2024年高一数学暑假必修一预学课 1.5.1全称量词与存在量词

(共25张PPT)
全称量词与存在量词
【学习目标】
1、理解全称命题和特称命题的含义，
2、能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
3、能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【重点与难点】
重点：理解全称量词与存在量词的意义。
难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
问题引入：下列命题中含有哪些量词？
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
常见的全称量词还有
“一切” “每一个”
“任给” “所有的”等 。
全称命题举例：
命题符号记法：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；
所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x
的取值范围用M表示，那么，
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
三、新知建构，典例分析
全称命题所描述的问题的特点：
给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。
例.下列命题是否是全称命题？
（1）每一个三角形都有外接圆；
（2）一切的无理数都是正数；
（3）实数都有算术平方根.
注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要
省略全称量词。
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数；
（2） x∈R，x2＋1≥1；
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x+1=3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x0∈R，使2x+1=3；
(4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
存在量词、特称命题定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有
“有些”“有一个”
“对某个”“有的”等 。
特称命题举例：
命题：有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”
可用符号简记为：
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
三、新知建构，典例分析
例2 判断下列特称命题的真假：
(1)有一个实数x0, 使x02+2x0+3=0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数.
全称命题、特称命题的表述方法：
命题 全称命题 特称命题
①所有的x∈M，p(x)成立
②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成
立
④任选一个x∈M，p(x)成
立
⑤凡x∈M，都有p(x)成立 ①存在x0∈M，使p(x)成立
②至少有一个x0∈M，使 p(x)成立
③对有些x0∈M，使p(x)成立
④对某个x0∈M，使p(x)成立
⑤有一个x0∈M，使p(x)成
表述方法
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.
全称命题的否定是特称命题.
三、新知建构，典例分析
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:
探究
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)所有平行四边形都不是菱形;
3)
特称命题
它的否定
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题
特称命题的否定是全称命题.
三、新知建构，典例分析
例3 写出下列全称命题的否定,并判断真假：
（1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p: 对任意 x∈Z，x2的个位数字不等于3.
例4 写出下列特称命题的否定,并判断真假：
（1）p: ；
（2）p:有的三角形是等边三角形；
（3）p: 有一个素数含有三个正因数.
总 结：
判断全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题的方法
判断全称命题“ x∈M, p(x) ”是假命题的方法
需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）
需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例说明).
总 结：
判断特称命题“ x0∈M, p(x0) ”是真命题的方法
判断特称命题“ x0∈M, p(x0) ”是假命题的方法
1.指出下列命题使用了那种量词，并用符号表示出来
①对任意正实数 ；
②对某个大于10的正整数 ；
2.判断下列命题的正假
①对任意 ，若 ，则 ；
②对任意一实数 ， 成立 ；
假命题
假命题
③有些整数只有两个正因数
真命题
练习：
3.下列命题中的假命题是（ ）
A. B.
C. D.
B
4.已知 ，函数 .若 满足关于 的方程 ，则下列选项中为假命题的是( )
A. B.
C. D.
C
5.写出下列命题的否定，并判断其真假.
：对所有的正实数 ， 为正数且
：存在一个正实数 ， 或
真命题
6、命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是(　　)
A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根
B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根
C．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0无实根
D．存在k>0，使方程x2＋x－k＝0有实根
c
7.下列命题中，真命题是( )
A. ，使函数 是偶函数；
B. ，使函数 是奇函数；
C. ，使函数 都是偶函数；
D. ，使函数 都是奇函数；
A
8.下列命题为假命题是______
①
②
③
①
②
③
作业（作业本）: