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第六章 平行四边形单元过关（培优版）
考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．正五边形和等边如图摆放，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，根据多边形内角和公式可求出的度数，根据正五边形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，，可得，根据角的和差关系可得出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，根据角的和差关系即可得答案，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
故选：．
2．如图，平行四边形的周长是，的周长是，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的周长=AB+BC+AC，而AB+BC为平行四边形的周长的一半，代入数值求解即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵ ABCD的周长是56cm，
∴AB+BC=28cm，
∵△ABC的周长是36cm，
∴AB+BC+AC=36cm，
∴AC=36cm 28cm=8cm.
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是0，1， B．三角形的任意两边之和小于第三边
C．采用抽样调查的方式检查飞机零部件 D．五边形的内角和是
【答案】A
【分析】根据立方根，三角形三边的关系，中心对称图形的定义，多边形内角和公式进行逐一判断即可．
【详解】解：A、立方根等于它本身的数是0，1， 1，故A选项说法正确，是真命题，符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，故B选项说法错误，是假命题，不符合题意；
C、检查飞机零部件需采用普查的方式，故C选项说法错误，是假命题，不符合题意；
D、五边形的内角和是540°，故D选项说法错误，是假命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知立方根、三角形三边的关系、抽样调查与普查、多边形内角和公式是解题的关键．
4．如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的孤于点Q；作射线交于点F．则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，结合基本作图可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出．
【详解】解：在中，，
∴，
∵D，E分别是的中点，
∴，，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形是平行四边形是解决问题的关键．
5．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质解答即可
【详解】解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
∵PE⊥OB，MN⊥OB，
∴PE∥MN，又M为OP的中点，
∴MN＝ PE＝1，即点M到射线OB的距离为1，
故选B．
【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于熟练运用角平分线的性质，作出辅助线
6．如图，已知的面积为36，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】过点B作BG⊥ED，交ED的延长线于G，过点A作AH⊥BC于H，交ED的延长线于M，根据平行四边形的性质和平行线之间的距离处处相等可得DE=CF，AH⊥DE，BG=MH，根据三角形的面积推出DE·AH=18，然后根据S阴影=S△ADE＋S△BDE即可求出结论．
【详解】解：过点B作BG⊥ED，交ED的延长线于G，过点A作AH⊥BC于H，交ED的延长线于M
∵四边形是平行四边形，
∴DE=CF，AH⊥DE，BG=MH
∵的面积为36，
∴BC·AH=36，BC=4DE
∴×4DE·AH=36
∴DE·AH=18
∴S阴影=S△ADE＋S△BDE
=DE·AM＋DE·BG
=DE（AM＋MH）
=DE·AH
=9
故选C．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．
7．如图，在中，对角线，相交于点O．则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，故A、B、D正确；
∵，，
∴和不一定全等，故C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
8．如图，在中，，，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，证出，由直角三角形的性质可求出答案．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S ABCD=AB AC；③OB=AB；④OE= BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由中，，易得是等边三角形，又由，证得①；继而证得，得②；可得是三角形的中位线，证得④．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，故②错误；
，，
，
，故③错误；
，，，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
10．如图，的周长是24，点D、E在边上，的平分线垂直于，垂足为点Q，的平分线垂直于，垂足为点P，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先证明，得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，同理可证，，得到中位线，根据的周长是24，，代入计算即可．
【详解】∵的平分线垂直于，垂足为点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据等腰三角形的三线合一性质，得到，
同理可证，，
∴是的中位线，
∴，
∵的周长是24，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 °．
【答案】
【分析】利用互余关系求出的度数，证明，求出，利用平行线的性质，得到，即可得解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
12．如图，在中，，作的平分线交的延长线于点E，交于点F，若G，O分别是，的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，，由平行四边形的性质可得，，，，，，，由角平分线的性质可得，可求，可得，可证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，O为AC中点，
∴B、O、D三点共线，，，，，，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
13．已知梯形的两底长分别为2和8，两腰的长分别为4与，那么字母的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出图形如图，作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，设DE＝AB＝a，求出CE的长后，在△CDE中由三角形的三边关系即可得出答案．
【详解】解：如图所示：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝4，AB＝a，
作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB＝a，BE＝AD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，
在△CDE中，由三角形的三边关系得：CE﹣CD＜DE＜CE+CD，
即6﹣4＜DE＜6+4，
∴2＜a＜10；
故答案为：2＜a＜10．
【点睛】本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确添加辅助线、灵活应用三角形的三边关系是解题的关键．
14．为边上一点，将沿翻折得到，点在上，而且，若，那么 ．
【答案】51°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出，，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，由三角形内角和定理求出，即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：51°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在平行四边形中，，，AE平分交边于点E，平分交边于点F，且、交于平行四边形内部点G，则线段 ．
【答案】2
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．如图，中，，，平分，是边上的中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为 ．
【答案】．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=7，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【详解】 平分，
，
，
，
在和中，，
，
，，
则．
又 ，
是的中位线，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，证明三角形全等是解决问题的突破口．
评卷人得分
三、解答题
17．如图所示，，点，为射线，上的动点（点，不与点重合），在的内部，的外部有一点，且，．求证：点在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】分情况讨论：当时，过点分别作，，垂足分别为，，根据四边形的内角和求得，推得；根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明；当时，根据四边形的内角和求得，即可证明．
【详解】证明：当时，如图，
过点分别作，，垂足分别为，，
则．
在四边形中，
，
∴．
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴；
又∵，，
∴点在的平分线上．
当时，则，
∴，．
又∵，
∴点在的平分线上．
综上，点P在的平分线上．
【点睛】本题考查了四边形内角和，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握到角两边的距离相等的点在角平分线上．
18．如图，已知和是的两条高
(1)，．求的度数．
(2)已知，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的内角和定理求出的度数，再由四边形的内角和求出的度数，再根据邻补角的定义求解即可；
（2）利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵和是的两条高，
∴，
∵，，，
∴．
【点睛】此题考查了三角形的面积、三角形的高、三角形内角和定理以及四边形的内角和，熟记三角形面积公式是解题的关键．
19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明得到，再由平行四边形的性质得到，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得到，进而求出，由全等三角形的性质得到，据此利用平行四边形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，O是对角线的交点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若EF＝1，平行四边形ABCD的周长为46，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）15
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，可证AB＝AF＝DC＝DE；
（2）由题意可得AD+AB＝23，2AB﹣AD＝EF＝1，即可求解．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD的平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，
∴AB＝AF，DC＝DE，
∴AF＝DE；
（2）∵ ABCD的周长为46，
∴AD+AB＝23，
∵EF＝1，
∴2AB﹣AD＝EF＝1，
∴AB＝8，AD＝15，
∴BC＝15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．如图①，平行四边形的底边上的高为，边在射线上匀速平行移动．如图②反映了变化过程中平行四边形的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的情况．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)边移动前，底边的长度是多少？当和时，底边的长度是多少？
(3)说一说，S的值是怎样随t的值变化而变化的？
【答案】(1)自变量为时间，因变量为平行四边形的面积
(2)边移动前，，当时， ；当时，
(3)当时，随时间的增大而增大；当时，不变；当时，随时间的增大而减小
【详解】（1）自变量为时间，因变量为平行四边形的面积．
（2）由图象可知，边移动前，面积，
所以此时；
当时，面积，
此时；
当时，面积，
此时．
（3）当时，随时间的增大而增大；
当时，不变；
当时，随时间的增大而减小．
22．已知：如图，四边形中，垂直平分，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）48．
【分析】（1）由得，，由垂直平分线的性质得AB＝BC，AD＝CD，得到角相等，进而得到，加之，得到，进而可证得；
（2）四边形的面积＝，计算即可．
【详解】（1）证明：垂直平分
即
四边形是平行四边形
（2）解：
四边形是平行四边形
在和中，
同理可证：
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，面积的转化，垂直平分线的性质，难度不大．
23．已知：．
求作：直线AD，使得．
作法：如图，
①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；
②作直线MN交AC于点E；
③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵______，______，
∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．
∴（______）（填推理的依据）．
【答案】(1)作图见解析
(2)EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图，直线AD即为所求；
（2）证明：连接CD．
∵AE＝EC．BE＝ED．
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），
故答案为：EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
【点睛】本题考查作图 基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24．阅读下面材料：
在数学课上，王老师提出如下问题：
如图，在中，点E为AD的中点，请只用无刻度的直尺，在BC上找点F，使点F为BC的中点．
小淇的作法如下：
（1）如图，连接AC、BD交于点O；
（2）延长EO交BC于F；则点F即为所求．
请你证明小淇的作法是正确的．
已知：_______________________________________．
求证：________________________________________
证明：_______________________________________
【答案】已知：如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，连接对角线AC和BD，相交于点O，连接EO并延长，交CB于F．
求证：点F为BC的中点．
证明：见解析．
【分析】证明△AOE≌△COF（ASA），由全等三角形的性质得出AE=CF，同理可得，DE=BF，证出CF=BF即可．
【详解】解：如图所示，点F即为所求．
已知：如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，连接对角线AC和BD，相交于点O，连接EO并延长，交CB于F．
求证：点F为BC的中点．
证明：∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
又∵对角线AC和BD，相交于点O，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
同理可得，DE=BF，
又∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
∴CF=BF，
∴点F为BC的中点．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及基本作图，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．
25．在中，，点D在BC边所在的直线上，过点D作交直线AB于点E，交直线AC于点F．
(1)当点D在BC边上时，如图①，求证：；
(2)当点D在BC边的延长线上时，如图②：当点D在BC边反向延长线上时，如图③，请分别猜想出图②、图③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)图（2）中猜想：， 图（3）中猜想：．
【分析】（1）先证四边形AFDE是平行四边形，得DE＝AF，∠FDC＝∠B，再证DF＝FC，进而得出结论；
（2）图②中：AC＋DF＝DE，先证四边形AFDE是平行四边形，得AF＝DE，证明∠CDF＝∠DCF，得到DF＝CF，进而得出结论；图③中，AC＋DE＝DF，先证四边形AEDF是平行四边形，得到AF＝DE，DF＝AE，证明∠CDF＝∠ACB，得到DF＝CF，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵DEAC，DFAB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；
（2）图②中：AC＋DF＝DE，理由如下：
∵DEAC，DFAB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE．
∵DEAC，
∴∠CDF＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠CDF＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF，
∴AC＋DF＝AF＝DE；
图③中，AC＋DE＝DF，理由如下：
∵DEAC，DFAB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，DF＝AE，
∵DEAC，
∴∠CDF＝∠ABC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDF＝∠ACB，
∴DF＝CF，
∴AC＋DE＝AC＋AF＝CF＝DF．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形单元过关（培优版）
考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．正五边形和等边如图摆放，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的周长是，的周长是，则的长为( )
A． B． C． D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是0，1， B．三角形的任意两边之和小于第三边
C．采用抽样调查的方式检查飞机零部件 D．五边形的内角和是
4．如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的孤于点Q；作射线交于点F．则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．如图，已知的面积为36，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．9 D．12
7．如图，在中，对角线，相交于点O．则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S ABCD=AB AC；③OB=AB；④OE= BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，的周长是24，点D、E在边上，的平分线垂直于，垂足为点Q，的平分线垂直于，垂足为点P，若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 °．
12．如图，在中，，作的平分线交的延长线于点E，交于点F，若G，O分别是，的中点，则的长为 ．
13．已知梯形的两底长分别为2和8，两腰的长分别为4与，那么字母的取值范围为 ．
14．为边上一点，将沿翻折得到，点在上，而且，若，那么 ．
15．如图，在平行四边形中，，，AE平分交边于点E，平分交边于点F，且、交于平行四边形内部点G，则线段 ．
16．如图，中，，，平分，是边上的中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图所示，，点，为射线，上的动点（点，不与点重合），在的内部，的外部有一点，且，．求证：点在的平分线上．
18．如图，已知和是的两条高
(1)，．求的度数．
(2)已知，，，求．
19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求平行四边形的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若EF＝1，平行四边形ABCD的周长为46，求BC的长．
21．如图①，平行四边形的底边上的高为，边在射线上匀速平行移动．如图②反映了变化过程中平行四边形的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的情况．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)边移动前，底边的长度是多少？当和时，底边的长度是多少？
(3)说一说，S的值是怎样随t的值变化而变化的？
22．已知：如图，四边形中，垂直平分，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求四边形的面积．
23．已知：．
求作：直线AD，使得．
作法：如图，
①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；
②作直线MN交AC于点E；
③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵______，______，
∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．
∴（______）（填推理的依据）．
24．阅读下面材料：
在数学课上，王老师提出如下问题：
如图，在中，点E为AD的中点，请只用无刻度的直尺，在BC上找点F，使点F为BC的中点．
小淇的作法如下：
（1）如图，连接AC、BD交于点O；
（2）延长EO交BC于F；则点F即为所求．
请你证明小淇的作法是正确的．
已知：_______________________________________．
求证：________________________________________
证明：_______________________________________
25．在中，，点D在BC边所在的直线上，过点D作交直线AB于点E，交直线AC于点F．
(1)当点D在BC边上时，如图①，求证：；
(2)当点D在BC边的延长线上时，如图②：当点D在BC边反向延长线上时，如图③，请分别猜想出图②、图③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明．
