋3 x －1＝0.
【思路导航】①先移项，再在两边都加上1，即可配方；②先移
项，然后把两边都除以3，再在两边都加上一次项系数一半的平
方即可配方.
解：①移项，得 x2＋2 x ＝143.
配方，得 x2＋2 x ＋1＝143＋1，即（ x ＋1）2＝144.
开方，得 x ＋1＝±12.
解得 x1＝11， x2＝－13.
②整理，得 x2＋ x ＝ .
配方，得 x2＋ x ＋ ＝ ＋ ，
即 ＝ .
开方，得 x ＋ ＝± .
解得 x1＝ ， x2＝ .
【点拨】配方法的一般步骤：①将一元二次方程化为一般形
式；②二次项系数化为1；③常数项移到等号右边；④等号两边
都加上一次项系数一半的平方，并配方；⑤开方，求解.配方法
的关键在于第②④两步，这两步一定不能漏掉. 配方法一般在直
接解方程中很少用到，但在求最大值或最小值、比较代数式的
大小、解特殊方程中常用到.
（2）用公式法解下列方程：
①2 x2－3 x －4＝0；
②2 x2＋5 x ＝6 x2＋5；
③（ x －1）（3 x ＋2）＝4 x ＋6.
【思路导航】①先判断判别式Δ的值，再用公式法求解；②先整
理成一般形式，再用判别式的值判断是否能用公式法求解；③
先化简，并整理成一般形式，再用判别式的值判断是否能用公
式法求解.
解：①这里 a ＝2， b ＝－3， c ＝－4.
∵ b2－4 ac ＝（－3）2－4×2×（－4）＝41＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
②整理，得4 x2－5 x ＋5＝0.
这里 a ＝4， b ＝－5， c ＝5.
∵ b2－4 ac ＝（－5）2－4×4×5＝－55＜0，
∴原一元二次方程无解.
③整理，得3 x2－5 x －8＝0.
这里 a ＝3， b ＝－5， c ＝－8.
∵ b2－4 ac ＝（－5）2－4×3×（－8）＝121＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝－1， x2＝ .
【点拨】用公式法求解一元二次方程的一般步骤：①化简，并
整理成 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的形式；②计算判别式Δ的值，
判断方程是否有解；③若Δ≥0，则可用公式法求解.需要注意的
是，若Δ＞0，则原方程有两个不同的实数根；若Δ＝0，则原方
程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则原方程无实数根.此题中，
第③问还可以用因式分解法求解.
1. 用配方法解下列方程：
（1） x2－6 x －3＝0；
解： x1＝3＋2 ， x2＝3－2 .
（2） x2＋3 x ＝2.
解： x1＝ ， x2＝ .
2. 用公式法解下列方程：
（1）4 x2－8 x ＋3＝0；
解： x1＝ ， x2＝ .
（2）（2 x ＋1）（ x －2）＝6；
解： x1＝ ， x2＝ .
（3）7 x2＋9＝6 x2－26 x －160.
解： x1＝ x2＝－13.
类型二 用因式分解法、换元法解方程
（1）用因式分解法解下列方程：
①（4 x ＋1）2－ x2＝0；
②（ x －4）2－2 x ＋8＝0.
【思路导航】①先用平方差公式进行因式分解，再解方程；②
先用提公因式法进行因式分解，再解方程.
解：①原方程可变形为（4 x ＋1＋ x ）（4 x ＋1－ x ）＝0.
∴（5 x ＋1）（3 x ＋1）＝0.
∴5 x ＋1＝0，或3 x ＋1＝0.
∴ x1＝－ ， x2＝－ .
②原方程可变形为（ x －4）2－2（ x －4）＝0.
∴（ x －4）（ x －4－2）＝0.
∴（ x －4）（ x －6）＝0.
∴ x －4＝0，或 x －6＝0.
∴ x1＝4， x2＝6.
【点拨】因式分解法求解一元二次方程的一般步骤：①化简；
②因式分解；③得出方程的解.因式分解法是解一元二次方程的
首选方法，特点是计算量小.因式分解的常用方法：提取公因式
法、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法、分
组分解法等.
（2）用换元法解下列方程：
① x4－ x2－6＝0；
②（ x2－ x ）2－5（ x2－ x ）＋6＝0.
【思路导航】①设 x2＝ t ，代入原方程，先解出 t 的值，再求 x 的
值；②设 t ＝ x2－ x ，代入原方程，先解出 t 的值，再求 x 的值.
解：①设 t ＝ x2，则 t2－ t －6＝0.
整理，得（ t ＋2）（ t －3）＝0.
解得 t1＝－2， t2＝3.
∵ x2≥0，∴ t ＝3，即 x2＝3.
解得 x1＝ ， x2＝－ .
②设 t ＝ x2－ x ，则 t2－5 t ＋6＝0.
整理，得（ t －2）（ t －3）＝0.
解得 t1＝2， t2＝3.∴ x2－ x ＝2，或 x2－ x ＝3.
解得 x1＝2， x2＝－1， x3＝ ， x4＝ .
【点拨】用换元法把复杂的方程转化为一般的一元二次方程.换
元法求解的一般步骤：①确定需要替换的部分；②代入新的未
知数；③解出新的未知数；④根据第①步中的关系式，得出原
方程的解.
1. 用因式分解法解下列方程：
（1）4 x2－4 x －15＝0；
解： x1＝－ ， x2＝ .
（2）3（ x ＋5）2＝ x2－25.
解： x1＝－5， x2＝－10.
2. 用换元法解下列方程：
（1） x2－｜ x ｜－6＝0；
解： x1＝3， x2＝－3.
（2） ＋ －4＝0.
解： x1＝ ， x2＝ .
类型三 用合适的方法解一元二次方程
用合适的方法解下列方程：
（1） x2－2 x －3＝0；
（2）（2 x －1）2＝ x （3 x ＋2）－7；
（3）（2 x ＋1）2－ x2＝0.
【思路导航】（1）含根号，用公式法比较合适；（2）化简后
发现，能用因式分解法解答；（3）用平方差公式化简，用因式
分解法解答.
解：（1）这里 a ＝1， b ＝－2 ， c ＝－3.
∵ b2－4 ac ＝（－2 ）2－4×1×（－3）＝20＞0，
∴ x ＝ ＝ ± .
∴ x1＝ ＋ ， x2＝ － .
（2）方程可变形为 x2－6 x ＋8＝0.
因式分解，得（ x －2）（ x －4）＝0.
解得 x1＝2， x2＝4.
（3）因式分解，得（2 x ＋1＋ x ）（2 x ＋1－ x ）＝0，
即（3 x ＋1）（ x ＋1）＝0.
∴3 x ＋1＝0，或 x ＋1＝0.
∴ x1＝－ ， x2＝－1.
【点拨】解一元二次方程或特殊方程，主要用配方法、公式
法、因式分解法、换元法等.一般优先选用因式分解法；若无法
因式分解，才考虑公式法；若原方程是特殊的方程（如 x2－｜
x ｜－6＝0等），可考虑换元法.
用合适的方法解下列方程：
（1）6 x2－ x －2＝0；
解： x1＝－ ， x2＝ .
（2） x2＋5 x －2＝0；
解： x1＝ ， x2＝ .
（3） － ＝1.
解： x1＝－ ， x2＝1.
类型四 与一元二次方程有关的综合问题
已知关于 x 的一元二次方程 mx2－（ m ＋2） x ＋2＝0.
（1）证明：当 m ≠0时，该方程总有实数根；
（2）当 m 为何整数时，该方程有两个不相等的正整数根.
【思路导航】（1）一元二次方程有实数根 Δ≥0；（2）需要
依次考虑几点：① m 为整数， m ≠0；②Δ＞0；③ x1， x2都是正
整数.
（1）证明：当 m ≠0时，
∵Δ＝[－（ m ＋2）]2－4· m ·2＝ m2－4 m ＋4＝ ≥0，
∴当 m ≠0时，该方程总有实数根.
解得 x1＝ ， x2＝1.
∵该方程有两个不相等的正整数根，
∴ 是正整数.∴ m ＝1或 m ＝2.
又∵ ≠1，即 m ≠2，∴ m ＝1.
（2）解：∵该方程为一元二次方程，∴ m ≠0.
因式分解，得（ mx －2）（ x －1）＝0.
【点拨】（1）对于含参的一元二次方程，由因式分解法求出两
根是常用的方法，另外，还可以直接用公式法得到方程的根.
（2）需掌握用根的判别式判断根的情况.（3）针对综合性问
题，要把握条件，分别去分析，做到不遗漏.如本题中第（2）
问，可得到几个条件：① m 为整数， m ≠0；②Δ＞0；③ x1， x2
都是正整数.
已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 mx －3 m2＋8 m －4＝0.
（1）当 m ＞2时，试判断该方程根的情况；
解：（1）Δ＝（－2 m ）2－4（－3 m2＋8 m －4）＝16 m2－32 m
＋16＝16（ m －1）2.
∵ m ＞2，
∴16（ m －1）2＞0，即Δ＞0.
∴该方程总有两个不相等的实数根.
（2）若该方程的两个实数根一个大于5，另一个小于2，求 m 的
取值范围.
解：（2）－3 m2＋8 m －4＝－（3 m －2）（ m －2）.
原方程因式分解，得[ x －（3 m －2）][ x ＋（ m －2）]＝0.
∴ x1＝3 m －2， x2＝2－ m .
由题意，得或
解得 m ＞ 或 m ＜－3.
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第二章 一元二次方程
专题4 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题
数学 九年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
◎问题综述
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是一元二次方
程中的两种重要工具，前者用来判断根的存在情况，属于定性
判断；后者用来研究根之间的关系，属于定量计算.两者一般结
合使用，先判断根的情况，再计算.由于没有直接求出方程的两
根，因此大大减少了计算量，熟练运用这两种工具可以有效提
高解题效率.
◎要点归纳
1. 我们把 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a
≠0）的根的判别式，通常用“ ”表示.一元二次方程 ax2
＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的情况可由Δ＝ b2－4 ac 来判断.
（1）若 ，则方程有两个不相等的实数根；
（2）若 ，则方程有两个相等的实数根；
（3）若 ，则方程没有实数根.
b2－4 ac
Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
2. 如果方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个根是 x1， x2，那么 x1
＋ x2＝ － ， x1· x2＝ .
一元二次方程的根与系数的关系中常见的变形公式：
（1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2；
（2） ＋ ＝ ；
（3） ＋ ＝ ；
－
（4） ＋ ＝ ；
（5）（ x1＋ m ）（ x2＋ m ）＝ x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＋ m2.
注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条
件：（1）确定方程一定是一元二次方程；（2）确定方程有实
数根.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 不解方程，判断根的情况
关于 x 的一元二次方程 x2＋（ k －3） x ＋1－ k ＝0的根的情
况是 .
有两个不相等的实数根
【思路导航】由于一元二次方程的根的情况与判别式Δ存在一个
等价关系，所以只需要判断判别式与0的大小关系即可.
【解析】Δ＝（ k －3）2－4（1－ k ）
＝ k2－6 k ＋9－4＋4 k
＝ k2－2 k ＋5
＝（ k －1）2＋4.
∵（ k －1）2＋4＞0，∴Δ＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根.
故答案为有两个不相等的实数根.
【点拨】判断含参的一元二次方程的根的情况，一般有以下几
种情况：
①Δ＞0 原方程有两个不相等的实数根；
②Δ＝0 原方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0 原方程没有实数根.
所以，关键是确定判别式与0的大小关系.
1. （2023·河南）关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情
况是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
A
2. 直线 y ＝ x ＋ a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1
＝0实数解的个数是（ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
D
类型二 根据方程根的情况，求待定系数的取值范围
若关于 x 的方程（ k －1）2 x2＋（2 k ＋1） x ＋1＝0有实数
根，则 k 的取值范围是（ D ）
A. k ＞ 且 k ≠1 B. k ≥ 且 k ≠1
C. k ＞ D. k ≥
【思路导航】先分两类讨论：①二次项系数为0；②二次项系数
不为0.再根据根的情况，由判别式列不等式求解.
D
【解析】①当（ k －1）2＝0时， k ＝1，原方程变为3 x ＋1＝0.解
得 x ＝－ ，符合题意.②当（ k －1）2≠0时， k ≠1，原方程为
一元二次方程.∵原方程有实数根，∴Δ≥0，即（2 k ＋1）2－4
（ k －1）2×1≥0，即12 k －3≥0.解得 k ≥ .则 k ≥ 且 k ≠1.综
上所述， k ≥ .故选D.
【点拨】此题中容易将方程默认为一元二次方程，从而得出“ k
≠1”的错误结论.在含参方程问题中，根据根的情况求待定系
数的取值范围，一般解题步骤：（1）讨论二次项系数是否为0.
①若二次项系数等于0，则不是一元二次方程，可能是一元一次
方程；②若二次项系数不等于0，则是一元二次方程.（2）根据
一元二次方程根的情况，判断判别式的正负性，并列不等式.
（3）求解不等式.（4）对于前述的分类讨论，需要写出总结
语，如“综上所述，……”.
1. （2023·聊城）若关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实
数解，则 m 的取值范围是（ D ）
A. m ≥－1
B. m ≤1
C. m ≥－1且 m ≠0
D. m ≤1且 m ≠0
D
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0有实数根.
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）根据题意，得Δ＝（－3）2－4 k ≥0.
解得 k ≤ .
（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（ m －1）
x2＋ x ＋ m －3＝0与方程 x2－3 x ＋ k ＝0有一个相同的根，求此时
m 的值.
解：（2） k 的最大整数值为2，方程 x2－3 x ＋ k ＝0变形为 x2－3
x ＋2＝0.解得 x1＝1， x2＝2.
∵一元二次方程（ m －1） x2＋ x ＋ m －3＝0与方程 x2－3 x ＋ k
＝0有一个相同的根，
∴当 x ＝1时， m －1＋1＋ m －3＝0，解得 m ＝ ；
当 x ＝2时，4（ m －1）＋2＋ m －3＝0，解得 m ＝1.
而 m －1≠0，即 m ≠1.故舍去.
综上所述， m 的值为 .
类型三 利用根与系数的关系求代数式的值
已知一元二次方程 x2＋2 x －8＝0的两个根为 x1， x2，则
＋ ＋2 x1 x2＝ .
【思路导航】先由根与系数的关系求出 x1， x2的和与积；再将
代数式变形，用 x1＋ x2及 x1 x2表示；最后代入求值.也可以先求
出两根，再代入求值.
－18.5
【解析】∵Δ＝36＞0，∴由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2，
x1 x2＝－8.∴原式＝ ＋2 x1 x2＝ ＋2 x1 x2＝
＋2 x1 x2＝ ＋2×（－8）＝－
18.5.故答案为－18.5.
【点拨】已知一元二次方程，求含根的代数式的值的解题步
骤：（1）由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积；
（2）将所求代数式变形为用 x1＋ x2及 x1 x2表示的代数式；（3）
代入求值.需要注意的是，根与系数关系运用的前提是Δ≥0.同
时，对于常见的关于两根的关系式，需要熟记它们的变形 .
1. 若 x1， x2是方程 x2－4 x －2 020＝0的两个实数根，则代数式
－2 x1＋2 x2的值等于 .
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x － k ＝0有两个不相等的实
数根.
2 028
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4＋4 k ＞0.
解得 k ＞－1.
∴ k 的取值范围为 k ＞－1.
（2）若方程的两个不相等的实数根是 a ， b ，求 － 的值.
解：（2）由一元二次方程的根与系数的关系，得 a ＋ b ＝－2，
ab ＝－ k .
∴ － ＝ ＝ ＝1.
类型四 利用根与系数的关系求参数的值
若关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0的两个实数根分别
为 x1， x2，且 x1＋3 x2＝5，则 m 的值为（ A ）
A. B. C. D. 0
【思路导航】先根据根与系数的关系求出 x1＋ x2的值；再结合 x1
＋3 x2＝5求出 x2；然后根据根与系数的关系求出 m 的值；最后
把 m 的值代入原方程，检验Δ≥0是否成立.
A
【解析】∵ x1＋ x2＝4，
∴ x1＋3 x2＝ x1＋ x2＋2 x2＝4＋2 x2＝5.
∴ x2＝ .
将 x2＝ 代入 x2－4 x ＋ m ＝0，得
－4× ＋ m ＝0.
解得 m ＝ .经检验，当 m ＝ 时，Δ＝9＞0，符合题意.
故选A.
【点拨】对于根与系数的关系，需要熟练并灵活运用.处理“利
用根与系数的关系求参数的值”问题，核心是列出方程
（组），然后再解方程（组）.需要注意的是，求出参数后，需
要检验：把参数的值代入原方程，求出判别式，检查Δ≥0是否
成立；检查二次项系数是否为0.
1. 已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋ m2－ m ＝0有两个实数
根α，β，且α2＋β2＝12，则 m 的值为（ A ）
A. －1 B. －4
C. －4或1 D. －1或4
A
2. （2023·黄冈）已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的两
个实数根为 x1， x2.若 x1 x2＋2 x1＋2 x2＝1，则实数 k ＝ .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实数根
x1， x2.
－5
（1）求 m 的取值范围；
解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实
数根 x1， x2，
∴Δ＝（－6）2－4（ m ＋4）＝20－4 m ≥0，
解得 m ≤5.
∴ m 的取值范围为 m ≤5.
（2）若 x1， x2满足3 x1＝｜ x2｜＋2，求 m 的值.
解：（2）∵关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实
数根 x1， x2，
∴ x1＋ x2＝6，① x1 x2＝ m ＋4.②
∵3 x1＝｜ x2｜＋2，
∴有以下两种情形：
当 x2≥0时，有3 x1＝ x2＋2.③
联立①③，解得 x1＝2， x2＝4.
∴由②，得8＝ m ＋4.
∴ m ＝4.
当 x2＜0时，有3 x1＝－ x2＋2.④
联立①④，解得 x1＝－2， x2＝8（不符合题意，舍去）.
综上所述， m 的值为4.
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第三章 概率的进一步认识
专题5 概率的综合问题
数学 九年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 九年级上册 BS版
0 1
专题解读
◎问题综述
概率问题在历年的中考中都有出现，常结合统计、代数、
几何等相关知识综合考查.概率问题一般不困难，但部分较烦
琐，在做此类题目时，关键在于理解题意，能清晰地写出解答
过程.
◎要点归纳
1. 把刻画随机事件 A 发生的可能性大小的数值，称为随机事件 A
发生的 ，其计算由理论计算和试验估值两种方式.
2. 根据获得概率的方式，我们遇到的概率问题大致分为三类：
概率
（1）第一类问题，它没有理论概率，只能通过多次试验，用频
率估计概率；
（2）第二类问题，它有理论概率，但理论概率计算很困难，这
时也可以通过多次试验，用频率估计概率；
（3）第三类问题，它是简单的古典概型，有理论概率，且理论
概率的计算较为简单，我们就通过公式 P （ A ）＝
来计算得到概率.
3. 常用的计算概率的基本方法.
（1）利用等可能事件的概率计算公式计算涉及一步试验的古典
概型及可化为古典概型的几何概型的概率；
（2）计算涉及两步试验的等可能事件概率的两种方法——画树
状图和列表.
注：当涉及两步试验时，用列表法较为简便，也可用画树状图
法；当涉及三步及三步以上试验时，应选用画树状图法.
数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 概率与频率的综合问题
一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，
4， x ，这些球除数字外都相同. 甲、乙两人每次同时从袋中各随
机摸出1个小球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和. 记录
后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：
摸球总次数 “和为7”出现的频数 “和为7”出现的频率
10 1 0.10
20 9 0.45
30 14 0.47
60 24 0.40
90 26 0.29
摸球总次数 “和为7”出现的频数 “和为7”出现的频率
120 37 0.31
180 58 0.32
240 79 0.33
330 109 0.33
根据表中数据，解答下列问题：
（1）若试验继续进行下去，出现“和为7”的频率将稳定在它
的概率附近，试估计出现“和为7”的概率为
；
（2）根据（1），若 x 是不等于2，3，4的自然数，试求 x 的值.
【思路导航】（1）观察表格中的数据，利用概率与频率之间的
关系，即可得出结论；（2）利用（1）得到事件“和为7”的概
率，即可列表、列式求解 x 的值.
0.33（答案不唯
一）
（1）【解析】出现“和为7”的概率为0.33（或0.31，0.32，
0.34均正确）.故答案为0.33（答案不唯一）.
（2）解：列表如下：
乙 甲 2 3 4 x
2 5 6 2＋ x
3 5 7 3＋ x
4 6 7 4＋ x
x 2＋ x 3＋ x 4＋ x
由表可知，一共有12种等可能的结果.又由（1）知，出现
“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数约为
0.33×12＝3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）.
若2＋ x ＝7，则 x ＝5. 此时 P （和为7）＝ ＝ ≈0.33，符
合题意；
若3＋ x ＝7，则 x ＝4，不符合题意；
若4＋ x ＝7，则 x ＝3，不符合题意.
∴ x ＝5.（说理方法不唯一，合理即可）
【点拨】本例属于利用概率与频率之间的关系来解决的综合问
题.要注意如下问题：（1）在大量重复试验中，如果事件 A 发生
的频率稳定在某个常数 P 附近，那么这个常数 P 就是事件 A 发生
的概率.主要用于：①不是理论概率的问题，只能通过多次试
验，用频率来估计概率；②虽然是理论概率的问题，但理论概
率的计算很困难，这时也可以通过多次试验，用频率来估计概
率.（2）利用频率估计概率时，不能以某一次或次数较少的试
验结果作为估计的概率，试验次数越多，用频率估计的概率也
就越准确，即用足够多次试验后的频率稳定值估计其概率.
某水果公司以2元/ kg 的成本购进10 000 kg 柑橘，销售人员在销
售过程中随机抽取柑橘进行“损坏率”统计，并绘制成如图所
示的统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计
值为 ；
（1）【解析】根据所给的统计图可知，柑橘损坏的概率估计值
为0.1，则柑橘完好的概率估计值为1－0.1＝0.9.故答案为0.1，
0.9.
（2）估计这批柑橘完好的质量为 kg ；
（2）【解析】根据（1）知，估计这批柑橘完好的质量为10
000×0.9＝9 000（ kg ）.故答案为9 000.
0.1
0.9
9 000
（3）若公司希望销售这些柑橘能获得25 000元的利润，则在出
售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比
较合适（精确到0.01）？
（3）解：设每千克柑橘大约定价为 x 元比较合适.根据题意，得
（ x －2）×9 000＝25 000，解得 x ≈4.78.
故每千克柑橘大约定价为4.78元比较合适.
类型二 概率与统计的综合问题
张老师为了了解本班学生完成数学课前预习的具体情况，
对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查.他将调查结果分
为四类：A. 很好；B. 较好；C. 一般；D. 较差.并将调查结果绘
制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题：
（1）请计算出A类男生、C类女生和D类男生的人数，并将条形
统计图补充完整；
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各
随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或
列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率.
【思路导航】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再
用总人数分别乘A，C类对应的百分比求得其人数，据此结合条
形统计图进一步得到答案，并补全条形统计图即可；（2）画树
状图列出所有可能的结果，从中找到所选两位同学恰好是一男
一女同学的结果，利用概率公式求解即可.
解：（1）∵ 被调查的总人数为（7＋5）÷60％＝20，
∴A类人数为20×15％＝3，
C类人数为20×（1－15％－60％－10％）＝3.
则A类男生人数为3－1＝2，
C类女生人数为3－1＝2.
D类男生人数为20×10％－1＝1.
补全条形统计图如下：
（2）画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中所选两位同学恰好
是一位男同学和一位女同学的结果有3种，
∴ P （恰好是一男一女）＝ ＝ .
【点拨】本例属于概率与统计相结合的综合问题，正确读图和
识图是解决本题的关键，要注意的是条形统计图显示各选项的
具体数量，而扇形统计图显示各选项所占的百分比的大小，扇
形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.某选项的具体数量
除以其所占的百分比可得总体的数量，从而可得到各选项的具
体数量.在从统计图中获取有关的信息和必要的数据后，再利用
树状图求得所求的概率.
胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行校园电视台主持人选
拔赛.现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数
分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中 D 所在扇形的圆
心角度数；
解：（1）∵80～90分的频数为36×50％＝18，∴80～85分的频
数为18－11＝7，95～100分的频数为
36－（4＋18＋9）＝5.∴扇形统计图
中 D 所在扇形的圆心角度数为360°×
＝50°.补全频数分布直方图如图所示：
（2）若成绩在 D 组的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取
两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一
名女生的概率.
解：（2）结合（1）可知， D 组中男生有3人，女生有2人.
根据题意，画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽取的学生恰好
是一名男生和一名女生的结果有12种，
故所求的概率为 ＝ .
类型三 概率与代数的综合问题
在一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字1，2，3，4的
小球，它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋里随机摸出一
个小球，记下数字 x ，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小
球，记下数字 y ，这样确定了点 P 的坐标为（ x ， y ）.
（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ；
（1）【解析】小红摸出标有数字3的小球的概率是 .故答案为
.
（3）求点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5图象上的概率.
【思路导航】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用画树状
图法或列表法求出所有等可能的结果；（3）将函数转化为 x ＋
y ＝5，找出符合题意的结果，然后根据概率公式求解即可.
（2）请你用列表法或画树状图法表示由 x ， y 确定的点 P （ x ，
y ）所有可能的结果；
（2）解：画树状图（略图）如下：
由树状图可知，点 P 的坐标可能是（1，2），（1，3），（1，
4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），
（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种等可能的
结果.
（3）解：由（2）可知，共有12种等可能的结果，其中在函数 y
＝－ x ＋5的图象上的结果有4种，即（1，4），（2，3），
（3，2），（4，1），所以点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5的
图象上的概率为 ＝ .
【点拨】本例属于概率与代数知识相结合的综合题，概率常常
与代数中的方程、不等式以及函数的有关知识综合考查.在求解
这类综合题时，关键是弄清方程、不等式和函数给出的条件，
以此列举出所有等可能的结果和其中符合条件的结果，再利用
概率公式求解即可.
现有A，B两个不透明的布袋，A布袋中有四个除标号外完全相
同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3；B布袋中有三个除
标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2.小明先
从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的小球上标有的数
字，再从B布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的小球上标
有的数字.若用（ m ， n ）表示小明取球时 m 与 n 的对应值，求关
于 x 的一元二次方程 x2－ mx ＋ n ＝0有实数根的概率.
解：画树状图（略图）如下：
∴（ m ， n ）的所有取值是（0，0），（0，1），（0，2），
（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，
2），（3，0），（3，1），（3，2），共12种等可能的结果.
由原方程 x2－ mx ＋ n ＝0，得Δ＝ m2－2 n .
当 m ， n 的对应值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，
1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）这8种情况
时，Δ≥0，原方程有实数根.
∴ P （原一元二次方程有实数根）＝ ＝ .
类型四 概率与几何的综合问题
一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数－2，
－1，0，1，它们除数不同外，其他完全相同.小聪先从袋子中
随机摸出一个小球，记下的数作为平面直角坐标系内点 M 的横
坐标，然后放回搅匀；接着小明再从袋子中随机摸出一个小
球，记下的数作为点 M 的纵坐标.如图，已知
四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A
（－2，0）， B （0，－2）， C （1，0），
D （0，1），求点 M 落在四边形 ABCD 内
（含边界）的概率.
【思路导航】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结
果，并从中找到符合条件的结果，再用概率公式计算即可.
解：依题意，列表如下：
y x －2 －1 0 1
－
2 （－2，－2） （－2，－1） （－2，0） （－2，1）
－
1 （－1，－2） （－1，－1） （－1，0） （－1，1）
0 （0，－2） （0，－1） （0，0） （0，1）
1 （1，－2） （1，－1） （1，0） （1，1）
由表可知，共有16种等可能的结果，其中点 M 落在四边形
ABCD 内（含边界）的坐标有（－2，0），（－1，－1），
（－1，0），（0，－2），（0，－1），（0，0），（0，
1），（1，0）这8种情况，∴点 M 落在四边形 ABCD 内（含边
界）的概率为 ＝ .
【点拨】本题考查的是概率与几何，弄清题意后，用列表法或
画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据题意，用所求结
果数与总结果数之比求解.解题时要注意是放回试验还是不放回
试验.
在3×3的方格纸中，点 A ， B ， C ， D ， E ， F 分别位于如图所
示的小正方形的顶点上.
（1）从 A ， D ， E ， F 四点中任意取一点，以所取的这一点及
点 B ， C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率
是 ；
（2）从 A ， D ， E ， F 四点中先后任意取两个不同的点，以所
取的这两点及点 B ， C 为顶点画四边形，则所画四边形是平行
四边形的概率是 .
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