2024年高一数学暑假必修一预学课 1.4.2充要条件

(共18张PPT)
充要条件
一、复习回顾
若p,则q。为真命题，即由p推理得出q
p是q的充分条件
q是p的必要条件
二、基础训练：判断下列命题的真假
（1） 是 的必要条件。
（2） 是 的充分条件。
（3）方程 有实数根是 的必要条件。
（4）“x是6的倍数” 是“x是2的倍数” 的充分条件。
假
真
假
真
请同学观察下列命题，并回答问题。
（1）内错角相等，两直线平行。
（2）两直线平行，内错角相等。
1、命题（1）与命题（2）有何共同之处？
2、命题（1）与命题（2）有何不同之处？
不同之处：
命题（1）的条件是命题（2）的结论
命题（1）的结论是命题（2）的条件
共同之处：都是真命题
原命题
逆命题
下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题
都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边相等，则这两个三角形全等。
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。
（3）若一元二次方程 有两个不相等的实根，则
（4）若 是空集，则A与B均是空集。
原命题 逆命题
真命题
真命题
真命题
真命题
真命题
真命题
假命题
假命题
（1）（4）的命题与逆命题都是真命题
归纳总结：
“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题
即 既有 又有 就记作
p是q的充分必要条件
q是p的充分必要条件
简称
p是q的充要条件
q是p的充要条件
概括地说，如果 ，那么 p与q互为充要条件
例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直平分；
（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（3）
（4） 是一元二次方程 的一个根,
解：（1） ，
因为对角线互相垂直平分的四边形也可能是菱形，所以
/
所以p不是q的充要条件
（2）由相似三角形的性质定理可得
由相似三角形的判定定理可得
（4）经过推理 可得 和
所以 ，所以p是q的充要条件
（3）当 显然 所以
/
所以p不是q的充要条件
所以 ，所以p是q的充要条件
例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直平分；
（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（3）
（4） 是一元二次方程 的一个根,
命题（1）中
/
称为 p 是q的充分不必要条件
命题（3）中
/
称为 p 是q的必要不充分条件
简称为 p 是q的充分条件
简称为 p 是q的必要条件
/
/
称为 p 是q的既不充分也不必要条件
已知⊙O 的半径为r，圆心O到直 线l的距离为d.
P
Q
l
O
如图所示
2
例 2
求证：d = r是直线 l” 与 的相切的充要条件.
分析：
设：p：d=r，q：直线l与 相切.
要证p是q的充要条件，只需分别
证明充分性（p q）和必要条件
（q p）即可.
P
Q
l
O
证明：如图所示.
（1）充分性（p q）：
作OP⊥l于点p则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O 仅有一个公共点P.
所以直线l与⊙O 相切.
P
Q
l
O
（2）必要性：（q p）:
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r .
P
Q
l
O
如图所示
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知 a ，b是实数，则“ a > 0且
b > 0 ”是“ a + b > 0且 ab > 0 ”的 ( )
3
例 3
C
（1）p是q的充分条件，q不是p的必要条件
（2）p是q的必要条件，q不是p的充要条件
（3）p是q的充分必要条件
（4）p是q的既非充分又非必要条件
通过学习，我们可以总结出形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系：
充要条件的概念 ：
既有p q，又有q p，就记作
p q.
则 p 是 q 的充分必要条件，
简称充要条件.
课堂小结
形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系 ：
（1）p是q的充分不必要条件
（2）p是q的必要不充分条件
（3）p是q的充分必要条件
（4）p是q的既非充分又非必要条件
1．若a、b、c都是实数，p：ac>bc，
q：a > b，那么 p是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D
课堂练习
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0) 有一个正根和负根的
充要条件是( )
A．ab＞0
B．ab＜0
C．ac＞0
D．ac＜0．
D
填空题：
x2 ＞ y2是 x ＞ y的_________________条件．
解答题：
求证：x2 + y2= 0 (x、y均为实数)
的充要条件是x＝0且 y＝0．
既不充分也不必要
证明：
“ ”：因为x，y ∈R，
所以x2≥0,且y2≥0又x2 +y2=0，
所以，x=y=0即x=0且y=0，
“ ”：因为x=0且y=0，
所以x2 +y2=0.