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【题型分类专练】6.18 平行四边形
题型目录：
【题型1】平行四边形中的作图问题； 【题型2】坐标系中的平行四边形；
【题型3】平行四边形中的平移问题 【题型4】平行四边形中的折叠问题；
【题型5】平行四边形中的最值问题； 【题型6】平行四边形中的动点问题；
【题型7】平行四边形中的旋转问题 【题型8】平行四边形中的存在性问题；
【题型9】平行四边形中函数问题.
一、单选题
【题型1】平行四边形中的作图问题
1．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线，交于点G，连接．若与恰好垂直，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，对角线与相交于点，点是的中点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧交于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】坐标系中的平行四边形
3．如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】平行四边形中的平移问题
5．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型4】平行四边形中的折叠问题
7．如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
8．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【题型5】平行四边形中的最值问题
9．如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【题型6】平行四边形中的动点问题
11．如图，已知，是线段上的动点，分别以、为边，在线段的同侧作等边和，连接，设的中点为，当点从点运动到点时，则点移动路径的长是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
12．如图，在中，，，分别为，上的动点，，分别以，所在直线为对称轴翻折，，点，的对称点分别为，若、、、恰好在同一直线上，，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】平行四边形中的旋转问题
13．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③；
④周长的最小值是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点A旋转，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【题型8】平行四边形中的存在性问题
15．如图，平面直角坐标系中，点O，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），若存在点C，使得以点O，B，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的点C的坐标中，错误的是（ ）
A．（3，－3） B．（－3，3）
C．（3，5） D．（7，3）
16．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型9】平行四边形中的函数问题
17．已知如图，在平面直角坐标系中， ABCO的边OC在x轴上，点O为坐标原点，OC＝5，点D是OA的中点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B、D，且与x轴相交于点E，BC⊥BE，连接OB，若△ABO的周长是18，则k+b的值是（ ）
A．8 B． C． D．
18．如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【题型1】平行四边形中的作图问题
19．如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线． 过点作，交射线于点，过点作，交于点． 设，则 ．
20．如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
【题型2】坐标系中的平行四边形
21．在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形的顶点，则点的坐标为 ．
22．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作，交于点，交于点，连接，已知，，以点为原点建立坐标系，则点的坐标为 ．
【题型3】平行四边形中的平移问题
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且轴．将沿轴向上平移，使点对应点落在对角线上，则平移后点的对应点的坐标为 ．
24．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则x的值是 ．
【题型4】平行四边形中的折叠问题
25．如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿折叠平行四边形，使点与点重合，则线段的长度为 ．
26．如图，在平行四边形中，，将沿对角线折叠得到，与交于点. 若恰好为的中点，求 ；平行四边形的面积为 ．
【题型5】平行四边形中的最值问题
27．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
28．如图，在矩形中，，点为边的中点，将线段绕点旋转一定角度后得到线段，连接，点为线段的中点，连接，则线段长度的最大值为 ．
【题型6】平行四边形中的动点问题
29．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
30．如图，中，，，点D为边AC上的中点，点E为边上一个动点，将沿折叠，点C的对应点为点F，交的直角边于点G，当点G为直角边的中点时，则长为 ．
【题型7】平行四边形中的旋转问题
31．如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
32．如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点O，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点C旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．
【题型8】平行四边形中的存在性问题
33．如图，直线的解析式为，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．
34．在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，且，则 ，若平面内存在一个点与也构成爱尔特希点集，则 ．
【题型9】平行四边形中的函数问题
在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 ．
36．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是坐标平面内一动点，且BC=3，连接AC，若点D为线段AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型分类专练】6.18 平行四边形参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理得是解决本题的关键．
解：由题意可得，是的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵与垂直，
∴，
即，
解方程得：，
∴；
故选：A．
2．C
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分得到是的中点，结合已知条件判定是的中位线，由此求得，则．
解：在 中，，即是的中点．
点是的中点，
是的中位线．
10，
以点为圆心，的长为半径画弧交于点，，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的性质，解题过程中，利用“平行四边形的对角线互相平分”得到“是的中点”是解题的突破口．
3．B
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点B和点D，点A和点C关于原点对称是解题的关键．
解：∵原点O为对角线的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标是：，
又∵轴，
∴点A的坐标是：，
∴点C的坐标为，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，过作轴于，根据勾股定理得到，根据勾股定理得到，再根据平行四边形的性质即可求解，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
解：过作轴于，如图，
∵点的坐标分别为、，
∴，，
∴由勾股定理得，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
同理，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的周长，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可．
解：面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
设点A到的距离为h，
，
∴四边形的面积为：
故选：C．
6．C
【分析】
本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明．
解：
解：根据平移可得，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
7．C
【分析】如图，作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可．
解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线、间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，从而得出，由折叠的性质可得：，再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
解：四边形为平行四边形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解．
解：设与交于点，过点作于，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：D
10．A
【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解．
解：延长，过点B作交于点P，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，则，
同理可得：，
∴，
∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小，
∵，
∴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短．
11．C
【分析】如图，分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得与互相平分，可得正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为的中位线．由此即可求解
解：如图，分别延长、交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
∵为的中点，
∴正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为的中位线．
∴，即的移动路径长为．
故选：．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
12．D
【分析】过点作于点，设，由勾股定理求得与，再证明，用表示，，，由勾股定理列出的方程，求得的值，即可解决问题．
解：如图，过点作于点，
由折叠知，
，
，
，
，
设，
则由折叠性质知，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，或舍，
，
故选：．
【点拨】本题主要考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
13．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，可得时，长度最小，即长度最小，即可求此时周长最小值．
解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵将绕点B旋转到位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确，③错误；
∵，
∴，
故②正确，
∵的周长，
∴当最小时，的周长最小．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，长度最小，即长度最小，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的周长最小值为，
故④错误，
故选：B．
14．B
【分析】如图所示，作交的延长线于点G，连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到是的中位线，进而判断出，当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而根据等腰直角三角形的性质求解即可．
解：如图所示，作交的延长线于点G，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴点E是的中点，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
∵，
∴当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故选：B．
【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，旋转最值问题，解题的关键是得到当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，．
15．C
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．
解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3）（-3，3）（3，-3）
故选C
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．
16．C
【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定．
解：A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意；
B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意；
C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意；
D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
17．A
【分析】由题意知是等腰三角形，，由周长可得，由知是等腰三角形，，点坐标；如图，过点D作，垂足为F，在中，由勾股定理得，根据可求的值，在中，由勾股定理得，进而可得点坐标；将，坐标代入中求的值，然后计算即可．
解：∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中点
∴是等腰三角形
∴
∴，
∴是等腰三角形
∴
∴点坐标为
如图，过点D作，垂足为F
在中，由勾股定理得
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴点坐标为
将，坐标代入中得
解得
∴
故选A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识．解题的关键在于求出直线上的两个点坐标．
18．B
【分析】根据一次函数和平行四边形的性质，推导得、；再根据直角坐标系和平行四边形的性质，得，设过顶点D的正比例函数解析式为，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
解：∵平行四边形的边在一次函数的图象上，
∴当时，，
∴，
∴点的纵坐标是1，
∵平行四边形，C的坐标是，
∴点的纵坐标是-2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设过顶点D的正比例函数解析式为，
∴，
∴，
∴过顶点D的正比例函数解析式为，
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数、平行四边形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、平行四边形的性质，从而完成求解．
19．8
【分析】本题考查作图基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质等知识，连接，首先证明，推出，推出四边形是平行四边形，再证明，利用勾股定理求解即可．理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
解：连接．
由作图可知，，平分，
则是的垂直平分线，即：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
20．8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
过点A作于点N，过点D作，交的延长线于点M，结合平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明，即可得，，再证明，问题随之得解．
解：过点A作于点N，过点D作，交的延长线于点M，如图，
根据作图可知：，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
21．或或
【分析】分三种情况：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别平移平行四边形的一个顶点即可求出点的坐标．
解：如图，分三种情况：
①当为对角线，，时，
，，，
把点向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点坐标为，
②当为对角线，，时，
，，，
把点向右平移2个单位，再向下平移1个单位，的坐标为；
③当为对角线，，时，
，，，
把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得的坐标为；
综上所述，符合要求的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
22．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质结合，可得为等边三角形．从而得到，在中，由勾股定理可得的长，即可．
解：四边形为平行四边形，
，．
，
为等边三角形．
，为边上的中线．
．
在中，由勾股定理得，，
，
点的坐标为．
故答案为：
23．
【分析】根据题意，由点的平移及平行四边形性质得到，，再由待定系数法确定直线的函数关系式，设出，代值解方程求出向上平移的单位长度，结合点的平移即可得到答案．
解：在平面直角坐标系中，的顶点，，且轴，
，轴，
，
，
设直线：，将代入得，
直线：，
设将沿轴向上平移个单位长度，使点对应点落在对角线上，则在直线：上，
，解得，即点向上平移2个单位长度得到对应点，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查点的平移，涉及图形与坐标、平行四边形性质、点的平移法则、待定系数法确定函数表达式、一次函数性质等知识，熟练掌握点的平移法则及平行四边形性质是解决问题的关键．
24．6或或5
【分析】①当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到x的值；②当AD=AE=x时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=x，由勾股定理列方程即可得到结论，③DE=DA时，AE=AB=5．
解：分3种情况讨论：
①当DE=AE时，
作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，
∴AM=NE，AM=AD=x，CN=BC=3，
∴x+x=6-（3-x），
∴x=6；
②当AD=AE=x时，
∵将△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=x，
∴NE=x-3，
∵AN2+NE2=AE2，
∴42+（x-3）2=x2，
∴x=．
③DE=DA时，AE=AB=5
综上所述：当x=6或或5时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：6或或5．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
25．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可推出，得出，在中，根据勾股定理求出，由折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理即可求解．
解：过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
由折叠可知，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
线段的长度为，
故答案为：．
26． 4
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．过点作于，过点作于,先证明即可得出，再利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，最后用等面积法求出高即可．
解：如图，过点作于，过点作于,
是平行四边形
为的中点
在和中
将沿对角线折叠得到 ，
∴
∴为直角三角形
∵
∴
在中，
平行四边形的面积为．
故答案为：．
27．18
【分析】先根据中心对称性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性得到，过D作，且，连接，，证得四边形是平行四边形，，，则，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．证明为等边三角形得到即可求解．
解：∵和关于点O中心对称，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴过D作，且，连接，，如图，
则四边形是平行四边形，，
∴，
∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，即的最小值为18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加平行线找到取得最小值的K点是解答的关键．
28．
【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握相关性质是解题的关键．
取的中点，连接，根据中点可得，之后根据旋转得到，，由于分别为的中点得到，于是在直角中根据勾股定理得到，即可得到答案．
解：取的中点，连接，如图
，点为边的中点，
，
将线段绕点旋转一定角度后得到线段，
．
分别为的中点，
，
在直角中，，
，
又，
当点三点共线时，取得最大值，最大值为．
故答案为：．
29．2或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可．
解：如图1，四边形是平行四边形，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
如图2，四边形是平行四边形，作于点G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点F与点G重合，
∴，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
30．或
【分析】分两种情况进行讨论，当G为直角边的中点时，当点G为直角边的中点时，分别画出图形，求出结果即可．
解：∵中，，，
∴；
当G为边的中点时，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵是由折叠得到的，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点G为直角边的中点时，如图所示：
则，
∵点D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
综上分析可知，的长为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，平行线的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
31．
【分析】本题考查三角形的中位线，等腰三角形的性质，的直角三角形的性质．取的中点F，连接，，可以得到是的中位线，即，然后根据等边对等角和平行线的性质得到，进而得到点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小，根据的直角三角形的性质求解即可．
解：取的中点F，连接，，
则，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小，
即，
故答案为：．
32．
【分析】延长交于点F，延长交于G，可得，可得，在四边形中，利用四边形内角和为列出等式计算即可．
解：延长交于点F，延长交于G，如图．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形ABCF中，
，
，
解得．
故答案为：．
【点拨】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，关键是根据平行线的性质解答．
33．或
【分析】分两种情况：当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，当不平行x轴时，分别求出结果即可．
解：∵，
∴，
∴，
令，，
∴，
∵，
则，
即点；
①如图，当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，
则，则点；
②当不平行x轴时，
则，则点D、到的距离相等，
则直线，
设直线的表达式为：，
将点D的坐标代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
设点，A，B，D为顶点的三角形与全等，
则，
解得：或（舍去），
∴点；
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，坐标与图形，三角形全等的性质，两点间距离公式，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．
34． /度 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意．
解：依题意由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，
∴．
当为正五边形的中心点时即满足题意，
当为正五边形的顶点时，．
故答案为：，或．
35．或
解：由题意直线y=mx-6m经过定点B（6，0），又一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：∵直线y=mx-6m经过定点B（6，0），A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），
∴CD∥AB，CD=8-2=6= AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC= S△ADC=S平行四边形ABCD，
又∵直线y=mx-6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m-6m=3或5m-6m=6，
∴m=-或-6，
故答案为：-或-6．
【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是发现直线y=mx-6m经过定点B（6，0）．
36．
【分析】在轴的负半轴上取一点，使得，连接，，求出的最大值，利用三角形中位线定理解决问题即可．
解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，，
在轴的负半轴上取一点，使得，连接，，
，，
，
，，
，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，一次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
