河北省保定市部分学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

河北省高二年级下学期5月联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册和集合与常用逻辑用语.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量x，y之间的相关系数为，，，则经验回归直线经过（ ）
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
5.已知函数，其导函数为，集合，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则“有极值”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（ ）
A.32 B.36 C.48 D.56
8.一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
分值 10 20 20 20 30
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对A题的概率为，答对B，C，D题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列说法正确的是（ ）
A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D.除以10的余数为9
10.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是（ ）
A.假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6
B.假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16
C.若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147
D.假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率为
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.存在，使得在上单调递减
B.对任意，在上单调递增
C.对任意，在上恒成立
D.存在，使得在上恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设随机变量，若，则______，______.
13.用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.
14.已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
（1）计算样本平均数和样本方差；
（2）若这次环保知识竞赛的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
16.（15分）
某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
合格品 不合格品 合计
升级前 120 80 200
升级后 150 50 200
合计 270 130 400
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？
（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
18.（17分）
在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
（1）求的分布列与期望；
（2）证明为等比数列，并求关于的表达式.
19.（17分）
若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.
（1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由；
（2）若与互为亲密函数，求的取值范围.
附：.
河北省高二年级下学期5月联考
数学参考答案
1.D 依题意得，.则.
2.C 命题“，”的否定是“，”.
3.B 由题可知，所以，又，所以所求的切线方程为，即.
4.B 由相关系数为，知，负相关，所以又，，即点在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.
5.A ，解得，故.又，且，所以解得.
6.C ，若有极值，则，解得，所以“有极值”是“”的充要条件.
7.B 周六分配一名精通日语的志愿者有种不同的分配方法，周六分配两名精通日语的志愿者有种不同的分配方法，故分配方法的总数为36.
8.A 若从，，中只选择了一题，则甲能获奖的概率；
若从，，中选择了两题，则甲能获奖的概率；
若从，，中选择了三题，则甲能获奖的概率.
故甲能获奖的概率.
9.BC 的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；
令，可得，令，.则，故B正确；
，故C正确；
，故除以10的余数为1，故D错误
10.ABD 对于A，收到0的概率为，故A正确；
对于B，收到1的概率为，所以收到11的概率为，故B正确；
对于C，若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为，故C错误；
对于D，设收到的信号是11为事件，发送的信号是11为事件，则.故D正确
11.BCD ，因为，所以不存在，使得在上单调递减，故A错误；
，因为，，所以，即，故B正确；
当，时，，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，故C正确；
当时，令，则，令，则，又，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确.
12.；5 ，则，因为，所以，故，.
13.72 1，2，3三个区域有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法，当1和5区域不同色时，有种涂法.综上，共有72种涂法.
14. 由，可得.
令，则，，所以的图象关于直线对称.
当时，，所以，又在上连续，所以在上单调递增.
由，可得，即，所以，解得.
15.解：（1），.
（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布.
设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，则，，，.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
综上，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
16.解：（1）零假设为：产品的合格率与技术升级无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的合格率与技术升级有关.
（2）升级前后合格品的比例为，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于升级后生产的，
当，时，，
当，时，，
则的概率.
17.解：（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题可知，
故
令，则，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又时，，且.
所以的解集为，
所以，
即，故的取值范围为
18.解：（1）的可能取值为2，3，4.
，
，
，
则的分布列为
2 3 4
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，
此时红球的个数为.
故，
，
则，所以为等比数列.
故，
即
19.解：（1）记是函数的零点，是函数的零点.
因为在上单调递增，且，，
所以.
因为，
所以当时，.
又，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以，
所以，故与互为亲密函数
（2），则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故有唯一的零点1
因为与互为亲密函数，
所以在上有解.
由，可得.
因为，所以，则，
故的取值范围为.