中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024年七年级下学期期末押题模拟卷
（考试范围：北师大版七下全部内容）
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024年吉林省长春市中考一模数学试题）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性
故选：B．
2．（2024年江苏省无锡市经开区中考数学一模试题）2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何变换的类型，翻折，
根据翻折的定义可得答案．
掌握翻折的定义是解答本题的关键．
【详解】解：通过一次翻折这个标志得到的图形是：
故选：．
3．（2024·江苏泰州·一模）桌面上有A、B、C三个小球按如图所示堆放，每次只可以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二个取走的小球是A的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查概率公式，把所有可能情况找出来，根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，第二个取走的小球可能是A或B共两种等可能，故
第二个取走的小球是A的概率为．
故选：A
4．（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下：
材料 金 银 铜 铁
电阻率（）
已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（ ）
A．金 B．银 C．铜 D．铁
【答案】C
【分析】本题考查了变量，根据“电阻率越高，导电能力越差”选出答案即可，准确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵电阻率越高，导电能力越差，，
∴导电能力从大到小排序为：铁，金，铜，银，
∴导电性第三优良的为铜，
故选：C．
5．（2024·四川成都·二模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法．分别根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项法则、完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法法则依次判断即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
6．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知，平分平分，，则的度数为（ ）度．
A．55 B．50 C．40 D．30
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出和的度数是解题的关键．
由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，结合角平分线的定义可求出和的度数，过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，再结合，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，．
∵平分平分，
∴．
过点作，则，如图所示．
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
7．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴
又，
∴，
故选：C．
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．（23-24七年级下·河北沧州·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【详解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024·河北邯郸·二模）若，则 ．
【答案】3
【分析】题目主要考查同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）．
【详解】解：添加的条件是：．
理由：∵，
∴，即．
在和中，，，，
∴．
注：答案不唯一，添加或均可．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）紫色石蕊试剂遇到酸性液体变成红色，遇到碱性液体变成蓝色，现有3瓶无标记液体，其中有两瓶酸性液体、一瓶碱性液体，现取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中，液体变为红色的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法．
【详解】解：取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中共有3种等可能情况，
其中滴入酸性液体有2种可能情况，即液体变为红色有2种，
∴液体变为红色的概率为，
故答案为：．
14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．
【答案】①②③
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．
15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，交于G．再将沿翻折得到，若点H恰好落在线段上，则 ．
【答案】/60度
【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．
由折叠性质得：，，设，根据矩形与平行线的性质求解即可．
【详解】解：由折叠性质得：，，
设，
四边形是长方形，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 ．
【答案】12或48或84
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键．
①在直线上方，得；
②在直线下方，直线上方，得；
③都在直线下方，得；
④，在直线上方和下方，得，
分别解方程即可．
【详解】解：①在直线上方，如图：
当时，则，
∴，
解得：；
②在直线下方，直线上方，
当时，则，
∴，
解得：；
③都在直线下方，
当时，则，
∴，
解得：；
④在直线上方，直线下方，
当时，则，
∴，
解得：（舍），
综上所述，t为12或48或84，
故答案为：12或48或84．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，负整数指数幂和零指数等计算：
（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知多项式的展开式中不含项，求m的值．
【答案】（1），1，（2）
【分析】本考查了多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式等知识，
（1）利用平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算化简，再代入求值问题得解；
（2）先利用多项式乘以多项式将原式展开，再合并同类项，根据展开式中不含项，可知的系数为0，据此即可作答．
【详解】解：（1）
，
当时，
原式；
（2）
，
由结果中不含项，得到，
解得：．
19．（23-24七年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．
(1)在图①中画出关于直线的对称的图形；
(2)在图②中画出的中线．
(3)求出图③的面积．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查作图—轴对称、中线、三角形面积，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质得出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可；
（2）找到中点，连接即可；
（3）用过点、、三点的矩形减去三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如下图，即为所求．
（2）如下图，即为所求．
（3）的面积为．
20．（23-24七年级下·山东泰安·期中）我们知道，一副扑克牌共54张，现在小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏．小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏．
(1)现小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明和小颖获胜的概率分别是多少？
(2)若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
(3)若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颗获胜的概率又是多少？
【答案】(1)；
(2)0；
(3)；0
【分析】（1）小明已经摸到的牌面为5，而小于5的结果为，大于5的结果数为，然后根据概率公式求解；
（2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，大于2的结果数为，然后根据概率公式求解；
（3）小明已经摸到的牌面为，而小于的结果为，大于2的结果数为0，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了概率公式．
【详解】（1）解：∵小明已经摸到的牌面为5，且牌面大谁就获胜，规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关，
∴，
则比大的数有个，比小的数有12个，
（小明获胜）；
（小颖获胜）；
（2）解：∵若小明已经摸到的牌面为2，且牌面大谁就获胜，规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关，
∴（小明获胜）；
则，
∴（小颖获胜）；
（3）解：∵小明已经摸到的牌面为A，
∴比A小的数有：，
（小明获胜）；
（小颖获胜）．
21．（23-24七年级下·山东济南·期中）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
(3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
【答案】(1)72
(2)
(3)不能能叠放11个，理由见解析
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等：
（1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，
∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米，
故答案为：72；
（2）解：由题意得，，
故答案为：；
（3）解：不能能叠放11个，理由如下：
当时，，
∴，
∴不能能叠放11个．
22．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
．
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式，以及几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
（1）根据题目所给的方法，利用完全平方公式，求出x和y的值，即可求解；
（2）根据，得出，将代入，得
，利用题目所给方法和完全平方公式，求出b和c的值，再得出a的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
∴，
解得，则，
∴．
23．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在三角形中，，，．
（1）当三角形和平行线的位置如图1时，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．
（1）平角的定义，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可；
（2）过点B作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可；
（3）作，根据角平分线的定义，结合平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）因为，，．
所以．
因为，所以；
（2）如图1，过点B作，
因为，所以，
所以．因为，
所以．
因为，
所以；
（3）因为，平分，
所以．
如图2，作，
因为，所以，
所以．
因为，，
所以，
所以．
24．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出；
（2）过点M作，证明，再证明，得出；
（3）根据折叠可知：，，，，，，，
设，，，得出，，即可得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质．
25．（23-24七年级下·山东济南·期中）中，，，过点作．连接，，为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．
求证：①；
②；
(3)如图3，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)8
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【详解】（1）解：，，，
．
，，
∴，
，
故答案为：8；
（2）解：①，
，，
，
在和中，
，
；
②，，
，，
∴，
，
为中点，
，
又，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：连接，如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，
在中，，
，
．
当点，点，点共线时，最大值为12，最小值为6，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024年七年级下学期期末押题模拟卷
（考试范围：北师大版七下全部内容）
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024年吉林省长春市中考一模数学试题）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
2．（2024年江苏省无锡市经开区中考数学一模试题）2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏泰州·一模）桌面上有A、B、C三个小球按如图所示堆放，每次只可以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二个取走的小球是A的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下：
材料 金 银 铜 铁
电阻率（）
已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（ ）
A．金 B．银 C．铜 D．铁
5．（2024·四川成都·二模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知，平分平分，，则的度数为（ ）度．
A．55 B．50 C．40 D．30
7．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·河北沧州·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024·河北邯郸·二模）若，则 ．
12．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）紫色石蕊试剂遇到酸性液体变成红色，遇到碱性液体变成蓝色，现有3瓶无标记液体，其中有两瓶酸性液体、一瓶碱性液体，现取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中，液体变为红色的概率为 ．
14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．
15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，交于G．再将沿翻折得到，若点H恰好落在线段上，则 ．
16．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 ．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知多项式的展开式中不含项，求m的值．
19．（23-24七年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．
(1)在图①中画出关于直线的对称的图形；
(2)在图②中画出的中线．
(3)求出图③的面积．
20．（23-24七年级下·山东泰安·期中）我们知道，一副扑克牌共54张，现在小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏．小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏．
(1)现小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明和小颖获胜的概率分别是多少？
(2)若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
(3)若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颗获胜的概率又是多少？
21．（23-24七年级下·山东济南·期中）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
(3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
22．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
．
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值．
23．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在三角形中，，，．
（1）当三角形和平行线的位置如图1时，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
24．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
25．（23-24七年级下·山东济南·期中）中，，，过点作．连接，，为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．
求证：①；
②；
(3)如图3，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，求线段的长度的取值范围．
