山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷（含答案）

山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期第三学段质量检测数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中,的系数为（ ）
A.8 B.28 C.56 D.70
2.已知随机变量服从正态分布,若,则（ ）
A.-1 B.-2 C.2 D.1
3.设曲线在点处的切线与直线垂直,则的值为( )
A.1 B.-1 C. D.
4.在2024年第22届上海国际茶博会中,某展区展出6种茖茶,分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶将这6种茶排成一排,若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻,则不同的排序方法有（ ）
A.240种 B.280种 C.340种 D.480种
5.与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.设事件A,B满足,且,则（ ）
A. B. C. D.
7.将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后,能得到反比例函数的图象(其渐近线分别为轴和轴).同样,常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到(其渐近线分别为和轴).设,则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A. B.4 C. D.
8.已知为数列的前项和,数列满足：,记不超过的最大整数为[x],则的值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知随机变量则（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的有（ ）
A.在研究成对数据的相关关系时,相关关系越强,相关系数越接近于1
B.独立性检验是在零假设之下,如果出现一个与相矛盾的小概率事件,就推断不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率
C.已知一组样本数据,根据这组数据的散点图分析与之间的具有线性相关关系,若求得其线性回归方程为,则在样本点处的残差为-0.2
D.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则c,k的值分别是和0.3
11.已知拋物线与圆交于A,B两点,且,直线过的焦点,且与交于M,N两点,则下列说法中正确的是（ ）
A.若直线的斜率为,则
B.的最小值为
C.若以MF为直径的圆与轴的公共点为,则点的横坐标为
D.若点,则周长的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,则___________.(用数字作答)
13.点为圆上一点,点在圆上运动,点满足.则点的轨迹方程为___________.
14.已知函数存在两个极值点,则的取值范围为________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
人工智能正在改变我们的世界,由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图,并且可以更好地回答人类的问题,被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面,让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查,其数据的统计结果如下表所示:
ChatGPT应用的广泛性 服务业就业人数的 合计
减少 增加
广泛应用 60 10 70
没广泛应用 40 20 60
合计 100 30 130
(1)依据的独立性检验,能否认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关联
(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人,记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用,求的分布列和均值.
附:,其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.(本小题15分)
已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
17.(本小题15分)
已知数列,数列是等差数列.
且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若,求数列的前项和;
(3)设数列的前项和为,若且,求集合中所有元素的和.
18.(本小题17分)
盒中有6只乒乓球,其中黄色4只,白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛.
(1)若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内,记事件“三次比赛中恰有两次使用的是黄色球”，求;
(2)已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内;白色球是去年购置的旧球,在比赛中使用后丢弃.
①记事件“第一次比赛中使用的是白色球”,“第2次比赛中使用的是黄色球”,求概率;
②已知,记事件“在第次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”,求概率.
19.(本小题17分)
己知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,点在椭圆上,,过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点,H为线段EF的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,且,求直线的方程.
(3)点为直线上一点,且不在轴上,是椭圆长轴的两个端点,直线与椭圆C的另外一个交点分别为M,N,设的面积分别为,求的最大值.
青岛实验高中2023—2024学年度第二学期第三学段质量检测高二数学试卷答案
一、选择题：1—4 CBAD 5—8 BBDD
二、选择题：9.AD 10.BCD 11.BC
三、填空题:12.2187 13. 14.
四、解答题:
15.【答案】解：(1)零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得,
所以根据小概率值的独立性检验,没有允分证据推断不成立,因此可以认为无关.
(2)由题意得,采用分层抽样抽取出的5人中,有人认为人工智能会在服务业中广泛应用,有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用,
则的可能取值为1,2,3,又,所以的分布列为所以.
1 2 3
16.【答案】解:(1),该函数的定义域为,则,列表如下:
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以,函数的增区间为和,减区间为,
函数的极大值为,极小值为.
(2)当时,由可得,
令,其中,则,由可得,由可得,所以,函数的增区间为,减区间为,所以,,所以,,故实数的取值范围是.
17.【答案】解:(1),可得,代入中,可得,而数列是等差数列,所以公差,所以数列的通项公式,所以;即的通项公式;
（2）由(1)可知,
因为,
所以,
两式相减,得,所以.
(3)由(1)可得,所以,可得
所以当为奇数时,,故都是集合中的元素，
由
所以当为偶数时且,所以,可得,所以2,4,6,8为集合中的元素,
所以.
18.【答案】解:(1)由题意知,每次比赛中,使用黄色球的概率为,
记3次比赛中,使用黄色球的次数为随机变量,则,
故
(2)记事件Yk=“第次比赛使用黄色球”,事件“第次比赛使用白色球”,
①根据题意,,
故
②由题意,Rn表示第次比赛中使用了最后一只白色球,即第2次使用白色球,不妨设第次比赛中,首次使用白色球,故在第次比赛中,使用黄色球,即比赛流程为,
根据规则可知,在前局比赛中,每次比赛开始前盒中均有4只黄球2只白球,故每次比赛选择黄球的概率均为,第局比赛前,盒中有4只黄球2只白球,此时选择白球的概率为,第至局比赛(共计局)中,每次比赛前盒中均有4只黄球1只白球,故每次比赛选择黄球的概率均为,第次比赛中,比赛前盒中有4只黄球1只白球,故比赛选中白球的概率为,
故P
考虑到的取值可能从1变化到,
19.(本小题17分)
【答案】解：(1),
在:中,,
即,
解得：,
椭圆的方程为:;
(2)由题意设的方程为:,
联立方程,得,
,
,,
,即,
化简得:,
直线的方程为或者;
(3)设,
则,
联立,消去得,
同理,联立消去得,
所以
,令,
则,
当,
即时,取得最大值.