中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 全等三角形 单元测试（基础）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列每组图形中为全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且∠AOD＝∠AOP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ ）．
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
3．如图，某三角形材料断裂成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料全等的三角形材料，应该利用材料Ⅲ，这样做利用的是三角形全等判定方法中的（ ）
A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边
4．如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．7cm D．5cm
5．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一对锐角和斜边对应相等 D．一对锐角相等，一组边相等
6．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等 B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
7．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，则的长为（ ）
A．7 B． C．11 D．
8．如图，，，则的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．如图，在四边形中，为对角线，．在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在中，，又，则的度数等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
11．如图，AD和BC相交于O点，OA=OC ， 用“SAS”证明△AOB≌△COD还需（ ）
A．AB=CD B．OB=OD C．∠A=∠C D．∠AOB=∠COD
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线上移动，则当AP= 时，Rt△ABC与Rt△APQ全等
A．4 B．8 C．12 D．4或8
二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．两个全等三角形对应边 ；对应边上的中线
14．已知，若的周长为20，，，则的长度为 ．
15．如图，AB=AD，要证明△ABC与△ADC全等，只需增加的一个条件是
16．如图，，，，、相交于点F，则度数为 ．
17．如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ．
18．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在和中，
∴
∴____________
20．（8分）如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离．
21．（8分）一个燕子风筝的骨架图如图所示，．求证：．
22．（8分）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．
求证：（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF
23．（10分）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
24．（10分）如图，已知点在直线上，点在异侧，且，．
(1)请你添加一个适当的条件：_______，使得．结合所添加的条件证明；
(2)若，，求的长度．
25．（10分）如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证
(2)若，求的度数．
26．（10分）在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结．
（1）如图1，点在线段上，求证：．
（2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 全等三角形 单元测试（基础）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列每组图形中为全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等形定义的理解，根据全等形的定义进行判断，符合完全重合的两个图形即可作为答案．
【详解】解：A、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意；
B、两图形大小和形状都一致，完全重合是全等形，故本选项符合题意；
C、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意；
D、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且∠AOD＝∠AOP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ ）．
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判别方法可证△AOD△AOP
【详解】解:∵OD⊥AB 且OP⊥AC
∴△AOD和△AOP是直角三角形
又∵∠AOD＝∠AOP, ∠ADO=∠APO= 且AO=AO
∴△AOD△AOP(AAS)
故选：C.
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法AAS.
3．如图，某三角形材料断裂成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料全等的三角形材料，应该利用材料Ⅲ，这样做利用的是三角形全等判定方法中的（ ）
A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法“”可得可以配到与原三角形材料．
【详解】解：因为Ⅲ块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得到三角形全等，即得到与原三角形一样的材料，
故选C．
【点睛】考查了全等三角形判定和应用，解题关键利用了有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等．
4．如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．7cm D．5cm
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质即可求出：AC＝BD＝7cm.
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝7cm，
∴AC＝BD＝7cm．
故选C．
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.
5．下列条件中，不一定能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．一对锐角和斜边对应相等 D．一对锐角相等，一组边相等
【答案】D
【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
、符合判定，故本选项正确，不符合题意．
、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
、没有指明是否对应相等，故本选项错误，符合题意；
故选．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等 B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；
B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；
D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．
7．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，则的长为（ ）
A．7 B． C．11 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，进而证明得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．如图，，，则的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】解：∵△ACB≌△DEB，
∴∠EBD=∠CBA，
∴∠EBC+∠CBD=∠CBD+∠ABD
∴∠ABD=∠CBE=35°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．如图，在四边形中，为对角线，．在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．根据、和能推出；
B．∵，
∴根据、和能推出；
C．∵， ∴，
根据、和能推出；
D．根据，和不能推出；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，任意两个三角形全等共有四个方法，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在中，，又，则的度数等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出，求出的度数即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应角相等，是解题的关键．
11．如图，AD和BC相交于O点，OA=OC ， 用“SAS”证明△AOB≌△COD还需（ ）
A．AB=CD B．OB=OD C．∠A=∠C D．∠AOB=∠COD
【答案】B
【分析】已有条件OA=OC和对顶角∠AOB=∠COD，用“SAS”证明△AOB≌△COD需添加BO=DO．
【详解】应添加BO=DO，
∵在△AOB和△COD中
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线上移动，则当AP= 时，Rt△ABC与Rt△APQ全等
A．4 B．8 C．12 D．4或8
【答案】D
【分析】当△ABC和△APQ全等时可知AP=BC或AP=AC，再由条件可求得答案．
【详解】解：∵△ABC和△APQ全等，PQ=AB
∴有△ABC≌△QPA或△ABC≌△PQA，
当△ABC≌△QPA时，则有AP=CB=4，
当△ABC≌△PQA时，则有AP=AC=8，
∴当AP=4或8时，△ABC和△APQ全等，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意全等三角形的对应关系是解题的关键二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．两个全等三角形对应边 ；对应边上的中线
【答案】 相等 相等
【分析】根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：两个全等三角形对应边相等；对应边上的中线相等．
故答案为：相等；相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14．已知，若的周长为20，，，则的长度为 ．
【答案】9
【分析】先根据三角形的周长求出，再根据全等三角形的性质即可作答．
【详解】解：∵的周长为20，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质的知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．
15．如图，AB=AD，要证明△ABC与△ADC全等，只需增加的一个条件是
【答案】DC=BC（答案不唯一）
【分析】要说明△ABC≌△ADC，现有AB=AD，公共边AC=AC，需第三边对应相等，于是答案可得．
【详解】解：∵AB=AD，AC=AC
∴要使△ABC≌△ADC可利用SSS判定，
故添加DC=BC（答案不唯一）．
故答案为：BC=DC，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16．如图，，，，、相交于点F，则度数为 ．
【答案】/45度
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，又，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键．
17．如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据证明，再根据全等三角形的对应角相等解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
又∵，
∴
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．
【答案】10
【分析】先证明，再证明，即可作答．
【详解】，
又，
，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在和中，
∴
∴____________
【答案】，，，
【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．
【详解】证明：在和
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．
20．（8分）如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离．
【答案】石凳M到石凳F的距离为12米
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明，得出．
【详解】解：，
又点M为中点，
米，
在和中，
，
，
米，
答：石凳M到石凳F的距离为12米．
21．（8分）一个燕子风筝的骨架图如图所示，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证得即可求证．
【详解】证明：在与中，
，，，
，
，
，
．
22．（8分）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．
求证：（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法得出（AAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）求得的结论进而证明（SAS），根据全等三角形的性质和再平行线的判定方法即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确得出和是解题的关键．
23．（10分）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
24．（10分）如图，已知点在直线上，点在异侧，且，．
(1)请你添加一个适当的条件：_______，使得．结合所添加的条件证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)添加条件：（不唯一），证明见解析
(2)
【分析】（1）添加条件：，再证明，结合已知条件可得结论；
（2）证明，可得，从而可得答案．
【详解】（1）添加条件：（不唯一）
证明：∵，
，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查的是添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
25．（10分）如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】根据题意，利用全等三角形的判定定理证得．在中，根据题意可求得的度数，即可求得的度数，又根据Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得的度数，所以．
【详解】（1）∵，
∴，
在中，
，
∴（HL）．
（2）∵，
∴，
∵，
由（1）可知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
26．（10分）在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结．
（1）如图1，点在线段上，求证：．
（2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1），
，
在与中，
，
，
，
，
，
即：．
（2），理由：
，
，
在与中，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，合理利用已知条件进行证明是此类问题的关键．
